空間向量在立體幾何中的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)一.教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能1.理解并會(huì)用空間向量求線線角、線面角、二面角的余弦值；2.理解并會(huì)用空間向量解決平行與垂直問(wèn)題.（二）過(guò)程與方法1.體驗(yàn)用空間向量求線線角、線面角、二面角的余弦值的過(guò)程；2.體驗(yàn)用空間向量解決平行與垂直問(wèn)題的過(guò)程（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過(guò)理解并用空間向量求線線角、線面角、二面角的余弦值，用空間向量解決平行與垂直問(wèn)題的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)幾何問(wèn)題代數(shù)化，領(lǐng)悟解析幾何的思想；2.培養(yǎng)學(xué)生向量的代數(shù)運(yùn)算推理能力；3.培養(yǎng)學(xué)生理解、運(yùn)用知識(shí)的能力二.教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：用空間向量求線線角、線面角、二面角的余弦值及解決平行與垂直問(wèn)題難點(diǎn)：用空

2、間向量求二面角的余弦值三.教學(xué)方法：情景教學(xué)法、啟發(fā)式教學(xué)法、練習(xí)法和講授法四.教學(xué)用具：電腦、投影儀五.教學(xué)設(shè)計(jì)（一）新課導(dǎo)入1.提問(wèn)學(xué)生：（1）怎樣找空間中線線角、線面角和二面角的平面角？（2）能否用代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決平行與垂直問(wèn)題？（二）新課學(xué)習(xí)1.用空間向量求線線角、線面角、二面角的余弦值.（1）設(shè)是兩條異面直線，是上的任意兩點(diǎn)，是直線上的任意兩點(diǎn)，則所成的角的余弦值為. （2）設(shè)是平面的斜線，且是斜線在平面內(nèi)的射影，則斜線與平面所成的角的余弦值為.設(shè)是平面的法向量，是平面的一條斜線，則與平面所成的角的余弦值為. （3）設(shè)是二面角的面的法向量，則就是二面角的平面角或補(bǔ)角的余弦值.ABCDE

3、FGxyz例1：在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是的中點(diǎn)，（1）求直線所成角的余弦值.（2）求直線與平面所成的角的余弦值.（3）求平面與平面所成的角的余弦值.分析：?jiǎn)l(fā)學(xué)生找出三條兩兩垂直的直線AB,AD,AA´，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，根據(jù)已知找出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后寫(xiě)出相關(guān)向量的坐標(biāo)，并進(jìn)行運(yùn)算就可以得到所求的結(jié)果.解：（1）如圖建立坐標(biāo)系，則.故所成的角的余弦值為.（2）所以在平面內(nèi)的射影在的平分線上，又為菱形，為的平分線，故直線與平面所成的角為，建立如圖所示坐標(biāo)系，則，. 故與平面所成角的余弦值為.（3）由,所以平面的法向量為,下面求平面的法向量，設(shè)，由，.所以，平面與平面所成的

4、角的余弦值為.課堂練習(xí)：ABCPDExyz1.如圖，求二面角的余弦值.參考答案：解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，連可證，作于，則向量的夾角的大小為二面角的大小。，為的中點(diǎn)，在中，.，.二面角的余弦值為.引導(dǎo)學(xué)生歸納：用空間向量求二面角的余弦值時(shí)，是將求二面角的余弦值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩平面的法向量的夾角的余弦值問(wèn)題，這里要明確：（1）當(dāng)法向量的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的大?。唬?）當(dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的補(bǔ)角.2.利用向量向量解決平行與垂直問(wèn)題.例2：如圖, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4

5、，AA14，,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)， （I）求證：ACBC1； （II）求證：A1C /平面CDB1.分析：?jiǎn)l(fā)學(xué)生找出三條兩兩垂直的直線CA,CB,CC1，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，根據(jù)已知找出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后寫(xiě)出相關(guān)向量的坐標(biāo)，并進(jìn)行運(yùn)算就可以得到兩條直線垂直或平行.解：直三棱柱ABCA1B1C1底面三邊長(zhǎng)AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C兩兩垂直，如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA、CB、C1C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）（1）（3,0，0），（0，4,0）

6、，0，ACBC1.（2）設(shè)CB1與C1B的交戰(zhàn)為E，則E（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），DEAC1. DE平面CDB1，AC1平面CDB1. AC1/平面CDB1.引導(dǎo)學(xué)生歸納：（1）垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：判定空間向量的數(shù)量積是否為零；（2）平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：面面平行線面平行線線平行.課堂練習(xí)：2.在直三棱柱中，,（1）求證（2）在上是否存在點(diǎn)使得CABxDyZ（3）在上是否存在點(diǎn)使得.參考答案：解：直三棱柱，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，.（1），.（2）假設(shè)在上存在點(diǎn)，使得，則其中，則，于是由于，且.所以得，所以在上存在點(diǎn)使得，且這時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.（3）假設(shè)在上存在點(diǎn)使得，則其中則，又由于，所以存在實(shí)數(shù)成立，所以，所以在上存在點(diǎn)使得，且使的中點(diǎn).引導(dǎo)學(xué)生感悟：空間向量有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，它可以把幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，在解決立體幾何的夾角、平行與垂直等問(wèn)題中體現(xiàn)出巨大的優(yōu)越性.（二）課外作業(yè) ABCA1B1C1M1.如圖, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°，CB=1,CA=, AA1=,M為側(cè)棱CC1上一點(diǎn)