專題復習 立體幾何 人教版

1、專題復習 立體幾何一. 本周教學內(nèi)容： 專題復習“立體幾何” 重點是空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、判定與性質(zhì)、角與距離的計算、側(cè)面積與體積的計算。二. 重點與難點： （1）立體幾何是在同學們學習了平面幾何的基礎上，為了進一步發(fā)展邏輯思維，推理論證能力，以及培養(yǎng)良好的空間想象能力而學習的一門課程。利用圖形的直觀性輔助邏輯推理是其主要特點，因此看圖、識圖、畫圖的能力在解決立體幾何的問題中就顯得尤為重要。 （2）立體幾何研究的內(nèi)容包括兩大單元：直線與平面；多面體與旋轉(zhuǎn)體，其中“直線與平面”單元側(cè)重空間中直線、平面之間的位置關系的概念，判斷方法及其性質(zhì)，為更好地認識多面體、旋轉(zhuǎn)體

2、中的線、面關系，打造基礎；而“多面體、旋轉(zhuǎn)體”單元側(cè)重研究各種幾何體的特性，其側(cè)面積、體積的計算方法，通過對其中的線、面關系的研究，則深化了對公理、定理的認識與應用，因此兩單元內(nèi)容相輔相成，渾然一體。 （3）在高考試題中，立體幾何試題一般有4道，其中選擇2道，填空1道，解答題1道，共25分左右，占試卷總分的，一般地，對重點內(nèi)容重點考查，如線、面平行與垂直關系的判定與性質(zhì)，特別是對以多面體、旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關系的論證，角、距離等等進行了反復考查。因此在復習時，要重點復習這些內(nèi)容與解題方法。三. 復習建議： （1）要熟練掌握線、面平行與垂直關系的判定，性質(zhì)定理。 （2）要熟記多面體、旋轉(zhuǎn)體的

3、側(cè)面積與體積公式。 （3）要理解并掌握異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的概念及求解方法，理解并掌握點到直線的距離，點到平面的距離，直線與平面的距離等重要概念與求解方法。 （4）要注意折疊問題的練習。 （5）要學會正確畫圖，準確地表述論證、解答的語言。典型例題 例1. 將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=a，則三棱錐D-ABC的體積為（ ） 分析：這是一道折疊問題，首先要清楚折疊前后有關長度與角的大小的變化 故選（D） 例2. 在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點，則直線AM與CN所成角的余弦值是（ ） 分析：顯然AM與C

4、N是異面直線，而求異面直線所成的角，要依照定義將其轉(zhuǎn)化為相交成角，故要將其平行移動（實際上是做平行線），如下圖，作NP/AM，NP與AB交于點P，連PC，則PNC是AM與CN所成的角。 故選（D）。 例3. 用一張半徑為R的圓形濾紙，做一個容量最大的過濾器（圓錐形），則將這圓形濾紙剪去一個扇形的中心角（弧度），應是（ ） 分析：題意是求使卷成的圓錐體積最大時的值，涉及到最值問題。 設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長l=R 顯然，由均值不等式定理，可知 故選（B） 例4. 正方體ABCDA1B1C1D1中，MN是異面直線A1D與AC的公垂線段，求證：MN/BD1。 分析：由于MNA1D且MNA

5、C聯(lián)想到線面平行的性質(zhì)定理，只需證明MN平面，且BD1平面，為此在圖形中發(fā)現(xiàn)滿足該要求的平面，由直覺猜測平面ACB1，即是要找的，再予以驗證即可，這似乎容易證明。 證明：連結(jié)AB1，CB1 由（1）（2）及線面垂直的性質(zhì)定理，知MN/BD1。 注本題看似平行問題，但要利用線面垂直的判定，性質(zhì)定理，說明了平行問題與垂直問題的緊密聯(lián)系。 例5. 成的二面角的大小。 解法一：（利用三垂線定理或其逆定理作出二面角的平面角） 解法二：（不必作出二面角的平面角，可采用投影法） 設D點在面ABC上的射影為E點，設二面角D-AB-C的大小為 注求二面角的方法有直接法和間接法 直接法主要有以下三種作法： （1）

6、由定義作出二面角的平面角； （2）利用三垂線定理（逆定理）作出二面角的平面角； （3）作二面角棱的垂面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角。 間接法主要有： （1）補角法：即從二面角內(nèi)一點向二面角的兩個面引垂線，則這兩條垂線的夾角與二面角的平面角互補； （2）投影法：即在二面角一個面上的某圖形（常選三角形）的面積為S，它在另一個面上投射面積為S，則它們的關系為S=S·cos，其中表示二面角的大小，（此法把求二面角的大小的問題轉(zhuǎn)化為研究投影圖形的面積問題，避開了作圖的難點）。 例6. 在底面ABC上的射影為O在AC上。 （1）求AB與側(cè)面AC1所成角； （2）若O為A

7、C的中點，求此三棱柱的側(cè)面積。 解： （2）由于該三棱柱是斜三棱柱，故求其側(cè)面積時可以分別求出三個側(cè)面面積，再求和；亦可選用課本中求斜棱柱的側(cè)面積公式來求。 此處我們采用前述方法，為此需判斷三個側(cè)面形狀 四邊形AA1C1C中，AC=AA1=a 思考若采用公式法求該三棱柱側(cè)面積，如何作出直截面？試用這種方法計算之。 例7. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長均為2a，D為CC1的中點，E為A1B1的中點。 （1）求證：A1B1/平面ABD； （2）求以BD為棱，以ABD與CBD為面的二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示） （3）求點E到平面DAB的距離。 解： （此題是否也可由投影法求

8、解？請思考） （3）（為避開作圖帶來的麻煩，不妨采用“等積法”） 設點E到平面ABD的距離為d 例8. 如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩相互垂直，且AB=BC=2， 求四面體ABCD的體積。 分析：顯然四面體ABCD是一個較為特殊的四面體 到與AD相交，再解答該角的三角形即可。 解：過A作BE的平行線交CB的延長線于點F，則DAF是異面直線AD、BE所成角 一. 選擇題 1. 設a、b是兩條異面直線，下列命題中正確的是（ ） A. 有且只有一條直線與a、b都垂直 B. 有一平面與a、b都垂直 C. 過直線a有且只有一平面與b平行 D. 過空間任一點必可作一條直線與a、b都相交

9、2. 設有不同的直線a、b和不同的平面，下列三個命題： （1）若； （2）若 （3）若。 其中正確命題的個數(shù)是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 對于直線m、n，和平面，的一個充分條件是（ ） A. B. C. D. 4. 圓錐母線長為1，側(cè)面展開圖的圓心角為，該圓錐體積為（ ） A. B. C. D. 5. 長方體的一個頂點上三條棱的長分別為3，4，5，且它的八個頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為（ ） A. B. C. D. 6. 一個圓錐的底面直徑和高都同一個的直徑相等，則圓錐與球的體積之比為（ ） A. 1：3B. 2：3C. 1：2D. 2：9 7. 一個長方

10、體共一頂點的三個面的面積分別為，這個長方體的對角線的長為（ ） A. B. C. 6D. 8. 一個圓柱的側(cè)面積展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側(cè)面積之比為（ ） A. B. C. D. 9. 若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面高度為6cm，若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF/AB，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（ ） A. B. 5C. 6D. 二. 填空題 11. 如圖，的等腰直角三角形ABD與正三角形CBD所在平面

11、互相垂直，E為BC的中點，則AE與平面BCD所成角的大小為_。 12. 有一個實心圓錐體零件，它的軸截面是邊長為10cm的等邊三角形，現(xiàn)要在它的整個表面鍍上一層防腐材料，已知每平方厘米的工料價為0.10元，則鍍一個這樣的零件需花費_元（） 13. 如圖所示是一個體積為72的正四面體，連結(jié)兩個面的重心E、F，則線段EF的長是_。 14. 如圖，E、F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的面ADD1A1與面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體各面上的射影可能是_。（把可能的圖的序號都填上）三. 解答題 15. 已知斜三棱柱的側(cè)面底面，BC=2，且 （I）求側(cè)棱AA1與底面ABC所成角

12、的大??； （II）求側(cè)面 （III）求頂點C到側(cè)面的距離。 16. 如圖，四棱錐的底面ABCD是一個直角梯形，AD/BC，AB=BC=a，AD=2a，且。 （I）若為垂足，求證：。 （II）求異面直線AE與CD所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）【試題答案】一. 選擇題 1. C 2. A 3. C 4. C 5. C 6. C 7. D 8. A 9. B 10. D 提示：5. 長方體的體對角線長=球的直徑 7. 設長方體的長、寬、高為a、b、c，則 10. 把幾何體分割成一個三棱柱與一個四棱錐。二. 填空題 11. 12. 24元13. 14. （2）（3） 提示13：由 如圖，連AE并延長交BC于G，連AF并延長交CD于H，連GH 三.