傅里葉變換和拉普拉斯變換_圖文

1、 f (t )sin w0 t 15 16 終值定理 調(diào)制定理 f 0+ = lim+ f (t ) = lim sF (s ) t 0 t ( ) 1 F (s - jw0 ) - F (s + jw0 2 f () = lim f (t ) = lim sF (s ) t t 0 利用式(5-5和拉普拉斯變換的性質(zhì)，可以求出和導(dǎo)出一些常用時(shí)間常數(shù) f (t )U (t )的拉普拉斯變換式，如表 5-2 中所列。利用此表可以方便地查出待求的像函數(shù) F (s ) 或原函數(shù) f (t ) 表 5-2 拉普拉斯變換表 序號(hào) 1 2 3 4 5 6 f (t )U (t ) F (s ) 1 s (

2、t ) s n (t ) U (t ) sn t tn e - at 1 s 1 s2 n! s n +1 1 s+a 1 (s + a )2 7 te- at 8 t n e - at n! (s + a )n+1 9 e - jwt 1 s + jw 10 11 12 sin wt coswt e- at sin wt w s + w2 2 s s + w2 2 (s + a )2 + w 2 s+a (s + a )2 + w 2 w 13 e - at coswt 14 t sin wt (s 15 2ws 2 + w2 ) 2 t coswt (s 16 17 18 s2 -w 2

3、2 +w2 ) 2 shwt w s - w2 2 chwt d (t - nT n=0 s s - w2 1 1 - e - sT 2 19 n=0 f (t - nT F0 ( s 1 - e - sT 20 U (t - nT - U (t - nT - t T t n =0 , 1 - e- st s 1 - e - sT ( ) 七、拉普拉斯反變換 () () 從已知的像函數(shù) F s 求與之對(duì)應(yīng)的原函數(shù) f t ，稱為拉普拉斯反變換。通常有兩種方法。 1 () 由于工程實(shí)際中系統(tǒng)響應(yīng)的像函數(shù) F s 通常都是復(fù)變量 s 的兩個(gè)有理多項(xiàng)式之比，亦即是 s 的一個(gè)有理分 式，即 N (s

4、 ) bm s m + bm=1 s m-1 + L + b1 s + b0 F (s ) = D(s ) s n + an-1 s n-1 + L + a1 s + a0 式中， (5-10 a0 b a L () , a1 , , n -1 和 b1 , b 2 , , m 等均為實(shí)系數(shù)； m 和 n 均為正整數(shù)。故可將像函數(shù) F s 展開 () 成部分分式，再輔以查拉普拉斯變換表即可求得對(duì)應(yīng)的原函數(shù) f t 。 () () 欲將 F s 展開成部分分式，首先應(yīng)將式(5-10化成真分式。即當(dāng) m n 時(shí)，應(yīng)先用除法將 F s 表示成一個(gè) s N 0 (s ) N 0 (s ) N (s )

5、 N (s ) F (s ) = = Bm - n s m - n + L + B1 s + B0 + 0 D(s ) D(s ) ，這樣余式 D (s ) 的多項(xiàng)式與一個(gè)余式 D (s ) 之和， 即 已為一真分式。對(duì)應(yīng)于多項(xiàng)式 Q(s ) = Bm - n s m - n + L + B1 s + B0 各項(xiàng)的時(shí)間函數(shù)是沖激函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)與沖 F (s ) = 激函數(shù)本身。所以，在下面的分析中，均按 (1 分母多項(xiàng)式 N (s ) D(s ) 已是真分式的情況討論。分兩種情況研究： L pi L p n () 的根為 n 個(gè)單根 p1 p 2 。由于 D s = 0 D(s ) = s n

6、 + an-1 s n-1 + L + a1 s + a0 = 0 時(shí)即有 F (s ) = ， 故稱 D(s ) = 0 的根 pi (i=1,2,n為 F(s的極點(diǎn)。 此時(shí)可將 D(s進(jìn)行因式分解， 而將式(5-10 寫成如下的形式，并展開成部分分式。即 F (s ) = N (s ) bm s m + bm =1s m -1 + L + b1s + b = = D(s ) (s - p1 )(s - p2 )L(s - pi )L(s - pn ) (5-11 式中， K1 K2 Ki Kn + +L+ +L+ s - p1 s - p2 s - pi s - pn 可見，只要將待定常數(shù)

7、 Ki (i=1,2,n為待定常數(shù)。 Ki 求出，則 F (s ) 的原函數(shù) f (t ) 即可通過查表 5-2 中序號(hào) 6 的公式而求得為 n f (t ) = K 1e p1t + K 2 e p2t + L + K i e pit + L + K n e pnt = K i e pi tU (t ) i =1 待 定 常 數(shù) K1 按 下 式 求 得 ， 即 Ki = N (s ) (s - pi ) D(s ) s = pi F (s )(s - pi ) = (5-12 現(xiàn)對(duì)式(5-12推導(dǎo)如下：給式(5-11等號(hào)兩端同乘以 (s - p i ) ， ； 即有 K1 (s - pi

8、) + K 2 (s - pi ) + L + K i + L + K n (s - pi ) s - p1 s - p2 s - pn s = pi 由于此式為恒等式，故可取 p pi L p n pi 代入之，并考慮到 p1 p 2 2 ，故得： F (s )(s - pi ) s = p = 0 + 0 + L + Ki + L + 0 i K i = F (s )(s - pi ) s = p = i ，于是得 N (s ) (s - pi ) D(s ) s = pi 證畢。 *2 (Residue Method f (t ) = 根據(jù)式(5-7知， 拉普拉斯反變換式為 1 s +

9、j F (s )e st ds 2pj s - j t 0 這是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的線積分， s = c1 s 0 的直線 AB(亦即直線 AB 必須在收斂軸以右，如圖 5-4 其積分路徑是 s 平面內(nèi)平行于 jw 軸的 () 所示。直接求這個(gè)積分是很困難的，但從復(fù)變函數(shù)論知，可將求此線積分的問題，轉(zhuǎn)化為求 F s 的全部極 點(diǎn)在一個(gè)閉合回線內(nèi)部的全部留數(shù)的代數(shù)和。這種方法稱為留數(shù)法，也稱圍線積分法。閉合回線確定的原則 () 是：必須把 F s 的全部極點(diǎn)都包圍在此閉合回線的內(nèi)部。因此，從普遍性考慮，此閉合回線應(yīng)是由直線 AB 與直線 AB 左側(cè)半徑 R = 的圓 C R 所組成，如圖 54 所示。

10、這樣，求拉普拉斯反變換的運(yùn)算，就轉(zhuǎn)化為求 st () 被積函數(shù) F (s )e 在 F s 的全部極點(diǎn)上留數(shù)的代數(shù)和，即 f (t ) = = 1 s + j 1 1 F (s )e st ds = F (s )e st ds + F (s )e st ds 2pj s - j 2pj AB 2pj CR n 1 st ( ) F s e ds = Re s pi 2pj AB+CR i =1 式中 AB F (s )e st ds = f (t ) = s + j s - j F (s )e st ds ， CR F (s )e st ds = 0 ； pi (i = 1,2,L) 具體求法。 (1 若 為 F (s ) 的極點(diǎn)，亦即 D (s ) = 0 的根； Re s pi 為極點(diǎn) pi 的留數(shù)。以下分兩種情況介紹留數(shù)的 pi 為 D (s ) = 0 的單根即為 F (s ) 的一階極點(diǎn) ，則其留數(shù)為 Re s pi = F (s )e st (s - pi ) (2 若 s = pi (5-23 pi 為 D (s ) = 0 的 m 階重根即為 F (s ) 的 m 階極點(diǎn) ，則其留數(shù)為 pi = 1 d m -1 m F (s )e st (s - pi ) m -1 (m - 1)! ds s = pi (5-24 將式(5-23，式(5-24分別與式(5-