網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性無(wú)源性和耗散性

1、網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、無(wú)源性和耗散性目錄第1章概述1第2章網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性22.1系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性定義2自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性2時(shí)變系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性32.2平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判別方法4自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判據(jù)4時(shí)變系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判別62.3Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造方法62.4穩(wěn)定性72.5增益82.6小增益定理9第3章網(wǎng)絡(luò)的無(wú)源性103.1無(wú)源性的概念103.2無(wú)源性條件11第4章網(wǎng)絡(luò)的耗散性134.1耗散性定義134.2耗散性意義：14第5章三者之間的關(guān)系155.1無(wú)源性與穩(wěn)定性關(guān)系155.2無(wú)源性與耗散性的關(guān)系15參考文獻(xiàn)16網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、無(wú)源性和耗散性第1章 概述穩(wěn)定是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的前提必要條件。論

2、文介紹了非線性系統(tǒng)平衡點(diǎn)Lyapunov穩(wěn)定性分析理論，包括各種穩(wěn)定形式的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義、穩(wěn)定性判別定理。另外，從映射或算子的角度給出了非線性系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定性的定義與判別方法。無(wú)源性的概念是與實(shí)際系統(tǒng)的能量存儲(chǔ)函數(shù)以及外部輸入和輸出信號(hào)相關(guān)的概念。它把系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性和穩(wěn)定性聯(lián)系在一起，為分析非線性系統(tǒng)平衡點(diǎn)處Lyapunov穩(wěn)定性和系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定性提供了方便直觀的工具。論文介紹了無(wú)源性定義和條件。將無(wú)源性的概念擴(kuò)展，即可引入與系統(tǒng)性能準(zhǔn)則相關(guān)的系統(tǒng)耗散性的概念，這為分析非線性系統(tǒng)抗擾性能提供了有力工具。論文對(duì)耗散性概念、條件和意義進(jìn)行了闡述。論文還表明了三者之間的關(guān)系。第2章 網(wǎng)

3、絡(luò)的穩(wěn)定性對(duì)于實(shí)際工程中的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)來(lái)講，穩(wěn)定性是最基本的要求。對(duì)于非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，存在許多不同類(lèi)型的穩(wěn)定性問(wèn)題1。例如，Lyapunov穩(wěn)定性無(wú)外部信號(hào)激勵(lì)的情況下，系統(tǒng)的狀態(tài)能夠從任意的初始點(diǎn)回到自身所固有的平衡狀態(tài)的特性。因此，也稱為平衡點(diǎn)的Lyapunov穩(wěn)定性。輸入-輸出穩(wěn)定性和輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性在有界的外部信號(hào)激勵(lì)下，系統(tǒng)的輸出和狀態(tài)響應(yīng)能夠停留在有界的范圍內(nèi)的穩(wěn)定特性，輸入-輸出穩(wěn)定性也叫有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性。對(duì)于線性系統(tǒng)來(lái)講，平衡點(diǎn)的Lyapunov穩(wěn)定性和輸入-狀態(tài)(或輸出)穩(wěn)定性實(shí)際上是等價(jià)的，但是對(duì)于一般的非線性系統(tǒng)則不然。下面1-3節(jié)討論平衡點(diǎn)的Lya

4、punov穩(wěn)定性，4-6節(jié)討論輸入-狀態(tài)(或輸出)穩(wěn)定性。2.1 系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性定義2.1.1 自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性考慮如下所描述的非線性自治系統(tǒng)：式中，為狀態(tài)變量；是關(guān)于局部Lipschitz的；是系統(tǒng)初始條件。假設(shè)為包含點(diǎn)的域，且為式系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，即。根據(jù)微分方程理論可知，在是關(guān)于局部Lipschitz的條件下，對(duì)于任意初始條件，式系統(tǒng)的解在上有定義且是連續(xù)的。以后的討論中，除非特別聲明，均假設(shè)系統(tǒng)滿足上述解的存在性條件。需指出，這里只討論平衡點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題。這是不失一般性的。因?yàn)槿魏纹胶恻c(diǎn)均可通過(guò)坐標(biāo)變量變換而移到原點(diǎn)，如，則令，那么，就有，平衡點(diǎn)為。為此，對(duì)于式系統(tǒng)有如

5、下的一些平衡點(diǎn)穩(wěn)定性定義。定義2.1（Lyapunov穩(wěn)定性）如果對(duì)于任意給定的，存在一個(gè)常數(shù)，使得對(duì)任意滿足的初始條件，式系統(tǒng)的解滿足則稱式系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是Lyapunov穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。定義2.2（漸近穩(wěn)定性）如果式系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，且選取使得或等價(jià)地，存在和，使得，則稱式系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是漸近穩(wěn)定的。定義2.3（指數(shù)穩(wěn)定性）如果存在常數(shù)，使得對(duì)任意滿足的初始條件，式系統(tǒng)的解滿足則稱式系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是指數(shù)穩(wěn)定的。定義2.4（不穩(wěn)定）如果對(duì)于某一個(gè)，不管多么小，至少存在一個(gè)，使得時(shí)，式系統(tǒng)的解有則稱式系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是不穩(wěn)定的。注2.1 由上述定義可以知道，一個(gè)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處如果是指數(shù)穩(wěn)定

6、的，就一定是漸近穩(wěn)定的、Lyapunov穩(wěn)定的，如果是漸近穩(wěn)定的就一定是Lyapunov穩(wěn)定的；但反之，若是Lyapunov穩(wěn)定的，不一定是漸近穩(wěn)定的，是漸近穩(wěn)定的，不一定是指數(shù)穩(wěn)定的。注2.2 對(duì)于非線性系統(tǒng)，還要注意局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性的概念。局部穩(wěn)定性是指對(duì)于，性能成立。而全局穩(wěn)定性是指，性能均成立。注2.3 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定性總是全局的和指數(shù)穩(wěn)定的，不穩(wěn)定總是隱含指數(shù)發(fā)散的。只有非線性系統(tǒng)才區(qū)別漸近穩(wěn)定性、指數(shù)穩(wěn)定性、全局穩(wěn)定和局部穩(wěn)定。線性系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性是一致的，因?yàn)榫€性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡點(diǎn)，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即是系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。2.1.2 時(shí)變系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定

7、性考慮非線性時(shí)變系統(tǒng)式中，為狀態(tài)變量；為時(shí)間變量；是的分段連續(xù)函數(shù)，且關(guān)于在上局部Lipschitz，是包含原點(diǎn)的域。，即是平衡點(diǎn)。同樣，也只研究平衡點(diǎn)在原點(diǎn)的情況。如果平衡點(diǎn)不在原點(diǎn)，可以通過(guò)坐標(biāo)變換將其移到原點(diǎn)。例如，假設(shè)系統(tǒng)的解為，通過(guò)坐標(biāo)變換，系統(tǒng)變換為因此，原點(diǎn)是系統(tǒng)在時(shí)的一個(gè)平衡點(diǎn)，可以通過(guò)判別被變換系統(tǒng)在原點(diǎn)的穩(wěn)定性能，來(lái)確定原系統(tǒng)解的穩(wěn)定性能。對(duì)于任意初始條件，式系統(tǒng)的解在上有定義且是連續(xù)的。非自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性概念與上面介紹的自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念基本相同，不同的是自治系統(tǒng)的解僅依賴于，而非自治系統(tǒng)的解既依賴于，又依賴于。因此，對(duì)于非自治系統(tǒng)，各種穩(wěn)定性的定義需要修改，而

8、且需要更詳細(xì)的劃分。定義2.5（Lyapunov穩(wěn)定性和一致Lyapunov穩(wěn)定性）如果對(duì)于任意給定的及初始時(shí)刻，存在一個(gè)常數(shù)，使得對(duì)任意滿足的初始條件，式系統(tǒng)的解滿足則稱平衡點(diǎn)是Lyapunov穩(wěn)定的。如果在上述定義中，而與無(wú)關(guān)，則稱平衡點(diǎn)是一致Lyapunov穩(wěn)定的。如果式對(duì)任意成立，則稱平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的。定義2.6（漸近穩(wěn)定性和一致漸近穩(wěn)定性）如果式系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，且存在使得則稱平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。如果平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，且存在的與無(wú)關(guān)，則稱平衡點(diǎn)是一致漸近穩(wěn)定的。如果平衡點(diǎn)是一致穩(wěn)定的，且對(duì)于每對(duì)正數(shù)和，存在，使得則稱平衡點(diǎn)是全局一致漸近穩(wěn)定的。定義2.7（指數(shù)穩(wěn)定性）若式系統(tǒng)

9、在平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，且存在正數(shù)和，使得下式成立：則稱平衡點(diǎn)是指數(shù)穩(wěn)定的。如果式對(duì)任意成立，則稱平衡點(diǎn)全局指數(shù)穩(wěn)定。需指出，時(shí)變系統(tǒng)平衡點(diǎn)的指數(shù)穩(wěn)定即為一致指數(shù)穩(wěn)定。2.2 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判別方法第2.1節(jié)給出了系統(tǒng)平衡點(diǎn)各種穩(wěn)定性的定義，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性是可以根據(jù)這些定義來(lái)判別的，但是直接由定義進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判別，有時(shí)候是很困難的，因此，控制理論發(fā)展了平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判別方法。2.2.1 自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判據(jù)1. Lyapunov穩(wěn)定性定理定理2.1 對(duì)于式系統(tǒng)，令是平衡點(diǎn)，是包含的域，是連續(xù)可微函數(shù)。如果在內(nèi)，有(1)，且，即在內(nèi)是正定函數(shù)；(2),即是半負(fù)定函數(shù)。則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是Lyapu

10、nov穩(wěn)定的。2. 漸近穩(wěn)定性定理定理2.2 對(duì)于式系統(tǒng)，令是平衡點(diǎn)，是包含的域，是連續(xù)可微函數(shù)。如果在內(nèi)，有(1)，且，即在內(nèi)是正定函數(shù)；(2),且即是負(fù)定函數(shù)。則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是漸近穩(wěn)定的。定理2.3 （全局漸近穩(wěn)定）對(duì)于式系統(tǒng)，令是平衡點(diǎn)，是連續(xù)可微函數(shù)。如果(1)，；(2),。則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是全局漸近穩(wěn)定的。3. 指數(shù)穩(wěn)定性定理定理2.4 對(duì)于式系統(tǒng)，令是平衡點(diǎn)，是包含的域。如果存在連續(xù)函數(shù)，常數(shù)，使得對(duì)任意的，有(1)；(2)。則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是局部指數(shù)穩(wěn)定的。如果對(duì)于任意的，條件（1）、（2）都成立，則平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。4. 不穩(wěn)定定理定理2.5 對(duì)于式系統(tǒng)，令是平衡點(diǎn)，是

11、包含的域。若存在連續(xù)可微函數(shù)，有，并且對(duì)于在原點(diǎn)的任意小鄰域內(nèi)（很?。┯?。同時(shí)，定義集合，在域內(nèi)。則此時(shí)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。5. 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判別現(xiàn)在考慮自治系統(tǒng)的特例線性定常系統(tǒng)的情況。線性定常系統(tǒng)描述為其中，是非奇異陣。式系統(tǒng)有唯一的平衡點(diǎn)。則平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性可由如下定理判別。定理2.6 對(duì)于式系統(tǒng)，平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣的所有特征根滿足，即矩陣為Hurwitz矩陣。而矩陣特征根均為負(fù)實(shí)部，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意給定的正定對(duì)稱陣，存在滿足如下Lyapunov方程的對(duì)稱正定陣，而且，如果陣是穩(wěn)定陣，那么，是方程的唯一解。6. 非線性系統(tǒng)的線性化考慮式非線性系統(tǒng)，其中，是連續(xù)可微的函

12、數(shù)，包含在中，且是平衡點(diǎn)，。由中值定理有其中，是連接與原點(diǎn)的線段上的一點(diǎn)。由于，則所以有其中，。函數(shù)滿足不等式，由于的連續(xù)性，有當(dāng)時(shí)，。這意味著在原點(diǎn)的很小的鄰域內(nèi)，非線性系統(tǒng)可以用它的關(guān)于原點(diǎn)的線性化來(lái)近似表示，則在原點(diǎn)的穩(wěn)定性可以用其近似方程中矩陣來(lái)判別。進(jìn)而有下面的Lyapunov間接定理。定理2.7 對(duì)于式系統(tǒng)，是平衡點(diǎn)，連續(xù)可微，是原點(diǎn)的一個(gè)鄰域。令，則(1)如果的所有特征根均為負(fù)實(shí)部，原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。(2)如果的特征根有一個(gè)或多個(gè)，原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。注2.4 定理2.7并未給出對(duì)于所有的特征根，對(duì)于一些特征根的情況的結(jié)論，在這種情況下，用線性化不能確定原點(diǎn)的穩(wěn)定性。2.2.2 時(shí)變

13、系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判別本節(jié)將討論式時(shí)變系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定或漸近穩(wěn)定的條件。注意，與自治系統(tǒng)相比，時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析增加了一致性的概念。設(shè)是原點(diǎn)的一個(gè)鄰域，是初始時(shí)刻。定理2.8 （Lyapunov穩(wěn)定定理）對(duì)于式系統(tǒng)，若存在連續(xù)可微的正定函數(shù)，并且沿式系統(tǒng)的軌跡對(duì)的導(dǎo)數(shù)是連續(xù)半負(fù)定的，則是該系統(tǒng)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。若是正定且漸小的，即存在正定函數(shù)，使得，則平衡點(diǎn)是一致Lyapunov穩(wěn)定的。定理2.9 （漸近穩(wěn)定定理）對(duì)于式系統(tǒng)，若存在連續(xù)可微函數(shù)，和連續(xù)正定函數(shù)，使得和沿式系統(tǒng)的任意軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)滿足(1)(2)則是該系統(tǒng)的一致漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。如果，是徑向無(wú)界，則是該系統(tǒng)的全局一致漸近穩(wěn)定的平衡

14、點(diǎn)。定理2.10 對(duì)于式系統(tǒng)，若是系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)，且滿足(1)；(2)。其中，為給定常數(shù)，則零解是指數(shù)穩(wěn)定的。2.3 Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造方法以下是一些實(shí)際中常采用的函數(shù)構(gòu)造方法。1. 線性定常系統(tǒng)：取，解，求出，由的正定性判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此，函數(shù)構(gòu)造為。2. 線性時(shí)變系統(tǒng)：取，解，求出，由連續(xù)、對(duì)稱、正定判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此，函數(shù)構(gòu)造為。3. 非線性自治系統(tǒng)：(1)Jacobian矩陣法先計(jì)算Jacobian矩陣，選取，為對(duì)稱正定陣，則的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為令，則給定，求出，由的正定性判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。特例，則，是克拉索夫斯基法。(2)變量梯度法由，其中，若選取使得為負(fù)，同時(shí)滿足旋度

15、方程，則在此條件下求得2.4 穩(wěn)定性一般將非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程描述為如下的狀態(tài)空間表達(dá)式形式：式中，為該系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)；為系統(tǒng)外部輸入信號(hào)；為系統(tǒng)輸出信號(hào)。在考慮外部輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的輸出響應(yīng)特性分析時(shí)，可以采用輸入輸出法來(lái)建模非線性系統(tǒng)，就像可以采用傳遞函數(shù)這種外部描述法來(lái)建模線性系統(tǒng)一樣。即非線性系統(tǒng)輸入-輸出之間關(guān)系被描述為如下形式：其中，代表某種映射或算子，指定了輸入和輸出之間的關(guān)系。下面研究工程系統(tǒng)的品質(zhì)特性，即從映射或算子的角度給出非線性系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定性的定義與判別方法。1. 穩(wěn)定性定義定義2.8 考慮式非線性系統(tǒng)，其中算子。如果存在定義在上的函數(shù)和一個(gè)非負(fù)常數(shù)，使得對(duì)任意，有

16、成立，則稱算子是穩(wěn)定的。其中表示向量空間的范數(shù)。定義2.9 考慮式非線性系統(tǒng)，其中算子。如果存在非負(fù)常數(shù)和，使得對(duì)任意，有成立，則稱算子是有限增益穩(wěn)定的。注2.5 如果，是一致有界信號(hào)的空間，則穩(wěn)定性即為有界輸入有界輸出穩(wěn)定性。顯然BIBO穩(wěn)定意味著任何一個(gè)有界輸入的激勵(lì)響應(yīng)都是有界的。由于范數(shù)的等價(jià)性，表征BIBO穩(wěn)定的定義不局限于空間或-范數(shù)。實(shí)際上，只要輸入信號(hào)在某種范數(shù)意義下有界時(shí)，輸出信號(hào)也在同一范數(shù)意義下是有界的，則可稱該系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。定義2.10 考慮式非線性系統(tǒng)，其中算子。如果存在正常數(shù)，使得對(duì)所有具有的，有不等式或不等式成立，則稱算子是小信號(hào)穩(wěn)定的或小信號(hào)有限增益穩(wěn)定

17、的。2.5 增益穩(wěn)定性在系統(tǒng)分析中起著特殊的作用，因?yàn)槭瞧椒娇煞e信號(hào)，因此?？煽闯蔀橛邢薜哪芰啃盘?hào)。在許多抗干擾控制問(wèn)題中，系統(tǒng)可以被看成是從一個(gè)干擾輸入到一個(gè)被控制輸出的輸入輸出映射，希望輸出信號(hào)很小。如果使用輸入信號(hào)，那么，控制設(shè)計(jì)的目的是保證輸入輸出映射是有限增益穩(wěn)定的，并且使系統(tǒng)的增益最小。定理2.11 考慮線性定常系統(tǒng)其中，為Hurwitz矩陣。設(shè)，則系統(tǒng)的增益是即。定理2.12 考慮非線性自治系統(tǒng)式中，是局部Lipschiz的，在上連續(xù)，且。如果存在一個(gè)連續(xù)可微的半正定函數(shù)和一個(gè)正數(shù)，使得如下不等式成立：那么，對(duì)于所有的，系統(tǒng)是有限增益穩(wěn)定的，且它的增益不大于。2.6 小增益定理圖

18、 21中的系統(tǒng)是由兩個(gè)子系統(tǒng)和反饋連接構(gòu)成的。假設(shè)兩圖 21 反饋連接系統(tǒng)個(gè)系統(tǒng)都是有限增益穩(wěn)定的，即有進(jìn)一步假設(shè)對(duì)每對(duì)輸入和，都存在唯一的輸出和，在此意義下反饋系統(tǒng)有明確的定義下面的小增益定理給出了反饋連接系統(tǒng)有限增益穩(wěn)定性的一個(gè)條件。定理2.13（小增益定理）對(duì)于圖 21 反饋連接系統(tǒng)，在前面的假設(shè)條件下，如果，則反饋連接系統(tǒng)是有限增益穩(wěn)定的。第3章 網(wǎng)絡(luò)的無(wú)源性無(wú)源性的概念來(lái)源于電網(wǎng)絡(luò)和物理學(xué)的分支3，是與系統(tǒng)的能量存儲(chǔ)函數(shù)以及外部輸入和輸出信號(hào)相關(guān)的概念。因此，無(wú)源性很好地把系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性和穩(wěn)定性聯(lián)系起來(lái)，為分析非線性系統(tǒng)提供了一個(gè)有力的工具。由于無(wú)源性理論利用了物理系統(tǒng)的

19、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，無(wú)源性方法和其它控制技巧結(jié)合使用時(shí)，可以簡(jiǎn)化相應(yīng)的控制方法，用無(wú)源化方法設(shè)計(jì)的非線性觀察器觀測(cè)器可以減少觀測(cè)器的參數(shù)，而且它也可以簡(jiǎn)化自適應(yīng)控制，魯棒控制，滑?？刂瓶刂?，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊控制。近年來(lái)，無(wú)源性理論廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，機(jī)器人控制，機(jī)械系統(tǒng)，電力系統(tǒng)和化工過(guò)程等方面3,4。3.1 無(wú)源性的概念無(wú)源性的概念來(lái)源于電網(wǎng)絡(luò)，所以用電路來(lái)闡述該定義。圖 21圖 31所示是電壓為，電流為的單端口電阻元件，把該元件看成是以電壓為輸入，電流為輸出的系統(tǒng)。，為電導(dǎo)。圖 31 無(wú)源電阻如果輸入功率始終是非負(fù)，即如果在特性的每個(gè)點(diǎn)都滿足，則該電阻元件是無(wú)源的。對(duì)于一個(gè)多端口的網(wǎng)絡(luò)，和是向量，

20、流入網(wǎng)絡(luò)的功率是內(nèi)積。如果對(duì)于所有都有，則認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)是無(wú)源的。是無(wú)源性的極限情況。在這種情況下，認(rèn)為系統(tǒng)是無(wú)損耗的。首先把這一無(wú)源性概念推廣到無(wú)記憶非線性函數(shù)其中，。定義3.1 考慮式系統(tǒng)，（1）如果，則系統(tǒng)是無(wú)源的；（2）如果，則系統(tǒng)是無(wú)損的；（3）如果存在某一函數(shù)，滿足，則系統(tǒng)是輸入前饋無(wú)源的；（4）如果滿足，且，則系統(tǒng)是輸入嚴(yán)格無(wú)源的；（5）如果存在某一函數(shù)，滿足，則系統(tǒng)是輸出反饋無(wú)源的；（6）如果滿足，且，則系統(tǒng)是輸出嚴(yán)格無(wú)源的。以下定義由狀態(tài)空間表達(dá)式描述的非線性系統(tǒng)的無(wú)源性，其中，狀態(tài)向量，為空間中含原點(diǎn)的子集或者整個(gè)空間，和分別為維的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)。是局部Lipschitz的，

21、是連續(xù)的，且，。定義3.2 對(duì)于式系統(tǒng)，如果存在連續(xù)可微的半正定的函數(shù)，使得對(duì)任意的輸入信號(hào)都成立，則稱式系統(tǒng)是無(wú)源的。則稱為能量存儲(chǔ)函數(shù)，簡(jiǎn)稱存儲(chǔ)函數(shù)，式稱為耗散不等式。若式中只取不等號(hào)，或者存在正定函數(shù)，使得耗散不等式對(duì)任意的輸入信號(hào)都成立，則稱該系統(tǒng)是嚴(yán)格無(wú)源的。如果不是整個(gè)空間，即只考慮局部特性，那么耗散不等式不要求對(duì)任意的輸入都成立，而是對(duì)那些使得狀態(tài)停留在內(nèi)的輸入信號(hào)成立即可。顯然，由上述定義可知，無(wú)源性是與系統(tǒng)的外部輸入、輸出信號(hào)相關(guān)的概念。如果視為系統(tǒng)在時(shí)刻所具有的能量總和，那么耗散不等式的左端就代表系統(tǒng)從初始時(shí)刻到時(shí)刻的能量的總增量。如果進(jìn)一步把解釋為伴隨著輸入由外部注入到系

22、統(tǒng)的能量供給率，那么式的右端就是在時(shí)間從外部注入系統(tǒng)的能量總和。因此，耗散不等式的物理意義就在于，它表明系統(tǒng)的能量由初始時(shí)刻到目前時(shí)刻的增長(zhǎng)量總是小于等于外部注入的能量總和。這就意味著無(wú)源系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)總是伴隨著能量的損耗。下面給出針對(duì)系統(tǒng)給出一些無(wú)源性相關(guān)定義。定義3.3 對(duì)于式系統(tǒng)，如果存在連續(xù)可微的半正定的函數(shù)，使得則稱式系統(tǒng)是無(wú)源的，其中是非負(fù)常數(shù)，是的一個(gè)正定函數(shù)，且對(duì)于所有的解和任意使解存在的，有。更進(jìn)一步，有（1）如果，且有，系統(tǒng)是無(wú)損的；（2）如果，即，系統(tǒng)是輸入嚴(yán)格無(wú)源的；（3）如果，即，系統(tǒng)是輸出嚴(yán)格無(wú)源的；（4）如果，即，系統(tǒng)是狀態(tài)嚴(yán)格無(wú)源的；（5）如果中多于一個(gè)為正，則可以

23、合并命名，例如，則系統(tǒng)是輸入輸出嚴(yán)格無(wú)源的。3.2 無(wú)源性條件考慮非線性系統(tǒng)式中，和分別為狀態(tài)向量、輸入信號(hào)和輸出信號(hào)。和分別為維和維的函數(shù)向量；為維的函數(shù)矩陣；為維的函數(shù)矩陣。定義3.4 對(duì)于式系統(tǒng)，若存在半正定函數(shù)、函數(shù)矩陣及，使得成立，則稱式系統(tǒng)具有KYP特性。定理3.1 式系統(tǒng)是無(wú)源的充分必要條件是存在光滑可微的半正定存儲(chǔ)函數(shù)，使得該系統(tǒng)具有KYP特性?？紤]線性系統(tǒng)注意到式線性系統(tǒng)是式非線性系統(tǒng)的特例。定理3.2 線性時(shí)不變最小實(shí)現(xiàn)為式系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為（1）如果是正實(shí)的，則系統(tǒng)是無(wú)源的；（2）如果是嚴(yán)格正實(shí)的，則系統(tǒng)是嚴(yán)格無(wú)源的。第4章 網(wǎng)絡(luò)的耗散性第3.1節(jié)中所介紹的無(wú)源性概念，反映

24、了系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量的耗損特性。對(duì)系統(tǒng)耗散不等式的這種物理解釋實(shí)際上基于一種前提，即存儲(chǔ)函數(shù)表示系統(tǒng)在狀態(tài)所具有的能量綜合。代表單位時(shí)間內(nèi)隨輸入信號(hào)注入系統(tǒng)的能量供給率。如果考慮更一般的供給率，即單位時(shí)間內(nèi)由外部注入的能量為輸入-輸出信號(hào)的更一般的函數(shù)，那么耗散不等式為同樣反映了所對(duì)應(yīng)的能量耗損特性。耗散性和作為其特例的無(wú)源性概念廣泛存在與物理學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)及其力學(xué)等領(lǐng)域。它們?cè)诳刂祁I(lǐng)域里的應(yīng)用起源于Kalman、popov、Yakubocich和Willems等在超穩(wěn)定性，正實(shí)性等方面開(kāi)創(chuàng)性的工作，后經(jīng)眾多控制工作者的共同努力形成了系統(tǒng)的耗散性和無(wú)源性理論。耗散系統(tǒng)在任意時(shí)刻所具有的能量總是

25、小于或等于系統(tǒng)初始時(shí)刻的能量和外部提供的能量之和，這種物理意義和無(wú)源性完全相同，只是在能量供給方式上更具有一般性5。關(guān)于線性系統(tǒng)的耗散性研究，線性定常系統(tǒng)的無(wú)源性或傳遞函數(shù)的正實(shí)性首先是人們關(guān)注的焦點(diǎn)。傳遞函數(shù)的正實(shí)性是線性定常系統(tǒng)的一種重要性質(zhì)，在絕對(duì)穩(wěn)定性分析、超穩(wěn)定性理論、無(wú)源性分析、二次優(yōu)化控制及自適應(yīng)控制理論等多個(gè)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。近年來(lái)，受魯棒穩(wěn)定性分析中參數(shù)化方法的刺激，正實(shí)性綜合受到了廣泛的關(guān)注。關(guān)于非線性系統(tǒng)的耗散性研究，一般非線性系統(tǒng)的耗散性研究主要集中在仿射系統(tǒng)的無(wú)源性及無(wú)源化上。Molan將KYP引理推廣到了仿射非線性系統(tǒng)的情形，并證明了對(duì)仿射非線性系統(tǒng)，在局部能控的假設(shè)

26、下，輸入輸出無(wú)源性和基于狀態(tài)空間的無(wú)源性定義是等價(jià)的。而Hill研究了無(wú)源性和穩(wěn)定性之間的關(guān)系，揭示出零狀態(tài)可觀系統(tǒng)的儲(chǔ)能函數(shù)是正定的，從而斷定這樣的無(wú)源系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并進(jìn)一步指出此時(shí)系統(tǒng)可通過(guò)無(wú)記憶輸出反饋漸近鎮(zhèn)定。這就是說(shuō)，對(duì)無(wú)源系統(tǒng)，只要零狀態(tài)可觀測(cè)。簡(jiǎn)單的單位負(fù)反饋就可使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定6。這些研究成果為控制系統(tǒng)的無(wú)源性設(shè)計(jì)方法奠定了理論基礎(chǔ)。無(wú)源性理論是當(dāng)今非線性系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的重要工具，而使系統(tǒng)無(wú)源即系統(tǒng)的無(wú)源化成為基于無(wú)源分析的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。本文從非線性系統(tǒng)出發(fā)，給出耗散性的定義和相關(guān)性質(zhì)。4.1 耗散性定義定義4.1 考慮式系統(tǒng)及能量供給率。若存在半正定的存儲(chǔ)函數(shù)使得耗散不等

27、式對(duì)于任意輸入成立，則稱該系統(tǒng)對(duì)能量供給率是耗散的。顯然，無(wú)源性是耗散性的一種特例，即如果系統(tǒng)對(duì)于供給率是耗散的，那么就稱該系統(tǒng)是無(wú)源的。在非線性控制理論中，還有一種重要的供給率就是所謂的供給率其中，為給定正數(shù)。表示對(duì)向量的歐幾里得范數(shù)。如果式系統(tǒng)對(duì)于式供給率是耗散的，則稱該系統(tǒng)是耗散的。如果式系統(tǒng)是耗散的，那么，沿任意零初始狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的軌跡，不等式對(duì)于任意的輸入都成立，注意到，即對(duì)任意，有。如果進(jìn)一步假設(shè)系統(tǒng)對(duì)于任意，有，那么，該系統(tǒng)作為輸入信號(hào)空間到輸出信號(hào)空間的算子，其誘導(dǎo)范數(shù)滿足式中，為范數(shù)，或者對(duì)于任意給定的成立。不等式的左端為式系統(tǒng)的范數(shù)的定義。若式或式成立，則稱式系統(tǒng)具有小于或等

28、于的增益。當(dāng)存儲(chǔ)函數(shù)光滑可微時(shí)，耗散不等式就可以等價(jià)地表示為其微分形式或者耗散不等式等價(jià)于。綜合上述討論。，有下面的引理。引理4.1 對(duì)于給定的正數(shù)，若式系統(tǒng)是耗散的，則該系統(tǒng)具有小于或等于的增益。定理4.1 考慮式非線性系統(tǒng)。對(duì)于給定的正數(shù)，存在光滑可微的存儲(chǔ)函數(shù)使得系統(tǒng)是耗散的充分必要條件是成立，且存在適合的函數(shù)向量和滿足推論4.1 對(duì)于給定的，式系統(tǒng)對(duì)于二次型正定存儲(chǔ)函數(shù)是耗散的充分必要條件是存在適當(dāng)?shù)木仃囀沟贸闪?。其中，為滿足的任意矩陣。4.2 耗散性意義：耗散理論從一類(lèi)耗能網(wǎng)絡(luò)中抽象出來(lái)具有廣泛的工程背景，已經(jīng)成為自適應(yīng)系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要工具。而耗散控制可將控制

29、和無(wú)源控制統(tǒng)一起來(lái)，為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供一種更靈活、保守性較小的方法。不僅如此，耗散控制也是魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要方法。另外，由于實(shí)際系統(tǒng)難以精確描述，運(yùn)行過(guò)程中也有各種各樣的不確定性，解決了魯棒耗散問(wèn)題才能使耗散理論的應(yīng)用更加有效，所以研究不確定系統(tǒng)的魯棒耗散控制問(wèn)題既有重要的理論價(jià)值也具有重要的實(shí)際意義。研究耗散性和無(wú)源性理論的主要出發(fā)點(diǎn)在于他們運(yùn)用基于能量的輸入輸出描述給出了控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的新框架，對(duì)系統(tǒng)控制的諸多方面都起到很大的推動(dòng)作用。具體的說(shuō)，第一、他們?yōu)槔钛牌罩Z夫函數(shù)的構(gòu)造提供了新方法。在現(xiàn)代理論中，經(jīng)常要用到李雅普諾夫函數(shù)，但其實(shí)際可行的構(gòu)造方法并不多，而無(wú)源系統(tǒng)的存儲(chǔ)函數(shù)在

30、一定條件下便可以作為李雅普諾夫函數(shù)。這個(gè)事實(shí)也為無(wú)源性理論和非線性系統(tǒng)集幾何理論的深入結(jié)合來(lái)解決系統(tǒng)控制問(wèn)題提供了良好的基礎(chǔ)：第二、應(yīng)用它們可方便研究受控動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的諸如系統(tǒng)鎮(zhèn)定，調(diào)節(jié)問(wèn)題，魯棒控制，自適應(yīng)控制，最優(yōu)控制以及控制等重要課題。不僅在控制理論方面有著重要的作用，耗散性和無(wú)源性理論在許多實(shí)際系統(tǒng)，如機(jī)器人系統(tǒng)，電機(jī)系統(tǒng)，內(nèi)燃機(jī)工程，化工過(guò)程等的研究中扮演著很重要的角色，有時(shí)甚至不可或缺。綜上所述，系統(tǒng)的耗散性和無(wú)源性理論研究不僅具有重要的理論意義，而且具有廣闊的應(yīng)用前景，是一個(gè)很有價(jià)值的研究課題。第5章 三者之間的關(guān)系5.1 無(wú)源性與穩(wěn)定性關(guān)系無(wú)源性與穩(wěn)定性間的緊密聯(lián)系可以從兩方面得到體現(xiàn)：l、無(wú)源系統(tǒng)的KYP引理；2、無(wú)源系統(tǒng)的正定存儲(chǔ)函數(shù)可以作為李雅普諾夫函數(shù)。無(wú)源系統(tǒng)并不是穩(wěn)定系統(tǒng)的子集，無(wú)源系統(tǒng)加上可探測(cè)性條件才會(huì)是穩(wěn)定的4。主要討論系統(tǒng)無(wú)源性與系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性和系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)