北京四中八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)線段的垂直平分線-----知識(shí)講解提高

1、線段的垂直平分線-知識(shí)講解(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線.2 .會(huì)證明三角形的三條中垂線必交于一點(diǎn).掌握三角形的外心性質(zhì)定理.3 .已知底邊和底邊上的高，求作等腰三角形4 .能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理解決簡單的幾何問題及實(shí)際問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、線段的垂直平分線1 .定義經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線.2 .線段垂直平分線的做法求作線段AB的垂直平分線.作法：(1)分別以點(diǎn) A B為圓心，以大于 1AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C, D兩點(diǎn)；2(2)作直

2、線CD CD即為所求直線. 要點(diǎn)詮釋：(1)作弧時(shí)的半徑必須大于AB的長，否則就不能得到兩弧的交點(diǎn)了.2(2)線段的垂直平分線的實(shí)質(zhì)是一條直線.要點(diǎn)二、線段的垂直平分線定理線段的垂直平分線定理： 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.要點(diǎn)詮釋：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩條線段相等的常用方法之一.同時(shí)也給出了引輔助線的方法，“線段垂直平分線， 常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全 等三角形創(chuàng)造條件.要點(diǎn)三、線段的垂直平分線逆定理線段的垂直平分線逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)

3、，在這條線段的垂直平分線上. 要點(diǎn)詮釋：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)組成了線段的垂直平分線.線段的垂直平分線可以看作是與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)的集合.要點(diǎn)四、三角形的外心三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心外心 .要點(diǎn)詮釋：1 .三角形三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn)（三線共點(diǎn)），該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心 .2 .銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合.3 .外心到三頂點(diǎn)的距離相等.要點(diǎn)五、尺規(guī)作圖作圖題是初中數(shù)學(xué)中不可缺少的一類試題，它要求寫出“已知，求作，作法和畫圖”，

4、畫圖必須保留痕跡，在現(xiàn)行的教材里，一般不要求寫出作法，但是必須保留痕跡.證明過程一般不用寫出來.最后要點(diǎn)題即“ xxx即為所求”.【典型例題】類型一、線段的垂直平分線定理C1.如圖，在 ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的去AB的長為半徑畫孤， 兩弧相交于點(diǎn)M, N,作直線 MN交BC于點(diǎn)D,連接AD.若4ADC的周長為10, AB=7,則 ABC的A、7B 14 C 、17D 20AD=BD又由 ADC的周長【思路點(diǎn)撥】 首先根據(jù)題意可得 MN> AB的垂直平分線，即可得為10,求得AC+BC勺長，則可求得 ABC的周長.1【解析】二在4ABC中，分別以點(diǎn) A和點(diǎn)B為圓心，大于的=

5、AB的長為半徑畫孤，兩弧相交于點(diǎn)M N作直線MN交BC于點(diǎn)D,連接AD.MN是AB的垂直平分線，.AD=BD.ADC的周長為10,AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10.AB=7 ABC 的周長為：AC+BC+AB=10+7=17【總結(jié)升華】 此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與作法.題目難度不大，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.舉一反三：【變式】閱讀“作線段的垂直平分線”的作法，完成填空及證明.已知：線段AB,要作線段 AB的垂直平分線.作法：(1)分別以A、B為圓心，大于 【AB的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)G D;2(2)作直線CD直線CD即為所求作的線段 AB的垂直平分線

6、.根據(jù)上述作法和圖形，先填空，再證明.已知：如圖，連接 AC BC AD BD, AC=AD=求證：CDL AB, CD平分AB.證明：A iIB雙【答案】已知：如圖，連接 AC BG AD BD, AC=AD=BC=BD 求證：CDLAB, CD平分 AB. 證明：設(shè)CD與AB交于點(diǎn)E.在 ACD BCD43,AC BCAD BD,CD CD. .AC陰BCD(SSS .1 = /2.-.AC=BC. ACB是等腰三角形.-.CE± AB, AE=BE即 CDL AB, CD平分 AB.O.如線分另、BS大住BEE兩,相交于點(diǎn)C Q,連接CQ與AB相交于點(diǎn) D,連接AG BC.那么

7、：(1) / ADC= _度:(2)當(dāng)線段 AB=4, Z ACB=60時(shí)，/ ACD=30度， ABC的面積等于 (面積單位)【思路點(diǎn)撥】利用線段垂直平分的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)計(jì)算.【答案】(1) 90° ;(2) 46.【解析】(1) AAB(G MQB 中，AC=AQ BC=BQ AB=AB AAB(C AAB(Q / CABW QAB根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，我們可知：AD是等腰 ACQ底邊的高、中線和頂角的平分線.，/ADC=90 .(2) AC=AB Z ACB=60 ,.ABC是等邊三角形.CD£ AB, / CADW BCD=30 .CD=

8、 ,'BC2 (1 BC)2.'16 4 2.3 .【總結(jié)升華】本題運(yùn)用了線段垂直平分的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，雖然知識(shí)點(diǎn)比較多，但只要找準(zhǔn)所求與已知的關(guān)系，本題并不難解.舉一反三：【變式】如圖，在 ABC中，已知BC=7, AC=16, AB的垂直平分線交 AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn) E,求ABEC的周長.【答案】DE是AB的垂直平分線，BE=AEBE+EC=AE+EC=AC .BEC 的周長=BE+EC+BC=AC+BC=23要點(diǎn)二、線段的垂直平分線的逆定理砂口一八出占占工 3.已知，如圖，在 ABC中，BD±AC于點(diǎn)D,點(diǎn)M N分別是AB>

9、BC邊的中點(diǎn).求證: 直線“此線段BD的垂直平分線.【思路點(diǎn)撥】 先連接 DM DN由于BD± AC,那么/ ADB=90 ,于是在 RtADB中，M是AB的中點(diǎn)，可得 DM=1AB=BM可證M在線段BD垂直平分線上，同理可證 N線段BD垂直平分 2線上，從而可知 MN BD垂直平分線.【答案與解析】 證明：如圖所示，連接 DM DN,-.BD± AC,，/ADB=90 ,在RtADB中,M是AB的中點(diǎn)，1DMjAB=BM2又在RtBDE中,N是BC的中點(diǎn)，1 c. DN= BC=BN2.M渴線段BD的垂直平分線.【總結(jié)升華】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上

10、的中線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是連接DM DN類型三、線段的垂直平分線定理與逆定理的綜合應(yīng)用眇 4. （2012圖興）聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念.定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.舉例：如圖1,若PA=PB則點(diǎn)P為 ABC的準(zhǔn)外心.應(yīng)用：如圖2, CD為等邊三角形 ABC的高，準(zhǔn)外心 P在高CD上，且PD=1AB,求/ APB的2探究：已知 ABC為直角三角形，斜邊 BC=5 AB=3,準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究 PA的長.圖1圖之【思路點(diǎn)撥】 應(yīng)用：連接PA PB,根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分 PB=PCPA=PCPA=PBE種 情況利用等邊三角形的性質(zhì)求出 PD與

11、AB的關(guān)系，然后判斷出只有情況是合適的， 再根據(jù) 等腰直角三角形的性質(zhì)求出/ APB=45 ,然后即可求出/ APB的度數(shù)；探究：先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分 PB=PCPA=PCPA=PB三種情況，根據(jù)三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得解.【答案與解析】應(yīng)用：解：若 PB=PC連接PB,則/ PCBW PBC.CD為等邊三角形的高，AD=BD / PCB=30 , / PBDh PBC=30 ,3、3PD= - DB= AB, _ 1 .一 一 與已知PD=AB矛盾，PB PC2若PA=PC連接PA,同理可得 PA PC若 PA=PB 由 PD=1AB,彳導(dǎo) PD=BD2，/APD

12、=45 , 故/APB=90 ; 探究：解：: BC=5 AB=3,若 PB=PC 設(shè) PA=x,貝U x2+32= (4-x) 2, x= 7 ,即 PA=7 ,c A *D3kfAC BC2 AB2,52 32 4【總結(jié)升華】 考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題意，弄 清楚準(zhǔn)外心的定義是解題的關(guān)鍵，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，要注意分三種情況進(jìn)行討論.舉一反三：【變式】在 ABC中，AB的垂直平分線分別交 AR BC于點(diǎn)D> E, AC的垂直平分線分別交 AG BC于點(diǎn) F、G,若 Z BAC=11O ,則/ EAG=.B EG C【答案】40° ;解：/ B=x, / c=y,貝 U, / B+/ C=180 -/BAG 即 x+y=70° ，.DE、GF分別是AB AC的垂直平分線，BE=AE AG=CG.Z BAE=/ B=x, / CAG= C=y,/ BAE吆 CAGy EAC4 BAG，x+y+/EAC=1l0 ，聯(lián)立得，/ EAC=I1O° -70° =40° .故答案為：40° .要點(diǎn)四、尺規(guī)作圖劭 5.如圖，每個(gè)格的單位長度是