空洞探測模型的建立及分析

1、空洞探測模型的建立及分析【摘要】本問題是一個0-1規(guī)劃問題，為空洞探測提供了求解方法及優(yōu)化理論。通過用逐步細(xì)化單元格的方法,根據(jù)單元格為空洞的概率,建立了空洞分布模型，并進(jìn)行了比較分析。在整個過程中我們還運(yùn)用了Matlab5.3和Visual C 6.0軟件?！娟P(guān)鍵詞】0-1規(guī)劃,方差.一、問題重述 山體、隧洞、壩體等的某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)可用彈性波測量來確定。利用同樣的機(jī)理可以確定平板內(nèi)的空洞。一個簡化問題可描述為，一塊240（米）×240（米）的平板（如圖），在 AB邊等距地設(shè)置7個波源Pi (i=1,7)，CD邊對等地安放7個接收器Qj (j=1,7)，記錄由Pi發(fā)出的彈性波到達(dá)Qj

2、的時間tij (秒); 在 AD邊等距地設(shè)置7個波源Ri (i=1,7)，BC邊對等地安放7個接收器Sj (j=1,7)，記錄由Ri 發(fā)出的彈性波到達(dá)Sj 的時間ij (秒)。已知彈性波在介質(zhì)和空氣中的傳播速度分別為2880（米/秒）和320（米/秒）。1） 確定該平板內(nèi)空洞的位置。2） 根據(jù)由Pi發(fā)出的彈性波到達(dá)Qj 的時間tij (i, j=1,7)，能確定空洞的位置嗎；討論在同樣能夠確定空洞位置的前提下，減少波源和接受器的方法。QjABCDPiRiSjT ijQ1Q2Q3Q4Q5Q6Q7P10.06110.08950.19960.20320.41810.49230.5646P20.098

3、90.05920.44130.43180.47700.52420.3805P30.30520.41310.05980.41530.41560.35630.1919P40.32210.44530.40400.07380.17890.07400.2122P50.34900.45290.22630.19170.08390.17680.1810P60.38070.31770.23640.30640.22170.09390.1031P70.43110.33970.35660.19540.07600.06880.1042ijS1S2S3S4S5S6S7R10.06450.06020.08130.35160

4、.38670.43140.5721R20.07530.07000.28520.43410.34910.48000.4980R30.34560.32050.09740.40930.42400.45400.3112R40.36550.32890.42470.10070.32490.21340.1017R50.31650.24090.32140.32560.09040.18740.2130R60.27490.38910.58950.30160.20580.08410.0706R70.44340.49190.39040.07860.07090.09140.0583二、問題的假設(shè)：1 、彈性波在傳播過程

5、中互不干擾，不發(fā)生干涉。2 、彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。、空氣密度和介質(zhì)密度都均勻。4 、假定在減少波源和接受源之后其他波源和接受源的位置不變。三、變量的說明：1 、設(shè)AB邊等距的設(shè)置波源的順序?yàn)椋簭腁到B分別為P1 ，P2 ，P3 ，P4 ，P5 ，P6 ，P7 。2 、設(shè)AD邊等距的設(shè)置波源的順序?yàn)椋簭腁到D分別是R1 ，R2 ，R3 ，R4 ，R5 ，R6 ，R7 。3、 Pij(i,j=1,7)方向的波線所走路徑中介質(zhì)的長度以矩陣1（7×7）表示，空氣的長度以矩陣1（7×7）表示。ij(i,j=1,7)方向的波線所走路徑中介質(zhì)的長度以矩陣（7

6、×7），空氣的長度以矩陣（7×7）表示。 4、將平板分成許多單元格，以G（m，n）（1m，n30，0G（m，n）1）表示。其中，m、n表示小格在平板中的位置，G（m，n）的值表示該小格是空洞的概率。四、問題分析1 、因?yàn)榻橘|(zhì)的傳播速度大于空氣的傳播速度，所以彈性波從點(diǎn)i到點(diǎn)j傳播的最短時間為：點(diǎn)i到點(diǎn)j的最短距離除以波在介質(zhì)中的傳播速度Tmin=240/2880=0.0833。在所給數(shù)據(jù)中，部分?jǐn)?shù)據(jù)小于對應(yīng)波線傳播時間的最小值。認(rèn)為這是由于在測量傳播時間時，存在測量誤差造成。這部分?jǐn)?shù)據(jù)可以忽略，按理想的最短時間計(jì)算。也可由此確定誤差限，時間的誤差限為0.0833減去這部分?jǐn)?shù)

7、據(jù)中最小的0.0583等于0.025秒，轉(zhuǎn)化成空氣長度為8米。所以在測量空洞的大小時，可以認(rèn)為直徑小于8米的空洞是測不出來的，在計(jì)算時可以忽略掉。2、由給出的實(shí)際傳播時間和彈性波在介質(zhì)、空氣中的傳播速度，可算出每條波線所走路徑上空氣的長度，見1（7×7）、（7×7）矩陣。計(jì)算方法為：其中X1（i,j）表示波源i到接受源j之間的波線經(jīng)過介質(zhì)的長度，Y1（i,j）表示波源i到接受源j之間的波線經(jīng)過空氣的長度。將Y1（i,j）換算成波線經(jīng)過的方格數(shù)為X（i,j），這是在P-Q方向的情況。在R-S方向上，可以類似地確定波源i到接受源j之間的波線經(jīng)過空氣的方格數(shù)Y(i,j)。已知一對

8、i 、j后，經(jīng)過（*）式，可推知該波線經(jīng)過了哪些小格。如果該波線經(jīng)過了某個小格，這個小格的K（m，n，i，j）賦為1，否則為0。K(m,n,i,j)G(m,n)表示波線所經(jīng)過的所有方格的空洞概率之和。（*） i<j m=1 n=+ij m=1 n= i=j=1 m=1 n=1 i=j=7 m=1 n=7 2i=j6 m=1 n=表示向上取整表示向下取整表示單元格的邊長五、模型的建立與求解：問題一首先要求出一個粗略的空洞分布情況。先將平面按邊長為16米的方格進(jìn)行劃分（這樣可以保證盡可能多的波線從單元格中間穿過），得到每個方格是空洞的概率值，這是空洞分布情況的一組近似解。再將平面按邊長為8米

9、的方格進(jìn)行劃分，以先前得到的解為初值，求解每個方格是空洞的概率值。因?yàn)榫嚯x的測量誤差限為8米，所以這組解足夠精確。這是一種逐步求精的方法。利用線性規(guī)劃求解，分別令每條波線經(jīng)過的所有方格空氣概率之和小于（大于）實(shí)際值，并使他們的總和接近于實(shí)際值的總和。這就是線性規(guī)劃（1）和（2）的情況。這兩個規(guī)劃分別從兩個不同的方向逼近平板的空洞分布情況，（1）式是空洞較實(shí)際少的情況;（2）式是空洞較實(shí)際多的情況。將這兩式得到的最優(yōu)解進(jìn)行分析比較，可以得到平板的空洞分布。這里得到的概率值是在0-1之間連續(xù)的。得到方格的概率值之后可以繪制出概率的等值線，等值線的山峰所在位置即為平板中空洞的位置，而概率值大于多少為

10、空洞則需進(jìn)一步確定。(1) min ×G（m，n）s.t (2) min ×G(m,n)s.t K(m,n,i,j)G(m,n) X(i,j) K(m,n,i,j)G(m,n) Y(i,j) 進(jìn)一步確定概率值大于多少時這個小格為空洞的過程相當(dāng)于在前一步解的基礎(chǔ)上對數(shù)據(jù)進(jìn)行離散化，即要找到一個下限值，將小于下限的概率值賦為0，大于下限的概率值賦為1，使得線性規(guī)劃的函數(shù)值最小。在01之間以0.1為步長進(jìn)行搜索，可以得到一個滿足條件的下限值。將線性規(guī)劃（1）式得到的解進(jìn)行離散化處理，再畫出的等值線，如圖1所示；將線性規(guī)劃（2）式得到的解進(jìn)行離散化處理，再畫出的等值線，如圖2所示。

11、以上兩步先求線性規(guī)劃再進(jìn)行離散化，就相當(dāng)于進(jìn)行了一次0-1規(guī)劃。也可使用二次規(guī)劃的（3）式求解，相當(dāng)于這兩種線性規(guī)劃的綜合。但在實(shí)際求解過程中發(fā)現(xiàn)利用二次規(guī)劃求解的速度較慢，因而無法得到在分格較少的情況下的精確的解。（3）min f=+s.t 圖1：線性規(guī)劃（1）得到的空洞分布圖2：線性規(guī)劃（2）得到的空洞分布將上兩圖分析比較得到的平板內(nèi)空洞分布圖為： 問題二只根據(jù)Pi發(fā)出的彈性波到達(dá)Qj的時間Tij,用上面同樣的方法求解，也可以確定出每個方格是空氣的概率，繪制出一組等值線。等值線圖形如下：由圖可以看出：只用一個方向的數(shù)據(jù)確定出的空洞分布與用兩個方向的數(shù)據(jù)確定出的空洞分布在P-Q方向差別不大，

12、在R-S方向差別較大。分析原因：由所給數(shù)據(jù)，雖然可以求出此波線經(jīng)過的空氣段長度，但在哪一個位置上經(jīng)過空洞則需要由兩條波線的相交情況確定。空洞在R-S方向的分布主要由波線與R-S方向的交點(diǎn)確定，而在只有P-Q方向時，波線在R-S方向的交點(diǎn)較少。問題三討論在同樣能夠確定空洞位置的前提下，減少波源和接收源的方法。由分析可以得到，一個波源或接收源所起作用即它的信息量大小主要決定于，與它相關(guān)的波線與其它波線的交點(diǎn)分布情況。這主要指兩個方面：與其它波線的交點(diǎn)個數(shù)及交點(diǎn)位置。去掉一個波源，在其它波源和接收源不變的情況下，求出不重復(fù)的交點(diǎn)個數(shù)和坐標(biāo)方差。用此時的不重復(fù)交點(diǎn)個數(shù)與原始的不重復(fù)交點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行比較，如

13、果較接近說明這一波源的信息量較少。不重復(fù)交點(diǎn)的坐標(biāo)方差說明了交點(diǎn)的分散程度，方差小說明交點(diǎn)的分散程度小，交點(diǎn)集中在一個較小的面積內(nèi)，不利于確定空洞在較大范圍內(nèi)的分布情況。因此應(yīng)該選擇交點(diǎn)個數(shù)減少量較小并且方差較大的波源去掉。在去掉這一波源的情況下，再用同樣方法去掉其它波源。去掉接收源的方法與此類似。對于本題：不重復(fù)交點(diǎn)數(shù)X-方差Y-方差原始情況20412124221200去掉第1個波源18202128319877去掉第2個波源17372093720785去掉第3個波源17742122322010去掉第4個波源17912114622444按照上面的分析，這里應(yīng)去掉第4個波源。雖然第1個波源交點(diǎn)數(shù)

14、較多，但是Y-方差很小，去掉第1個波源后交點(diǎn)分布很不均勻，所以不應(yīng)去掉。六、模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析：模型的優(yōu)點(diǎn)：1、對平板進(jìn)行分格，由所給數(shù)據(jù)確定每個小格是介質(zhì)還是空氣，再將這些小格和起來，觀察空洞的分布。這樣比預(yù)先假設(shè)出空洞的形狀和數(shù)量更簡單可行。而且在實(shí)際中，山體或隧道的內(nèi)部空洞形狀不規(guī)則，數(shù)量較多，很難預(yù)先定出空洞的形狀和大小。2、引入了概率的思想，用0-1之間的數(shù)代表方格是空氣的概率，再進(jìn)行離散化變成0或1。這是因?yàn)橛肕atlab無法直接實(shí)現(xiàn)0-1規(guī)劃，所以將求解分兩步進(jìn)行，以達(dá)到0-1規(guī)劃的效果。模型的缺點(diǎn)：1、 將平板按邊長為8米的小格進(jìn)行劃分，再進(jìn)行二次模型的0-1規(guī)劃，這是一種理想的情況。但在實(shí)際中是無法在短時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)的。即使采用逐步求精和線性規(guī)劃的方法，當(dāng)約束條件很多時仍就很難找到一個最優(yōu)解。這和測量誤差也有關(guān)系，因?yàn)檎`差的存在，在某些約