三角函數(shù)有關(guān)計(jì)算

1、直角三角形直角三角形兩銳角兩銳角的關(guān)系的關(guān)系: :兩銳角互余兩銳角互余 A+B=90A+B=900 0直角三角形直角三角形三邊三邊的關(guān)系的關(guān)系: : 勾股定理勾股定理 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2bABCac直角三角形直角三角形邊與角邊與角之間的關(guān)系之間的關(guān)系: :銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)正切正切tanA=A的對邊的對邊A的鄰邊的鄰邊正弦正弦sinA= 余弦余弦cosA= 余切余切cotA=A的對邊的對邊斜邊斜邊A的鄰邊的鄰邊斜邊斜邊A的鄰邊的鄰邊A的對邊的對邊ca=cb=ba=ab=在在RtABC中，中，C為直角，為直角，A、B為銳角，它們所對的邊分別為銳角，它們所對的邊分別為為

2、c 、a、b ，其中除直角，其中除直角c 外，其余的外，其余的5 5個元素之間有以下關(guān)系：個元素之間有以下關(guān)系： 1、sin2A+cos2A= 1同角三角函數(shù)之間的關(guān)系同角三角函數(shù)之間的關(guān)系2、cotA=Atan13、tanA=AAcossintanA= 或或 tanAcotA= 1 Acot1互余兩角的正弦、余弦及正切、余切間的關(guān)系互余兩角的正弦、余弦及正切、余切間的關(guān)系sinA=cosB, cosA=sinB sinA=cosB, cosA=sinB tanA=cotBtanA=cotB， cotA=tanBcotA=tanB條件：條件：A+B=9003、cotA=AAsincos特殊角三

3、角函數(shù)值特殊角三角函數(shù)值cottancossin9 06 045 3 00角 度三角函數(shù)21212222332323333310011100不存在不存在角角 度度逐逐 漸漸增增 大大在在00900之間，正弦、余弦及正切、余切隨角度變化而變化的規(guī)律是之間，正弦、余弦及正切、余切隨角度變化而變化的規(guī)律是:當(dāng)角度在當(dāng)角度在00900間變化時(shí)，正弦值、正切值都隨著角度的增大而增大。間變化時(shí)，正弦值、正切值都隨著角度的增大而增大。當(dāng)角度在當(dāng)角度在00900間變化時(shí)，余弦值、余切值都隨著角度的增大而減小。間變化時(shí)，余弦值、余切值都隨著角度的增大而減小。銳角銳角A的正弦值、余弦值的變化范圍：的正弦值、余弦值

4、的變化范圍：0 sinA1 0cosA1直角三角形直角三角形兩銳角兩銳角的關(guān)系的關(guān)系: :兩銳角互余兩銳角互余 A+B=90A+B=900 0直角三角形直角三角形三邊三邊的關(guān)系的關(guān)系: : 勾股定理勾股定理 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2直角三角形直角三角形邊與角邊與角之間的關(guān)系之間的關(guān)系: :銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)3、解直角三角形、解直角三角形 已知元素已知元素 解法解法兩邊兩邊兩條直角邊兩條直角邊a a，b b一條直角邊一條直角邊a a和斜和斜邊邊c c一邊一邊和一和一銳角銳角一條直角邊一條直角邊a a和銳和銳角角A A斜邊斜邊c c和銳角和銳角A AbABCacABAbaAb

5、ac90tan,22，求用ABAcaAacb90sin,22，求用AabAacABtan,sin90，AcbAcaABcos,sin90，1 1、已知兩邊求角、已知兩邊求角2 2、已知一邊一角求另一邊、已知一邊一角求另一邊1.1.在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AB=2,BC= ,AB=2,BC= ,則則 tan =tan = 。 2A3C C333 3等腰三角形底角為等腰三角形底角為3030，底邊長為，底邊長為 ，則腰長為，則腰長為 ( ) ( ) A.4 B.A.4 B. 32C.2 D. C.2 D. 2332長積0 04 42 2, ,在在 A AB BC C中中 ，

6、 C C = = 9 90 0 ， s si in nA A = =, ,B BC C = = 2 20 0, ,5 5求求 A AB BC C的的 周周和和 面面。60， 1504.4.在在ABCABC中，中，C=90C=90，若，若BC=4cmBC=4cm，sinsin= = ， 則則ACAC的長是的長是 ( ) ( ) 52A.6cm B. A.6cm B. cm 212C C. cmcm53D. cmD. cm132BD5.5.如圖所示，在如圖所示，在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，CDABCDAB于于D D，cos A=cos A= 53BD=8BD=8，則，則

7、AC=( )AC=( ) 215A.15 B.16 A.15 B.16 C.18 D. C.18 D. 一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5m2.5m，當(dāng)秋千向兩邊擺動，當(dāng)秋千向兩邊擺動時(shí)，擺角恰好為時(shí)，擺角恰好為60600 0，且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位，且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時(shí)與其擺至最低位置時(shí)的高度之差（結(jié)果精確到置時(shí)與其擺至最低位置時(shí)的高度之差（結(jié)果精確到0.01m0.01m）OBDACn解：如圖所示，有題意可知，解：如圖所示，有題意可知， )(165.2235 .230cos5 .2,30602190000mODOCOCDR

8、tmOAODAODOCD中，在，AC=OA-OC=2.5-2.165=0.34(m)答：最高位置與最低位置的高度差答：最高位置與最低位置的高度差約為約為0.34m。6、如圖，在、如圖，在ABC中，中，AB5，AC7，B60，求，求BC的長的長解：過解：過A點(diǎn)作點(diǎn)作ADBC于于D 在在RtABD中，中，ADABsin60 5 23235BDABcos60 5 2521在在RtADC中，中， DC 22223257ADAC211BCBDDC 8 25211D如圖，沿如圖，沿AC的方向修建高速公路，為了加快工程進(jìn)度，要在小的方向修建高速公路，為了加快工程進(jìn)度，要在小山的兩邊同時(shí)施工。在山的兩邊同時(shí)施

9、工。在AC上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)B，在，在AC外另取一點(diǎn)外另取一點(diǎn)D，使，使ABD150，BD=380m，D=60問問開挖點(diǎn)離開挖點(diǎn)離D多遠(yuǎn)，正好使多遠(yuǎn)，正好使A、C、E在一條直線上？在一條直線上？15060解：延長解：延長AC交直線交直線DE于點(diǎn)于點(diǎn)E。BED1506090 在在RtBED中中 .答：開挖點(diǎn)離點(diǎn)答：開挖點(diǎn)離點(diǎn)D190m時(shí)，正好使時(shí)，正好使A、C、E在一條直線上。在一條直線上。mBDDE1902138060cos0380在數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測河寬。如圖，某學(xué)生在點(diǎn)在數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測河寬。如圖，某學(xué)生在點(diǎn)A處觀測到河對岸水邊處有一點(diǎn)處觀測到河對岸水邊處有一點(diǎn)C，

10、并測得，并測得CAD=450，在距離，在距離A點(diǎn)點(diǎn)30米的米的B處測得處測得CBD=300，求河寬，求河寬CD（結(jié)果可帶根號）。（結(jié)果可帶根號）。 C 45 30 D A B在在RtRtCBDCBD中，中， CBD=30CBD=30設(shè)設(shè)CD=xCD=x，則，則BD= xBD= x3xCDAD在在RtRtCADCAD中，中， CAD=45CAD=45303 xx由由AD-BD=ABAD-BD=AB，得，得15315x答：河寬答：河寬CD為為 米。米。15315解：解：30 x x23已知：如圖，塔已知：如圖，塔AB和樓和樓CD的水平距離為的水平距離為80米，從樓頂米，從樓頂C處及樓處及樓底底D處

11、測得塔頂處測得塔頂A的仰角分別為的仰角分別為450和和600，試求塔高與樓高（精，試求塔高與樓高（精確到確到0.01米）（參考數(shù)據(jù)：米）（參考數(shù)據(jù)： 1.41421； 1.73205）解：由題意，在解：由題意，在RtABD中，中，BD80（米），（米），BDA=60 ABBDtan60080 138.56（米）（米） 3在在RtAEC中，中，ECBD80（米），（米），ACE45 AECE80（米）（米） CDBEABAE80 8058.56（米）（米） 3答：塔答：塔AB的高約為的高約為138.56米，樓米，樓CD的高約為的高約為58.56米米4506080如圖，某建筑物如圖，某建筑物BC直

12、立于水平地面，直立于水平地面，AC9米要建造梯米要建造梯AB，使，使每階高不超過每階高不超過20厘米，則此階梯最少要建厘米，則此階梯最少要建_階（最后一階的階（最后一階的高不足高不足20厘米時(shí)，按一階計(jì)算；厘米時(shí)，按一階計(jì)算； 取取1.732）3519.62025.9826解：在解：在RtABC中中BC=ACtanA =9tan300 =3 5.196（米）（米）=519.6（厘米）（厘米）3如圖如圖,當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點(diǎn)當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，它走過了時(shí)，它走過了200m。已知纜車行駛的路線與水平面的夾角為已知纜車行駛的路線與水平面的夾角為16，纜車垂直上升，纜車垂直上升

13、的距離是多少？的距離是多少？解：在解：在RtRtABCABC中中 BC=ABsin1BC=ABsin16 60 0 2002000.275655.120.275655.12答：纜車垂直上升的距離是答：纜車垂直上升的距離是55.12m55.12m我們可以借助科學(xué)計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值我們可以借助科學(xué)計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值. .如圖如圖,當(dāng)?shù)巧嚼|車?yán)^續(xù)由點(diǎn)當(dāng)?shù)巧嚼|車?yán)^續(xù)由點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，它又走過了時(shí)，它又走過了200m。已知纜車由點(diǎn)已知纜車由點(diǎn)B到點(diǎn)到點(diǎn)D的行駛路線與水平面的夾角為的行駛路線與水平面的夾角為42，由，由此你還能計(jì)算出什么？此你還能計(jì)算出什么？用計(jì)算器求三角函數(shù)值要用到用計(jì)

14、算器求三角函數(shù)值要用到sin,cossin,cos和和tantan鍵鍵, ,如求如求sin16sin16,cos42,cos42,tan85,tan85和和sin72sin723825“3825“的按鍵順序如下：的按鍵順序如下：解：在解：在RtADE中，中，32，DECB20米米. AECEtan 200.6249 12.498 ABAEEB12.4981.2=13 . 69813.70米米. 答：旗桿的高度是答：旗桿的高度是13.70米。米。 在如圖：光明中學(xué)初三（在如圖：光明中學(xué)初三（1）班的學(xué)生用自己制作的測傾器測量）班的學(xué)生用自己制作的測傾器測量該校旗桿的高度。已知測傾器的桿高該校旗桿

15、的高度。已知測傾器的桿高DC=1.2米，測得桿頂?shù)难鼋敲?，測得桿頂?shù)难鼋?2(如圖如圖)，測得點(diǎn)，測得點(diǎn)D到旗桿的水平距離到旗桿的水平距離BD=20m，求旗桿的，求旗桿的高度高度AB(結(jié)果精確到結(jié)果精確到0.01米米).（參考數(shù)據(jù)：（參考數(shù)據(jù)：sin3200.5299, cos3200.8480 ，tan3200.6249） AEBCD20 為了方便行人推車過天橋，市政府在為了方便行人推車過天橋，市政府在10m高的天橋兩端高的天橋兩端修建了修建了40m長的斜道。這條斜道的傾斜角是多少？長的斜道。這條斜道的傾斜角是多少？ AB40mC10m那么那么AA是多少度呢是多少度呢? ?要解決這問題要解決

16、這問題, ,我們可以借助科學(xué)計(jì)算器我們可以借助科學(xué)計(jì)算器. .解：如圖解：如圖, ,在在RtRtABCABC中中.414010sinACBCA用科學(xué)計(jì)算器求銳角用科學(xué)計(jì)算器求銳角A A（精確到（精確到11） 若若sinA=0.3456sinA=0.3456，則，則A=A= 若若cosA=0.3456cosA=0.3456，則，則A=A= 若若tanA=0.3456tanA=0.3456，則，則A=A=202013061306 191903540354 696946544654 如圖，工件上有一個如圖，工件上有一個V形槽，測得它的上口寬形槽，測得它的上口寬20mm，深，深19.2mm，求，求V形

17、角（形角（ACB）的大小（結(jié)果精確到）的大?。ńY(jié)果精確到1）,5208. 02 .1910tanCDADACDACD27.50 . .ACB=2ACD227.50 =55=550. .V V型角的大小約型角的大小約55550 0. .解：在解：在RtRtACDACD中中如圖，一名患者體內(nèi)某重要器官后面有一腫瘤，在接受放射性如圖，一名患者體內(nèi)某重要器官后面有一腫瘤，在接受放射性治療時(shí)，為了最大限度地保證療效，并且防止傷害器官，射線治療時(shí)，為了最大限度地保證療效，并且防止傷害器官，射線必須從側(cè)面照射。已知腫瘤在皮下必須從側(cè)面照射。已知腫瘤在皮下6.3cm的的A處，射線從腫瘤右處，射線從腫瘤右側(cè)側(cè)9

18、.8cm的的B處進(jìn)入身體，求射線的入射角度。處進(jìn)入身體，求射線的入射角度。解解: :如圖如圖, ,在在RtRtABCABC中中,AC=6.3cm,BC=9.8cm,AC=6.3cm,BC=9.8cm,.6429. 08 . 93 . 6tanBCACBB320 4413.4413.因此因此, ,射線的入射角度約為射線的入射角度約為32320 0 4413.4413.如圖如圖, ,為了測量山坡的護(hù)坡石壩與地面的傾斜角為了測量山坡的護(hù)坡石壩與地面的傾斜角,把一根長把一根長為為4.5m4.5m的竹竿的竹竿ACAC斜靠在石壩旁斜靠在石壩旁, ,量出竹竿長量出竹竿長1m1m時(shí)它離地面的高時(shí)它離地面的高度為度為0.6m,0.6m,又量得竿頂與壩腳的距離又量得竿頂與壩腳的距離BC=2.8m.BC=2.8m.這樣這樣求就求就