西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模B題一等獎(jiǎng)?wù)撐?mdash;—食品價(jià)格變動(dòng)分析

1、裝 訂 線“工大出版社杯”第十五屆西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽暨全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽選拔賽題目B 題 密封號(hào)2014年5月4日剪 切 線密封號(hào)2014年5月4日 學(xué)院 第 隊(duì)隊(duì)員1隊(duì)員2隊(duì)員3姓名班級(jí)裝 訂 線摘 要本文對(duì)全國(guó)50個(gè)城市主要食品平均價(jià)格變動(dòng)情況的問(wèn)題進(jìn)行了建模、求解和相關(guān)分析。針對(duì)問(wèn)題一，將50個(gè)城市作為我國(guó)的代表，同時(shí)將主要食品進(jìn)行分類，分析各類食品的波動(dòng)特點(diǎn)以體現(xiàn)我國(guó)食品價(jià)格波動(dòng)的特點(diǎn)。第一步分析附錄中的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，運(yùn)用兩種分類方法將食品合理分類：依據(jù)傳統(tǒng)食品分類法分為八大類和將價(jià)格方差處于同一范圍內(nèi)的食品分為價(jià)格平穩(wěn)型，價(jià)格溫和波動(dòng)型，價(jià)格迅速波動(dòng)型和價(jià)格劇烈波

2、動(dòng)型四類。第二步根據(jù)食品分類結(jié)果，通過(guò)制作價(jià)格波動(dòng)圖及查找資料分析各類食品價(jià)格的波動(dòng)特征，從而體現(xiàn)我國(guó)食品價(jià)格波動(dòng)的特點(diǎn)。針對(duì)問(wèn)題二，我們利用各個(gè)食品價(jià)格變動(dòng)折線圖，在四大類食品中選出具有代表性的食品進(jìn)行進(jìn)一步的研究。首先我們根據(jù)問(wèn)題一的折線圖大致推測(cè)和實(shí)際數(shù)據(jù)大致吻合的函數(shù)類型，應(yīng)用SPSS軟件和MATLAB軟件，對(duì)相應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性，二次，三次，對(duì)數(shù)等多種模型的擬合。然后利用負(fù)相關(guān)系數(shù)值、方程顯著性檢驗(yàn)F對(duì)函數(shù)曲線和實(shí)際數(shù)據(jù)的吻合度進(jìn)行檢驗(yàn)。如果模型的擬合效果較好，就運(yùn)用擬合函數(shù)進(jìn)行2014年5月份的走勢(shì)預(yù)測(cè)，并利用前期數(shù)據(jù)計(jì)算預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的相對(duì)誤差，都處于合理范圍內(nèi)，說(shuō)明預(yù)測(cè)有效。針對(duì)問(wèn)

3、題三，我們通過(guò)所給數(shù)據(jù)及查找的數(shù)據(jù)，利用主成分分析法，分析得出27種食品種類中的主成分依次為第19、21、23、25、1、2、3、26、27種食品。故得到可以通過(guò)檢測(cè)較少食品種類，就能相對(duì)精確地預(yù)測(cè)CPI數(shù)值。經(jīng)過(guò)對(duì)地域特點(diǎn)的考察，選取陜西和上海兩地，通過(guò)查找相關(guān)CPI和食品價(jià)格數(shù)據(jù)，運(yùn)用主成分分析法，得出對(duì)CPI影響大的幾類食品，然后通過(guò)matlab算法實(shí)現(xiàn)，再由所得數(shù)據(jù)和圖表的分析比較得到，不同地區(qū)應(yīng)選取不同的食品種類進(jìn)行檢測(cè)。關(guān)鍵詞：分類，曲線擬合，線性回歸，主成分分析法，SPSS一 基本假設(shè)針對(duì)本問(wèn)題，可做以下合理假設(shè)：（1）數(shù)據(jù)真實(shí)可靠。（2）由于不可預(yù)料的大型地質(zhì)災(zāi)害，如地震、洪澇

4、災(zāi)害、旱災(zāi)等，可能引起全國(guó)食品零售價(jià)格的波動(dòng)，所以本論文所有模型所用的數(shù)據(jù)都基于不發(fā)生大型地質(zhì)災(zāi)害的假設(shè)之上。本論文中對(duì)2014年5 月的食品價(jià)格走勢(shì)做出的預(yù)測(cè)，也是基于這個(gè)月份沒(méi)有大型地質(zhì)災(zāi)害的假設(shè)之上。（3）不考慮國(guó)際糧價(jià)對(duì)國(guó)內(nèi)的影響。二 名詞解釋與符號(hào)說(shuō)明設(shè)2013年11月1-10日為1；2013年11月11-20日為 2；2013年11月21-30日為3，依次類推下去。名詞符號(hào)含義單位根據(jù)所給表格中的食品種類排序第i種食品在第j時(shí)間點(diǎn)的價(jià)格元第i種食品的價(jià)格方差E累計(jì)貢獻(xiàn)率三 問(wèn)題一3.1 問(wèn)題分析 問(wèn)題一的要求為根據(jù)附錄及相關(guān)統(tǒng)計(jì)網(wǎng)站的數(shù)據(jù)來(lái)分析我國(guó)食品價(jià)格波動(dòng)的特點(diǎn)。我國(guó)食品價(jià)格波

5、動(dòng)特點(diǎn)需要典型的食品價(jià)格數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行分析得到。故可將50個(gè)城市作為我國(guó)的代表，同時(shí)將主要食品進(jìn)行分類，分析各類食品的波動(dòng)特點(diǎn)以解決問(wèn)題一，則分為兩個(gè)步驟：第一步是要分析附錄中的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將食品合理分類；第二步是根據(jù)食品分類結(jié)果以及查找資料確定各類食品價(jià)格的波動(dòng)特征，從而體現(xiàn)我國(guó)食品價(jià)格波動(dòng)的特點(diǎn)，并為下一步預(yù)測(cè)做準(zhǔn)備。3.1.1 數(shù)據(jù)的分析 附錄提供了從2014年1月1日到2014年4月10日的50個(gè)城市主要食品平均價(jià)格變動(dòng)情況的數(shù)據(jù)。從中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局官網(wǎng)（ ）上，我們又收集到了從2013年11月1日到2013年12月30日的數(shù)據(jù)，但這之前的數(shù)據(jù)官網(wǎng)上并沒(méi)有給出。所以本問(wèn)題中在做數(shù)

6、據(jù)處理時(shí)，都是指把從2013年11月1日到2014年4月10日的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。由于每種食品的價(jià)格不是在一個(gè)價(jià)格區(qū)間，比如有的食品價(jià)格在23 元之間波動(dòng)，而有的食品價(jià)格在6070 元之間波動(dòng)，在觀察它們的價(jià)格走勢(shì)時(shí)會(huì)由于數(shù)量級(jí)的不同而導(dǎo)致趨勢(shì)的不同。為了消除量綱和量級(jí)對(duì)趨勢(shì)的影響，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化。3.1.2 分類標(biāo)準(zhǔn)的分析首先，我們考慮傳統(tǒng)食品分類法，即以食品本身的屬性進(jìn)行分類。同一類的食品，應(yīng)該會(huì)呈現(xiàn)相似的價(jià)格波動(dòng)趨勢(shì)。其次，由于本題主要考慮價(jià)格的波動(dòng)特點(diǎn)，我們采取價(jià)格方差這一指標(biāo)進(jìn)行分類，而這種整體偏離的屬性可以通過(guò)價(jià)格方差來(lái)衡量，因此我們有考慮采用價(jià)格方差這一指標(biāo)進(jìn)行分類。這兩種分類

7、方法從不同的角度出發(fā)，避免分析每一種食品的價(jià)格波動(dòng)特點(diǎn)，同時(shí)又能體現(xiàn)總體的特點(diǎn)，解決問(wèn)題一題目中分析我國(guó)食品價(jià)格波動(dòng)趨勢(shì)的問(wèn)題。3.2 兩種分類方法 第一種分類方法，依據(jù)傳統(tǒng)食品分類方法，可將食品分為8類：第一類：大米類（粳米）；第二類：面粉類（富強(qiáng)粉、標(biāo)準(zhǔn)粉）；第三類：豆制品（豆腐）；第四類：食用油（花生油、大豆油、菜籽油）；第五類：肉蛋類（豬肉、牛肉、羊肉、雞、鴨、雞蛋）；第六類：魚(yú)類（活鯉魚(yú)、活草魚(yú)、帶魚(yú)）；第七類：蔬菜類（大白菜、油菜、芹菜、黃瓜、西紅柿、豆角、土豆）；第八類：水果類（蘋果、香蕉）。第二種分類方法，以價(jià)格方差作為主要指標(biāo)進(jìn)行分類。價(jià)格方差的定義：食品的價(jià)格方差是該食品在

8、觀測(cè)到的各時(shí)間點(diǎn)的一系列價(jià)格數(shù)據(jù)的方差，表達(dá)式如下：其中，表示第i種食品的價(jià)格方差。將價(jià)格方差在（0,0.01）內(nèi)取值的定義為價(jià)格平穩(wěn)型食品，在（0.01,0.2）取值的為價(jià)格溫和波動(dòng)型食品，在（0.2,2）內(nèi)取值的為價(jià)格迅速波動(dòng)型食品，在（2,8）取值的為價(jià)格劇烈波動(dòng)型食品。3.3 各類食品價(jià)格波動(dòng)特點(diǎn) 運(yùn)用第一種分類方法，將各類食品價(jià)格走勢(shì)圖表示出來(lái)，據(jù)圖分析。表3-1：大米面粉類食品價(jià)格走勢(shì)圖大米這類食品屬于生活必需品,價(jià)格波動(dòng)較小，穩(wěn)定性較好?？傮w而言,大米的價(jià)格走勢(shì)將在近期基本保持不變。由圖表可以看出富強(qiáng)面粉和標(biāo)準(zhǔn)面粉的價(jià)格走勢(shì)基本穩(wěn)定，其中富強(qiáng)面粉的平均價(jià)格為5.46元/千克，標(biāo)準(zhǔn)

9、面粉的平均價(jià)格為4.49元/千克；同時(shí)富強(qiáng)面粉，標(biāo)準(zhǔn)面粉的價(jià)格方差最低，說(shuō)明其價(jià)格波動(dòng)最小。，其價(jià)格水平將基本在較小的范圍內(nèi)波動(dòng)。表3-2：豆制品食品價(jià)格走勢(shì)圖 而豆腐及豆制品行業(yè)產(chǎn)銷格局對(duì)行業(yè)整體發(fā)展趨勢(shì)具有決定性影響，由此表可以看出豆制品（豆腐）的價(jià)格一直保持上升水平，其價(jià)格方差為0.002546，較低，說(shuō)明豆腐價(jià)格小幅波動(dòng)上漲，平均價(jià)格為4.424元/千克。表3-3：食用油類食品價(jià)格走勢(shì)圖花生油和大豆油走勢(shì)偏弱，2014年4月較2013年11月，花生油下降了2.8%，大豆油下降了2.03%，而菜籽油小幅度波動(dòng)上升，提高了2.1%。同時(shí)花生油和菜籽油的價(jià)格方差分別為0.079467和0.0

10、52865，較高，說(shuō)明二者的價(jià)格在一定范圍內(nèi)會(huì)持續(xù)波動(dòng)，而大豆油的價(jià)格方差為0.0028562，較低，表明價(jià)格在一定時(shí)期內(nèi)會(huì)保持穩(wěn)定。表3-4：肉蛋類食品價(jià)格走勢(shì)圖從折線圖中可以清晰看出肉蛋類中8種食品價(jià)格的波動(dòng)情況,其中雞蛋、鴨肉和兩種雞肉的價(jià)波動(dòng)幅度非常小,價(jià)格處于穩(wěn)定狀態(tài)。分析原因是市場(chǎng)供應(yīng)較為充足。兩種豬肉的整體波動(dòng)幅度比較大。2014年以前豬肉價(jià)格的波動(dòng)較小,原因是由于市場(chǎng)供應(yīng)有保障。牛肉和羊肉的整體價(jià)格處于上漲趨勢(shì),但變化幅度不大牛肉漲幅大于羊肉漲幅。表3-5：魚(yú)類食品價(jià)格走勢(shì)圖2013年11月-2014年1月，活鯉魚(yú)的價(jià)格基本保持在13.82元/千克，2014年2月-3月初，其價(jià)

11、格有較大的波動(dòng)，平均價(jià)格為14.594元/千克，較之前增長(zhǎng)了5.6%，但在2014年3月中期至4月初，平均價(jià)格有所下降。綜上，魚(yú)類經(jīng)歷了由小幅度波動(dòng)上升到小幅度波動(dòng)下降的過(guò)程。冬季產(chǎn)魚(yú)數(shù)量較少，價(jià)格隨之小幅度上升；而春季和夏季天氣較暖，產(chǎn)魚(yú)數(shù)量較多，價(jià)格略有下降。表3-6：蔬菜類食品價(jià)格走勢(shì)圖蔬菜類中波動(dòng)幅度存在明顯差異，其中，大白菜、油菜、芹菜、土豆的價(jià)格相對(duì)穩(wěn)定，即使波動(dòng)，也只是很小范圍內(nèi)的波動(dòng)，可視為基本穩(wěn)定，而西紅柿、黃瓜走勢(shì)大致相同，且波動(dòng)幅度較前幾種更加明顯，而豆角的價(jià)格變化幅度更加明顯，與其他蔬菜類都沒(méi)有相似性，出現(xiàn)這種情況的可能原因是豆角種植條件特殊，除了季節(jié)變化，還可能有多種

12、因素影響其價(jià)格走勢(shì)。表3-7：水果類食品價(jià)格走勢(shì)圖水果類中，兩種水果呈現(xiàn)相似的價(jià)格走勢(shì)，即年后出現(xiàn)小幅上漲趨勢(shì)，其余趨于平緩，基本無(wú)變化，分析原因是冬季需求量變大，因而出現(xiàn)小幅上漲的趨勢(shì)，總體趨于平緩則說(shuō)明了水果種植與季節(jié)變化并無(wú)明顯關(guān)系。運(yùn)用第二種分類方法，可得以下幾類食品，如以下表格所示：名稱大米面粉（富強(qiáng)1）面粉（標(biāo)準(zhǔn)2）大豆油豆腐雞（白條雞）雞2（雞胸肉）方差0.0069470.0056130.000160.0028560.0025460.008990.007696 表3-8：價(jià)格平穩(wěn)型食品價(jià)格平穩(wěn)型食品主要是大米，面粉，大豆油等基本需求食品以及豆腐，雞肉，價(jià)格波動(dòng)特點(diǎn)是：變化較平穩(wěn)，

13、主要在平均值上下浮動(dòng)。名稱花生油菜油鯉魚(yú)草魚(yú)鴨雞蛋白菜油菜芹菜土豆方差0.07940.05280.19090.10870.01540.0380.02110.14130.14520.052表3-9：價(jià)格溫和波動(dòng)型食品價(jià)格溫和波動(dòng)類食品主要是食用油類，魚(yú)類，蔬菜類以及鴨和雞蛋，價(jià)格波動(dòng)特點(diǎn)是：價(jià)格在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，但整體變化不大，僅有小幅度波動(dòng)。名稱帶魚(yú)牛肉羊肉黃瓜西紅柿香蕉蘋果方差0.22992630.7012295831.156426250.842650.5367690.7592560.308903表3-10：價(jià)格迅速波動(dòng)類食品 價(jià)格迅速波動(dòng)類食品主要是牛羊肉，水果類，黃瓜，西紅柿和帶魚(yú)，價(jià)格

14、波動(dòng)特點(diǎn)是：不同時(shí)期呈現(xiàn)較大幅度的波動(dòng)，價(jià)格波動(dòng)與其影響因素關(guān)聯(lián)很大。食品名稱豬肉1豬肉2豆角方差2.489966252.2614866677.463037表3-11：價(jià)格劇烈波動(dòng)型食品 價(jià)格劇烈波動(dòng)型食品主要是豬肉及豆角，價(jià)格波動(dòng)特點(diǎn)是：價(jià)格在不同時(shí)期呈現(xiàn)巨大幅度的波動(dòng)，受時(shí)間影響很大。四 問(wèn)題二4.1問(wèn)題分析 根據(jù)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)原理分析，要預(yù)測(cè)食品價(jià)格變化情況就需要根據(jù)以往的食品價(jià)格走勢(shì)情況，然后建立有關(guān)食品價(jià)格的關(guān)系模型，試圖找出變化的內(nèi)在聯(lián)系，然后再進(jìn)行預(yù)測(cè)。所以本題要求對(duì)2014年5月份食品價(jià)格走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，我們就要在問(wèn)題一已有食品價(jià)格數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)走勢(shì)圖的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步建立最優(yōu)的模型，才使

15、本題求解的關(guān)鍵。4.2 模型建立原理曲線擬合（Curve Fitting）是在數(shù)據(jù)分析上常用的方法，就是利用參數(shù)化的曲線構(gòu)造函數(shù)來(lái)逼近一組給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)所構(gòu)成的函數(shù),可是參數(shù)化的曲線不可能嚴(yán)格的通過(guò)采樣點(diǎn)，但能夠希望盡可能地靠近這些點(diǎn)，就是使其： (=1,2,3,n)在某種意義上達(dá)到最小。超定系統(tǒng)線性方程 線性方程的超定系統(tǒng)是指方程的個(gè)數(shù)多于自變量的個(gè)數(shù)系統(tǒng)。求解超定系統(tǒng)一般采用最小二乘法。超定方程組：方程個(gè)數(shù)大于未知量個(gè)數(shù)的方程組注：超定方程一般是不存在解的矛盾方程組。如果有向量 a 使得達(dá)到最小，則稱 a 為上述超定方程的最小二乘解。 4.3 模型建立過(guò)程由問(wèn)題一我們根據(jù)食品價(jià)格走勢(shì)圖可以了

16、解到不同類食品的價(jià)格走勢(shì)呈現(xiàn)不同的規(guī)律，所以我們分別從四大類食品（價(jià)格平穩(wěn)型食品、價(jià)格溫和波動(dòng)型食品、價(jià)格迅速波動(dòng)型食品、價(jià)格劇烈波動(dòng)型食品）選取有代表性的食品，運(yùn)用SPSS軟件求解，求得食品價(jià)格的變動(dòng)規(guī)律。模型中各數(shù)據(jù)點(diǎn)是離散的數(shù)據(jù)，屬于非線性相關(guān)的點(diǎn)，我們?nèi)∧攴葑鳛閤軸，各個(gè)食品種類的價(jià)格作為y軸。第一步:先選定一組函數(shù) ，令 （1）其中 a1,a2, ,am 為待定系數(shù)。 第二步:以最小二乘準(zhǔn)則確定a1,a2, ,am ，即使n個(gè)點(diǎn)處與 的差di 的平方和最小 。記問(wèn)題歸結(jié)為:求 a1,a2, ,am 使 J(a1,a2, ,am) 最小。 4.3.1第一類（價(jià)格平穩(wěn)型食品）我們以豆制品

17、（豆腐）為例進(jìn)行求解：觀察豆腐的價(jià)格波動(dòng)圖，我們考慮到豆腐價(jià)格函數(shù)有線性和對(duì)數(shù)型兩種類型，所以分別用兩種方法進(jìn)行求解，然后通過(guò)比較和誤差分析得出最優(yōu)的模型。（1） 線性回歸的方法設(shè)價(jià)格隨時(shí)間變化的方程是：y=+x+,其中N（0，）SPSS求解模型過(guò)程如下：由圖表可以得到函數(shù)表達(dá)式為:復(fù)相關(guān)系數(shù) ，方程顯著性檢驗(yàn)，故回歸方程顯著。(2)對(duì)數(shù)模型求解運(yùn)用SPSS軟件進(jìn)行曲線擬合，得到如下結(jié)果:系數(shù)a模型非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)tSig.B標(biāo)準(zhǔn) 誤差試用版1(常量)1.468.002659.478.000VAR00001.002.000.9349.741.000由圖表可以得到函數(shù)表達(dá)式為復(fù)相關(guān)系數(shù)調(diào)整，

18、方程顯著性檢驗(yàn)。綜合比較兩種模型：線性方程的較大，并且F值較高，可得線性回歸的效果較好，因而采用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)。利用上述回歸方程，可以估計(jì)五月份的價(jià)格，為檢驗(yàn)效果，比較前幾個(gè)月的原始價(jià)格與預(yù)測(cè)值。結(jié)果見(jiàn)表：時(shí)間12345678910111213141516原始值4.344.344.364.384.394.394.334.424.464.484.464.464.474.464.474.48預(yù)測(cè)值4.354.364.374.384.394.404.414.424.434.444.454.464.474.484.495.00誤差0.23%0.46%0.22%0%0%0.22%1.84%0%0.

19、67%0.89%0.22%0%0%0.44%0.44%0.44%表4-1：豆腐預(yù)測(cè)值與原始值的相對(duì)誤差表中預(yù)測(cè)值與原始值的相對(duì)誤差最大不超過(guò)2%，且大多數(shù)不超過(guò)0.4%，說(shuō)明預(yù)測(cè)具有一定準(zhǔn)確性。即預(yù)測(cè)得到五月份三個(gè)時(shí)間段豆制品的價(jià)格分別是：4.53元/千克，4.54元/千克，4.55元/千克。4.3.2第二類食品（價(jià)格溫和波動(dòng)型食品）我們以雞蛋為例進(jìn)行求解：SPSS曲線擬合：模型匯總和參數(shù)估計(jì)值因變量:VAR00002方程模型匯總參數(shù)估計(jì)值R 方Fdf1df2Sig.常數(shù)b1b2b3三次.5254.423312.0269.607.201-.030.001S.0811.230114.2862.2

20、79.024根據(jù)雞蛋價(jià)格數(shù)據(jù)的走勢(shì)，我們推測(cè)的函數(shù)模型包括對(duì)數(shù)、二次、三次、反向、復(fù)合和S曲線，但比較的值，我們可以看到這些曲線得到的值均小于0.4，表明實(shí)際數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)函數(shù)極度不吻合，所以雞蛋價(jià)格不遵循一定的規(guī)律，導(dǎo)致我們不能比較準(zhǔn)確的得到雞蛋價(jià)格的預(yù)測(cè)結(jié)果,這也是我們目前構(gòu)建模型方面的不足之處。但我們可以根據(jù)雞蛋價(jià)格每個(gè)時(shí)期的跌漲幅度得到價(jià)格變動(dòng)的大致范圍，即：最大漲幅為2.5%，最大跌幅為3.0%,平均幅度為-0.14375%，并且根據(jù)4、5月份的幅度變化的斜率趨勢(shì)來(lái)看，雞蛋價(jià)格在5月份跌漲幅度在0%上下波動(dòng)。4.2.3第三類（價(jià)格迅速波動(dòng)型食品）我們以水果（香蕉、蘋果）為例進(jìn)行求解：觀察

21、蘋果，香蕉的趨勢(shì)圖，兩者趨勢(shì)相似，我們運(yùn)用SPSS軟件擬合，最后得到最符合蘋果價(jià)格的曲線為三次方程：復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.973，方程顯著性檢驗(yàn)F=141.88，可見(jiàn)，該方程的擬合效果相當(dāng)好。利用上述回歸方程，可以估計(jì)蘋果，香蕉五月份的價(jià)格，為檢驗(yàn)效果，比較蘋果前幾個(gè)月的原始價(jià)格與預(yù)測(cè)值。結(jié)果見(jiàn)下表：時(shí)間12345678910111213141516原始值10.5910.5310.5710.6210.710.8911.111.211.6311.7911.7511.7511.8111.911.9611.98預(yù)測(cè)值10.5410.53810.59210.69810.8511.04211.26811.52

22、211.79812.0912.39212.69813.00213.29813.5813.842相對(duì)誤差0.45%0.0759%0.2081%7.8%1.4019%1.3766%1.5135%2.875%1.4445%2.5445%5.4638%8.0681%10.0931%11.7479%13.545%15.543%表4-3：蘋果預(yù)測(cè)值與原始值的相對(duì)誤差分析上表數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的相對(duì)誤差最大超過(guò)了15%，且有大部分月份都超過(guò)了2%。雖然曲線擬合效果很好，但是預(yù)測(cè)得到的結(jié)果并不準(zhǔn)確，因而不能用三次方程進(jìn)行預(yù)測(cè)價(jià)格。我們進(jìn)一步觀察水果類的波動(dòng)圖，可以看出：曲線前段趨緩，中段有明顯上升趨勢(shì)，后段

23、也處于緩和的趨勢(shì)，因而預(yù)測(cè)五月份價(jià)格不會(huì)有大的波動(dòng)，應(yīng)該在最大值與最小值之間取值，取后段趨緩部分的價(jià)格平均值，計(jì)算公式：預(yù)測(cè)得到五月份蘋果的價(jià)格為=11.85，且范圍在11.79元到11.98元之間，相對(duì)誤差為1.6034%。同樣的方法可以得到五月份香蕉的價(jià)格為=7.55，取值范圍在7.45到7.69之間，相對(duì)誤差為1.8543%，預(yù)測(cè)存在一定誤差，但不會(huì)有大的誤差。4.2.4第四類（價(jià)格劇烈波動(dòng)型食品）觀察問(wèn)題一中豬肉（后腿肉）和豬肉（五花肉）價(jià)格走勢(shì)類似，所以相應(yīng)的模型類似。而蔬菜（豆角）與二者的走勢(shì)明顯不同，所符合的模型也不同，故分別進(jìn)行求解。SPSS求解模型過(guò)程如下：1.（1）豬肉（五

24、花肉）曲線擬合：在此，我們可以通過(guò)超定系統(tǒng)線性方程最小二乘法，利用MATLAB軟件編程做實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和擬合曲線。圖象如下：(代碼見(jiàn)附錄):圖4-4：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合曲線由圖表可以得到函數(shù)表達(dá)式為：利用上述回歸方程，可以估計(jì)豬肉的價(jià)格，為檢驗(yàn)效果，比較豬肉前幾個(gè)月的原始價(jià)格與預(yù)測(cè)值。結(jié)果見(jiàn)下表：時(shí)間12345678910111213141516原始值26.3226.2526.3726.5126.4426.4926.2726.0526.2025.9824.9824.3023.8223.2522.6822.21預(yù)測(cè)值26.14826.31526.48626.55326.55226.48326.34626.

25、14125.86825.52725.11824.64124.09623.48322.80222.053相對(duì)誤差0.65%0.24%0.44%0.16%0.42%0.026%0.289%0.349%1.267%1.74%0.55%1.4%1.15%1.00%0.54%0.707%表4-5：豬肉預(yù)測(cè)值與原始值的相對(duì)誤差據(jù)表分析可得：表中預(yù)測(cè)值與原始值的相對(duì)誤差最大不超過(guò)1.7%，并且基本上相對(duì)誤差小于0.5%，說(shuō)明預(yù)測(cè)具有一定的準(zhǔn)確性。即預(yù)測(cè)得到五月份三個(gè)時(shí)間段豆制品的價(jià)格分別是：19.398元/千克，18.377元/千克，17.288元/千克。2.蔬菜（豆角）曲線擬合由問(wèn)題1求解中豆角的方差較大

26、，我們考慮線性回歸的方法，設(shè)價(jià)格隨時(shí)間變化的方程是：+,其中N（0，）由于季節(jié)因素影響價(jià)格大幅的波動(dòng)，會(huì)對(duì)我們建立的模型類型產(chǎn)生很大的干擾，所以去掉1、2、3、9、10所代表的這些時(shí)間段的豆角價(jià)格數(shù)據(jù)，即這些波動(dòng)特別大的點(diǎn) 。SPSS曲線擬合：模型匯總和參數(shù)估計(jì)值因變量:VAR00001方程模型匯總參數(shù)估計(jì)值R 方Fdf1df2Sig.常數(shù)b1b2二次.93961.25328.000.1052.590-.117自變量為 VAR00002。其函數(shù)表達(dá)式為：利用上述回歸方程，可以估計(jì)豆角的價(jià)格，為檢驗(yàn)效果，比較豆角前幾個(gè)月的原始價(jià)格與預(yù)測(cè)值。結(jié)果見(jiàn)下表：時(shí)間45678111213141516原始值

27、9.099.4610.7412.9513.9314.6513.7513.7413.2912.6311.58預(yù)測(cè)值8.59310.1311.4312.5013.3414.4414.3414.0013.4312.6311.59誤差5.47%7.08%6.42%3.47%4.24%1.43%4.29%1.89%1.05%0.00%0.08%表4-7：豆角的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的相對(duì)誤差由圖表可以看到，為0.939，較高，說(shuō)明曲線擬合很好，并且在3、4月份相對(duì)誤差較小，表明實(shí)際數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)更加接近，對(duì)5月份豆角價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)也是比較準(zhǔn)確的。其函數(shù)表達(dá)式為：即預(yù)測(cè)得到五月份三個(gè)時(shí)間段豆角價(jià)格分別為：7.078

28、元/千克，5.015元/千克，2.898元/千克；4.4模型結(jié)果分析針對(duì)以上模型建立和預(yù)測(cè)結(jié)果，可以得到以下結(jié)論：（1） 從選取的四類代表性食物來(lái)看，第一類食品中的豆腐價(jià)格在5月份均保持小幅度波動(dòng)上升趨勢(shì)；第二類食品中的雞蛋保持小幅度下降趨勢(shì)；第三類食品（香蕉、蘋果）價(jià)格開(kāi)始呈現(xiàn)明顯上升趨勢(shì)，后段處于緩和的趨勢(shì)；第四類食品中，豬肉呈現(xiàn)波動(dòng)下降趨勢(shì)，同時(shí)豆角也波動(dòng)下降。（2） 在圖中看不出是食品價(jià)格的波動(dòng)，這是因?yàn)轭A(yù)測(cè)的時(shí)間只有5月份三個(gè)時(shí)間段，時(shí)間段很短，價(jià)格不足以在這個(gè)時(shí)間段發(fā)生大幅度波動(dòng)，所以預(yù)測(cè)結(jié)果具有一定的準(zhǔn)確度。五 問(wèn)題三5.1問(wèn)題分析消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)（Consumer Price I

29、ndex），英文縮寫(xiě)為CPI，也稱消費(fèi)價(jià)格指數(shù)，是反映與居民生活有關(guān)的產(chǎn)品及勞務(wù)價(jià)格統(tǒng)計(jì)出來(lái)的物價(jià)變動(dòng)指標(biāo)，通常作為觀察通貨膨脹水平的重要指標(biāo)，是與人民生活密切相關(guān)的參考指標(biāo)。由于CPI指數(shù)包含衣食住行等眾多分類，而題目中要求僅僅通過(guò)監(jiān)控部分食品價(jià)格波動(dòng)，就能相對(duì)精確地預(yù)測(cè)CPI數(shù)值，于是考慮食品類占居民消費(fèi)總支出的百分比。同時(shí)，每一類食品價(jià)格變化對(duì)CPI 的重要性并不相同。為使用盡量少的食品種類達(dá)到較好的預(yù)測(cè)，考慮對(duì)食品進(jìn)行主成分分析，減少食品種類，提取出少數(shù)幾個(gè)代表性食品。不同地區(qū)的CPI指數(shù)也不盡相同，則預(yù)想不同地區(qū)被提取出的食品種類也不同。經(jīng)過(guò)對(duì)地域特點(diǎn)的考察，選取陜西和上海兩地，通過(guò)

30、查找相關(guān)CPI和食品價(jià)格數(shù)據(jù)，運(yùn)用主成分分析法，得出對(duì)CPI影響大的幾類食品，然后比較兩地的影響CPI大的食品類別是否相同。5.2 問(wèn)題求解與模型建立食品消費(fèi)支出占總支出的比重恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)總額的比重，在中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局官網(wǎng)（ ）上，我們得到2010年到2013年的恩格爾系數(shù)分別為：35.7%，36.3%，37.1%，35.0%取其均值，我們可以得到全國(guó)食品消費(fèi)占總的消費(fèi)支出為36.025%在國(guó)家統(tǒng)計(jì)局陜西調(diào)查總隊(duì)的官網(wǎng)（ ）上，我們得到了陜西省歷年城鎮(zhèn)居民人均生活消費(fèi)支出的數(shù)據(jù)，采用2010年到2013年的數(shù)據(jù)，計(jì)算得出食品占總消費(fèi)的比率分別為： 0.37058,0.365

31、67,0.36203,0.36427取其均值，我們可以得到陜西省食品占總消費(fèi)的平均比率為：0.36564在上海統(tǒng)計(jì)官網(wǎng)（）上，我們得到了從2009年1季度到2014年1季度的上海城市居民家庭消費(fèi)支出數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算食品支出占消費(fèi)總支出的比例，得到2013年，2012年，2011年，2010年，2009年食品占總消費(fèi)的比率分別為：0.34472，0.367778，0.355265，0.335524，0.350695；取其均值，我們可以得到上海食品占總消費(fèi)的平均比率為0.350797。主成分分析法的基本思想 在實(shí)際問(wèn)題中，我們經(jīng)常會(huì)遇到研究多個(gè)變量的問(wèn)題，而且在多數(shù)情況下，多個(gè)變量之間常常存在一定的

32、相關(guān)性。由于變量個(gè)數(shù)較多再加上變量之間的相關(guān)性，勢(shì)必增加了分析問(wèn)題的復(fù)雜性。如何從多個(gè)變量中綜合為少數(shù)幾個(gè)代表性變量，既能夠代表原始變量的絕大多數(shù)信息，又互不相關(guān)，并且在新的綜合變量基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)分析，這時(shí)就需要進(jìn)行主成分分析。主成分分析是采取一種數(shù)學(xué)降維的方法，找出幾個(gè)綜合變量來(lái)代替原來(lái)眾多的變量，使這些綜合變量能盡可能地代表原來(lái)變量的信息量，而且彼此之間互不相關(guān)。這種將把多個(gè)變量化為少數(shù)幾個(gè)互相無(wú)關(guān)的綜合變量的統(tǒng)計(jì)分析方法就叫做主成分分析或主分量分析。 5.2.3 主成分分析模型的建立與求解（1）數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理其中為第i個(gè)分區(qū)第j個(gè)指標(biāo)的值，為第j個(gè)指標(biāo)的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

33、（2）計(jì)算數(shù)據(jù)表的相關(guān)矩陣S。（3）求S的J個(gè)特征值：，以及對(duì)應(yīng)的特征向量，它們標(biāo)準(zhǔn)正交稱為主軸。（4）求主成分：。（5）精度分析：通過(guò)求累計(jì)貢獻(xiàn)率E來(lái)判斷，一般要求取E85%的最小m值，則可得主平面的維數(shù)m,從而可對(duì)m個(gè)主成分進(jìn)行綜合分析。在獲得特征向量與特征值,并確定主超平面的維數(shù)之后,可以計(jì)算主因子載荷矩陣,其計(jì)算公式為: 其中選取附錄1中數(shù)據(jù)，將27種食品作為因子，通過(guò)CPI數(shù)據(jù)得到數(shù)據(jù)表，通過(guò)Matlab。7.0實(shí)現(xiàn)函數(shù)得到如下圖表（代碼見(jiàn)附錄）相關(guān)系數(shù)矩陣：特征向量: 各主成分貢獻(xiàn)率(nerate):0.558266973430888 + 0.00000000000000i-3.2

34、8627610208265e-17 + 0.00000000000000i1.82276021540556e-17 + 0.00000000000000i4.73857120853760e-18 + 0.00000000000000i-3.28627610208265e-17 + 0.00000000000000i.由分析可得主成分為19、21、23、25、1、2、3、26、27.故可得到對(duì)居民食品消費(fèi)指數(shù)影響大的食品分別為大白菜、油麥菜、土豆、西紅柿、大米、面粉、蘋果。故可得到通過(guò)檢測(cè)大白菜、油麥菜、土豆、西紅柿、大米、面粉、蘋果這類食品可監(jiān)測(cè)盡量少的食品種類價(jià)格即能相對(duì)準(zhǔn)確地計(jì)算、預(yù)測(cè)居民

35、消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)。同理收集陜西和上海兩地的CPI和食品價(jià)格數(shù)據(jù)，通過(guò)上述同樣方法可得到蔬菜、糧食、水果、肉類、蛋產(chǎn)品等的權(quán)重對(duì)比圖：由圖表可清晰看出陜西和上海兩地的各類食品的權(quán)重不相同，故在同樣的精度要求下，所選取的食品種類不盡相同。六 模型推廣與評(píng)價(jià)6.1 優(yōu)點(diǎn)在問(wèn)題一中，我們采用了方差分析法對(duì)50個(gè)城市主要食品進(jìn)行了分類，同時(shí)考慮到了氣候等對(duì)食品價(jià)格的影響，避免了極值的干擾，并且運(yùn)用折線圖較為真實(shí)地表示了食品在一段時(shí)間內(nèi)的走勢(shì)，這為問(wèn)題二的預(yù)測(cè)起到了很大的作用。在問(wèn)題二中，我們分別對(duì)每類食品的代表性食品建立了不同的模型，通過(guò)比較這些模型的R2的值來(lái)找到最吻合的曲線。其中我們建立的模型主要包括線性回歸模型、二次函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型等，這種比較