2011年遼寧高考數(shù)學(xué)理科試卷(帶詳解)(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù) 學(xué)（理科）第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.為正實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，則 ( )A.2 B. C. D.1【測量目標(biāo)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.【考查方式】給出復(fù)數(shù)的除法形式，求解等式得出未知數(shù).【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】,.故選B2.已知M，N為集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，則( )A.M B.N C.I D.【測量目標(biāo)】集合的基本運(yùn)算（交集，并集，補(bǔ)集）.【考查方式】給出集合并集的結(jié)果求交集的結(jié)果.【難易程度】容易【參考答案】A

2、【試題解析】即是是的真子集，.3.已知F是拋物線的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 ( )A. B.1 C. D.【測量目標(biāo)】拋物線的簡單幾何性質(zhì).【考查方式】給出拋物線上兩點(diǎn)與焦點(diǎn)線段之和，利用準(zhǔn)線求線段中點(diǎn)到軸的距離.【難易程度】容易【參考答案】C【試題解析】F是拋物線的焦點(diǎn)F（）準(zhǔn)線方程(步驟1)設(shè)A,B|AF|+|BF|=3解得（步驟2）線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為線段AB的中點(diǎn)到軸的距離為.（步驟3）4.ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=，則 ( )A B C D【測量目標(biāo)】正弦定理，余弦定理.【考查方式】給

3、出三角形角與邊滿足的關(guān)系式，求兩邊的比值.【難易程度】容易【參考答案】D【試題解析】=由正弦定理可知=（步驟1）=.（步驟2）5.從1，2，3，4，5中任取2各不同的數(shù)，事件A=“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P（BA）= ( )A. B. C. D.【測量目標(biāo)】隨機(jī)事件與概率.【考查方式】給出兩事件，通過求出兩事件概率去求.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】事件A=“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），=.（步驟1）事件B=“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”所包含的基本事件有（2，4），=（步驟2）=（步驟

4、3）6.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的n是4，則輸出的是 ( )A.8 B.5 C.3 D.2第6題圖 【測量目標(biāo)】循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖.【考查方式】給出流程圖，將數(shù)值帶入算法求解.【難易程度】中等【參考答案】C【試題解析】=1，滿足條件4，則執(zhí)行循環(huán)體，=0+1=1，=1，=1（步驟1）=2，滿足條件4，則執(zhí)行循環(huán)體，=1+1=2，=1，=2（步驟2）=3，滿足條件4，則執(zhí)行循環(huán)體，=1+2=3，=2，=3（步驟3）=4，不滿足條件4，則退出執(zhí)行循環(huán)體，此時(shí)=3.（步驟4） 7.設(shè)sin，則 ( )A. B. C. D.【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.【考查方式】給出三角函數(shù)的等式，求解的值.

5、【難易程度】容易【參考答案】A【試題解析】由sin（）=sincos+cossin=（sin+cos）=，（步驟1）兩邊平方得：1+2sincos=，即2sincos=，則sin2=2sincos=故選A. （步驟2）8.如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是 ( )A.ACSB B.AB平面SCDC.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角第8題圖 【測量目標(biāo)】兩條直線的位置關(guān)系，線面角，線面平行的判定.【考查方式】給出四棱錐圖示，驗(yàn)證選項(xiàng)結(jié)論.【難易程度】中等【參考答案】D【試題解析】SD底面A

6、BCD，底面ABCD為正方形，連接BD，AC,則BDAC，根據(jù)三垂線定理，可得ACSB，故A正確；（步驟1）ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，AB平面SCD，故B正確；（步驟2）SD底面ABCD，是與平面所成角，是SC與平面SBD所成的角，而SAOCSO，ASO=CSO，即SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角，故C正確；（步驟3）ABCD，AB與SC所成的角是SCD，DC與SA所成的角是SAB，而這兩個(gè)角顯然不相等，故D不正確；（步驟4）9.設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是 ( )A.，2 B.0，2 C.1，+ D.0，+【測量目標(biāo)】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)化簡.【考查方式】

7、給出分段函數(shù)模型，求滿足不等式未知數(shù)的取值范圍.【難易程度】中等【參考答案】D【試題解析】當(dāng)時(shí)，的可變形為，（步驟1）當(dāng)1時(shí)，的可變形為，1，故x的取值范圍0，+）（步驟2）10.若，均為單位向量，且，則的最大值為( )A. B.1 C. D.2【測量目標(biāo)】向量的基本運(yùn)算.【考查方式】給出向量滿足的關(guān)系式，求某向量關(guān)系的最大值.【難易程度】中等【參考答案】B【試題解析】又為單位向量，且=0，（步驟1）而=.的最大值為1（步驟2）11.函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意，則的解集為( )A.（，1） B（，+） C（，）D（，+）【測量目標(biāo)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【考查方式】給出函數(shù)滿足的等式，求不等式

8、解集.【難易程度】較難【參考答案】B【試題解析】設(shè)又對任意，即在上單調(diào)遞增，則的解集為（1，+），即的解集為（1，+）故選B12.已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=，則棱錐SABC的體積為 ( )A B CD1【測量目標(biāo)】圓的性質(zhì)的應(yīng)用，棱錐的體積.【考查方式】給出球直徑，及內(nèi)接三棱錐的部分棱長與角度，求三棱錐的體積.【難易程度】較難【參考答案】C【試題解析】設(shè)球心為點(diǎn)O，作AB中點(diǎn)D，連接SD，CD ,因?yàn)榫€段SC是球的直徑，所以它也是大圓的直徑，則易得：SAC=SBC=90, 所以在RtSAC中，SC=4，ASC=30， 得：AC=2，SA=（步驟1）又在RtSBC中，

9、SC=4，BSC=30 ，得：BC=2，SB=2 則SA=SB，AC=BC（步驟2）因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)所以在等腰三角形ASB中，SDAB且SD=,在等腰三角形CAB中，CDAB且=（步驟3）又SD交CD于點(diǎn)D ，所以AB平面SCD ,即棱錐SABC的體積：V=.（步驟4）因?yàn)镾D=，CD=，SC=4,由余弦定理得：cosSDC= =則sinSDC=（步驟5）由三角形面積公式得SCD的面積S=SDCDsinSDC=3（步驟6）所以棱錐SABC的體積：V=ABSSCD=.（步驟7）第卷本卷包括必考題和選考題兩部分第13題第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答.第22題第24題為選考題，考生根據(jù)

10、要求做答二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13.已知點(diǎn)（2，3）在雙曲線C：上，C的焦距為4，則它的離心率為 【測量目標(biāo)】雙曲線簡單幾何性質(zhì).【考查方式】定點(diǎn)在雙曲線上，給出焦距，求雙曲線離心率.【難易程度】容易【參考答案】2【試題解析】，的焦距為4，F(xiàn)1（2，0），F(xiàn)2（2，0），點(diǎn)（2，3）在雙曲線上，2=，=1，=214.調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年飲食支出y（單位：萬元），調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加_萬元【測量目標(biāo)】線性回歸方程.【考查方式】

11、給出線性回歸方程式，的增加一定值求增加的值.【難易程度】容易【參考答案】0.254【試題解析】對的回歸直線方程=0.254（+1）+0.321，=0.254（+1）+0.3210.2540.321=0.254.15一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示，左視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是 第15題圖 【測量目標(biāo)】由三視圖求幾何體的表面積.【考查方式】給出三棱錐的體積，及俯視圖，求三棱錐左視圖的面積. 【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為a，由題意可知,所以=2，底面三角形的高為，所以左視圖矩形的面積為2×=216.已知函數(shù)

12、=Atan（x+）（），y=的部分圖象如下圖，則 第16題圖 【測量目標(biāo)】的圖象與性質(zhì). 【考查方式】結(jié)合正切函數(shù)圖象，在給定范圍內(nèi)求出周期，進(jìn)而得出解析式和函數(shù)值.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】由題意可知A=1，=，所以=2，函數(shù)的解析式為：因?yàn)楹瘮?shù)過（0，1），所以，1=tan，所以=，所以則=tan（）=.三、解答題：解答應(yīng)寫文字說明，證明過程或演算步驟17.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列an滿足a2=0，a6+a8=10 （I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和【測量目標(biāo)】等差數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的關(guān)系.【考查方式】已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)，再結(jié)合給出

13、的關(guān)系式，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【難易程度】容易【試題解析】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得解得 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為（步驟1） （II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，即故（步驟2） 所以，當(dāng)時(shí)， （步驟3）所以綜上，數(shù)列（步驟4）18（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD （I）證明：平面PQC平面DCQ； （II）求二面角QBPC的余弦值第18題圖 【測量目標(biāo)】面面平行的判定，二面角.【考查方式】給出空間線線、線面的關(guān)系，利用空間直角坐標(biāo)系求解.【難易程度】中等【試題解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立

14、空間直角坐標(biāo)系D.第18題（I）圖 （I）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.則所以（步驟1）即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ. （步驟2）又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. （步驟3） （II）依題意有（1，0，1），設(shè)是平面PBC的法向量，則因此可?。ú襟E4）設(shè)是平面PBQ的法向量，則可取故二面角QBPC的余弦值為（步驟5）19.（本小題滿分12分）某農(nóng)場計(jì)劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個(gè)品種（分別稱為品種家和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn)選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙 （I）假

15、設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； （II）試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個(gè)小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表：品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？附：樣本數(shù)據(jù)的的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)【測量目標(biāo)】用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征.【考查方式】給出種植方式求分布列與數(shù)學(xué)期望，再根據(jù)樣本方差與樣本平均數(shù)判斷應(yīng)選品種.【難易程度】中等【

16、試題解析】（I）X可能的取值為0，1，2，3，4，且即X的分布列為X0134P（步驟1） X的數(shù)學(xué)期望為 （步驟2） （II）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：（步驟3） 品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：（步驟4）由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙.20.（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O，長軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線lMN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D （I）設(shè)，求與

17、的比值； （II）當(dāng)變化時(shí)，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由 第20題圖 【測量目標(biāo)】橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.【考查方式】給出離心率求線段比值，判斷在離心率變化時(shí)，是否存在直線使已知兩直線平行. 【難易程度】較難【試題解析】（I）因?yàn)镃1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè)(步驟1)設(shè)直線，分別與，的方程聯(lián)立，求得 (步驟2)當(dāng)表示的縱坐標(biāo)，可知 (步驟3) （II）=0時(shí)的l不符合題意.時(shí)，BO/AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率與AN的斜率相等，即解得(步驟4)因?yàn)?步驟5)所以當(dāng)時(shí)，不存在直線l，使得BOAN； 當(dāng)時(shí)，存在直線l使得BOAN. (步驟6)21.（本小題滿分12分

18、）已知函數(shù) （I）討論的單調(diào)性； （II）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，； （III）若函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：（x0）0【測量目標(biāo)】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題.【考查方式】給出含參的函數(shù)式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過限定參數(shù)范圍，證明不等式.【難易程度】較難【試題解析】（I）的定義域?yàn)?（i）若則所以在單調(diào)增加. （ii）若則由得且當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)(步驟1)所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少. (步驟2) （II）設(shè)函數(shù)則(步驟3)當(dāng)時(shí)而.故當(dāng)， (步驟4) （III）由（I）可得，當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象與軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，故，從而的最大值為(步驟5)不妨設(shè)則由（

19、II）得又在單調(diào)遞減，從而于是(步驟6) 由（I）知， (步驟7)請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分做答是用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號(hào)下方的方框涂黑22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點(diǎn)，且EC=ED （I）證明：CD/AB； （II）延長CD到F，延長DC到G，使得EF=EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓第22題圖 【測量目標(biāo)】直線與圓的位置關(guān)系.【考查方式】根據(jù)圓的性質(zhì)和直線的位置關(guān)系證明出線段的平行，結(jié)合圓和三角形中的角度關(guān)系證明圓上各點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系.【難易程度】容易【試題解析】（I）因?yàn)镋C=ED，所以EDC=ECD. （步驟1）因?yàn)樗狞c(diǎn)在同一圓上，所以EDC=EBA. 故ECD=EBA，所以CD/AB. （步驟2） （II）由（I）知，AE=BE，因?yàn)镋F=EG，故EFD=EGC從而FED=GEC. （步驟3） 連結(jié)AF，BG，則EFAEGB，故FAE=GBE，（步驟4）又CDAB，EDC=ECD，所以FAB=GBA. （步驟5）所以AFGGBA=180.故四點(diǎn)共圓.（步驟6）23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系統(tǒng)與參數(shù)方程在平面