蘇州市2018屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題.

1、蘇州市 2018 屆高三第一學(xué)期期中調(diào)研試卷數(shù) 學(xué)一、填空題 ( 本大題共 14 小題，每小題5 分，共 70 分，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答卷紙相應(yīng)的位置)1已知集合 U1,2,3,4,5,A1,3, B2,3 ，則 AI(eU B)2函數(shù) y1的定義域?yàn)閘n( x 1)3設(shè)命題 p : x4；命題 q: x 25x 4 0 ，那么 p 是 q 的條件（選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）4已知冪函數(shù)yx2 m m2( mN*) 在 (0,) 是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是5已知曲線(xiàn) f (x)ax3ln x 在 (1, f (1)處的切線(xiàn)的斜率為2，則實(shí)數(shù) a 的值是6

2、已知等比數(shù)列 an 中， a32 ， a4 a6a7a916 ，則a5a37函數(shù) y sin(2x)(02) 圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是x，則的值是128已知奇函數(shù)f ( x) 在 (,0)上單調(diào)遞減，且f (2)0，則不等式f ( x)0 的解集為x 19已知 tan()2 ，則 cos2的值是410若函數(shù) f ( x)x8, x 2( a0且a1) 的值域?yàn)?6,) ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是log ax5, x211已知數(shù)列 an , bn 滿(mǎn)足 a11 ,a n bn1,bn 11( n N*) ，則 b1b2 Lb20172an112設(shè) ABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別是a,b,c

3、， D 為 AB 的中點(diǎn)，若 ba cosCcsin A 且 CD2 ，則 ABC 面積的最大值是13 已知函數(shù)f ( x) sin( x) ，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)5, ，都存在唯一的實(shí)數(shù)0, m ，使662f ( ) f ()0，則實(shí)數(shù) m 的最小值是 14已知函數(shù) f ( x)ln x, x0，若直線(xiàn) yax 與 yf ( x) 交于三個(gè)不同的點(diǎn)A(m, f (m), B(n, f ( n),2 x 1,x 0C(t , f ( t) （其中 mnt ），則 n12的取值范圍是m二、解答題 ( 本大題共 6 個(gè)小題，共 90 分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 )

4、15 ( 本題滿(mǎn)分 14 分)已知函數(shù)2sin(2ax)1f (x)b( a 0, b 0) 的圖象與 x 軸相切，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之242間的距離為2（ 1）求 a,b 的值；（ 2）求 f ( x) 在 0, 上的最大值和最小值416 ( 本題滿(mǎn)分 14分)在 ABC 中，角 A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b, c，已知 sin Bsin Cm sin A( mR ) ，且 a24bc 0 （ 1）當(dāng) a2, m5時(shí)，求 b, c 的值；4（ 2）若角A為銳角，求的取值范圍m17 ( 本題滿(mǎn)分 15分)已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和是 Sn ，且滿(mǎn)足 a11 ， Sn 13Sn1

5、(nN*)（1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)列 bn 中， b13 ， bn 1 bnan1 ( nN* ) ，若不等式an bn n2 對(duì) n N* 有解，求實(shí)數(shù)an的取值范圍18 ( 本題滿(mǎn)分 15分)如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施該設(shè)施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB 為 2 米，梯形的高為1米，CD為 3 米，上部CmD是個(gè)半圓， 固定點(diǎn)E為的中點(diǎn)是由電腦控制可以上下滑動(dòng)的伸縮橫桿（橫CDMN桿面積可忽略不計(jì)），且滑動(dòng)過(guò)程中始終保持和CD平行當(dāng) MN位于 CD下方和上方時(shí)，通風(fēng)窗的形狀均為矩形 MNGH（陰影部分均不通風(fēng)）（ 1）設(shè) MN與 AB之間的距離為 x (0 x5且 x1)

6、 米，試將通風(fēng)窗的通風(fēng)面積S（平方米）表示成2關(guān)于 x 的函數(shù) yS( x) ；（ 2）當(dāng)與AB之間的距離為多少米時(shí)，通風(fēng)窗的通風(fēng)面積S取得最大值？MN19 ( 本題滿(mǎn)分 16 分)已知函數(shù)f (x)ln x, g( x)x2xm （ 1）求過(guò)點(diǎn) P(0, 1) 的 f (x) 的切線(xiàn)方程；（ 2）當(dāng) m 0時(shí)，求函數(shù) F ( x)f ( x)g( x) 在 (0, a 的最大值；（ 3）證明：當(dāng) m - 3 時(shí)，不等式f ( x)g( x) x 2( x 2)ex 對(duì)任意 x 1,1 均成立（其中 e 為自然2對(duì)數(shù)的底數(shù) , e2.718. ）20 ( 本題滿(mǎn)分16 分)已知數(shù)列 an 各項(xiàng)

7、均為正數(shù)，a11,a22，且an an 3an 1an 2 對(duì)任意 nN*恒成立，記 an 的前n項(xiàng)和為Sn （1）若 a3 3 ，求 a5 的值；（2）證明：對(duì)任意正實(shí)數(shù)p， a2 npa2 n 1 成等比數(shù)列；（3）是否存在正實(shí)數(shù) t ，使得數(shù)列 Sn t 為等比數(shù)列若存在，求出此時(shí)an 和 Sn 的表達(dá)式；若不存在，說(shuō)明理由2017 2018 學(xué)年第一學(xué)期高三期中調(diào)研試卷數(shù)學(xué) ( 附加題部分 )21【選做題】本題包括A、 B、 C、D 四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟A ( 幾何證明選講) （本小題滿(mǎn)分1

8、0 分）如圖， AB為圓 O的直徑， C在圓 O上， CFAB 于 F，點(diǎn) D為線(xiàn)段 CF上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)AD交圓 O于E， AEC300 CE（ 1）求證： AFFO ；（ 2）若 CF3，求 ADAE的值DAFOBB ( 矩陣與變換 ) （本小題滿(mǎn)分10 分）12ur 4，求 A49ur已知矩陣 A1，的值22C ( 極坐標(biāo)與參數(shù)方程) （本小題滿(mǎn)分10 分）x4 t 2在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l 的參數(shù)方程為5( t 為參數(shù) ) ，以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為2 ty5極軸建立極坐標(biāo)系，圓C 的極坐標(biāo)方程為2a cos()(a 0) 4（ 1）求直線(xiàn) l 和圓 C 的直角坐標(biāo)方程

9、；（ 2）若圓 C任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)到直線(xiàn)l 的距離之和為5 ，求 a 的值D ( 不等式選講 ) （本小題滿(mǎn)分10 分）設(shè) x, y 均為正數(shù)，且 xy ，求證： 2x1 2 y 3 22xyy2x【必做題】第22、 23 題，每小題10 分，共計(jì)20 分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22 ( 本小題滿(mǎn)分10 分 )在小明的婚禮上，為了活躍氣氛，主持人邀請(qǐng)10 位客人做一個(gè)游戲第一輪游戲中，主持人將標(biāo)有數(shù)字 1,2,10 的十張相同的卡片放入一個(gè)不透明箱子中，讓客人依次去摸，摸到數(shù)字6,7,10 的客人留下，其余的淘汰，第二輪放入1,2,5 五張卡片，

10、讓留下的客人依次去摸，摸到數(shù)字3,4,5的客人留下，第三輪放入1,2,3三張卡片，讓留下的客人依次去摸，摸到數(shù)字2,3 的客人留下，同樣第四輪淘汰一位，最后留下的客人獲得小明準(zhǔn)備的禮物已知客人甲參加了該游戲（ 1）求甲拿到禮物的概率；（ 2）設(shè) 表示甲參加游戲的輪數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望 E( ) 23 ( 本小題滿(mǎn)分10 分)（ 1）若不等式 ( x 1)ln( x1) ax 對(duì)任意 x 0,) 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；（ 2）設(shè) nN* ，試比較11L1與 ln(n1) 的大小，并證明你的結(jié)論23n120172018 學(xué)年第一學(xué)期高三期中調(diào)研試卷數(shù)學(xué)參考答案一、填空題 (本大題共

11、14 小題，每小題5 分，共70 分)1 12 (1,2) U (2,)3充分不必要4 15 136 478 ( 2,0) U (1,2)410 (1,293511112 211314 (1,e1)20182e二、解答題 (本大題共6 個(gè)小題，共90 分)15 (本題滿(mǎn)分14 分)解：（ 1） f ( x) 圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為2，f ( x)的周期為，2且a0222 | a |2， ················

12、3;················ 分 a2 ，································

13、83;··························4 分此時(shí) f ( x)2sin(4 x)1b ，224又f ( x)的圖象與 x 軸相切， 12| b|且b0622，·············

14、83;··········· 分 b21 ；·····································&

15、#183;··················8 分22（ 2）由（ 1）可得 f ( x)2 sin(4 x4)2，22 x0, ， 4x, ，4444當(dāng)4x44，即 x4時(shí)， f ( x) 有最大值為2 1 ；·················&

16、#183;·······11 分2當(dāng) 4x4，即 x時(shí)， f ( x) 有最小值為0······························14 分21616 (本題滿(mǎn)分14 分)解：由題意得 b cma ， a24bc0&#

17、183;··········································2 分（ 1）當(dāng) a2, m5c5,bc1 ，時(shí)， b24b2b1解得c1 或2 ； &

18、#183;················································6 分2c2b

19、2 c2a2(bc) 22bca 2(ma)2a2a2（ 2） cos A22m23 ， ················8 分2bc2bca22 A 為銳角， cos A2m23(0,1) ，3m22 ， ···················&#

20、183;·······11分2又由 b cma 可得 m0 ，·······································

21、·········13分6 m2 ·······································

22、3;··············14 分217 (本題滿(mǎn)分15 分 )解：（ 1） Sn 13Sn1(nN* ) ， Sn3Sn11(n N* ,n 2) ， an 13an (nN* , n 2)，·····················

23、3;························2 分又當(dāng) n1 時(shí)，由 S23S11得 a23符合 a23a1 ， an 13an (n N* ) ，·················

24、·3 分?jǐn)?shù)列 an 是以 1 為首項(xiàng)， 3 為公比的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為an 3n 1 (n N* ) ； ·············5 分（ 2） bn 1bnan13(nN* ) ， bn 是以 3 為首項(xiàng)， 3 為公差的等差數(shù)列， ···········7 分an bn 33(n1)3n(nN* ) ，···&#

25、183;·········································9 分2n 12n2 3n對(duì)*anbn n ，即 33n n，即nN 有解， ··

26、;··················10 分3n 1設(shè) f ( n)n23n*) ，3n1 (nN f ( n1)f ( n)(n 1)23(n1)n23n2(n24n1)，3n3n13n當(dāng) n 4時(shí)， f (n1)f (n) ，當(dāng) n4 時(shí)， f (n 1)f (n) ， f (1)f (2)f (3)f (4)f (5)f (6)L， f ( n)maxf (4)4，···

27、3;···············································14 分27 4·&#

28、183;·················································&#

29、183;···15 分2718 (本題滿(mǎn)分15 分)解：（ 1）當(dāng) 0 x1時(shí)，過(guò) A作 AKCD 于 K （如上圖），則 AK1， DKCDAB11x ，2， HM2由 AKMH2，得 DHHM12x ，DKDH2 HG32DH2x， S( x)HMHG(1x)(2x)x2x2 ；························

30、;···········4 分當(dāng) 1 x5時(shí)，過(guò) E作ETMN 于 T ，連結(jié) EN （如下圖），22則 ETx 1， TNMN3( x 1)29( x 1)2 ，224 MN29( x1)2，4 S( x)MNET29( x1)2( x 1) ， ····················

31、···············8 分4x2x2 , 0 x1綜上： S( x)2( x 1)9( x 1)2 , 1 x5；···························&

32、#183;······9 分42（ 2）當(dāng) 0 x1 時(shí)， S(x)x 2x2( x1 )29 在0,1)上遞減，24 S( x) maxS(0)2 ；································&#

33、183;·················11 分59( x1)29( x1)22 當(dāng) 1x時(shí)，S( x)2( x1)( x2 249241)2，4當(dāng)且僅當(dāng) (x1)9( x1)2 ，即x321(1,5) 時(shí)取 “ ”，442 S( x) max9 ，此時(shí) S( x) max92 ， S( x) 的最大值為9 ，·········

34、3;················14 分444答：當(dāng) MN 與 AB 之間的距離為 321 米時(shí)，通風(fēng)窗的通風(fēng)面積S154取得最大值 ············ 分19 (本題滿(mǎn)分16 分 )解：（ 1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為( x0 ,ln x0 ) ，則切線(xiàn)方程為 y ln x01 ( x x0 ) ，x0將 P(0,1)

35、 代入上式，得ln x00 ， x01 ，切線(xiàn)方程為yx1；·············································

36、·····2 分（ 2）當(dāng) m0 時(shí)， F ( x) ln xx2x, x (0,) ， F ( x)(2 x 1)(x1)(0,) ，··································

37、83;······3 分x, x當(dāng) 0 x1時(shí)， F ( x)0，當(dāng) x1 時(shí)， F ( x)0 ， F ( x) 在(0,1) 遞增，在 (1,) 遞減， ································

38、;··········5 分當(dāng) 0a 1時(shí)， F ( x) 的最大值為 F (a) ln aa2a ；當(dāng) a1 時(shí)， F ( x) 的最大值為 F (1) 0 ；····························&

39、#183;···7 分（ 3） f ( x)g ( x)x2( x 2)ex 可化為 m ( x 2)exln x x ，設(shè) h(x)(x2)exln xx, x 1 ,1，要證 m - 3時(shí) m h( x) 對(duì)任意 x 1,1 均成立，22只要證 h( x) max3 ，下證此結(jié)論成立 h ( x)(x1)(ex 1) ，當(dāng)1x1時(shí)， x 10 ，··················&

40、#183;············8 分x2設(shè) u(x)x1x11,1) 遞增，e，則 u ( x)ex20， u( x) 在 (x2又 u( x) 在區(qū)間 1 ,1 上的圖象是一條不間斷的曲線(xiàn)，且u( 1)e 2 0 ， u(1) e 1 0 ，22x0(1,1) 使得 u( x0 )0 ，即 ex01， ln x0x0，·············

41、;·············11 分2x0當(dāng)x(1, x0 ) 時(shí)， u( x)0， h ( x)0；當(dāng) x ( x0 ,1) 時(shí)， u(x)0 ， h (x) 0 ；21函數(shù) h( x) 在 , x0 遞增，在 x0 ,1 遞減， h(x)maxh( x0 )( x02)ex0ln x0x0( x02)12x0122 x0 ，···········

42、3;····14 分x0x0 y122x 在 x(1,1) 遞增， h( x0 )122x01223，即 h( x)max3 ，x2x0當(dāng) m - 3 時(shí)，不等式f ( x)g ( x)x2( x2)ex1對(duì)任意x,1162均成立 ··············· 分20 (本題滿(mǎn)分16 分)解：（ 1）a aa aa6 ，又aaa a3，a52 a49； ····&#

43、183;················142 34253 42分（ 2）由an an 3an 1 an 2，兩式相乘得 an an1a n3a n 4an1an23 ，an 1an 42anan 2an 3 an0 ， an an 42*an 2 ( nN ) ，從而an 的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成等比數(shù)列，4···········

44、;··························· 分設(shè)公比分別為q1,q2，則 aaqn 12qn 1， aa qn 1qn 1，················

45、·· 分2n22n 1221 115又an 3an 1，a4a222q2，即 q1q2 ，······························6 分an 2=ana3a1q1設(shè) q1q2q ，則 a2npa2 n 1q( a2n2pa2n3 ) ，且 a2 npa2 n1

46、0 恒成立，數(shù)列 a2npa2 n1 是首項(xiàng)為 2p ，公比為 q的等比數(shù)列，問(wèn)題得證；··················8 分（ 3）法一：在（2）中令 p1，則數(shù)列 a2na2n 1 是首項(xiàng)為3 ，公比為 q 的等比數(shù)列，3k,q1 S( aa) (aa)(aa )k，2 k12 k 22 k323(1q )2k2 k1,q11q3k2qk 1,q1S2 k 1S2 ka2 k3(1q k )2qk 1, q，

47、····································10 分1q1且 S11,S23, S33q, S433q ，( S2t)數(shù)列 Sn t 為等比數(shù)列，t)( S32( S1t)(S3t ),2( S2t)( S4t

48、),即(3t) 2(1t )(3qt),，即2t6q(1 t),tq3,(3 q t) 2(3t )(33q t),解得t1（ t3舍去）， ······································&

49、#183;········13q4分 S2k 4k1 22k1， S2k122 k 1 1，從而對(duì)任意n N* 有 Sn2n1，此時(shí) Sn t2n ， Snt2為常數(shù)，滿(mǎn)足 Snt 成等比數(shù)列，Sn 1t當(dāng) n 2 時(shí)， anSnSn12n2 n 1 2 n 1 ，又 a11 ， an2 n 1 (nN*) ，綜上， 存在 t 1使數(shù)列 Snt 為等比數(shù)列， 此時(shí) an2 n 1 ,Sn2n1(nN* ) ·········&

50、#183;··16 分法二：由（2）知，則a2n2qn1 ， a2 n 1 q n 1，且 S1 1, S23,S33q, S4 3 3q ，( S2t)數(shù)列 Snt 為等比數(shù)列，( S3t)2( S1t)(S3t ),2( S2t)( S4t ),(3t) 2(1t )(3qt),2t6q(1 t),即qt) 2(3t )(33q t),，即q3,(3t解得t1（ t3 舍去）， ················&

51、#183;·························11q4分n 12 n 12 n 2*n 1a2 n2q2， a2n 12，從而對(duì)任意nN有 a2，················

52、;·····分n13 Sn2021222n 11 2n2n1，12此時(shí)nt2nSnt2為常數(shù)，滿(mǎn)足Snt，SSn 1t 成等比數(shù)列，綜上， 存在 t1使數(shù)列 Snt 為等比數(shù)列， 此時(shí) an2 n 1 ,Sn2n1(nN* ) ············16 分21【選做題】 本題包括 A、 B、 C、D 四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟A (幾

53、何證明選講，本小題滿(mǎn)分10 分)解：（ 1）證明 ：連接 OC , AC ，AEC300 ，AOC 2AEC600 ，CE又 OAOC ，AOC 為等邊三角形，D CFAB，CF 為AOC 中 AO 邊上的中線(xiàn)，AFOB AFFO ；······························

54、83;······5 分（ 2）解：連接 BE， CF3 ，AOC 是等邊三角形，可求得 AF1， AB4 ， AB 為圓 O 的直徑，AEB90o ，AEBAFD ，又BAEDFA ，AEB AFD ， ADAF ，ABAE即 ADAEAB AF4 14 ·······················

55、83;······················10 分B (矩陣與變換，本小題滿(mǎn)分10 分)解：矩陣 A 的特征多項(xiàng)式為f ()12223 ，21令 f ()0 ，解得矩陣A 的特征值11,23，·······························2 分當(dāng) 11 時(shí)特征向量為uur1，當(dāng)2 3 時(shí)特征向量為uur1，············