1.2曲線的弧長和曲率ppt課件

1、2.曲線的弧長和曲率LS求曲線 的弧長 .L: ( )( ), ( ), ( ) , , r tx ty t z tt 分劃 :01,nttt ( ),0,1,2, .iiMr tin記 1.弧長1: iiMM求弧長11( )()( ), iiiiiiix tx txttt0MnM1M2MiM11( )()(), iiiiiiiy ty tyttt11( )()(), iiiiiiiz tz tzttt1,( )( ), ()( ),iiiiiittyyzz當(dāng)很小時(shí)11( )()iiiiM Mr tr t222( )( )( )iiiixyzt求和、求極限222( )( )( )sx ty t

2、z tdt弧長( )r t dt222( )( )( )( )dsx ty tz tr tdtRemark:物理解釋:路程對時(shí)間的變化率等于速率. 2.Frenet坐標(biāo)架00L:( ),( )rr t Mr t曲線00TT( )( ) .r tr t單位切向量 : 0: M切平面包含過的切線的平面000: ( ),( )Mr tr t密切平面過和方向LL平面曲線 的密切平面就是 所在 的平面 0( )r t0()r tt000( )()( )r tr ttr t 000( )( )limtr tr tt 00: ,( )Mr t法平面過垂直于的平面00: ,( )Mr t法線過垂直于的直線:

3、主法線位于密切平面中的法線0N,( )r t主法向量 : 位于密切平面中垂直于T( )( ) .r tr t2( )( )( )( )T ( )( )r t r tr tr ttr t2( )( )( )( )( )r tr tr tr tr tT ( ) t于是位于密切平面中.另一方面故000N( )T ( ) T ( ) .tttT( )1,T ( ) T( )0,T ( )( ).ttttr t即B: BT N副法向量Frenet( ) T( ) N( ) B( )r tttt坐標(biāo)架: , ( )(,sin ,cos )T N, .:,Btttr te et et在任一點(diǎn)的例 求 ( )

4、(1,sincos ,cossin ),:tr tetttt解( )3tr teT( )( )( )(1,sincos ,cossin )3tr tr tttttT( )(0,cossin , cossin )3,tttttT ( )23tN( )T ( ) T ( )(0,cossin , cossin )2ttttttt1BTNdet 1sincoscossin60cossincossinijktttttttt( 2,sincos ,cossin )6.tttt ( ),rr ss曲線L:以弧長 作為參數(shù)(稱為自然參數(shù))則( )( )( )drdr dsr tr s r tdtds dt

5、T( )( )( )r tr tr s T( )r sNT T( )( )r sr s( )( ),Rema,rk: rr srr trrst這里對和不加區(qū)別等式右邊的 不代表函數(shù)表達(dá)式只表示 是 和的向量值函數(shù).Remark:,TNrsr對弧長 的導(dǎo)數(shù)用 表示同樣理解 和 . 曲率是度量曲線的彎曲程度的一個(gè)量 3.曲率,.直觀上 半徑越小的圓周彎曲得越厲害曲率就越大,.直線不彎曲曲率應(yīng)該為零000( )()r sMr sssM M和點(diǎn)處的單位切向量(為00LDe,Tf(T.)Lrr sM設(shè)曲線 :.用分別表示 在點(diǎn) 0),TT.的弧長 記 與 之間的夾角為0limss ,存在0L,M則稱該極

6、限為曲線 在點(diǎn)處的(絕對)曲率( ).s記為0( )1/ ( )LssM稱為 在點(diǎn)的曲率半徑.若極限0T( )s0T()ssT ( ), ( )T( )( ) .hm.rr sssr s曲線其曲率為Oxy1T( ) sT()ss T(Pro)of:1,s因有T()T( )2sin2 ,sss,于是0( )limsss 02arcsin T()T( ) 2limsssss 0T()T( )limsssss T( )( ) . sr s ( )( ).T( ),T( )TRemar.T( ),T.T( ).k: r tr tsssss反映了向量值函數(shù)在長度和方向上的變化由于是一個(gè)單位向量長度不變所

7、以只反映 在方向上的變化因此,越大 的角度相對于 的變化就越大因此能反映曲線的彎曲程度( )rr t下面推導(dǎo)曲線的曲率計(jì)算公式:TT( )T( )ddtsr tdtds( )T( )r tr tt等式兩邊對 求導(dǎo)得( )T ( )( )T( ),r tt r tr t,T/( ),rr t兩邊叉乘注意到有T( ) ,rrrr tT1,TT,T,r因即上式兩邊取模得2T ,rrr2T.rrr于是3TT( ).( )rrsr tr 直線上任意一點(diǎn)的曲例:率為零.求圓周上任意例:一點(diǎn)的曲率.( cos , sin ),rat at設(shè)圓周解:方程為則( )(sin , cos )r tat at ( )(cos ,sin )r tatat 2detsincos0(0,0,)cossin0ijkrratataatat2331.rraaar( ). rr t質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移為證明其加速度總是位于運(yùn)動(dòng)軌跡的密例:切平面內(nèi).( )( )T,dsdsr tr sdtdt解 :22( )( )TTdsd sa tr tdtdt222TTTTdsd sdtdt222TTdsd sdtdt222NT.dsd sdtd