在科學(xué)技術(shù)發(fā)展到跨進(jìn)21世紀(jì)的今天

1、前言在科學(xué)技術(shù)發(fā)展到跨進(jìn)21 世紀(jì)的今天，應(yīng)該交給大學(xué)生什么樣的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)科學(xué)的哲學(xué)和方法論、數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維方式如何，以及把數(shù)學(xué)作為技術(shù)開發(fā)的工具是怎么樣的等等，這一系列問題已經(jīng)尖銳地擺在工科數(shù)學(xué)教育工作者面前。目前，大家已經(jīng)形成的共識是，授數(shù)學(xué)知識不能僅僅局限于伴隨牛頓力學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展起來并于一百來年已經(jīng)形成的經(jīng)典理論，而是不僅教給學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，還要教給學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的技能，特別是數(shù)學(xué)建模和計算機(jī)模擬的本領(lǐng)；數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維方式在提倡抽象思維的同時更強(qiáng)調(diào)形象思維或直感思維，使用幾何方法， 形象化的描述及計算機(jī)圖示，因為圖形對想象力和創(chuàng)造力是強(qiáng)有力的刺激因素；數(shù)學(xué)應(yīng)用要把計算機(jī)及其技術(shù)作為不可缺

2、少的工具和手段，使大學(xué)生學(xué)習(xí)計算機(jī)同數(shù)學(xué)講科學(xué)的學(xué)習(xí)與研究緊密結(jié)合，不但會用計算機(jī)，而且能理解計算機(jī)給出的答案。這些共識就是數(shù)學(xué)教育改革所追求的方向和目標(biāo)。緒論：如何認(rèn)識數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是人類最古老同時又是最富生命力的知識領(lǐng)域之一。在近幾百年，幾乎每個世紀(jì)，數(shù)學(xué)都出人意料地獲得驚人的發(fā)展而創(chuàng)造出新的黃金時代。然而，時至今日仍有不少人對學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的目的和意義產(chǎn)生種種疑惑，特別是剛進(jìn)入高等學(xué)校的接受工程技術(shù)教育的學(xué)生們總是對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生一系列的疑問，問的最多的是 “學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對以后所從事的技術(shù)工作有什么用？” 。甚至有人認(rèn)為隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，大量的計算問題可以由計算機(jī)軟件處理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識已不那么重

3、要了。應(yīng)該說這是我們數(shù)學(xué)教育現(xiàn)在必須回答的一個帶有根本性的問題。 當(dāng)然，大多數(shù)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)既不想當(dāng)數(shù)學(xué)家，也不想從事數(shù)學(xué)教育工作，只是為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)知識和技術(shù)而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而我們面向工程技術(shù)教育的學(xué)生講授數(shù)學(xué)的方式以及學(xué)生的學(xué)習(xí)方法確實有很多地方值得認(rèn)真反思。一方面，過分的注重 “純數(shù)學(xué)” 的嚴(yán)密體系、嚴(yán)格的證明和復(fù)雜計算，而不注重它的應(yīng)用性和工具性（科學(xué)語言）；另一方面，只滿足于會作題、應(yīng)付考試的“應(yīng)試學(xué)習(xí)”方式，致使學(xué)生們無法對數(shù)學(xué)知識、思想、方法及其應(yīng)用價值有明晰的認(rèn)識。 為此， 我們提出新的嘗試，既傳授基本的數(shù)學(xué)知識，又訓(xùn)練應(yīng)用技能。本章的目的是想讓學(xué)生對數(shù)學(xué)有一個基本的概括性認(rèn)識。一

4、、數(shù)學(xué)無處不在數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形及其關(guān)系的一門科學(xué)。 它以研究現(xiàn)時世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要任務(wù)。通俗地講，數(shù)學(xué)是以數(shù)字、符號、形狀和模式來代替文字的一套特殊語言系統(tǒng)?；蛘哒f，數(shù)學(xué)是一種能夠描述各種客觀規(guī)律的語言，是任何學(xué)科都要用到的、無比有用、無所不能、神通廣大、 全球共通的一種特殊語言。正像已故的著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授所說，宇宙之大， 粒子之微， 火箭之速， 華工之巧， 地球之變， 生物之謎， 日用之繁， 數(shù)學(xué)無處不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用數(shù)學(xué)，研究量（或形）的關(guān)系、量（或形）的變化、量（或形）的變化關(guān)系、量（或形）的關(guān)系的變化等問題都離不開數(shù)學(xué)作為語言工具。我們現(xiàn)在無法

5、真正理解為什么毫無智能的動物、 植物，甚至低等生物， 都會進(jìn)行奇特的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。如某些細(xì)菌的繁殖會滿足一些奇妙的數(shù)學(xué)規(guī)律， 植物的花瓣形成精美的幾何圖形，某些貝殼和松果具有螺旋形生長模式等等。 自然界充滿著數(shù)學(xué)概念的實例。 這就是數(shù)學(xué)之所以成為描述、解釋自然現(xiàn)象的語言的原因。例如，圓形蜘蛛網(wǎng)是一個簡單漂亮的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，要分析這個美麗結(jié)構(gòu)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析時，出現(xiàn)在蜘蛛網(wǎng)中的數(shù)學(xué)概念是驚人的：半徑、弦、平行線段、三角形、全等對應(yīng)角、對數(shù)螺線、懸鏈線和無理數(shù) e 。我們知道蜜蜂營造的蜂房也是奇妙的數(shù)學(xué)圖形。十八世紀(jì)初， 法國學(xué)者馬拉爾奇測量了蜂房，發(fā)現(xiàn)正面看去它是鑲嵌得如此天衣無縫的正六角形，蜂王的底

6、都是由三個全等的菱形組成的，菱形的鈍角都是10928' ，銳角都是等于7032' （圖 0-1 ），這不僅是蜂房圖 0-1的空間結(jié)構(gòu)呈如此精美的幾何形狀，而且據(jù)巴黎科學(xué)院院士、瑞士數(shù)學(xué)家克尼格與蘇格蘭數(shù)學(xué)家馬克勞林的理論計算，這種結(jié)構(gòu)消耗最少的材料和最少的“工時”，這里竟然符合最優(yōu)化的數(shù)學(xué)原理， 真是不可思議！蜜蜂沒有學(xué)過鑲嵌理論、求解最大值和最小值方法、解線性代數(shù)問題和求含約束條件的最優(yōu)解的藝術(shù)，而它卻實實在在進(jìn)行了奇妙的符合數(shù)學(xué)原理的工程技術(shù)創(chuàng)造，這不正是把自然界與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來的例證嗎？在礦物結(jié)構(gòu)中， 同樣可以找到許多更為奇妙的空間圖形，如食鹽礦的晶體呈正方體形狀，明礬的晶

7、體呈正八面體形狀，而礦物質(zhì)中其它更多的晶體呈更為復(fù)雜的幾何形狀，如十字架石晶體呈正交或斜交十字架雙晶形； 電氣石晶體色澤美麗可作為寶石， 呈拄狀晶形， 拄面有明顯的縱條紋， 橫斷面呈弧線三角形； 如石榴石的晶體結(jié)構(gòu)呈菱形十二面體或四角三八面體的復(fù)雜美妙的幾何形狀，透明色澤的也可作為寶石等（圖0-2 ）。圖 0-2再從宏觀來看， 我們所生活的地球與它的衛(wèi)星月亮之間有著緊密的聯(lián)系，月亮是沿著橢圓形軌道繞地球旋轉(zhuǎn)的。 軌道的遠(yuǎn)日點距離為 406700 公里（最大），近日點距離為 356400 公里（最小），億萬年來，都是如此周而復(fù)始地按此規(guī)律運(yùn)行。我們所處的宇宙里，天體之間運(yùn)行規(guī)律無一不是精確的數(shù)學(xué)

8、關(guān)系式。 偉大的天文學(xué)家開普勒在 諧和宇宙 一書中進(jìn)一步研究行星運(yùn)動規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了著名的開普勒行星運(yùn)動運(yùn)動三大定律：（ 1）行星繞太陽運(yùn)行的軌道是橢圓形的，而太陽在橢圓的一個焦點上。這個定律說明了行星運(yùn)動軌道的數(shù)學(xué)形式為：運(yùn)動方程為：x2y 21，p.離心率為： ea 2b2.a 2b21 cosa（ 2）行星的向徑（行星與太陽的連線）在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。這個定律說明了行星的運(yùn)動速度的數(shù)學(xué)形式為：SISIISIII . （如圖 0-3 所示）（3）行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方與它們到太陽的平均距離的立方成正比例。這個定律說明行圖 0-3星行星運(yùn)動的周期性。事實上，說明a 3G M（其中 a

9、 表示行星到太陽的平均距離，TT242表示公轉(zhuǎn)周期， G為萬有引力常數(shù)，M為太陽質(zhì)量） 。三定律的發(fā)現(xiàn)， 不僅使人們準(zhǔn)確地預(yù)先計算出行星的未來的位置，編制成行星的星歷表供航海與大地測量使用， 更重要的是人們可以利用數(shù)學(xué)的幫助去發(fā)現(xiàn)新的行星。果然，在開普勒以后的一百年后，德國天文學(xué)家提出在行星的軌道間缺一顆行星，1781 年，德國天文學(xué)家威廉 ? 赫歇發(fā)現(xiàn)了這顆新星，這就是著名的天王星。19 世紀(jì)中葉， 法國天文學(xué)家勒維耶 （ 1811-1877 ）和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯 （ 1819-1892），分別獨立計算出一顆新行星，命名為海王星。這些行星運(yùn)動的規(guī)律、以及新行星的發(fā)現(xiàn)，都是數(shù)學(xué)方法的光輝應(yīng)用

10、的結(jié)果。目前已發(fā)現(xiàn)了距太陽約60 億公里的最遙遠(yuǎn)的一顆大行星冥王星， 因此，人們已經(jīng)知道了太陽系有九大行星。而且在火星與木星之間發(fā)現(xiàn)兩千多顆小行星。太陽系所在的星系， 成為銀河星系。 銀河星系的面目已研究的比較清楚了。它的形狀像個鐵餅，直徑 10 萬光年， 中央厚度約1 萬光年。銀河系中的物質(zhì)分布成旋渦狀，狀似螺線，太陽系在銀河系的邊沿。 90 年 4 月美國發(fā)射太空的哈伯望遠(yuǎn)鏡，觀察到遙遠(yuǎn)星系的狀況，并發(fā)現(xiàn)這些星系的運(yùn)行規(guī)律與人們利用數(shù)學(xué)計算推測的結(jié)果幾乎是一致的。如今，人們利用數(shù)學(xué)不僅能計算出星系的運(yùn)行規(guī)律，而且還能計算出恒星的壽命， 以及太陽系、地球、 宇宙的年齡等等，這些研究成果越來越

11、使人類更清晰地了解我們的宇宙過去、現(xiàn)在和未來。至于人類自身的發(fā)明創(chuàng)造， 更與數(shù)學(xué)有密切的聯(lián)系。高聳入云的摩天大樓、大跨度的大橋、高性能的電子儀器設(shè)備、人造衛(wèi)星、航天飛機(jī)、計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)與信息通訊設(shè)施等等，這些全是人類數(shù)學(xué)智慧的結(jié)晶。二、數(shù)學(xué)伴隨人的一生從嬰兒出生的第一刻起， 父母要記他的出生時間、醫(yī)生要為他量體重和身長，還要檢查各項健康指標(biāo)，定時、定量哺乳、進(jìn)食，這些都于數(shù)學(xué)有關(guān)，嬰兒一出生就遇到了數(shù)學(xué)，并在以后的時光里，數(shù)學(xué)將幫助嬰兒健康成長。隨著幼兒的成長， 越來越離不開數(shù)學(xué)。 一旦人開口學(xué)說話，大人開始教數(shù) “ 1，2，3，”，“識數(shù)”是人生的第一課。后來逐漸能直觀地識別物體大小、東西的多少

12、， 這就有了初步的數(shù)量概念， 漫漫地大人教他學(xué)習(xí)畫三角形、正方形和圓等等。當(dāng)你會到商店買東西，就學(xué)會了簡單計算；正是有了這些初步的數(shù)量概念，才會有時間概念，知道什么時候看電視、什么時間睡覺， 也會記住一些重要的節(jié)日和自己的生日等；也正是有了這些初步的幾何圖形概念和簡單計算能力，才使幼兒逐漸具有了數(shù)量、運(yùn)算、空間、形狀等初始的數(shù)學(xué)思想意識。不難想象，如果我們?nèi)祟悰]有這些數(shù)、量、空間、形狀與關(guān)系的思想意識，人類將和其它動物一樣， 陷入何等渾噩無知與黑暗之中，那將是非?？膳碌幕煦绲臅r代。事實上，人類的祖先開啟智能的標(biāo)志之一，就是有了數(shù)量和幾何形狀的觀念和意識。當(dāng)我們進(jìn)入小學(xué)、 中學(xué)學(xué)校學(xué)習(xí)， 開始正

13、式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科，懂得了更為深奧的數(shù)學(xué)語言和圖形語言。知道了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)和復(fù)數(shù)，明白了相等與不等、方程與函數(shù)、有限與無限、數(shù)列與極限；懂得了圖形的全等與相似、直線、圓、軸對稱和中心對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、標(biāo)量、矢量、坐標(biāo)、正弦曲線、余弦曲線、拋物線、橢圓、雙曲線，多面體、旋轉(zhuǎn)體，空間曲線和曲面等等。我們也學(xué)會了加、減、乘、除、乘方、開方，整式、分式、冪式、根式、方程式、函數(shù)式，等式、不等式，排列、組合、二項式展開的運(yùn)算，學(xué)會了幾何作圖、等分、等積變形、分割、展開、放大、縮小、平移、旋轉(zhuǎn)、反射以及無限細(xì)分與無限積累等數(shù)學(xué)方法。這樣以來我們的大腦里已經(jīng)裝進(jìn)了人類數(shù)

14、千年長期總結(jié)積累的初等數(shù)學(xué)知識的精粹與思維的模式，使我們的思維方式更科學(xué)化了，也就是說，數(shù)學(xué)訓(xùn)化了我們的大腦，使我們更聰明睿智了。進(jìn)入高等教育階段， 我們要成為某個學(xué)科或技術(shù)領(lǐng)域的專門人才，要學(xué)習(xí)系統(tǒng)的專業(yè)知識和技術(shù)，就需要更多、更深入的數(shù)學(xué)知識。我們要弄懂函數(shù)與極限、函數(shù)與連續(xù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分、曲線積分、曲面積分，拉氏變換和逆變換，級數(shù)、傅立葉級數(shù)與函數(shù)的泰勒展式，微分方程，行列式、矩陣、線性方程組和n 維向量，概率統(tǒng)計，圖論，線性規(guī)劃與動態(tài)規(guī)劃等一系列數(shù)學(xué)概念和知識，同時我們還要學(xué)會利用這些概念和知識，會計算變化率、 改變量， 會分析函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖形的特征，會求函數(shù)

15、的極值，會進(jìn)行近似計算與誤差分析， 會求函數(shù)曲線所圍成的圖形的面積、曲線長度和曲面體積，會求解一階線性微分方程和二階常系數(shù)微分方程，會求一些函數(shù)的拉氏變換和逆變換，會把一個函數(shù)展成冪級數(shù)、 把周期函數(shù)展成傅立葉級數(shù)，會求行列式的值、 會進(jìn)行矩陣變換和解線性方程組，會求矩陣的特征值和特征向量，會求概率和進(jìn)行簡單的統(tǒng)計分析，會利用圖論方法、 線性規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃解決一些優(yōu)化問題，會利用已有的數(shù)學(xué)知識和方法建立數(shù)學(xué)模型等等。十余年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅增長了知識，還學(xué)會了邏輯思維，就這一點對人的幫助最大。當(dāng)你會歸納、類比、聯(lián)想，會靈活處理問題，增強(qiáng)了直覺能力，有了數(shù)感，有了形感時，那你會變得更聰明、智慧。當(dāng)

16、你走向技術(shù)或管理崗位，經(jīng)常要借助計算機(jī)進(jìn)行工程計算或經(jīng)濟(jì)核算，經(jīng)常要進(jìn)行分析、判斷和決策。 這使你感到通過數(shù)學(xué)培養(yǎng)出的能力有了用武之地。目前出現(xiàn)的一些優(yōu)秀數(shù)學(xué)軟件功能非常強(qiáng)大， 不僅能進(jìn)行數(shù)值計算，而且還能進(jìn)行符號運(yùn)算， 這不僅使繁瑣的計算、推導(dǎo)變得輕松自如， 而且也能協(xié)助我們進(jìn)行邏輯思維，作出正確判斷。 因此學(xué)會利用流行的數(shù)學(xué)軟件已是工程師、經(jīng)濟(jì)師們必不可缺學(xué)習(xí)任務(wù)。我們要相信， 這一系列數(shù)學(xué)知識的掌握和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，是你成為一名高級技術(shù)或管理人才的基礎(chǔ)。我們不難發(fā)現(xiàn)， 如今的社會生活信息化程度越來越高，終身學(xué)習(xí)已經(jīng)成為人的一種特別需要，“會學(xué)習(xí)” 已成為當(dāng)今社會對人的一種基本要求。然而，

17、“會學(xué)習(xí)” 的前提是必須具備通過數(shù)學(xué)培養(yǎng)出的足夠的“閱讀”能力和邏輯思維能力。事實證明，沒有經(jīng)過數(shù)學(xué)邏輯思維訓(xùn)練的人，一般不會有健全的學(xué)習(xí)能力。當(dāng)然，不一定是終身要學(xué)數(shù)學(xué)，但一定是終身要用數(shù)學(xué)。毫無疑問，數(shù)學(xué)將伴隨人的一生。三、數(shù)學(xué)的基本特征數(shù)學(xué)是人類智力的產(chǎn)物，許多人認(rèn)為它具有三個最基本的特征：一是高度抽象性， 二是高度精確性，三是廣泛應(yīng)用性。1數(shù)學(xué)的高度抽象性數(shù)，就是離開具體事物的實際背景，僅僅從它的數(shù)量側(cè)面上反映出來的一種抽象。在人類有文字記載的初期，人們就知道把具體的一些物體的數(shù)量用符號記錄下來，這時人們已經(jīng)開始有了把“數(shù)”從具體事物抽象出來的意識。例如3（古代有各種表示方法，現(xiàn)在我們

18、采用的是阿拉伯人的記法）這個數(shù)既可表示3 個蘋果，也可表示3 個人或3 本書等等，而 3本身已經(jīng)擯棄了蘋果、人或書等的具體含義，僅僅抓住數(shù)量這一特征的一種抽象。形，也是如此， 直線這一概念是從拉緊的紗線，透過小孔的光線，筆直的路線等等現(xiàn)實事物中抽象出來的。 幾何學(xué)中的直線舍棄了所有紗線、光線、路線等等事物的性質(zhì)，只留下在一定方向上無限伸長這一抽象形式。幾何圖形的概念，都是舍棄了現(xiàn)實對象的所有性質(zhì)，只留下空間形式和大小、位置這些抽象結(jié)果。全部數(shù)學(xué)都具有這種抽象的特征。其實，抽象的方法其他學(xué)科應(yīng)用也很廣泛，幾乎任何學(xué)科都有一些的抽象性的概念手段，如現(xiàn)代物理學(xué)中的各種“場”、“熵”、“勢” 等等也都

19、是比較抽象的概念；又例如力學(xué)中的剛體運(yùn)動， 常把一個物體視為一個質(zhì)點，把運(yùn)動軌跡看成一條曲線或直線，這就是典型的抽象手法。 特別是天體運(yùn)動研究中， 把星球的運(yùn)行軌跡認(rèn)為是橢圓，這時就把巨大的星球看成是幾何點（無體積的點，或把體積“抽象”掉了）。但這些抽象的概念并沒有完全擺脫實際背景，人們還很容易想到它的真實情況，而現(xiàn)代純粹數(shù)學(xué)的抽象程度越來越高，有些已經(jīng)難于找到它的現(xiàn)實背景。 尤其是在過去的一個世紀(jì)里，數(shù)學(xué)從內(nèi)容、 意義到方法都經(jīng)歷了前所未有的深刻變革。 回顧這種深刻變革，我們會發(fā)現(xiàn)： 數(shù)學(xué)的無限生命力，恰恰是源于其發(fā)展過程中的三個貌似相互矛盾、實則相互統(tǒng)一的特點，即：數(shù)學(xué)的抽象性、 精確性和

20、數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性。在 20 世紀(jì)，數(shù)學(xué)的這兩個特點更是共軛地發(fā)展著，使數(shù)學(xué)比以往任何時代都更加成為整個科學(xué)技術(shù)賴依生存的基礎(chǔ)和人類文明、進(jìn)步的標(biāo)志。脫離具體的實際背景對事物進(jìn)行“量”與“形”的抽象是數(shù)學(xué)固有的特性，可以說沒有這種抽象就沒有數(shù)學(xué)。 20世紀(jì)數(shù)學(xué)更高的抽象化趨勢，最初主要是受了兩大因素的推動，即集合論觀點與公理化方法，二者相互結(jié)合孕育了抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、 泛函分析等新的抽象分支，同時又引發(fā)了一些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分支( 特別如概率論 ) 的革新。數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域不斷拓展，研究對象不斷擴(kuò)張。 例如， 過去作為分析學(xué)主角的函數(shù)概念被擴(kuò)張為泛函、算子和一般的映射；代數(shù)學(xué)研究的中心從普通的數(shù)轉(zhuǎn)化為群、

21、環(huán)、域等一般的代數(shù)結(jié)構(gòu)；幾何學(xué)則主要探討各種各樣的抽象空間( 包括無窮維空間、分?jǐn)?shù)維空間、彎曲的非歐空間、可變形的拓?fù)淇臻g等) ?？梢哉f，現(xiàn)代數(shù)學(xué)不僅研究現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系，而且研究一切可能的空間形式與數(shù)量關(guān)系。在更廣泛的意義上，數(shù)學(xué)已經(jīng)被看作是關(guān)于“模型” (pattern) 的學(xué)科，包括數(shù)的模型，形的模型，運(yùn)動與變化的模型，推理的模型，行為的模型這些模型既可以是現(xiàn)實的，也可以是想像的；既可以是定量的，也可以是定性的，等等。純粹數(shù)學(xué)在 20 世紀(jì)經(jīng)歷了一系列激動人心的發(fā)展，過去若干世紀(jì)以來積累的一些重大問題，有許多已獲解決或是取得了重要進(jìn)展。歷300 余年懸而未決的費(fèi)馬大定理的獲證

22、(1994) ，可以說是20 世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)美妙的終曲。對于 X 的 n 次方 X 的 n 次方 Z 的 n 次方這一看似簡單的方程式，費(fèi)馬在 300 多年前提出， 當(dāng) n 大于或等于3 時無整數(shù)解。 此后，300多年無人能證明這一定理。除了費(fèi)馬大定理，像事關(guān)數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)的哥德爾不完全性定理的提出 (1931) 、具有異乎尋常的微分結(jié)構(gòu)的“米爾諾怪球” 的發(fā)現(xiàn) (1956) 、揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在統(tǒng)一性的“阿蒂亞辛格指標(biāo)定理”的證明 (1963) 、四色定理的攻克(1976) 、有限單群分類的完成(1980) 、等等，這些輝煌的智力成果，不斷使科學(xué)界震驚，而它們的獲得，都依賴于極度抽象的概念與方法。 以

23、費(fèi)馬大定理的證明為例， 由于它綜合運(yùn)用了包括數(shù)論、 代數(shù)幾何、李群和分析等眾多數(shù)學(xué)分支的思想與方法而被喻為“后現(xiàn)代藝術(shù)” 。這條表述極其初等的定理，要看懂英國數(shù)學(xué)家維爾斯對它的證明，即使對訓(xùn)練有素的職業(yè)數(shù)學(xué)家來說也并非易事，這多少說明了現(xiàn)代數(shù)學(xué)抽象的程度。 哥德爾不完全性定理的提出， 可涉及的領(lǐng)域甚至包括哲學(xué)。其抽象化也是達(dá)到了相當(dāng)高深的程度?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)抽象化趨勢的增長， 有時不免引起人們對數(shù)學(xué)的誤解， 認(rèn)為數(shù)學(xué)是只有少數(shù)思維怪杰才能問津的、 遠(yuǎn)離現(xiàn)實的象牙塔。 然而數(shù)學(xué)的抽象決不是無源之水、 無本之木。 相反，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系源遠(yuǎn)流長。 由于數(shù)與形是事物所共有的本質(zhì)屬性的抽象， 數(shù)學(xué)在其發(fā)

24、展的早期就表現(xiàn)出解決因人類實際需要而提出的各種問題的功效。隨著數(shù)學(xué)抽象程度的提高，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系有時呈現(xiàn)出曲折性， 數(shù)學(xué)理論往往會領(lǐng)先發(fā)展， 但這常常只是重大應(yīng)用的前奏。 數(shù)學(xué)的發(fā)展史表明， 數(shù)學(xué)的抽象越是完善，其滲透能力就越強(qiáng)，應(yīng)用范圍就越廣。 20 世紀(jì)是一個純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)相互影響，共同繁榮的時代，應(yīng)用數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展，已蔚成當(dāng)代數(shù)學(xué)的強(qiáng)大潮流，并表現(xiàn)出與以往時代不同的鮮明特征。在目前的基礎(chǔ)教育和高等教育教學(xué)中， 尤其是在高等工程技術(shù)教育中， 重視數(shù)學(xué)知識的實際背景，加強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識與能力的培養(yǎng)，是十分必要和迫切的任務(wù)。但我們必須清楚，數(shù)學(xué)的巨大應(yīng)用威力， 正是源于它在宇宙世界和人

25、類社會的探索中對最大限度的一般性即抽象性的追求。 數(shù)學(xué)抽象作為一種科學(xué)思維的范式，是現(xiàn)代化人才不論其從事何種職業(yè)所必須具備的基本素質(zhì)，雖然對不同的人要求可有所不同。值得指出的是， 數(shù)學(xué)抽象思維包括了演繹證明、歸納推理、算法構(gòu)思等不同的方面，應(yīng)該是一個整體的、全面的概念。我們在工程類或管理類專業(yè)教育中，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)回歸自然，回歸工程實際， 回歸技術(shù)應(yīng)用，但我們不可能擺脫數(shù)學(xué)的抽象性特點。在這里把數(shù)學(xué)教育的目的定位于應(yīng)用能力培養(yǎng)，是非常正確的， 且最重要的目的是抽象思維能力培養(yǎng)，因為會用抽象的方法解決問題，是高超智慧的體現(xiàn)。其實，抓住現(xiàn)實對象的根本特征進(jìn)行抽象性描述，往往會使其特征更明了、簡潔、直

26、觀。2數(shù)學(xué)的高度精確性數(shù)學(xué)的高度精確性主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)定義的準(zhǔn)確性、推理的邏輯嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無疑性與無可爭辯性。當(dāng)然，數(shù)學(xué)嚴(yán)格性不是絕對的，一成不變的，而是相對的，發(fā)展的，體現(xiàn)人們的認(rèn)識逐漸深化的過程。數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)密性的主要特征是它的經(jīng)典部分有一套科學(xué)、簡明的公理系統(tǒng)，這些公理系統(tǒng)的標(biāo)志是： 一，它有一套基本術(shù)語，或原始概念； 二，它有一組基本命題，或原始命題，或公理； 三，其余的概念全由原始概念出發(fā)予以定義，其余的命題全由公理出發(fā)予以推理論證?，F(xiàn)在，算術(shù)，幾何，微積分，泛函分析，拓?fù)鋵W(xué)，集合論，群論，概率論等均已建立在公理化基礎(chǔ)上。 它的所有不能是例證和個別驗證，如著名的歌德巴赫猜想，

27、 有人用計算機(jī)驗證了幾百萬個素數(shù)都是對的，但這仍不能算證明了歌德巴赫猜想。再如對于下面的二次式f ( x) x2x 72491我們可以驗證，當(dāng)x=1,2, ,10000時,f ( x) 都是素數(shù)?？墒俏覀儧Q不能下結(jié)論對所有的自然數(shù) x, f (x) 是素數(shù)。舉出一個反例，就是x=72490，因為f7249072490 22724901724901 2.不能用例證得出結(jié)論，任何結(jié)論都必須經(jīng)過嚴(yán)密的演繹推斷，數(shù)學(xué)家核心任務(wù)是根據(jù)已知的結(jié)論通過嚴(yán)密演繹推理證明新的結(jié)論或證實人們的各種猜想等，而其它學(xué)科的專家們只關(guān)心數(shù)學(xué)結(jié)論極其應(yīng)用，不必理解其證明細(xì)節(jié)， 因此，從事工程類或管理類專業(yè)數(shù)學(xué)教育的工作者，

28、 千萬不要以教會數(shù)學(xué)的嚴(yán)密證明為目的，而是要以幫助學(xué)生分析理解數(shù)學(xué)結(jié)論、訓(xùn)練應(yīng)用方法為主要任務(wù)和目的。3數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性自然科學(xué)發(fā)展史表明，任何學(xué)科研究都要經(jīng)歷從定性到定量研究的過渡和飛躍。只要該學(xué)科是不介入實驗的， 才是該門學(xué)科趨于成熟的表現(xiàn)。要做到這一點， 數(shù)學(xué)學(xué)科是個有力的杠桿。似乎可以這樣說，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)十大部門（引自錢學(xué)森1989 年 8 月在數(shù)學(xué)會教育與科研座談會上的講話 發(fā)展我國的數(shù)學(xué)學(xué)科 。他指出的科學(xué)技術(shù)十大門類為：自然科學(xué)、社會科學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)、思維科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、人體科學(xué)、軍事科學(xué)、文藝?yán)碚?、行為科學(xué)、地理科學(xué)） 中絕大部門的素養(yǎng)和訓(xùn)練中，數(shù)學(xué)理論是個終極的目標(biāo)，這是由于

29、在各個部門的有關(guān)現(xiàn)象、規(guī)律和結(jié)論只有用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言才能描繪清楚。19 世紀(jì)七、八十年代，還是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的早期，恩格斯曾對當(dāng)時數(shù)學(xué)應(yīng)用的狀況作過這樣的估計： “在固體力學(xué)中是絕對的，在氣體力學(xué)中是近似的，在化學(xué)中是簡單的一次方程式，在生物學(xué)中等于零” 。經(jīng)過一個多世紀(jì)的發(fā)展，可以看到恩格斯所描述的情況有了根本的改觀。 數(shù)學(xué)正在向包括從粒子物理到生命科學(xué)、 從空間科學(xué)到地球科學(xué)在內(nèi)的一切科學(xué)領(lǐng)域進(jìn)軍。數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的應(yīng)用在20 世紀(jì)取得了一系列新的突破。眾所周知，在相對論和量子力學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展中， 數(shù)學(xué)都建有奇功： 出于純粹數(shù)學(xué)的興趣而獲得的抽象成果( 張量分析、無窮維空間等 ) 恰恰分別為

30、這兩種新興的物理理論提供了現(xiàn)成合用的數(shù)學(xué)工具。抽象數(shù)學(xué)為物理學(xué)新理論準(zhǔn)備了仿佛是定做的工具。在20 世紀(jì)下半葉又演出了精彩的一幕，在物理學(xué)家探索統(tǒng)一場論的艱難卓絕的努力中，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)著名的楊米爾斯理論所需要的數(shù)學(xué)工具早已存在，物理規(guī)范勢實際上就是大范圍微分幾何中纖維叢上的聯(lián)絡(luò)。至于現(xiàn)代化學(xué)， 描述化學(xué)過程少不了微分方程和積分方程，并且有許多還是連數(shù)學(xué)家都感到棘手的非線性方程。生物學(xué)不用數(shù)學(xué)的時代也已一去不返。膾炙人口的例子是：拓?fù)鋵W(xué)( 特別是其中的扭結(jié)理論 ) 為解開 DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)之謎提供了一把鑰匙。人類基因的破譯用到更多的數(shù)學(xué)知識。今天， 數(shù)理統(tǒng)計應(yīng)用于遺傳學(xué)；概率論應(yīng)用于人口統(tǒng)計和種

31、群理論；微分方程應(yīng)用于各種生物模型的建立； 布爾代數(shù)應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)描述；這一切已構(gòu)成了“生物數(shù)學(xué)”的豐富內(nèi)容。“數(shù)學(xué)物理” 、“數(shù)理化學(xué)” 、“生物數(shù)學(xué)” 、“數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)” 、“數(shù)理氣象學(xué)” ，一連串交叉學(xué)科的形成說明了數(shù)學(xué)向其它自然科學(xué)領(lǐng)域滲透的廣度。而純粹數(shù)學(xué)中的一些前沿與其他科學(xué)的許多前沿領(lǐng)域的快速結(jié)合，則反映了數(shù)學(xué)滲透的深度?？梢哉f沒有這些前沿數(shù)學(xué)就沒有當(dāng)代物理學(xué)的一些前沿領(lǐng)域如超弦理論、超引力理論等。 事實上， 像超弦理論這樣的物理學(xué)熱門分支所用到的數(shù)學(xué)，就涉及微分拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何、微分幾何、群論、無窮維代數(shù)、復(fù)分析等等。除了自然科學(xué)， 在經(jīng)濟(jì)學(xué)、 社會學(xué)、 歷史學(xué)等過去認(rèn)為不適用數(shù)學(xué)

32、的社會科學(xué)部門，數(shù)學(xué)方法也開辟了廣闊的用武之地。數(shù)學(xué)正在向社會科學(xué)和文化藝術(shù)領(lǐng)域廣泛滲透，這是數(shù)學(xué)應(yīng)用不同于以往時代的嶄新趨勢。數(shù)學(xué)與一些社會科學(xué)領(lǐng)域相結(jié)合也產(chǎn)生了一系列交叉學(xué)科，如數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)理語言學(xué)、數(shù)學(xué)考古學(xué)、史衡學(xué)等等。數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用是很具代表性的例子。20 世紀(jì)四十年代以來，經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的數(shù)學(xué)化導(dǎo)致了數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的誕生，參與這門交叉學(xué)科建立的有大數(shù)學(xué)家馮·諾依曼等。 五十年代以后， 數(shù)學(xué)方法在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中占據(jù)了重要地位，以致大部分的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎都被授予了與數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)有關(guān)的工作。 其中如不久前曾來北京參加國際數(shù)學(xué)家大會并作了公眾講演的美國數(shù)學(xué)家 J·納什，他根

33、據(jù)對策論數(shù)學(xué)原理提出非合作對策的“納什均衡”，成為當(dāng)前熱門的“雙贏”概念的理論基礎(chǔ)。因此說納什的數(shù)學(xué)研究不僅將改變經(jīng)濟(jì)學(xué)的面貌，而且將影響整個社會科學(xué)的未來， 大概不會過分。 又如當(dāng)前國際金融市場普遍使用的期權(quán)定價公式布萊克斯科爾斯公式， 實際上是根據(jù)高度抽象的數(shù)學(xué)工具( 隨機(jī)微分方程 ) 導(dǎo)出的數(shù)學(xué)公式，這一公式被譽(yù)為 “華爾街第二次革命”的起點，它表明了抽象的數(shù)學(xué)怎樣可以與人們的社會經(jīng)濟(jì)利益息息相關(guān)。 難怪在四方國家讀經(jīng)濟(jì)學(xué)位，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的深度和廣度往往比其它學(xué)科都要高?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)不僅影響著人們的經(jīng)濟(jì)活動，而且正在影響著人們的文化生活。數(shù)學(xué)通過計算機(jī)，正在提供新的藝術(shù)創(chuàng)作手段和藝術(shù)產(chǎn)品，給

34、人們帶來全新的藝術(shù)享受。想一想數(shù)碼音像、三維動畫，還有那精美絕倫的分形繪畫等等。數(shù)學(xué)與藝術(shù)相結(jié)合，正在走進(jìn)千家萬戶。還是在上個世紀(jì)的前半葉，著名社會活動家W·F·懷特曾這樣寫道： “數(shù)學(xué)化的社會科學(xué)將成為未來文明的控制因素”。今日的社會科學(xué)離懷特預(yù)言的目標(biāo)相距還遠(yuǎn)，但 20 世紀(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程表明，這方面的前景是光明的?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)對生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用變得越來越直接。以前數(shù)學(xué)工具直接應(yīng)用于生產(chǎn)技術(shù)的事例雖有發(fā)生，但數(shù)學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的關(guān)系基本上是間接的，往往是先應(yīng)用于其他科學(xué)( 如力學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué) ) ，再由這些科學(xué)提供技術(shù)進(jìn)步的基礎(chǔ)。20 世紀(jì)下半葉以來，數(shù)學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的相互

35、作用正在加強(qiáng)， 數(shù)學(xué)提供的工具直接推動技術(shù)革新的頻率正在加快，并在許多情況下產(chǎn)生出巨大的經(jīng)濟(jì)效益。眾所周知， 數(shù)學(xué)是歷次產(chǎn)業(yè)革命的重要推動因素。如果說數(shù)學(xué)間接地引導(dǎo)了前兩次產(chǎn)業(yè)革命 ( 以微積分為基礎(chǔ)的17、18 世紀(jì)科學(xué)的高漲成為以蒸汽機(jī)等為主導(dǎo)技術(shù)的第一次產(chǎn)業(yè)革命的先導(dǎo)；與數(shù)學(xué)分析的進(jìn)步密不可分的19 世紀(jì)數(shù)學(xué)物理的發(fā)展為以發(fā)電機(jī)、無線電通信等為主體技術(shù)的第二次產(chǎn)業(yè)革命奠定了理論基礎(chǔ)) ，那么它在 20 世紀(jì)發(fā)生的第三次產(chǎn)業(yè)革命中則更多地站到了前臺。例如，如果沒有數(shù)學(xué)家的參與，就不可能有現(xiàn)代計算機(jī)技術(shù)與龐大的計算機(jī)產(chǎn)業(yè)。 數(shù)學(xué)家對電子計算機(jī)的發(fā)明和發(fā)展有不可磨滅的貢獻(xiàn)。馮· 諾依

36、曼是第一臺通用電子計算機(jī)(ENIAC) 的主要研制者之一，他的程序內(nèi)存思想至今仍是現(xiàn)代計算機(jī)的主要設(shè)計理念。英國數(shù)學(xué)家圖靈的“理想計算機(jī)”(“圖靈機(jī)” ) 提供了通用數(shù)字計算機(jī)的理論模型。圖靈本人也是早期電子計算機(jī)研制的元勛。值得注意的是，“圖靈機(jī)”的提出完全是為了解決與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有關(guān)的一個純理論問題( 可判定性問題 ) 。除了計算機(jī)技術(shù)，數(shù)值模擬已成為航空、航天設(shè)計的有效工具，類似的數(shù)值模擬方法正在被應(yīng)用于包括核工業(yè)在內(nèi)的許多技術(shù)部門，以代替耗資巨大的試驗；1980 年以來，小波分析直接應(yīng)用于通信、石油勘探、 圖像壓縮等技術(shù)領(lǐng)域；現(xiàn)代醫(yī)學(xué)儀器工業(yè)也離不開數(shù)學(xué)( 如CT 掃描儀的研制，就是以現(xiàn)代

37、數(shù)學(xué)中所謂“拉東積分”理論為基礎(chǔ)，有關(guān)的科學(xué)家因此榮獲了諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎) ，等等。這樣的例子舉不勝舉?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)正在通過向人類幾乎所有的知識領(lǐng)域空前廣泛地滲透而影響著人們的生活方式物質(zhì)的和精神的生活方式。數(shù)學(xué)的抽象性與廣泛應(yīng)用性的基本特征，決定了它的科學(xué)地位與文化價值。高斯曾同時將數(shù)學(xué)比作科學(xué)的“皇后”和“仆人”，這確是恰當(dāng)?shù)脑u價。數(shù)學(xué)的抽象智力成果，以其邏輯的威力和算法的精密將永遠(yuǎn)是這門科學(xué)的光榮所在。但抽象的數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如果不能服務(wù)于其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，也不可能享有如此的尊榮。正確認(rèn)識數(shù)學(xué)這兩方面的特征及相互關(guān)系，對于推動數(shù)學(xué)科學(xué)的健康發(fā)展至關(guān)重要。四、數(shù)學(xué)對人類文明和科技進(jìn)步的影

38、響其實上面對數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用性的描述中，我們可以體會到數(shù)學(xué)對人類文明和科技進(jìn)步的影響，但下面我們就19、 20 世紀(jì)里數(shù)學(xué)在科學(xué)中的作用和影響作進(jìn)一步的概述?！皵?shù)學(xué)：科學(xué)的王后和仆人”是已故美國科學(xué)院院士貝爾于1951 年寫的一本書的書名， 該書主要是為數(shù)學(xué)圈子以外的人寫的，介紹純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個方面，更著重在說明數(shù)學(xué)科學(xué)的突出重要性。這本書實際上是他1931 年寫的科學(xué)的女王和1937年寫的科學(xué)的女仆這兩本通俗數(shù)學(xué)讀物的合一修訂擴(kuò)大版。按常理，女王是高雅、權(quán)威和至尊至貴的，是陽春白雪，在科學(xué)中只有純粹數(shù)學(xué)才具有這樣的特點。 簡潔明了的數(shù)學(xué)定理一經(jīng)證明就是永恒的真理，極其優(yōu)美而且無懈可擊。另

39、一方面， 科學(xué)和工程的各個分支都在不同程度上大量使用數(shù)學(xué)，享受著數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)。這時數(shù)學(xué)科學(xué)就是仆人， 英文書名中servant這個字在英文里有 “供人們利用之物，有用的服務(wù)工具”的意思。首先，我們來回顧一下形成我們現(xiàn)在這個飛速發(fā)展的信息社會的所有重大科學(xué)理論在發(fā)展和完善過程中數(shù)學(xué)所起到的不可或缺的作用。20 世紀(jì)最大的科學(xué)成就莫過于愛因斯坦的狹義和廣義相對論了，但是如果沒有黎曼于1854 年發(fā)明的黎曼幾何，以及凱萊，西勒維斯特和諾特等數(shù)學(xué)家發(fā)展的不變量理論，愛因斯坦的廣義相對論和引力理論就不可能有如此完善的數(shù)學(xué)表述。愛因斯坦自己也不止一次地說過這一點。例如，1912 年夏他已經(jīng)概括出新的引力理論

40、的基本物理原理，但是為了實現(xiàn)廣義相對論的目標(biāo)，還必須尋求理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，愛因斯坦為此花了3 年的時間， 最后，在數(shù)學(xué)家 M·格拉斯曼的介紹下掌握了發(fā)展相對論引力學(xué)說所必需的數(shù)學(xué)工具以黎曼幾何為基礎(chǔ)的絕對微分學(xué)，也就是愛因斯坦后來所稱的張量分析。在1915 年 11 月 25 日發(fā)表的一篇論文中，愛因斯坦終于導(dǎo)出了廣義協(xié)變的引力場方程，在該文中他說：“由于這組方程，廣義相對論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成！”廣義相對論的數(shù)學(xué)表達(dá)第一次揭示了非歐幾何的現(xiàn)實意義， 成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最偉大的例子之一。他還說過 “事實上， 我是通過她 ( 諾特) 才能在這一領(lǐng)域內(nèi)有所作為的。 ”如果沒有凱萊在

41、 1858 年發(fā)展的矩陣數(shù)學(xué)及其后繼者的進(jìn)一步發(fā)展，海森伯和狄拉克就無法開創(chuàng)現(xiàn)代物理學(xué)量子力學(xué)方面的革命性工作。狄拉克甚至說，創(chuàng)建物理理論時，“不要相信所有的物理概念” ，但是要“相信數(shù)學(xué)方案，甚至表面上看去，它與物理學(xué)并無聯(lián)系?！闭麄€電磁場的理論是由馬克斯威爾方程組表述的，但是“雖然場的理論起源應(yīng)歸功于英國物理學(xué)家法拉第， 但法拉第不是數(shù)學(xué)家，他沒能發(fā)展這個概念。經(jīng)過馬克斯威爾之手，電場理論得到了精確的描述，成為以后所有場論的模式?！闭麄€流體運(yùn)動的理論是由納維托克斯方程組表述的，它首先是由法國多科工藝和交通工程學(xué)校的力學(xué)教授納維初步完成的，而最終是由英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家斯托克斯爵士完善并完成

42、的。計算的技藝數(shù)值分析以及運(yùn)算速度的問題( 計算機(jī)的制造 ) ，牛頓、萊布尼茲、 歐拉、高斯都曾給予系統(tǒng)研究， 它們一直是數(shù)學(xué)的重要部分。在現(xiàn)代計算機(jī)的發(fā)展研制中數(shù)學(xué)家起了決定性的作用。萊布尼茲，貝巴奇等數(shù)學(xué)家都曾研制過計算機(jī)。20 世紀(jì) 30 年代，符號邏輯的研究方程活躍， 丘奇，哥德爾， 波斯特和其他學(xué)者研究了形式語言。經(jīng)過他們以及圖靈的研究工作，形成了可計算性這個數(shù)學(xué)概念。1935 年前后，圖靈建立了通用計算機(jī)的抽象模型。 這些成果為后來馮· 諾伊曼和他的同事們制造帶有存儲程序的計算機(jī)，為形式程序的發(fā)明提供了理論框架。通信的數(shù)學(xué)理論是由數(shù)學(xué)家香農(nóng)( 他還具有電氣工程的學(xué)位) 于

43、 1948年發(fā)表的通信的數(shù)學(xué)理論 一書奠定其理論基礎(chǔ)的，隨后就掀起了持續(xù)的信息技術(shù)革命。數(shù)學(xué)家納維于 1948年出版的控制論一書宣告了控制論這門學(xué)科的誕生。自 1968 年起諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲獎設(shè)立項目90%以上都是有關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)行為的數(shù)學(xué)建模及相應(yīng)的研究工作，獲獎?wù)咧胁簧偃擞袛?shù)學(xué)博士學(xué)位。特別要提到的是1994年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎授予純粹數(shù)學(xué)家 J·納什是意義重大的， “這意味著在諾貝爾獎93 年的歷史上，第一次授予了純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的工作。 ”類似的例子還有許多，我們不再舉了，我們真正要討論的問題，是從這些事實中我們得到什么樣的啟示。首先，正如馬克思認(rèn)為的“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)

44、到了真正完善的地步?！奔兇鈹?shù)學(xué)的優(yōu)秀成果往往為重大科學(xué)理論的建立作好了準(zhǔn)備，有時甚至是先導(dǎo)。千萬不能忽視純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是要有一批精兵強(qiáng)將長期從事純粹數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的研究，并有條件經(jīng)常和應(yīng)用科學(xué)家進(jìn)行交流，讓搞應(yīng)用的了解并應(yīng)用純數(shù)學(xué)成果。應(yīng)用數(shù)學(xué)家去解決各種實際問題時，在觀念上不可有單打獨斗的想法，一定要與相應(yīng)領(lǐng)域的專家緊密合作。在我國凡是做出重大科研成果的科學(xué)家都有上述特點。僅以國家最高科學(xué)技術(shù)獎為例，吳文俊、王選和黃昆， 他們或是數(shù)學(xué)家， 或是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)同時又掌握計算機(jī)硬件和軟件的技術(shù)，或是能用完善的數(shù)學(xué)形式表述其深刻的物理洞察。所有這些充分說明了 “數(shù)學(xué)的思考方式有著根本的重要性。簡

45、言之，數(shù)學(xué)為組織和構(gòu)造知識提供方法。一旦數(shù)學(xué)用于技術(shù)， 它就能產(chǎn)生系統(tǒng)的、可再現(xiàn)的并能傳授的知識。分析、設(shè)計、建模、模擬和應(yīng)用便會成為可能，變成高效的富有結(jié)構(gòu)的活動。 ”也就是說能轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力。但是，50年前數(shù)學(xué)雖然也直接為工程技術(shù)提供一些工具， 但基本上是間接的：先促進(jìn)其他科學(xué)的發(fā)展，再由這些科學(xué)提供工程原理和設(shè)計的基礎(chǔ)。 現(xiàn)在， 數(shù)學(xué)和工程之間在更廣闊的范圍內(nèi)和更深的層次上，直接地相互作用著，極大地推動了數(shù)學(xué)和工程科學(xué)的發(fā)展，也極大地推動了技術(shù)的進(jìn)步。20 世紀(jì)后半葉最重要的科技進(jìn)展之一是計算機(jī)、信息和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展。我們僅就計算機(jī)的運(yùn)算速度來看，1946 年公開展示的第一臺計算機(jī)電子

46、數(shù)學(xué)積分計算機(jī)的運(yùn)算速度是每秒符點運(yùn)算 5， 000次，現(xiàn)在已經(jīng)達(dá)到每秒符點運(yùn)算100 億次，據(jù)專家估計到 2010年可達(dá)到一萬億次。 可以想象現(xiàn)在計算機(jī)能完成的工作和50 年前相比簡直是不可同日而語?，F(xiàn)在有點象牛頓、萊布尼茲發(fā)明微積分時的情況，當(dāng)初微積分還很不嚴(yán)密， 但用來描述、研究各種實際問題產(chǎn)生了許許多多的數(shù)學(xué)模型，有的能求解出來，就能不同程度地解決問題。然而，當(dāng)時算不出來，或者不能及時算出來，也就不能解決問題?，F(xiàn)在，計算速度等技術(shù)指標(biāo)在某種意義下遠(yuǎn)遠(yuǎn)走在前面了。 “數(shù)學(xué)建模和與之相伴的計算正在成為工程設(shè)計中的關(guān)鍵工具?？茖W(xué)家正日益依賴于計算方法，而且在選擇正確的數(shù)學(xué)和計算方法以及解釋結(jié)

47、果的精度和可靠性方面必須具有足夠的經(jīng)驗?！蔽覀兛吹降氖歉餍懈鳂I(yè)都在大量應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算機(jī)等技術(shù)， 通過數(shù)學(xué)建模、 仿真等手段解決問題，并且把解決同類問題的方法和成果制作成軟件( 它們甚至是相當(dāng)傻瓜化的 ) ，并進(jìn)行銷售。人們看到的正是這種數(shù)學(xué)應(yīng)用大發(fā)展的景象，更確切地說是美國科學(xué)基金會數(shù)學(xué)部主任在評論數(shù)學(xué)科學(xué)列為五大創(chuàng)新項目之首時所說的，“該重大創(chuàng)新項目背后的推動力就是一切科學(xué)和工程領(lǐng)域的數(shù)學(xué)化。”當(dāng)然也有不同認(rèn)識，也有人認(rèn)為不需要懂得很多數(shù)學(xué)，只要會用軟件就行了。也有人認(rèn)為現(xiàn)在不需要發(fā)展基礎(chǔ)數(shù)學(xué)了， 只要通過數(shù)學(xué)建模和計算加上物理的直觀就可以解決問題了。特別是， 有人認(rèn)為現(xiàn)在的學(xué)生不需要學(xué)那么

48、多的數(shù)學(xué)了。這實在是極大的誤解。有人認(rèn)為，能夠馬上拿來就用的數(shù)學(xué)一定是相當(dāng)成熟的成果。但是為了解決現(xiàn)實中的重大問題， 已有的數(shù)學(xué)成果是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。產(chǎn)生上述誤解的原因主要是對新世紀(jì)科技發(fā)展與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系思考、認(rèn)識不夠。 一百多年以前恩格斯沒有預(yù)料到，科學(xué)發(fā)展到今天，數(shù)學(xué)在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域正起著越來越重要的作用，無論在生態(tài)學(xué)、生理學(xué)、心理學(xué)，以至DNA和生命科學(xué)的研究中，我們都看到數(shù)學(xué)的強(qiáng)大生命力。甚至醫(yī)生在做手術(shù)之前都可以先進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬以預(yù)知各種方案可能出現(xiàn)的后果，再依據(jù)個人的經(jīng)驗來選擇手術(shù)方案。2002 年美國科學(xué)基金會專門在俄亥俄州立大學(xué)成立了一個“數(shù)學(xué)生物科學(xué)研究所”。前面提到在與其他

49、學(xué)科的關(guān)系中，數(shù)學(xué)的發(fā)展不少方面正逐漸從后臺走向前臺，這又是20 世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的一個重要特點。這方面的典型范例大概有兩個方面，一是密碼學(xué)及電子商務(wù)、 信息安全、軍事運(yùn)籌學(xué)、 網(wǎng)絡(luò)戰(zhàn)等相關(guān)領(lǐng)域，主要依靠數(shù)學(xué)思想和方法的創(chuàng)新及其軟件實現(xiàn)；二是發(fā)達(dá)國家政府的重要部門以及許多大公司都設(shè)有陣容強(qiáng)大的數(shù)學(xué)部。1984 年，美國國家安全局局長曾說過，美國國家安全局是美國數(shù)學(xué)界最大的雇主，它雇用了2000 多位具有博士等學(xué)位的數(shù)學(xué)家。這些數(shù)學(xué)家通過完成部門或公司交給他們的工作，逐步和所在單位的科技人員融為一體，直接為雇主作出貢獻(xiàn)，為數(shù)學(xué)的發(fā)展作出貢獻(xiàn)。更為重要的是這些數(shù)學(xué)家知道哪些成果可以直接或間接地用于他們

50、的研究中去，也能向數(shù)學(xué)界提出源于實踐的數(shù)學(xué)研究課題，在某種意義下對數(shù)學(xué)發(fā)展的方向產(chǎn)生了巨大影響?；仡?0 世紀(jì)后半葉以來諸如有限元方法、快速富里埃變換、小波分析、分形、混沌等等領(lǐng)域無一例外地都是在實際工作者和數(shù)學(xué)家的合作中迅速發(fā)展起來的，并且顯示了強(qiáng)大的威力。上個世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展特點，除了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展規(guī)律外，更多地受到其他相關(guān)學(xué)科發(fā)展過程中提出的數(shù)學(xué)課題的推動。這不僅僅是數(shù)學(xué)研究從其他領(lǐng)域獲得了科研經(jīng)費(fèi)，更重要的是獲得了許多重大的數(shù)學(xué)理論選題。美國一個名為克萊研究所的民間基金會對以下七個課題征獎，每個重獎 100 萬美元 ( 沒有時間限制 ) 。它們是：P 與 NP問題，Hodge 猜想；

51、Poincare猜想；Riemann 假設(shè)；量子 Yang-Mills 理論；Navier-Stokes 方程解的存在性和光滑性； BirchSwinnerton-Dyer猜想。這些問題既涉及重大的應(yīng)用問題，也包括純粹數(shù)學(xué)( 目前不一定馬上就能看到應(yīng)用的問題) 中的一些大題目?，F(xiàn)在也有人認(rèn)為不需要懂得很多數(shù)學(xué)，只要會用軟件就行了，學(xué)生不需要用那么多時間去學(xué)數(shù)學(xué)。 這種似是而非的觀點是要認(rèn)真分析的。誠然， 有了計算機(jī)和軟件，確實是只要輸入數(shù)據(jù)就能得出結(jié)果，過程似乎無關(guān)緊要，這也確實是常見的事實。但是，這樣的學(xué)生很難做出創(chuàng)新。 對于很多先進(jìn)的軟件，甚至計算器來說，如果沒有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)，是不可能用好的，或者根本就不會用。我國基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好是一個極大的優(yōu)勢， 是很多人事業(yè)成功的基礎(chǔ)， 是多數(shù)留學(xué)生學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的最重要的基礎(chǔ)。所以“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”成了廣大家長的共識。誠然，我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的起步是比較晚的，數(shù)學(xué)教育上