簡支梁截面抗彎模量計(jì)算分析

1、三 剪力圖與彎矩圖彎矩圖：（1）梁受集中力或集中力偶作用時，彎矩圖為直線，并且在集中力作用處，彎矩發(fā)生轉(zhuǎn)折；在集中力偶作用處，彎矩發(fā)生突變，突變量為集中力偶的大小 。（2）梁受到均布載荷作用時，彎矩圖為拋物線，且拋物線的開口方向與均布載荷的方向一致。（3）梁的兩端點(diǎn)若無集中力偶作用，則端點(diǎn)處的彎矩為0；若有集中力偶作用時，則彎矩為集中力偶的大小。例75圖示簡支梁，受集中力FP 和集中力偶M0=FPl 作用，試作此梁的彎矩圖。例總結(jié)上面例題，可以得到作彎矩圖的幾點(diǎn)規(guī)律：（1）梁受集中力或集中力偶作用時，彎矩圖為直線，并且在集中力作用處，彎矩發(fā)生轉(zhuǎn)折；在集中力偶作用處，彎矩發(fā)生突變，突變量為集中力

2、偶的大小。（2）梁受到均布載荷作用時，彎矩圖為拋物線，且拋物線的開口方向與均布載荷的方向一致。（3）梁的兩端點(diǎn)若無集中力偶作用，則端點(diǎn)處的彎矩為0；若有集中力偶作用時，則彎矩為集中力偶的大小。四 梁純彎曲時的強(qiáng)度條件1梁純彎曲的概念純彎曲梁的橫截面上只有彎矩而沒有剪力。Q = 0，M = 常數(shù)。2梁純彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁純彎曲時的變形特點(diǎn)平面假設(shè)：1）變形前為平面變形后仍為平面2）始終垂直與軸線中性層：既不縮短也不伸長（不受壓不受拉）。中性層是梁上拉伸區(qū)與壓縮區(qū)的分界面。中性軸：中性層與橫截面的交線變形時橫截面是繞中性軸旋轉(zhuǎn)的。梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律純彎曲時梁橫截面上只有正應(yīng)力

3、而無切應(yīng)力。 由于梁橫截面保持平面，所以沿橫截面高度方向縱向纖維從縮短到伸長是線性變化的，因此橫截面上的正應(yīng)力沿橫截面高度方向也是線性分布的。以中性軸為界，凹邊是壓應(yīng)力，使梁縮短，凸邊是拉應(yīng)力，使梁伸長，橫截面上同一高度各點(diǎn)的正應(yīng)力相等，距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，中性軸上各點(diǎn)正應(yīng)力為零。梁純彎曲時正應(yīng)力計(jì)算公式在彈性范圍內(nèi)，經(jīng)推導(dǎo)可得梁純彎曲時橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力為 式中， M為作用在該截面上的彎矩（Nmm）； y為計(jì)算點(diǎn)到中性軸的距離（mm）；為橫截面對中性軸z的慣性矩（mm4）。在中性軸上 y=0，所以s=0 ；當(dāng)y=ymax 時，s=smax 。最大正應(yīng)力產(chǎn)生在離中性軸

4、最遠(yuǎn)的邊緣處， 或_橫截面對中性軸z的抗彎截面模量(mm3)計(jì)算時， M和y均以絕對值代入，至于彎曲正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，則由欲求應(yīng)力的點(diǎn)處于受拉側(cè)還是受壓側(cè)來判斷。受拉側(cè)的彎曲正應(yīng)力為正，受壓側(cè)的為負(fù)。彎曲正應(yīng)力計(jì)算式雖然是在純彎曲的情況下導(dǎo)出的，但對于剪切彎曲的梁，只要其跨度L與橫截面高度h之比L/h 5，仍可運(yùn)用這些公式計(jì)算彎曲正應(yīng)力。3慣性矩和抗彎截面模量簡單截面的慣性矩和抗彎截面模量計(jì)算公式4梁純彎曲時的強(qiáng)度條件對于等截面梁，彎矩最大的截面就是危險截面，其上、下邊緣各點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力即為最大工作應(yīng)力，具有最大工作應(yīng)力的點(diǎn)一般稱為危險點(diǎn)。梁的彎曲強(qiáng)度條件是：梁內(nèi)危險點(diǎn)的工作應(yīng)力不超過

5、材料的許用應(yīng)力。 運(yùn)用梁的彎曲強(qiáng)度條件，可對梁進(jìn)行強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面和確定許可載荷。例76在例73中的簡支梁，若選用D=100mm，d=60mm的空心圓形截面鋼制造，已知梁的跨度l=3m，a=1m，b=2m，集中載荷F=25kN，許用正應(yīng)力s=200MPa。 不計(jì)梁的自重，試校核該梁的強(qiáng)度。五 純彎曲時梁的正應(yīng)力在平面彎曲時，工程上近似地認(rèn)為梁橫截面上的彎矩是由截面上的正應(yīng)力形成的，而剪力則由截面上的切應(yīng)力所形成。本章將在梁彎曲時的內(nèi)力分析的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出梁彎曲時的應(yīng)力與變形的計(jì)算，建立梁的強(qiáng)度和剛度條件。為了研究梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律，取一矩形截面等直梁，在表面畫些平行于梁軸線的縱線和垂直

6、干梁軸線的橫線。在梁的兩端施加一對位于梁縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的力偶，梁則發(fā)生彎曲。梁任意橫截面上的內(nèi)力只有彎矩而無剪力，這種彎曲稱為純彎曲，這種梁稱為純彎曲梁。通常從變形的幾何關(guān)系、物理關(guān)系和靜力平衡條件三個方面來推導(dǎo)出純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式。1、實(shí)驗(yàn)觀察梁發(fā)生彎曲變形后，我們可以觀察到以下現(xiàn)象：1、橫向線仍是直線且仍與梁的軸線正交，只是相互傾斜了一個角度2、縱向線（包括軸線）都變成了弧線。3、梁橫截面的寬度發(fā)生了微小變形，根據(jù)上述現(xiàn)象，可對梁的變形提出如下假設(shè)： 平面假設(shè)：梁彎曲變形時，其橫截面仍保持平面，且繞某軸轉(zhuǎn)過了一個微小的角度。 單向受力假設(shè)：設(shè)梁由無數(shù)縱向纖維組成，則這些纖維處于單向

7、受拉或單向受壓狀態(tài)。可以看出，梁下部的縱向纖維受拉伸長，上部的縱向纖維受壓縮短，其間必有一層纖維既不伸長也木縮短，這層纖維稱為中性層。中性層和橫截面的交線稱為中性軸，即圖中的Z軸。梁的橫截面繞Z軸轉(zhuǎn)動一個微小角度。2、變形的幾何關(guān)系圖中梁的兩個橫截面之間距離為dx，變形后中性層纖維長度仍為dx且dx=d。距中性層為y的某一縱向纖維的線應(yīng)變?yōu)椋杭戳簝?nèi)任一縱向纖維的線應(yīng)變與它到中性層的距離y成正比。 3、變形的物理關(guān)系由單向受力假設(shè)，當(dāng)正應(yīng)力不超過材料的比例極限時，將虎克定律代入上式，得：可見矩形截面梁在純彎曲時的正應(yīng)力的分布有如下特點(diǎn)： 中性軸上的線應(yīng)變?yōu)榱?，所以其正?yīng)力亦為零。 到中性軸距離相

8、等的各點(diǎn)，其線應(yīng)變相等。根據(jù)虎克定律，它們的正應(yīng)力也相等。 在圖示的受力情況下，中性軸上部各點(diǎn)正應(yīng)力為負(fù)值，中性軸下部各點(diǎn)正應(yīng)力為正值。 正應(yīng)力沿y軸線性分布。最大正應(yīng)力（絕對值）在離中性軸最4、梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律5、純彎曲時梁橫截面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。由于梁橫截面保持平面，所以沿橫截面高度方向縱向纖維從縮短到伸長是線性變化的，因此橫截面上的正應(yīng)力沿橫截面高度方向也是線性分布的。 以中性軸為界，凹邊是壓應(yīng)力，使梁縮短，凸邊是拉應(yīng)力，使梁伸長，橫截面上同一高度各點(diǎn)的正應(yīng)力相等，距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，中性軸上各點(diǎn)正應(yīng)力為零。6、梁純彎曲時正應(yīng)力計(jì)算公式在彈性范

9、圍內(nèi)，經(jīng)推導(dǎo)可得梁純彎曲時橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力為式中， M為作用在該截面上的彎矩（Nmm）； y為計(jì)算點(diǎn)到中性軸的距離（mm）； I為橫截面對中性軸z的慣性矩（mm4）。 在中性軸上 y=0，所以s=0 ；當(dāng)y=ymax 時，s=smax 。最大正應(yīng)力產(chǎn)生在離中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，或 _橫截面對中性軸z的抗彎截面模量mm3) 計(jì)算時， M和y均以絕對值代入，至于彎曲正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，則由欲求應(yīng)力的點(diǎn)處于受拉側(cè)還是受壓側(cè)來判斷。受拉側(cè)的彎曲正應(yīng)力為正，受壓側(cè)的為負(fù)。 彎曲正應(yīng)力計(jì)算式雖然是在純彎曲的情況下導(dǎo)出的，但對于剪切彎曲的梁，只要其跨度L與橫截面高度h之比L/h 5，仍可運(yùn)用這些

10、公式計(jì)算彎曲正應(yīng)力。慣性矩和抗彎截面模量簡單截面的慣性矩和抗彎截面模量計(jì)算公式梁純彎曲時的強(qiáng)度條件對于等截面梁，彎矩最大的截面就是危險截面，其上、下邊緣各點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力即為最大工作應(yīng)力，具有最大工作應(yīng)力的點(diǎn)一般稱為危險點(diǎn)。梁的彎曲強(qiáng)度條件是：梁內(nèi)危險點(diǎn)的工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力。 運(yùn)用梁的彎曲強(qiáng)度條件，可對梁進(jìn)行強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面和確定許可載荷。例76在例73中的簡支梁，若選用D=100mm，d=60mm的空心圓形截面鋼制造，已知梁的跨度l=3m，a=1m，b=2m，集中載荷F=25kN，許用正應(yīng)力s=200MPa。 不計(jì)梁的自重，試校核該梁的強(qiáng)度。六梁純彎曲時的強(qiáng)度條件梁純彎曲的概念純彎

11、曲梁的橫截面上只有彎矩而沒有剪力。Q = 0，M = 常數(shù)。梁純彎曲時橫截面上的正應(yīng)力1梁純彎曲時的變形特點(diǎn)平面假設(shè)：1）變形前為平面變形后仍為平面2）始終垂直與軸線中性層：既不縮短也不伸長（不受壓不受拉）。中性層是梁上拉伸區(qū)與壓縮區(qū)的分界面。中性軸：中性層與橫截面的交線。變形時橫截面是繞中性軸旋轉(zhuǎn)的。2梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律純彎曲時梁橫截面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。 由于梁橫截面保持平面，所以沿橫截面高度方向縱向纖維從縮短到伸長是線性變化的，因此橫截面上的正應(yīng)力沿橫截面高度方向也是線性分布的。 以中性軸為界，凹邊是壓應(yīng)力，使梁縮短，凸邊是拉應(yīng)力，使梁伸長，橫截面上同一高度各點(diǎn)的正應(yīng)

12、力相等，距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，中性軸上各點(diǎn)正應(yīng)力為零。3梁純彎曲時正應(yīng)力計(jì)算公式在彈性范圍內(nèi)，經(jīng)推導(dǎo)可得梁純彎曲時橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力為式中， M為作用在該截面上的彎矩（Nmm）； y為計(jì)算點(diǎn)到中性軸的距離（mm）； I為橫截面對中性軸z的慣性矩（mm4）。 在中性軸上 y=0，所以s=0 ；當(dāng)y=ymax 時，s=smax 。最大正應(yīng)力產(chǎn)生在離中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，或 _橫截面對中性軸z的抗彎截面模量(mm3) 計(jì)算時， M和y均以絕對值代入，至于彎曲正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，則由欲求應(yīng)力的點(diǎn)處于受拉側(cè)還是受壓側(cè)來判斷。受拉側(cè)的彎曲正應(yīng)力為正，受壓側(cè)的為負(fù)。 彎曲正應(yīng)力計(jì)

13、算式雖然是在純彎曲的情況下導(dǎo)出的，但對于剪切彎曲的梁，只要其跨度L與橫截面高度h之比L/h 5，仍可運(yùn)用這些公式計(jì)算彎曲正應(yīng)力。慣性矩和抗彎截面模量簡單截面的慣性矩和抗彎截面模量計(jì)算公式梁純彎曲時的強(qiáng)度條件對于等截面梁，彎矩最大的截面就是危險截面，其上、下邊緣各點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力即為最大工作應(yīng)力，具有最大工作應(yīng)力的點(diǎn)一般稱為危險點(diǎn)。梁的彎曲強(qiáng)度條件是：梁內(nèi)危險點(diǎn)的工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力。 運(yùn)用梁的彎曲強(qiáng)度條件，可對梁進(jìn)行強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面和確定許可載荷。例76在例73中的簡支梁，若選用D=100mm，d=60mm的空心圓形截面鋼制造，已知梁的跨度l=3m，a=1m，b=2m，集中載荷F=25

14、kN，許用正應(yīng)力s=200MPa。 不計(jì)梁的自重，試校核該梁的強(qiáng)度。七 提高梁強(qiáng)度的主要措施 提高梁強(qiáng)度的主要措施是：1）降低彎矩M的數(shù)值 2)增大抗彎截面模量Wz的數(shù)值降低最大彎矩Mmax數(shù)值的措施1）合理安排梁的支承最大彎矩，只為前者的五分之一。2）合理布置載荷2、合理選擇梁的截面 合理的截面應(yīng)該是:用最小的截面面積（即用材料少），得到大的抗彎截面模量Wz1）形狀和面積相同的截面，采用不同的放置方式，則Wz值可能不相同 豎放時（左）抗彎截面模量大，承載能力強(qiáng)，不易彎曲； 平放時（右），抗彎截面模量小，承載能力差，易彎曲。 工字鋼、槽鋼等梁放置方式不同其抗彎截面模量也不同，承載能力不同。2）面積相等而形狀不同的截面，其抗彎截面模量Wz值不相同 材料遠(yuǎn)離中性軸的截面（如圓環(huán)形、工字形等）比較經(jīng)濟(jì)合理。 對于矩形截面，則可把中性軸附近的材料移置到上、下邊緣處而形成工字形截面。 工程中的吊車梁、橋梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的樓板采用空心圓孔板。3）截面形狀應(yīng)與材料特性相適應(yīng) 對抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料，宜采用中性軸對稱的截面，如圓形、矩形、工字形等。對抗拉強(qiáng)度小于抗壓強(qiáng)度的脆性材料，宜采用中性軸偏向受拉一側(cè)的截面形狀。3、采用等強(qiáng)度梁 對于等截面梁，除Mmax所在截面的最大正應(yīng)力達(dá)到材料的許用應(yīng)力外，其余截面的應(yīng)力均小于，甚至遠(yuǎn)小于許用應(yīng)