第17章勾股定理復習題易錯題.

1、八年級下冊第十七章勾股定理水平測試（1）一、試試你的身手（每小題3 分，共24 分）1三角形的三邊滿足a2 b2c2，這個三角形是三角形，它的最大邊是2在直角三角形ABC 中， C 90°， BC 24， CA 7， AB3在 ABC 中，若其三條邊的長度分別為9、12、 15，則以兩個這樣的三角形所拼成的四邊形的面積是4如圖1 所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A，B，C 的面積分別是8cm2，10cm2，14cm2，則正方形D 的面積是cm25如圖 2，在 ABC 中， C 90°，BC 60cm， CA 8

2、0cm，一只蝸牛從C 點出發(fā)，以每分鐘 20cm 的速度沿 CA AB BC 的路徑再回到 C 點，需要分鐘的時間6已知 x、y 為正數(shù)，且 x2-4 +(y2-16)2 0，如果以 x、 y 的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為7在布置新年聯(lián)歡會的會場時，小虎準備把同學們做的拉花用上，他搬來了一架高為2.5米的梯子，要想把拉花掛在高2.4 米的墻上（設梯子上端要到達或超過掛拉花的高度才能掛上），小虎應把梯子的底端放在距離墻米處8如圖 3 是 2002 年北京第24 屆國際數(shù)學家大會會徽，由 4 個全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為

3、52 和 4，則直角三角形的兩直角邊分別為和（注：兩直角邊長均為整數(shù)）二、相信你的選擇（每小題3 分，共24 分）1下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（）A 6，12， 13B3，4，7C 4， 7.5， 8.5D 8， 15， 162要登上某建筑物，靠墻有一架梯子，底端離建筑物5m，頂端離地面12m，則梯子的長度為（）A 12mB 13mC 14mD 15m3直角三角形兩直角邊邊長分別為6cm 和 8cm，則連接這兩條直角邊中點的線段長為（）A 10cmB 3cmC 4cmD 5cm4若將直角三角形的兩直角邊同時擴大2 倍，則斜邊擴大為原來的（）A2 倍B3 倍C4 倍D5 倍5下列說法中，不正確的是（

4、）A 三個角的度數(shù)之比為1 3 4 的三角形是直角三角形B三個角的度數(shù)之比為3 4 5 的三角形是直角三角形C三邊長度之比為3 4 5 的三角形是直角三角形D三邊長度之比為9 40 41 的三角形是直角三角形6三角形的三邊長滿足關(guān)系：(a+b)2 =c2+2 ab，則這個三角形是（）A 鈍角三角形B 直角三角形C銳角三角形D 等邊三角形7某直角三角形的周長為A3B430，且一條直角邊為C 12D 135，則另一直角邊為（）8如果正方形ABCD的面積為29，則對角線AC的長度為（）2422A B CD 3939三、挑戰(zhàn)你的技能（共60 分）1（ 10 分）如圖4，你能計算出各直角三角形中未知邊的

5、長嗎？2（ 10 分）如圖5 所示，有一條小路穿過長方形的草地AE 100m，則這條小路的面積是多少?ABCD ，若AB 60m， BC 84m ，3（10 分）如圖 6，在 ABC 中， BAC 120 °， B 30°，AD AB，垂足為 A，CD 1cm，求 AB 的長4（ 10 分）小芳家門前有一個花圃，呈三角形狀，小芳想知道該三角形是不是一個直角三角形，請問她可以用什么辦法來作出判斷？你能幫她設計一種方案嗎？5（ 10 分）如圖 7，在 ABC 中， AB AC 25，點 D 在 BC 上， AD 24， BD 7，試問 AD 平分 BAC 嗎？為什么？6（ 10

6、 分）如圖8 所示，四邊形求證： AC CD ABCD中，AB =1，BC=2， CD =2，AD =3，且AB BC四、拓廣探索（本題12 分）觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？32 4 5， 52 12 13， 7224 25，9240 41， 這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊涵其中呢？（1）填空： 132+；（ 2）請寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（ 3）結(jié)合勾股定理有關(guān)知識，說明你的結(jié)論的正確性參考答案：一、 1直角， a2 253 1084 175126 207 0.78 4，6二、 14 CBDA58 BBCA三、 1（ 1） x5 ；（2） x242240m 233cm4略5所以 AD 平分 BAC

7、 ，理由略6證明略四、（ 1） 84， 85（ 2）任意一個大于 1 的奇數(shù)的平方可以拆成兩個連續(xù)整數(shù)的和，并且這兩個連續(xù)整數(shù)與原來的奇數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)（ 3）略八年級下冊第十八勾股定理水平測試一、試試你的身手（每小題3 分，共 24 分）1一個三角形的三個內(nèi)角之比為1 2 3，則三角形是三角形；若這三個內(nèi)角所對的三邊分別為 a、 b、 c（設最長邊為c），則此三角形的三邊的關(guān)系是2已知等腰直角三角形的斜邊長為2，則直角邊長為，若直角邊長為 2，則斜邊長為3在 RtABC 中， C 90°，若 AB 41， AC 9，則 BC； 若 AC 1.5，BC 2，則 AB4已知兩條線段的長

8、分別為11cm 和 60cm，當?shù)谌龡l線段的長為cm 時，這 3 條線段能組成一個直角三角形5如圖 1，將一根長24 厘米的筷子， 置于底面直徑為6 厘米，高為8 厘米的圓柱形水杯中，則筷子露在杯子外面的長度至少為厘米6如圖 2， ACCE ， AD BE 13 ， BC 5， DE 7，那么 AC7等腰直角三角形有一邊長為8cm，則底邊上的高是，面積是8如圖 3，一個機器人從A 點出發(fā)，拐了幾個直角的彎后到達B點位置，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)， 點 A 和點 B 的直線距離是二、相信你的選擇（每小題3 分，共 24 分）1如圖 4，兩個較大正方形的面積分別為225，289，則字母 A 所代表的正方形的

9、面積為（）A 4B 8C 16D 642小麗和小芳二人同時從公園去圖書館，都是每分鐘走50 米，小麗走直線用了10 分鐘，小芳先去家拿錢再去圖書館，小芳到家用了6 分鐘，從家到圖書館用了8 分鐘，小芳從公園到圖書館拐了個（設公園到小芳家及小芳家到圖書館都是直線） （）A 銳角B 直角C鈍角D 不能確定3一直角三角形的一條直角邊長是7cm，另一條直角邊與斜邊長的和是49cm，則斜邊的長（）A 18cmB 20cmC 24cmD 25cm4如圖 5，四邊形 ABCD 是正方形， AE 垂直于 BE，且 AE=3 ， BE=4，則陰影部分的面積是（）A16B 18C 19D 215在直角三角形中，斜

10、邊與較小直角邊的和、差分別為18、 8，則較長直角邊的長為（）A20B16C12D86在 ABC 中，若 AB 15， AC 13，高 AD 12，則 ABC 的周長是（）A42B 32C42 或 32D37 或 337如圖 6，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB、CD 、EF 、GH 四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）ACD、EF、GHB AB、 EF、 GHC AB、 CD、 GHD AB、 CD、EF8如圖 7，在 ABC 中， C 90°，D 為 BC 邊的中點， DE AB 于 E，則 AE2-BE2 等于（）AAC2BBD 2C BC2D DE2三、挑戰(zhàn)你

11、的技能（共58 分）1（ 11 分）一個三角形三條邊的比為5 12 13，且周長為 60cm，求它的面積2（ 11 分）在數(shù)軸上作出表示29 的點3（ 12 分）如圖8，是一個四邊形的邊角料，東東通過測量，獲得了如下數(shù)據(jù)：AB 3cm，BC 12cm，CD 13cm，AD 4cm，東東由此認為這個四邊形中A 恰好是直角， 你認為東東的判斷正確嗎？如果你認為他正確，請說明其中的理由；如果你認為他不正確，那你認為需要什么條件，才可以判斷A 是直角？4（ 12 分）如圖9，一游泳池長48 米，小方和小朱進行游泳比賽，小方平均速度為秒，小朱為3.1 米 /秒但小朱一心想快，不看方向沿斜線游，而小方直游

12、，倆人到達終點的位置相距14 米按各人的平均速度計算，誰先到達終點?3 米/5（ 12 分）如圖10（1）所示為一上面無蓋的正方體紙盒，現(xiàn)將其剪開展成平面圖，如圖10（ 2）所示已知展開圖中每個正方形的邊長為1求在該展開圖中可畫出最長線段的長度？這樣的線段可畫幾條？四、拓廣探索（本題14 分）已知：在Rt ABC 中， C 90°， A、 B、 C 的對邊分別為a、 b、 c，設 ABC 的面積為 S，周長為l （1）填表：三邊 a、 b、 ca bc3、 4、525、 12、1348、 15、176S（2）如果 a b cm，觀察上表猜想：l（3）證明（ 2）中的結(jié)論Sl(用含有

13、m 的代數(shù)式表示)參考答案：一、 1直角， a2b2c221，23 40， 2.5461 或 3 479146124或42 4，16或 3281057二、 14 DBDC58 CCBA三、 1 120cm 22圖略3不正確，可添加DBBC 或 DB5cm4小方先到達終點5最長的線段長為10 這樣的線段可畫4 條四、解：（ 1）從上往下依次填1 ， 1， 3；（2） Sm ；22（ 3）證明略l4Ww w.x kb 點擊勾股定理之特色題本文將在各地課改實驗區(qū)的中考試題中，涉及勾股定理知識內(nèi)容的特色創(chuàng)新題采擷幾例，供讀者學習鑒賞一. 清新扮靚的規(guī)律探究題例 1（成都市）如圖，如果以正方形ABCD

14、的對角線AC 為邊作第二個正方形ACEF ，再以對角線AE 為邊作第三個正方形AEGH ，如此下去， ，已知正方形ABCD 的面積 S1 為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S2，S3 ， ， Sn （ n 為正整數(shù)），那么第 8 個正方形的面積 S8 _I【解析】：求解這類題目的常見策略是：“從特殊到一般 ”即是先通過觀察幾個特殊的數(shù)式中的變數(shù)與不變數(shù)，得出一般規(guī)律，然后再利用其一般規(guī)律求解所要解決的問題對于GEJ此題，由勾股定理、正方形的面積計算公式易求得：S12S222FDC1 1，( 2 )S3224S4(2 22)8HAB照此規(guī)律可知： S5 4216，新 課標第 一網(wǎng)觀察數(shù) 1

15、、2、4、8、16 易知： 1 20 ,221 ,4 22 ,8 23,16 24 ，于是可知 Sn 2n 1因此， S828 127128二 . 考查閱讀理解能力的材料分析題例 2（臨安）閱讀下列題目的解題過程：已知 a、b、c 為ABC 的三邊， 且滿足 a 2 c2b2 c 2a4b 4 ，試判斷ABC 的形狀解：a 2 c2b2c 2a 4b 4( A)c2 (a 2b 2)a(2b2a)(2b2)B ()c2a 2b2(C)ABC是直角三角形問：（ 1）上述解題過程， 從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號：（ 2）錯誤的原因為：（ 3）本題正確的結(jié)論為：.；【解析】：材料閱讀題是近

16、年中考的熱點命題，其類型多種多樣，本題屬于“判斷糾錯型 ”題目集中考查了因式分解、勾股定理等知識在由a 2 c2b 2c 2a 4b 4 得到等式c2 (a2b2 )( a2b2 )( a2b2 ) 沒有錯，錯在將這個等式兩邊同除了一個可能為零的式子a2b2 若a2b20，則有(ab)(ab)0 ，從而得ab ，這時，ABC 為等腰三角形因此：（ 1）選C（ 2） 沒有考慮 a2 b2 0(3) ABC是直角三角形或等腰三角形三 . 滲透新課程理念的圖形拼接題例 3（長春）如圖，在 RtABC 中， C = 90 °， AC = 4 ， BC = 3 在 Rt ABC 的外部拼接一個

17、合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形，如圖所示要求：在答題卡的兩個備用圖中分別畫出兩種與示例不同的拼接方法，并在圖中標明拼接的直角三角形的三邊長 （請同學們先用鉛筆畫現(xiàn)草圖，確定后再用0.5 毫米的黑色簽字筆畫出正確的圖形）示例圖備用圖【解析】：要在 Rt ABC 的外部拼接一個 合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形， 關(guān)鍵是腰與底邊的確定；要求在圖中標明拼接的直角三角形的三邊長，這需要用到勾股定理知識下面四種拼接方法可供參考四. 極具 “熱點 ”的動態(tài)探究題例 4（泉州） :如圖，一架長4 米的梯子AB 斜靠在與地面OM 垂直的墻壁ON 上，梯子與地面的傾斜角為 60

18、 求 AO 與 BO 的長；若梯子頂端A 沿 NO 下滑，同時底端B 沿 OM 向右滑行 . 如圖 2，設 A 點下滑到C 點，B 點向右滑行到D 點，并且AC:BD=2:3 ，試計算梯子頂端A 沿 NO 下滑多少米 ?X k b1.c o m【解析】：對于沒有學習解直角三角形知識的同學而言，求解此題有一定的難度但若是利用等邊三角形就可以推出的一個性質(zhì)： “在直角三角形中，如果一個銳角等于 30 ，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 ”，結(jié)合勾股定理求解，還是容易解答的 Rt AOB 中 , O= 90 , =60 , OAB= 30 ，又 4 米， OB1 AB2 米 .2由勾股定理得：OAA

19、B2OB2422212 2 3（米）.設 AC 2 x, BD3x, 在 Rt COD 中 ,OC232x, OD23x, CD4根據(jù)勾股定理 : OC 2OD 2CD 22242 232x2-3x 13 x2128 3x0 x0 13x128 30831216324 x13所以， AC=2x=13即梯子頂端 A 沿 NO 下滑了 16324 米.13勾股定理中的常見題型例析勾股定理是幾何計算中運用最多的一個知識點 考查的主要方式是將其綜合到幾何應用的解答題中，常見的題型有以下幾種：一、探究開放題例 1 如圖 1，設四邊形ABCD 是邊長為1 的正方形，以正方形ABCD 的對角線AC 為邊作第

20、二個正方形ACEF ，再以第二個正方形的對角線AE 為邊作第三個正方形AEGH ，如此下去 （1）記正方形 ABCD 的邊長為 a1 1，依上述方法所作的正方形的邊長依次為a2 ， a3 ， a4 ， ， an ，求出 a2 ， a3 ， a4 的值（ 2）根據(jù)以上規(guī)律寫出第n 個正方形的邊長an 的表達式分析：依次運用勾股定理求出a2，a3， a4，再觀察、歸納出一般規(guī)律解： (1) 四邊形 ABCD 為正方形， AB=BC=CD=AD=1由勾股定理，得ACAB2BC22 ，同理， AE=2， EH= 22 即 a2=2，3 ，42 2a =2a =(2) a11 (2) 0 ， a22 (

21、2)1 ， a32 (2) 2 ， a4 22 ( 2)3， a( 2) n 1n1, n是自然數(shù) n點撥： 探究開放題形式新穎、思考方向不確定，因此綜合性和邏輯性較強，它著力于考查觀察、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，對提高同學們的思維品質(zhì)和解決問題的能力具有十分重要的作用二、動手操作題例 2 如圖 2，圖（）是用硬紙板做成的兩個全等的直角三角形，兩條直角邊長分別為a 和 b，斜邊長為 c圖（） 是以 c 為直角邊的等腰直角三角形請你開動腦筋，將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形（）畫出拼成的這個圖形的示意圖，寫出它是什么圖形；（）用這個圖形證明勾股定理；（）假設圖（）中的直角三角形有苦干

22、個，你能運用圖（）所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖（無需證明）解：（ 1）所拼圖形圖 3 所示，它是一個直角梯形（ 2）由于這個梯形的兩底分別為a、b，腰為（ a+b），所以梯形的面積為1 (a b)( a b)1 (a b)2 又因22為這個梯形的面積等于三個直角三角形的面積和，所以梯形的面積又可表示為：1 ab1 ab1 c2222 1 (a b) 21 ab1 ab1 c2 a2b2c2 2222（ 3）所拼圖形如圖 4點撥：動手操作題內(nèi)容豐富，解法靈活， 有利于考查解題者的動手能力和創(chuàng)新設計的才能。本題通過巧妙構(gòu)圖，然后運用面積之間的關(guān)系來驗證勾股定

23、理。三、閱讀理解題例 3 已知 a，b，c 為 ABC 的三邊且滿足222244a c b c =a b，試判斷 ABC 的形狀小明同學是這樣解答的222244， c2a2b2a2b2a2b2解： a c b c =a b c2a2b2訂正： ABC 是直角三角形?橫線與問號是老師給他的批注，老師還寫了如下評語：“你的解題思路很清晰，但解題過程中出現(xiàn)了錯誤，相信你再思考一下，一定能寫出完整的解題過程”請你幫助小明訂正此題，好嗎？分析：這類閱讀題在展現(xiàn)問題全貌的同時，在關(guān)鍵處留下疑問點，讓同學們認真思考，以補充欠缺的部分， 這相當于提示了整體思路， 而讓學生在整體理解的基礎(chǔ)上給予具體的補缺因此，

24、本題可作如下訂正：解： a2c2b2c2 =a4b4， c2a2b2a2b2a2b2 a2b2c2a2b20 ， a2b20 或 c2a2b2 ab 或 c2a2b2 ABC 是等腰三角形或直角三角形點撥：閱讀理解題它與高考中興起的信息遷移題有異曲同工之巧 解決的關(guān)鍵是抓住疑問點，補全漏洞四、方案設計題例 4 給你一根長為 30cm 的木棒，現(xiàn)要你截成三段，做一個直角三角形，怎樣截取（允許有余料）？請你設計三種方案分析：構(gòu)造直角三角形，可根據(jù)勾股定理的逆定理來解決解：方案一：分別截取 3cm，4cm， 5cm；方案二：分別截取 6cm， 8cm， 10cm；方案三：分別截取 5cm， 12cm

25、， 13cm點撥：本題首先依據(jù)勾股定理的逆定理進行分析，設計出方案， 然后再通過測量、 截取、加工等活動方能完成既要思考，又要動手讓學生在這個過程中，體會做數(shù)學的快樂五、實際應用題例 5 如圖 5，三個正方形形狀的土地面積分別是74 英畝、 116 英畝、 370 英畝，三個正方形恰好圍著一個池塘現(xiàn)要將這560 英畝的土地拍賣，如果有人能計算出池塘的面積，則池塘不計入土地價錢白白奉送，英國數(shù)學家巴爾教授曾經(jīng)巧妙地解答了這個問題，你能解決嗎？分析：巴爾教授解決這個問題時首先發(fā)現(xiàn)三個正方形的面積74、 116、 370 相當于池塘的三條邊的平方，因而聯(lián)想到勾股定理，得74=52+72 ， 116=

26、42+102， 370=92+17 2于是作出圖 6，運用勾股定理的逆定理，問題就得以解決解： 74=52+72， AB 是兩直角邊分別為 5 和 7 的直角三角形的斜邊， 作出這個直角三角形，得 Rt ABE同理，作 Rt BCF，其中 BF=4，F(xiàn)C=10延長 AE、CF 交于 D，則 AD =9， CD =17，而 AC2=370=9 2+17 2=AD2+CD 2， ACD 是直角三角形， ADC=90°SABC SADC SAEB SBCF SEDFB=1 17 917 511044711222點撥：本題的關(guān)鍵是運用勾股定理和它的逆定理構(gòu)造新圖形，用構(gòu)造法解題的思想，有助于

27、提高運用數(shù)學知識解決實際問題的能力勾股定理中的易錯題辨析一、審題不仔細，受定勢思維影響例1在 ABC中，A,B,C 的對邊分別為a, b, c，且( ab)( ab)c2 ，則（）（A）A 為直角（B）C 為直角（C）B 為直角（D）不是直角三角形錯解：選（B）分析：因為常見的直角三角形表示時，一般將直角標注為C ，因而有同學就習慣性的認為C 就一定表示直角，加之對本題所給條件的分析不縝密，導致錯誤 .該題中的條件應轉(zhuǎn)化為a2b2c2 ，即 a2b2c2，因根據(jù)這一公式進行判斷 .正解：a2b2c2 ，a2b2c2 .故選（ A）例2已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊長.錯解：第三邊

28、長為3242255 .分析：因?qū)W生習慣了“勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為3 和 4時，斜邊長為 5.但這一理解的前提是 3、4 為直角邊 .而本題中并未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊 .正解：（1）當兩直角邊為3 和 4 時，第三邊長為3242255；（2）當斜邊為 4，一直角邊為 3 時，第三邊長為42327 .二、概念不明確，混淆勾股定理及其逆定理例 3下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)， 可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是 （）（A）1、2、3（B）32,42 ,52（C） 1, 2, 3（D） 3, 4, 5錯解：選（B）分析： 未能徹底區(qū)分勾股定理及其及逆定理，

29、對概念的理解流于表面形式.判斷直角三角形時，應將所給數(shù)據(jù)進行平方看是否滿足a2b2c2 的形式 .222正解：因為123 ，故選（ C）例 4 在 B 港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60方向以每小時 8 海里的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時15 海里的速度前進， 2 小時后，甲船到 M 島，乙船到 P 島，兩島相距 34 海里，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？錯解：甲船航行的距離為 BM= 82 16（海里），乙船航行的距離為 BP=15 230（海里） . 16230234 （海里）且MP=34（海里） MBP 為直角三角形， MBP 90 ，乙船是沿著南偏東 30 方向航行的

30、.分析：雖然最終判斷的結(jié)果也是對的， 但這解題過程中存在問題 .勾股定理的使用前提是直角三角形， 而本題需對三角形做出判斷， 判斷的依據(jù)是勾定理的逆定理 .其形式為“若a2b22，則C90錯解的原因在于未能充分理解勾股c.定理及其逆定理的概念，導致錯誤運用 .正解：甲船航行的距離為 BM=8216（海里），乙船航行的距離為 BP=15230（海里） . 1623021156,34 21156， BM 2BP2MP2， MBP 為直角三角形，MBP90 ，乙船是沿著南偏東30 方向航行的 .靈活應用勾股定理勾股定理在幾何計算或驗證中，均有十分廣泛的應用，請看以下幾例一計算問題例 1一個零件如圖所

31、示，已知AC=3厘米AB=4米，求 CD 的長解：在 RtABC 中根據(jù)勾股定理知：22222BC AC +AB =3 +4 =25厘米BD=12厘在 RtCBD中根據(jù)勾股定理知：CD2 BC2+BD 2=25+12 2=169CD 0 CD=13 厘米例 2如圖 在四邊形 ABCD 中，已知四條邊的比 AB:BC:CD:DA 2：2： 3： 1，且 B 90°，則 DAB 的度數(shù)分析：這道題涉及到角度的求解， 需要利用到勾股定理的逆定理 （如果三角形的三邊長 a,b,c 滿足 a2+b2 c2，那么這個三角形是直角三角形）解：設 DA=m （ m 0）則 AB 2mBC=2m CD = 3m在 Rt ABC 中，由 AB BC=2m知 BAC 45°，又由勾股定理得222222ACAB +BC =（2m） +（ 2m） =8mAC 2+AD 2=（ 8m） 2+ m2=9m 2CD 2=（3m） 2=9m2 AC2+AD2