九,平面一般力系平衡方程的其他形式

1、第九講內(nèi)容一、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我們通過(guò)平面一般力系的平衡條件導(dǎo)出了平面一般力系平衡方程 的基本形式，除了這種形式外，還可將平衡方程表示為二力矩形式及三力矩 形式。1.二力矩形式的平衡方程在力系作用面內(nèi)任取兩點(diǎn) A、B及X軸，如圖4-13所示，可以證明 平面一般力系的平衡方程可改寫(xiě)成兩個(gè)力矩方程和一個(gè)投影方程的形式，即X 0M A 0(4-6)M B 0式中X軸不與A、B兩點(diǎn)的連線垂直。證明：首先將平面一般力系向 A點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般可得到過(guò) A點(diǎn)的一個(gè)力 和一個(gè)力偶。若Ma 0成立，則力系只能簡(jiǎn)化為通過(guò) A點(diǎn)的合力R或成平 衡狀態(tài)。如果 M b 0又成立，說(shuō)明R必通過(guò)Bo可見(jiàn)合力R

2、的作用線必 為AB連線。又因 X 0成立，則Rx X 0,即合力R在X軸上的投 影為零，因AB連線不垂直X軸，合力R亦不垂直于X軸，由Rx 0可推 得R 0。可見(jiàn)滿足方程(46)的平面一般力系，若將其向 A點(diǎn)簡(jiǎn)化，其 主矩和主矢都等于零，從而力系必為平衡力系。0 4-i aE 4 142.三力矩形式的平衡方程在力系作用面內(nèi)任意取三個(gè)不在一直線上的點(diǎn)A、B、C,如圖4-14所示，則力系的平衡方程可寫(xiě)為三個(gè)力矩方程形式，即Ma 0Mb 0（4 7）Mc 0式中，A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上。同上面討論一樣，若 Ma 0和 M B 0成立，則力系合成結(jié)果只能是通過(guò)A、B兩點(diǎn)的一個(gè)力（圖4 14）或者

3、平衡。如果 Mc 0也成立， 則合力必然通過(guò) C點(diǎn)，而一個(gè)力不可能同時(shí)通過(guò)不在一直線上的三點(diǎn)，除 非合力為零，M C 0才能成立。因此，力系必然是平衡力系。綜上所述，平面一般力系共有三種不同形式的平衡方程，即式（4-5）、式（46）、式（47）,在解題時(shí)可以根據(jù)具體情況選取某一種形式。無(wú) 論采用哪種形式， 都只能寫(xiě)出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，求解三個(gè)未知數(shù)。 任何 第四個(gè)方程都不是獨(dú)立的，但可以利用這個(gè)方程來(lái)校核計(jì)算的結(jié)果?！纠?7】 某屋架如圖 4-15 (a)所示，設(shè)左屋架及蓋瓦共重P 3kN ,右屋架受到風(fēng)力及荷載作用，其合力P2 7kN , P2與BC夾角為80，試求A、B支座的反力。【解】

4、 取整個(gè)屋架為研究對(duì)象，畫(huà)其受力圖，并選取坐標(biāo)軸X軸和Y軸，如圖4-15 (b)所示，列出三個(gè)平衡方程X 0 Xa P2 cos700XAP2 cos707 0.342 2.39kNMa 0Yb 16 4 P P2sin7012 P2cos70 4 tan304H 12P2sin704P2 cos70 tan30Yb164 3 12 7 0.94 4 7 0.342 0.577165.34kNMb 016Ya 12P P2sin70 4 P2cos704 tan300Ya12P1 4P2sin704P2cos70 tan30164.24kN校核Y YaYbPP2 sin 704.24 5.34

5、 3 7 0.940說(shuō)明計(jì)算無(wú)誤?！纠?8】 梁AC用三根支座鏈桿連接，受一力 P 50kN作用，如圖416 (a)所示。不計(jì)梁及鏈桿的自重，試求每根支座鏈桿的反力?！窘狻?取AC梁為研究對(duì)象，畫(huà)其受力圖，如圖416 ( b )所示。列平衡方程時(shí)，為避免解聯(lián)立方程組， 最好所列的方程中只有一個(gè)未知力，因 此，取Ra和Rb的交點(diǎn)O 1為矩心列平衡方程O(píng)iRc0Rc 6 Pcos60 2 Psin 60 4 02 P cos 604Psin60 2 50 0.5 4 50 0.86637.2kNMo20Racos45Pcos60 4Psin60 2 0(4Pcos602Psin60 )(4 50

6、0.5621.99kN2 50 0.866) 0.7076取Rb與Rc的交點(diǎn)O2為矩心列平衡方程X 0Ra cos45Rb cos45 P cos60 0RbRa cos45P cos60cos4521.99 0.707 50 0.5 13.37kN0.707校核Y Ra sin45 21.99 0.707 0Rb sin 45Rc Psin60BC13.37 0.707 37.2 50 0.866說(shuō)明計(jì)算無(wú)誤。3.平面力系的特殊情況平面一般力系是平面力系的一般情況。除前面講的平面匯交力系,平面力偶系外，還有平面平行力系都可以看為平面一般力系的特殊情況,它們的平衡方程都可以從平面一般力系的平衡

7、方程得到，現(xiàn)討論如下。(1)平面匯交力系對(duì)于平面匯交力系，可取力系的匯交點(diǎn)作為坐標(biāo)的原點(diǎn)，圖4 17(a)所示，因各力的作用線均通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,各力對(duì)O點(diǎn)的矩必為零，即恒 有 Mo 0。因此，只剩下兩個(gè)投影方程X 0Y 0即為平面匯交力系的平衡方程。(2)平面力偶系平面力偶系如圖 4 17(b)所示，因構(gòu)成力偶的兩個(gè)力在任何軸上的投影必為零，則恒有X 0和 Y 0,只剩下第三個(gè)力矩方程，但因?yàn)榱ε紝?duì)某點(diǎn)的矩等于力偶矩，則力矩方程可改寫(xiě)為m00即平面力偶系的平衡方程。(3)平面平行力系平面平行力系是指其各力作用線在同一平面上并相互平行的力系，如圖4-17 (C)所示，選 OY軸與力系中的各力平行

8、，則各力在X軸上的投影恒為零，則平衡方程只剩下兩個(gè)獨(dú)立的方程Mo 0（4 一 8）若采用二力矩式（46）,可得MaMb（4 一 9）式中A、B兩點(diǎn)的連線不與各力作用線平行。平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能求解兩個(gè)未知量?！纠? 9】 圖4 18所示為塔式起重機(jī)。已知軌距b 4m ,機(jī)身重G 260kN ,其作用線到右軌的距離e 1.5m ,起重機(jī)平衡重 Q 80kN ,其作用線到左軌的距離 a 6m ,荷載P的作用線到右軌的距離l 12m , （1 ）試證明空載時(shí)（P 0時(shí)）起重機(jī)時(shí)否會(huì)向左傾倒？ （2）求出起重機(jī)不向右傾倒的最大荷載 P?！窘狻?以起重機(jī)為研究對(duì)象，作用于起重機(jī)上的力

9、有主動(dòng)力G、P、Q及約束力Na和Nb ,它們組成一個(gè)平行力系（圖 418）。（1）使起重機(jī)不向左倒的條件是 Nb 0 ,當(dāng)空載時(shí)，取P 0,列平衡方程Ma 0 Q a NB b G（e b） 01 -八Nb G(e b) Q a b1260(1.5 4) 80 6 4237.5kN 0所以起重機(jī)不會(huì)向左傾倒(2)使起重機(jī)不向右傾倒的條件是Na 0,列平衡方程Mb 0 Q(a b) Na b G e P l 01 -Na - Q(a b) Ge Plb欲使Na 0 ,則需Q(a b) G e P l1八一q Q(a b) G e1j 80(6 4) 2601.534.17kN當(dāng)荷載P 34.17

10、kN時(shí)，起重機(jī)是穩(wěn)定的。二、物體系統(tǒng)的平衡前面研究了平面力系單個(gè)物體的平衡問(wèn)題。但是在工程結(jié)構(gòu)中往往是由若干個(gè)物體通過(guò)一定的約束來(lái)組成一個(gè)系統(tǒng)。這種系統(tǒng)稱(chēng)為物體系統(tǒng)。例如，圖示419 (a)所示的組合梁，就是由梁AC和梁CD通過(guò)錢(qián)C連接， 并支承在A、B、D支座而組成的一個(gè)物體系統(tǒng)。/超rm/fHTHTl B S-L_g在一個(gè)物體系統(tǒng)中，一個(gè)物體的受力與其他物體是緊密相關(guān)的；整體受力又與局部緊密相關(guān)的。物體系統(tǒng)的平衡是指組成系統(tǒng)的每一個(gè)物體及系 統(tǒng)的整體都處于平衡狀態(tài)。在研究物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題時(shí)，不僅要知道外界物體對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的作用力，同時(shí)還應(yīng)分析系統(tǒng)內(nèi)部物體之間的相互作用力。通常將系統(tǒng)以外的物

11、體對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的作用力稱(chēng)為外力，系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力稱(chēng)為內(nèi)力。例如圖4-19 (b)的組合梁的受力圖，荷載及 A、B、D支座的反力就是外力，而在較 C處左右兩段梁之間的互相作用的力就是內(nèi)力。應(yīng)當(dāng)注意，外力和內(nèi)力是相對(duì)的概念，是對(duì)一定的考察對(duì)象而言的，例如圖4-19組合梁在較 C處兩段梁的相互作用力， 對(duì)組合梁的整體來(lái)說(shuō)， 就是內(nèi)力，而對(duì)左段梁或右段梁來(lái)說(shuō)，就成為外力了。當(dāng)物體系統(tǒng)平衡時(shí)，組成該系統(tǒng)的每個(gè)物體都處于平衡狀態(tài)，因而，對(duì)于每一個(gè)物體一般可寫(xiě)出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。如果該物體系統(tǒng)有 n個(gè)物體，而每個(gè)物體又都在平面一般力系作用下，則就有3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程, 可以求出3n個(gè)未知量。但

12、是，如果系統(tǒng)中的物體受平面匯交力系或平面平行力系的作用，則獨(dú)立的平衡方程將相應(yīng)減少，而所能求的未知量數(shù)目也相應(yīng)減少。當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)中未知量的數(shù)目不超過(guò)獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，則未知量可由平衡方程全部求出， 這樣的問(wèn)題稱(chēng)為靜定問(wèn)題。 當(dāng)未知量的數(shù)目超過(guò)了獨(dú)立平衡方程數(shù)目， 則未知量由平衡方程就不能全部求出，這樣的問(wèn)題，則稱(chēng)為超靜定問(wèn)題，在靜力學(xué)中，我們不考慮超靜定問(wèn)題。在解答物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題時(shí)，可以選取整個(gè)物體系統(tǒng)作為研究對(duì)象，也可以選取物體系統(tǒng)中某部分物體(一個(gè)物體或幾個(gè)物體組合)作為研究對(duì)象，以建立平衡方程。由于物體系統(tǒng)的未知量較多，應(yīng)盡量避免從總體的聯(lián)立方程組中解出，通常可選取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象

13、，看能否從中解出一或兩個(gè)未知量，然后再分析每個(gè)物體的受力情況，判斷選取哪個(gè)物體為研究對(duì)象， 使之建立的平衡方程中包含的未知量少，以簡(jiǎn)化計(jì)算。下面舉例說(shuō)明求解物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的方法?！纠? 10】 組合梁受荷載如圖 4-20(a)所示。已知Pi 16kN, P2 20kN ,m 8kN m ,梁自重不計(jì)，求支座A、C的反力?！窘狻拷M合梁由兩段梁AB 和BC組成，作用于每一個(gè)物體的力系都是平面一般力系，共有6個(gè)獨(dú)立的平衡方程；而約束力的未知數(shù) 也是6 (A處有三個(gè)，B處有兩個(gè)，C處有1個(gè))。首先取整個(gè)梁為研究對(duì) 象，受力圖如圖 4-20 (b)所示。X 0 XA P2 cos600XA P2 co

14、s60 10kN其余三個(gè)未知數(shù) Ya、mA和Rc ,無(wú)論怎樣選取投影軸和矩心，都無(wú)法求出其中任何一個(gè)，因此，必須將AB梁和BC梁分開(kāi)考慮，現(xiàn)取 BC梁為研究對(duì)象，受力圖如圖 4 20 (c)所示。Xb P2 cos600Xb P2 cos60 10kNM B 0 2Rc P2 sin60 1 0RcP2 sin6028.66kNY 0Rc YbP2 sin 600YbRcP2 sin 608.66kN再回到受圖4 20 (b)Ma 05Rc 4P2 sin 60P2mmA0mA 4P2 sin 602Pl 5Rc m 65.98kNY 0YaRc PP2 sin 600YAP P2 sin 6

15、0Rc 24.66kN校核：對(duì)整個(gè)組合梁，列出Mb mA-3YA P 1 1 P2sin60 2RC m 65.98 3 24.66 16 1 1 20 0.866 2 8.66 8 0可見(jiàn)計(jì)算無(wú)誤。【例411】 鋼筋混凝土三校剛架受荷載如圖4-21 (a)所示，已知q 16kN/m , P 24kN ,求支座A、B和較C的約束反力?！窘狻?三校剛架由左右兩半剛架組成，受到平面一般力系的作用，可以列出六個(gè)獨(dú)立的平衡方程。分析整個(gè)三較剛架和左、右兩半剛架的受力, 畫(huà)出受力圖，如圖(b)、(c)、(d)所示，可見(jiàn)，系統(tǒng)的未知量總計(jì)為六個(gè), 可用六個(gè)平衡方程求解出六個(gè)未知量。(1)取整個(gè)三校剛架為研

16、究對(duì)象，受力圖如圖 4-21 (b)所示Ma 0q 8 4 P 10 Yb 1Ybq 8 4 P 101616 047kN16 06105kNM B 0 q 8 12 P 6 Ya1Yaq 8 12 P16X 0 Xa Xb 0Xa Xb(a)(2)取左半剛架為研究對(duì)象，受力圖如圖4 21 ( c)所示MC 0 XA 8 q 8 4 YA 8 0 1Xa - 8Ya q 8 4 41kN 8Y 0YA YC q 8 0Yc q 8 Ya 23kNX 0 XA XC 0 ACXC XA 41kN CA將Xa值代入(a),可得Xb Xa 41kN校核：考慮右半剛架的平衡，受力圖如圖4 21 ( d

17、)所示X Xc Xb 41 41 0Me P 2 Yb 8 X b 824 2 47 8 41 8 0Y Yb - YeP 47 23 24 0可見(jiàn)計(jì)算無(wú)誤?！?12】 圖4 22 (a)所示，在支架上懸掛著重 P 4kN的重物,B、E、D為較接，A為固定端支座，滑輪直徑為 300mm ,軸承C是光滑 的，其余尺寸如圖示。各桿和滑輪、繩子重量不計(jì)，求 A、B、C、D、E各 處的反力?！窘狻浚罕窘Y(jié)構(gòu)中，DE為二力桿，因此D、E處錢(qián)鏈反力有1個(gè)未知量；A為固定端支座有 3個(gè)未知的約束反力；B、C處較鏈反力各有2個(gè)未知量；滑輪兩邊的繩子拉力各有 1個(gè)未知量；共10個(gè)未知量?？紤]到 AB、BC和滑輪三個(gè)構(gòu)件處于平衡，其可寫(xiě)9個(gè)平衡方程；再加上重物在二力作用下處于平衡，可有1個(gè)平衡方程。平衡方程的數(shù)目恰好等于未知量的數(shù)目。1-22取整個(gè)結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，(圖4 22 ( b)列平衡方程X 0 X a 0Y 0Ya P 0Ya P 4kNMA 0 mAp 2.15 0mA 4 2.15 8.6kN考慮重物的平衡(圖 4-22 (e)根據(jù)二力平衡公理知P 4kN考慮滑輪的平衡(圖 4 22 (d),列平衡方程M C 0T2 0.15 T1 0.15 0T2 T1 4kN可見(jiàn)，在不計(jì)軸承摩擦的情況下，滑輪處于平衡時(shí)，其兩邊繩子的拉 力相等。X