matlab小論文 基于 MATLAB在傅里葉變換中的應(yīng)用

1、精品文檔基于MATLA衽傅里葉變換中的應(yīng)用樊(學(xué)號(hào):)(學(xué)院專業(yè)班)摘要：MATLA的推出以來就受到廣泛的關(guān)注，其強(qiáng)大的擴(kuò)轉(zhuǎn)功能為各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用提供了有力的工具。信號(hào)處理箱就是其中之一。在信號(hào)處理工具箱中，MATLA提供了濾波器分析、濾波器實(shí)現(xiàn)、模擬濾波器設(shè)計(jì)、模擬濾波器變換、濾波器離散化、線性系統(tǒng)變換等方面的函數(shù)命令。應(yīng)用MATLAB乍數(shù)值計(jì)算，針對(duì)當(dāng)自變量的信號(hào)“時(shí)間”或“頻率”取連續(xù)值或離散值時(shí)形成的五種情況作出相應(yīng)的計(jì)算及頻譜曲線。關(guān)鍵詞：傅里葉變換；周期；頻率；MATLAB1. 引言MATLAB是國(guó)際上公認(rèn)的優(yōu)秀、可靠的科學(xué)計(jì)算和仿真的標(biāo)準(zhǔn)軟件。它在許多科學(xué)領(lǐng)域中成為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和

2、分析、算法研究的基本工具。在傅里葉變換中，應(yīng)用MATLAB作數(shù)值計(jì)算，可以很容易的作出相對(duì)應(yīng)的計(jì)算及頻譜曲線，大大提高了計(jì)算效率。2. 傅里葉變換傅里葉變換就是建立以時(shí)間為自變量的“信號(hào)”與以頻率為自變量之間的某種變化關(guān)系。所以，當(dāng)自變量“時(shí)間”或“頻率”取連續(xù)值或離散值時(shí)，就形成了幾種不同形式的傅里葉變換，如表1傅里葉變換形式所示。表1傅里葉變換形式時(shí)域信號(hào)特性頻率特性變換名稱非周期連續(xù)信號(hào)連續(xù)頻譜傅里葉變換周期性連續(xù)信號(hào)離散頻譜傅里葉級(jí)數(shù)非周期連續(xù)信號(hào)連續(xù)頻譜序列傅里葉變換周期性離散信號(hào)周期性離散頻譜離散傅里葉級(jí)數(shù)離散信號(hào)(有限樣本點(diǎn))周期性離散頻譜離散傅里葉變換3.連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率-福

3、利葉變換這就是連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)x(t)福利葉變換關(guān)系，所得到的是連續(xù)的非周期的頻率密集度函數(shù)X(jQ).其變換對(duì)為：正變換：X(j,|)=x(t)e-j'%tod逆變換：X(t)x(j11)e-j，3d112二-二例1分析如圖1時(shí)域信號(hào)及其頻譜圖所示的矩形脈沖信號(hào)f(t)(非周期信號(hào))在C=-4040rad/s區(qū)間的頻譜(a)米樣密(b)米樣稀，有頻率泄漏圖1時(shí)域信號(hào)及其頻譜圖-bo根據(jù)離散時(shí)間信號(hào)xn的z變換定義：x(z)=£xnz1，矩形脈沖信號(hào)的頻譜為：-O0O0FjJ)=f(t)e-j，tdtod按MATLAB作數(shù)值計(jì)算的要求，它不能計(jì)算無限區(qū)間，根據(jù)信號(hào)波形的情況

4、，將積分上下限定為010s,并將t分成N等份，用求和代替積分。這樣，-1-MY(z)b0bznbMzH(z)"jzn-X(z)1a1znaNz可寫為NF(jG)=£f(ti)eTt=f(t1),f(t2),耳3上一03一0了一八5i=1這說明求和的問題可以用f(t)行向量乘以e-Cn列向量來實(shí)現(xiàn)，式中At是t的增量，在程序中用dt表示。由于求一系列不同建(程序中用復(fù)用W表示)處的F值，都用同一公式，這就可以利用matlab中的元素群運(yùn)算能力。類似地也可以得到傅里葉逆變換的數(shù)值計(jì)算式。MATLAB源程序如下：clear,tf=10;N=input;dt=10/N;t=1:N*

5、dt;f=ones(1,N/2),zeros(1,N/2);wf=input;Nf=input;w1=linspace(0,wf,Nf);dw=wf/(Nf-1);F1=f*exp(-j*t'*w1)*dt;w=-fliplr(w1),w1(2:Nf);F=fliplr(F1),F1(2:Nf);subplot(1,2,1),plot(t,f,'linewidth',1.5),gridonset(gcf,'color','w')axis(0,10,0,1.1)subplot(1,2,2),plot(w,abs(F),'linewi

6、dth',1.5)gridon程序運(yùn)行結(jié)果：若時(shí)間分隔的點(diǎn)數(shù)N=256,需求得頻率寬度wf=40,需求的頻率點(diǎn)數(shù)Nf=64,所得結(jié)果所示。若取時(shí)間分隔的點(diǎn)數(shù)N=64,頻數(shù)寬度=40,頻譜點(diǎn)數(shù)Nf=256,則得結(jié)果所示。此時(shí)采取采樣周期為dt=10/64s,對(duì)應(yīng)的采樣頻率fs=1/dt=6.4Hz或Qs=40.2124rad/s。從圖中可以看出高頻頻譜以Cs/2處為基準(zhǔn)線的轉(zhuǎn)迭，出現(xiàn)頻率泄露。4. 連續(xù)時(shí)間、離散頻率-傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)x(t)代表一個(gè)周期為T0的周期性連續(xù)時(shí)間函數(shù)，x(t)課展開成傅里葉級(jí)數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為X(jkG0),X(jkC0)是離散頻率的非周期函數(shù)，x(t)和

7、X(jkG0)組成的變換對(duì)為：正變換:(5)X(jk,。)=°J"2x(t)e-jk，btdtTo-To/2逆變換:C30X(t)八 x(jk1 0)ejk 0t(6)式中，Co=2n/T0為離散頻率相鄰兩譜線之間的頻率間隔，k為諧波序號(hào)。5. 離散時(shí)間、連續(xù)頻率-序列傅里葉變換如果信號(hào)x(n)是非周期且絕對(duì)可和，則它的離散時(shí)間傅里葉變換對(duì)數(shù)為：正變換：x(ew)=£x(n)en-cd1二jj逆變換：x(n)=如J，X(e®)e®dE(8)在時(shí)域上市離散序列，而在頻域上是連續(xù)函數(shù)，即具有連續(xù)的頻譜。這里的co為數(shù)字頻域，它與模擬角頻率Q的關(guān)系為

8、：=CT,其中T為模擬信號(hào)x(n)=x(nT)的抽樣時(shí)間間隔。值得注意的是，對(duì)于序列彳f里葉變換，如果x(n)為無限長(zhǎng)，那么就不能用MATLAB直接利用式H(z)=r一r+一r2一-+rN一來計(jì)算X(ej°),只可以用它對(duì)表達(dá)式X(ej°)在1-PiZ1-P2Z1-PnZ0,町頻率點(diǎn)上求值，在畫出它的幅度和相位(或者實(shí)部和虛部)。如果x(n)為有限長(zhǎng)，那么就可直接用MATLAB,根據(jù)式H(z)=r1-+一-+rN一-,在任意頻率對(duì)X(ej°)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。1-PiZ1-P2Z1-PnZ例2求x(n)=(0.9ej;r/3)n,0En£10的離散時(shí)間傅里葉

9、變換。MATLAB源程序如下：n=0:10;x=(0.9*exp(j*pi/3).An;k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100).A(n'*k);magX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);gridaxis(-2,2,0,8)xlabel('frequencyinpiunits');ylabel('|X|');title('MagnitudePart')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);gr

10、idaxis(-2,2,-1,1)xlabel('frequencyinpiunits');ylabel('Radians/pi');title('Anglepart')Magnitude Part-2 5-1-0600.611.52frequency in pi unitsAngle part 1程序運(yùn)行結(jié)果如圖2所示。8bX40.50-05-1Q15/Q500.511.52frequenicyinpiunits圖2副頻和相頻特性曲線6. 離散時(shí)間、離散頻率-一離散傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)X(n)是周期為N的周期序列，則X(n)的離散傅里葉級(jí)數(shù)只有N個(gè)獨(dú)立

11、的諧波成分，數(shù)字基數(shù)為%=2n/N諧波成分為2nk/N,k=1,2|,N1k次諧波的系數(shù)大小為X(k)。X(n)與X(k)的變換對(duì)數(shù)為：(N4正變換：X(K)=DFSX(n)=£X(n)W;k=0,1,2,川，N-1(9)n=0N1逆變換：X(n)=IDFSX(k)=XX(k)W1?kn=0,1,2,N-1(10)Nk=0j2Jink式中，WNN?？梢钥闯鲋C波系數(shù)X(k)也是一個(gè)以N為周期的周期序列。7. 離散時(shí)間、離散頻率-離散傅里葉變換如果時(shí)域序列x(n)是有限長(zhǎng)的，長(zhǎng)度為N,它的頻譜可以通過離散傅里葉變換(DFT)來獲得，其變換對(duì)為：N-1正變換：X(k)=DFTx(n)=&#

12、163;x(n)WNnkk=0,1,2,|I,N1(11)n01N逆變換：x(n)=IDFSX(k)=£K(k)WN1kn=0,1,2|N,1(12)Ny由DFT變換對(duì)可以看出，DFT是對(duì)有限長(zhǎng)序列頻譜的離散化，通過DFT是對(duì)域有限長(zhǎng)度系列與頻域有限長(zhǎng)度相對(duì)應(yīng)，從而可再頻域用計(jì)算機(jī)進(jìn)行信號(hào)處理。更重要的是DFT有多個(gè)快速算法(FFT),可使信號(hào)處理速度提高好幾倍，是數(shù)字信號(hào)的實(shí)時(shí)處理得以實(shí)現(xiàn)。例3用FFT計(jì)算先練兩個(gè)序列的卷積。x(n)=sin(0.4n)RN(n),h(n)=0.9凡(M)并測(cè)試直接卷積和快速卷積的時(shí)間。用圓周卷積(FFT)替代線性卷積的計(jì)算方框圖如圖3所示。圖3快

13、速卷積方框圖按照該方框圖很容易編寫出如下MATLAB程序:xn=sin(0.4*1:15);hn=0.9.A(1:20);tic,yn=conv(xn,hn);toc,M=length(xn);N=length(hn);nx=1:M;nh=1:N;L=pow2(nextpow2(M+N-1);tic,Xk=fft(xn,L);Hk=fft(hn,L);Yk=Xk.*Hk;yn=ifft(Yk,L)toc,subplot(2,2,1),stem(nx,xn,'.'),ylabel('x(n)');subplot(2,2,2),stem(nh,hn,'.');subplot(2,1,2),ny=1:L;stem(ny,real(yn),'.'),ylabel('y(n)'4ri14fpf,上一j.a.qj.j.一.!,工_j4.一,j.4j.工上!上b41020XC50607C圖4x(n),h(n)及其線性卷積波形8. 結(jié)語通過本次設(shè)計(jì)，學(xué)習(xí)和掌握了MATLAB軟件在傅里葉變換中的應(yīng)用，分析了連續(xù)