直線與平面位置關(guān)系典型例題

1、典型例題一例1 簡(jiǎn)述下列問(wèn)題的結(jié)論，并畫圖說(shuō)明：（1）直線平面，直線，則和的位置關(guān)系如何？（2）直線，直線，則直線和的位置關(guān)系如何？分析：（1）由圖（1）可知：或； （2）由圖（2）可知：或說(shuō)明：此題是考查直線與平面位置關(guān)系的例題，要注意各種位置關(guān)系的畫法與表示方法典型例題二例2 是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：平面分析：要證明平面外的一條直線和該平面平行，只要在該平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了證明：如圖所示，連結(jié)，交于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，連結(jié)，則在平面內(nèi)，且是的中位線， 在平面外，平面說(shuō)明：應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行

2、，怎樣找這一直線呢？由于兩條直線首先要保證共面，因此常常設(shè)法過(guò)已知直線作一平面與已知平面相交，如果能證明已知直線和交線平行，那么就能夠馬上得到結(jié)論這一個(gè)證明線面平行的步驟可以總結(jié)為：過(guò)直線作平面，得交線，若線線平行，則線面平行典型例題三例3 經(jīng)過(guò)兩條異面直線，之外的一點(diǎn)，可以作幾個(gè)平面都與，平行？并證明你的結(jié)論分析：可考慮點(diǎn)的不同位置分兩種情況討論解：（1）當(dāng)點(diǎn)所在位置使得，（或，）本身確定的平面平行于（或）時(shí)，過(guò)點(diǎn)再作不出與，都平行的平面；（2）當(dāng)點(diǎn)所在位置，（或，）本身確定的平面與（或）不平行時(shí)，可過(guò)點(diǎn)作，由于，異面，則，不重合且相交于由于，確定的平面，則由線面平行判定定理知：，可作一個(gè)平

3、面都與，平行故應(yīng)作“0個(gè)或1個(gè)”平面說(shuō)明：本題解答容易忽視對(duì)點(diǎn)的不同位置的討論，漏掉第（1）種情況而得出可作一個(gè)平面的錯(cuò)誤結(jié)論可見(jiàn)，考慮問(wèn)題必須全面，應(yīng)區(qū)別不同情形分別進(jìn)行分類討論典型例題四例4 平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，那么另一條直線也平行于這個(gè)平面已知：直線，平面，求證：證明：如圖所示，過(guò)及平面內(nèi)一點(diǎn)作平面設(shè)，又，說(shuō)明：根據(jù)判定定理，只要在內(nèi)找一條直線，根據(jù)條件，為了利用直線和平面平行的性質(zhì)定理，可以過(guò)作平面與相交，我們常把平面稱為輔助平面，它可以起到橋梁作用，把空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化和平面幾何中添置輔助線一樣，在構(gòu)造輔助平面時(shí)，首先要確認(rèn)這個(gè)平面是存在的，例如，本例中就

4、是以“直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面”為依據(jù)來(lái)做出輔助平面的典型例題五例5 已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為求：（1）異面直線的公垂線段及的長(zhǎng)；（2）異面直線和所成的角分析：依異面直線的公垂線的概念求作異面直線的公垂線段，進(jìn)而求出其距離；對(duì)于異面直線所成的角可采取平移構(gòu)造法求解解：（1）如圖，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)由已知，得，是的中點(diǎn)，同理可證是的公垂線段在中， （2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則和所成的銳角或直角就是異面直線和所成的角連結(jié)，在中，由余弦定理，得故異面直線和所成的角為說(shuō)明：對(duì)于立體幾何問(wèn)題要注意轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決，同時(shí)要將轉(zhuǎn)化過(guò)程簡(jiǎn)要地寫出來(lái)，然后再求值典型例題六例6如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么

5、過(guò)這個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)已知：直線，求證：分析：由于過(guò)點(diǎn)與平行的直線是惟一存在的，因此，本題就是要證明，在平面外，不存在過(guò)與平行的直線，這是否定性命題，所以使用反證法證明：如圖所示，設(shè)，過(guò)直線和點(diǎn)作平面，且，這樣過(guò)點(diǎn)就有兩條直線和同時(shí)平行于直線，與平行公理矛盾必在內(nèi)說(shuō)明：(1)本例的結(jié)論可以直接作為證明問(wèn)題的依據(jù)(2)本例還可以用同一法來(lái)證明，只要改變一下敘述方式如上圖，過(guò)直線及點(diǎn)作平面，設(shè)，這樣，與都是過(guò)點(diǎn)平行于的直線，根據(jù)平行公理，這樣的直線只有一條，與重合，典型例題七例7 下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）(1)若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則；(2)若直線平行于平面

6、內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則；(3)若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任一直線平行；(4)若直線在平面外，則A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)分析：本題考查的是空間直線與平面的位置關(guān)系對(duì)三種位置關(guān)系定義的準(zhǔn)確理解是解本題的關(guān)鍵要注意直線和平面的位置關(guān)系除了按照直線和平面公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)分類，還可以按照直線是否在平面內(nèi)來(lái)分類解：(1)直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，并沒(méi)有說(shuō)明是所在點(diǎn)都不在平面內(nèi)，因而直線可能與平面平行亦有可能與直線相交解題時(shí)要注意“無(wú)數(shù)”并非“所有”(2)直線雖與內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，但有可能在平面內(nèi)，所以直線不一定平行(3)這是初學(xué)直線與平面平行的性質(zhì)時(shí)常見(jiàn)錯(cuò)誤，借助教具我們很容易看到當(dāng)時(shí)，若且，則在平面內(nèi)，

7、除了與平行的直線以外的每一條直線與都是異面直線(4)直線在平面外，應(yīng)包括兩種情況：和與相交，所以與不一定平行故選A說(shuō)明：如果題中判斷兩條直線與一平面之間的位置關(guān)系，解題時(shí)更要注意分類要完整，考慮要全面如直線、都平行于，則與的位置關(guān)系可能平行，可能相交也有可能異面；再如直線、，則與的位置關(guān)系可能是平行，可能是在內(nèi)典型例題八例8如圖，求證：兩條平行線中的一條和已知平面相交，則另一條也與該平面相交已知：直線，求證：直線與平面相交分析：利用轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決，由可確定一輔助平面，這樣可以把題中相關(guān)元素集中使用，既創(chuàng)造了新的線面關(guān)系，又將三維降至二維，使得平幾知識(shí)能夠運(yùn)用解：，和可確定平面，平面和平面

8、相交于過(guò)點(diǎn)的直線在平面內(nèi)與兩條平行直線、中一條直線相交，必定與直線也相交，不妨設(shè)，又因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)（若在平面內(nèi)，則和都過(guò)相交直線和，因此與重合，在內(nèi)，和已知矛盾）所以直線和平面相交說(shuō)明：證明直線和平面相交的常用方法有：證明直線和平面只有一個(gè)公共點(diǎn)；否定直線在平面內(nèi)以及直線和平面平行；用此結(jié)論：一條直線如果經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)，又經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)，則此直線必與平面相交（此結(jié)論可用反證法證明）典型例題九例9如圖，求證：經(jīng)過(guò)兩條異面直線中的一條，有且僅有一個(gè)平面與另一條直線平行已知：與是異面直線求證：過(guò)且與平行的平面有且只有一個(gè)分析：本題考查存在性與唯一性命題的證明方法解題時(shí)要理解“有且只有”的含義“有”就

9、是要證明過(guò)直線存在一個(gè)平面，且，“只有”就是要證滿足這樣條件的平面是唯一的存在性常用構(gòu)造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反證法或其它唯一性的結(jié)論證明：(1)在直線上任取一點(diǎn)，由點(diǎn)和直線可確定平面在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作直線，使，則和為兩相交直線，所以過(guò)和可確定一平面，與為異面直線，又，故經(jīng)過(guò)存在一個(gè)平面與平行(2)如果平面也是經(jīng)過(guò)且與平行的另一個(gè)平面，由上面的推導(dǎo)過(guò)程可知也是經(jīng)過(guò)相交直線和的由經(jīng)過(guò)兩相交直線有且僅有一個(gè)平面的性質(zhì)可知，平面與重合，即滿足條件的平面是唯一的說(shuō)明：對(duì)于兩異面直線和，過(guò)存在一平面且與平行，同樣過(guò)也存在一平面且與平行而且這兩個(gè)平面也是平行的（以后可證）對(duì)于異面直線和的距離，也

10、可轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，這也是求異面直線的距離的一種方法典型例題十例10如圖，求證：如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行已知：，求證：分析：本題考查綜合運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的能力利用線面平行的性質(zhì)定理，可以先證明直線分別和兩平面的某些直線平行，即線面平行可得線線平行然后再用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理來(lái)證明與平行證明：在平面內(nèi)取點(diǎn)，使，過(guò)和直線作平面交于，同理過(guò)作平面交于，又，又，另證：如圖，在直線上取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和直線作平面和相交于直線，和相交于直線，但過(guò)一點(diǎn)只能作一條直線與另一直線平行直線和重合又，直線、都重合于直線，說(shuō)明：“線線平行”與“線面平行”在一

11、定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，這種轉(zhuǎn)化的思想在立體幾何中非常重要典型例題十一例11正方形與正方形所在平面相交于，在、上各取一點(diǎn)、，且求證：面分析：要證線面平行，可以根據(jù)判定定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行關(guān)鍵是在平面中如何找一直線與平行可考察過(guò)的平面與平面的交線，這樣的平面位置不同，所找的交線也不同證明一：如圖，在平面內(nèi)過(guò)作交于，在平面內(nèi)過(guò)作交于，連結(jié)，又，即 正方形與有公共邊， ，又，四邊形為平行四邊形又面，面證明二：如圖，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)，又正方形與正方形有公共邊，又面，面說(shuō)明：從本題中我們可以看出，證線面平行的根本問(wèn)題是要在平面內(nèi)找一直線與已知直線平行，此時(shí)常用中位線定理、成比例線段、射影法、平

12、行移動(dòng)、補(bǔ)形等方法，具體用何種方法要視條件而定此題中我們可以把“兩個(gè)有公共邊的正方形”這一條件改為“兩個(gè)全等的矩形”，那么題中的結(jié)論是否仍然成立？典型例題十二例12三個(gè)平面兩兩相交于三條交線，證明這三條交線或平行、或相交于一點(diǎn)已知：，求證：、互相平行或相交于一點(diǎn)分析：本題考查的是空間三直線的位置關(guān)系，我們可以先從熟悉的兩條交線的位置關(guān)系入手，根據(jù)共面的兩條直線平行或相交來(lái)推論三條交線的位置關(guān)系證明：，與平行或相交若，如圖，又，若與相交，如圖，設(shè)，又，又，直線、交于同一點(diǎn)說(shuō)明：這一結(jié)論常用于求一個(gè)幾何體的截面與各面交線問(wèn)題，如正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，畫出點(diǎn)、的平面與正方體各面的交線，并說(shuō)明截

13、面多邊形是幾邊形？典型例題十三例13已知空間四邊形，是的邊上的高，是的邊上的中線，求證：和是異面直線證法一：（定理法）如圖由題設(shè)條件可知點(diǎn)、不重合，設(shè)所在平面和是異面直線證法二：（反證法）若和不是異面直線，則和共面，設(shè)過(guò)、的平面為(1)若、重合，則是的中點(diǎn)，這與題設(shè)相矛盾(2)若、不重合，、四點(diǎn)共面，這與題設(shè)是空間四邊形相矛盾綜上，假設(shè)不成立故和是異面直線說(shuō)明：反證法不僅應(yīng)用于有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明，在其他方面也有廣泛的應(yīng)用首先看一個(gè)有趣的實(shí)際問(wèn)題：“三十六口缸，九條船來(lái)裝，只準(zhǔn)裝單，不準(zhǔn)裝雙，你說(shuō)怎么裝？”對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，同學(xué)們可試驗(yàn)做一做也許你在試驗(yàn)幾次后卻無(wú)法成功時(shí)，覺(jué)得這種裝法的可能性是不存

14、在的那么你怎樣才能清楚地從理論上解釋這種裝法是不可能呢？用反證法可以輕易地解決這個(gè)問(wèn)題假設(shè)這種裝法是可行的，每條船裝缸數(shù)為單數(shù)，則9個(gè)單數(shù)之和仍為單數(shù)，與36這個(gè)雙數(shù)矛盾只須兩句話就解決了這個(gè)問(wèn)題典型例題十四例14已知、是不在同一平面內(nèi)的三條線段，、分別是、的中點(diǎn)，求證：平面和平行，也和平行分析：欲證明平面，根據(jù)直線和平面平等的判定定理只須證明平行平面內(nèi)的一條直線，由圖可知，只須證明證明：如圖，連結(jié)、在中，、分別是、的中點(diǎn)于是平面同理可證，平面說(shuō)明：到目前為止，判定直線和平面平行有以下兩種方法：(1)根據(jù)直線和平面平行定義；(2)根據(jù)直線和平面平行的判定定理典型例題十五例15已知空間四邊形，、

15、分別是和的重心，求證：分析：欲證線面平行，須證線線平行，即要證明與平面中的某條直線平行，根據(jù)條件，此直線為，如圖證明：取的中點(diǎn)是的重心，連結(jié)，則，連結(jié)，為的重心，在中，又，說(shuō)明：(1)本例中構(gòu)造直線與平行，是充分借助于題目的條件：、分別是和的重心，借助于比例的性質(zhì)證明，該種方法經(jīng)常使用，望注意把握(2)“欲證線面平行，只須證線線平行”判定定理給我們提供了一種證明線面平等的方法根據(jù)問(wèn)題具體情況要熟練運(yùn)用典型例題十六例16正方體中，、分別是、的中點(diǎn)如下圖求證：分析：要證明，根據(jù)線面平等的判定定理，需要在平面內(nèi)找到與平行的直線，要充分借助于、為中點(diǎn)這一條件證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)、為的中點(diǎn)，為的中位線，

16、則，且為的中點(diǎn)，且，且，四邊形為平行四邊形，而，典型例題十七例17如果直線，那么直線與平面內(nèi)的（）A一條直線不相交B兩條相交直線不相交C無(wú)數(shù)條直線不相交D任意一條直線都不相交解：根據(jù)直線和平面平行定義，易知排除A、B對(duì)于C，無(wú)數(shù)條直線可能是一組平行線，也可能是共點(diǎn)線，C也不正確，應(yīng)排除C與平面內(nèi)任意一條直線都不相交，才能保證直線與平面平行，D正確應(yīng)選D說(shuō)明：本題主要考查直線與平面平行的定義典型例題十八例18分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是（）A一定平行B一定相交C一定異面D相交或異面解：如圖中的甲圖，分別與異面直線、平行的兩條直線、是相交關(guān)系；如圖中的乙圖，分別與異面直線、平行的兩

17、條直線、是相交關(guān)系綜上，可知應(yīng)選D說(shuō)明：本題主要考查有關(guān)平面、線面平行等基礎(chǔ)知識(shí)以及空間想象能力典型例題十九例19、是兩條異面直線，下列結(jié)論正確的是（）A過(guò)不在、上的任一點(diǎn)，可作一個(gè)平面與、平行B過(guò)不在、上的任一點(diǎn)，可作一個(gè)直線與、相交C過(guò)不在、上的任一點(diǎn)，可作一個(gè)直線與、都平行D過(guò)可以并且只可以作一平面與平行解：A錯(cuò)，若點(diǎn)與所確定的平面與平行時(shí)，就不能使這個(gè)平面與平行了B錯(cuò)，若點(diǎn)與所確定的平面與平等時(shí)，就不能作一條直線與，相交C錯(cuò)，假如這樣的直線存在，根據(jù)公理4就可有，這與，異面矛盾D正確，在上任取一點(diǎn)A，過(guò)A點(diǎn)做直線，則與確定一個(gè)平面與平行，這個(gè)平面是惟一的應(yīng)選說(shuō)明：本題主要考查異面直線、線線平行、線面平行等基本概念典型例題二十例20(1)直線，則與平面的位置關(guān)系是_(2)是兩異