中國礦業(yè)大學(xué)周圣武概率論與數(shù)理統(tǒng)計5第五章 大數(shù)定律與中心極限定理

1、第五章大數(shù)定律與中心極限定理 一、大數(shù)定律一、大數(shù)定律 二、中心極限定理二、中心極限定理本章是關(guān)于隨機(jī)變量序列的極限理論。本章是關(guān)于隨機(jī)變量序列的極限理論。目的目的是從理論上對第一章中提出的是從理論上對第一章中提出的“頻率的頻率的穩(wěn)定性穩(wěn)定性”給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。大數(shù)定律大數(shù)定律：對于隨機(jī)變量序列：對于隨機(jī)變量序列12,nXXX描述其平均值描述其平均值11niiXn在在什么條件什么條件下以下以什么形什么形式式呈現(xiàn)出穩(wěn)定性。呈現(xiàn)出穩(wěn)定性。中心極限定理中心極限定理：對于隨機(jī)變量序列：對于隨機(jī)變量序列12,nXXX其部分和其部分和1niiX在在什么條件什么條件下下以正態(tài)分布為極限

2、以正態(tài)分布為極限分布。分布。大數(shù)定律 第五章 第一節(jié)一、一、 切比雪夫切比雪夫Chebyshev不等式不等式二、幾個常見的大數(shù)定律二、幾個常見的大數(shù)定律定義定義1 11|limaXPnn.PnXa 依概率收斂于依概率收斂于a ，記為，記為設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列0有有: :則稱則稱12,nXXX，如果存，如果存在常數(shù)在常數(shù) a ，使得對于任意，使得對于任意nX請注意請注意 :01.nnnXanXaXa依概率收斂于 ，意味著對任意給定的，當(dāng) 充分大時，事件的概率很大，接近于 ；并不排除事件的發(fā)生，而只是說他發(fā)生的可能性很小.定定性性弱弱些些，它它具具有有某某種種不不確確中中的的普普通通意意義

3、義下下的的收收斂斂依依概概率率收收斂斂比比高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)或或,02()|()|D XPXE X2()|()| 1D XPXE X 不等式不等式成立，成立，則稱此式為則稱此式為切比雪夫不等式。切比雪夫不等式。存在，則對任意存在，則對任意證明證明 設(shè)設(shè) X 為連續(xù)性（離散型類似），其密度為為連續(xù)性（離散型類似），其密度為( )f x2()E XD X和方差 （ ）設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望命題命題 （切比雪夫切比雪夫Chebyshev不等式）不等式）22|()|()( )x E XxE Xf x dx則則|()|()|( )x E XPXE Xf x dx221()( )xE

4、Xf x dx22()1xE X2()D X注：注：Chebyshev不等式不等式對隨機(jī)變量在以對隨機(jī)變量在以()E X的一個的一個鄰域外取值的概率給出了一個上界鄰域外取值的概率給出了一個上界2().D X為中心為中心可見可見D(X) 越小，事件越小，事件|X的概率越接近的概率越接近1 1。X 的值密集在其數(shù)學(xué)期望附近的概率越大。的值密集在其數(shù)學(xué)期望附近的概率越大。例如：例如：對未知分布對未知分布X，取，取,2,3221/ 389. 098222/12|XP75. 0432()|()| 1D XPXE X | 3 PX),(2NX若若|2PX.9544. 01)2(23|XP.9974. 01

5、)3(2例例1 1 一電網(wǎng)有一電網(wǎng)有1 1萬盞路燈，萬盞路燈， 晚上每盞燈開的概率為晚上每盞燈開的概率為0.7.0.7.求同時開的燈數(shù)在求同時開的燈數(shù)在6800至至7200之間的概率至少為多少之間的概率至少為多少?解解 設(shè)設(shè)X 為同時開的燈數(shù)。為同時開的燈數(shù)。4(10 ,0.7)Xb由二項(xiàng)分布由二項(xiàng)分布()7000()2100E XnpD Xnpq68007200PX用切比雪夫不等式用切比雪夫不等式68007200PX47200101068000.7 0.3kkkkC68007000700072007000PX7000200P X2210010.95200 200已知正常男性成人血液中，每一毫

6、升白細(xì)胞數(shù)已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)解解 設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X依題意，依題意，EX =7300,DX =7002所求為所求為 21002100PXEX2)2100()(1XD由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式2100P XEX989112100P XEX52007300730094007300PX52009400PX估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在 520052009400 9400 之間的概率之間的概率 . .平均是平均是73007300，均方差是，均方差是700700， 利用切比雪夫不等式利用切比雪夫不等式例例2 22)2100700(1即每毫升白細(xì)胞

7、數(shù)在即每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200-94005200-9400之間的概率不小于之間的概率不小于8/98/9。 大數(shù)定律的客觀背景大數(shù)定律的客觀背景大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)過程中的廢品率廢品率幾個常見的大數(shù)定律幾個常見的大數(shù)定律定理定理1 1（切比雪夫大數(shù)定律）（切比雪夫大數(shù)定律）11lim | 1niniPXn則則即對任意的即對任意的 0，設(shè)設(shè) X1 , X2 , 是一列相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，是一列相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有相同的數(shù)學(xué)期望它們都有相同的數(shù)學(xué)期望2

8、()iiE XD X和方差 （ ）11.nPiiXn 證明證明11()niiEXn1111()nniiiE Xnn22221111()nniiiD Xnnn由切比雪夫不等式得：由切比雪夫不等式得：2211|1|nXnPnkk1所以所以11lim |1niniPXnniiXn11其其取值接近于其數(shù)學(xué)期望取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于的概率接近于1.1.當(dāng)當(dāng)n充分大時，充分大時，差不多不再是隨機(jī)的了，差不多不再是隨機(jī)的了，注：注：11()niiDXn定理定理2 2（辛欽定律辛欽定律）且具有相同的數(shù)學(xué)期望且具有相同的數(shù)學(xué)期望辛欽設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1 , X2 , 獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布，

9、則則(),1,2,iE Xi11lim |1niniPXn辛欽大數(shù)定律中，隨機(jī)變量的方差可以不存在，只要辛欽大數(shù)定律中，隨機(jī)變量的方差可以不存在，只要獨(dú)立同分布就可以了。獨(dú)立同分布就可以了。定理定理3 3（伯努利大數(shù)定律）（伯努利大數(shù)定律）P是事件是事件A發(fā)生的概率，則對任給的發(fā)生的概率，則對任給的 0，有，有1|limpnnPAn或或0|limpnnPAn設(shè)設(shè)nA是是n重貝努里試驗(yàn)中事件重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，即即.PAnpn 證明證明 引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量1,0iiXi第 次， 第 次試驗(yàn)中A發(fā)生，試驗(yàn)中A不發(fā)生，12i ， ，顯然顯然12AnnXXX且且11,2,

10、ikE XpD Xppkn（ ）， （） （） ，又由于各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，所以又由于各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，所以12,nXXX獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布, 則由則由辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律可得可得1|limpnnPAn例例3 如何測量某一未知的物理量如何測量某一未知的物理量a ,使得誤差較?。渴沟谜`差較?。拷饨?在相同的條件下測量在相同的條件下測量n 次，其結(jié)果為次，其結(jié)果為12,nXXX，它們可看成是相互獨(dú)立、相同分布的，它們可看成是相互獨(dú)立、相同分布的隨機(jī)變量，并且有數(shù)學(xué)期望為隨機(jī)變量，并且有數(shù)學(xué)期望為a . 于是由辛欽大數(shù)定律于是由辛欽大數(shù)定律可知，當(dāng)可知，當(dāng)n 時，有時，有111()nPiiXE

11、Xan 因此我們可取因此我們可取 n 次測量值次測量值12,nx xx的算術(shù)平均值的算術(shù)平均值作為作為a 得近似值，即得近似值，即11niiaxn,當(dāng)當(dāng)n充分大時誤差很小。充分大時誤差很小。例例4 如何估計一大批產(chǎn)品的次品率如何估計一大批產(chǎn)品的次品率 p ？由由伯努利大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律可知，當(dāng)可知，當(dāng) n 很大時，可取頻率很大時，可取頻率/Ann作為次品率作為次品率 p 的估計值。的估計值。 大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性平均結(jié)果的穩(wěn)定性中心極限定理 第五章 第二節(jié)中心極限定理的客觀背景中心極

12、限定理的客觀背景: :常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的綜合影響常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的綜合影響. .在實(shí)際問題中，在實(shí)際問題中，中心極限定理的中心極限定理的客觀背景客觀背景 在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響。產(chǎn)生總影響。 例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受到例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受到許多隨機(jī)因素的影響。如：許多隨機(jī)因素的影響。如：對我們來說重要的是對我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總影響。這些隨機(jī)因素的總影響。瞄準(zhǔn)時的誤差；瞄準(zhǔn)時的誤差；空氣阻力所產(chǎn)生的誤差；空氣阻力所產(chǎn)生的誤差；炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等。

13、炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等。則這種量則這種量X 一般一般都服從或近似都服從或近似服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布。觀察表明：觀察表明：如果一個量是由如果一個量是由大量相互獨(dú)立大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所的隨機(jī)因素的影響所造成，造成，nXXXX21而每一個別因素在總影響而每一個別因素在總影響X 中所起的作用不大。中所起的作用不大。nkknknkkknXDXEXZ111)()(正態(tài)分布。正態(tài)分布。 中心極限定理。中心極限定理。這就是下面要介紹的這就是下面要介紹的的極限分布是的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)所以所以定理定理1 1（獨(dú)立同分布的中心極限定理）（獨(dú)立同分布的中心極限定理）且具有相同的期望和方差且具有相

14、同的期望和方差201,2, .kkE XD Xkn則對任意實(shí)數(shù)則對任意實(shí)數(shù)x,有有設(shè)設(shè) 為一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，為一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，12,nXXX12(0,1)niiNnnX近似地近似地即即21(,)niinnXN近似地近似地，或，或111()l m)()ininiiinniiXPxDEXxX 例例1 1 某人要測量甲、乙兩地之間的距離。某人要測量甲、乙兩地之間的距離。限于測量限于測量工具，他分成工具，他分成 1200 段來測量。段來測量。 每段測量誤差（單位每段測量誤差（單位厘米）服從于（厘米）服從于（-0.5,0.5)上的均勻分布。求總距離誤上的均勻分布。求總距離誤差的絕對值超

15、過差的絕對值超過20厘米的概率。厘米的概率。解解 設(shè)第設(shè)第k 段的測量誤差為段的測量誤差為.1200, 2 , 1kXk120021,XXX且且是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。且是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。且.1200, 2 , 15 . 0 , 5 . 0kUXk211()0()0.5( 0.5)1212kkE XD X 累計誤差即總距離誤差為累計誤差即總距離誤差為nikX1，由獨(dú)立同分布的中，由獨(dú)立同分布的中120021(,)iiXN nn心極限定理可得心極限定理可得12001(0,100)iiXN,即即則所求概率為則所求概率為2012001kkXP1211200201211200012001kkXP

16、2100112001kkXP 1 22 222 2 0.02280.0456 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為值為100100小時的指數(shù)分布小時的指數(shù)分布. . 現(xiàn)隨機(jī)地取現(xiàn)隨機(jī)地取1616只，設(shè)它們的只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的壽命是相互獨(dú)立的. . 求這求這1616只元件的壽命的總和大于只元件的壽命的總和大于19201920小時的概率小時的概率. .由題給條件知，諸由題給條件知，諸Xi 獨(dú)立，獨(dú)立，1616只元件的壽命的總和為只元件的壽命的總和為161kkXY解解 設(shè)第設(shè)第i 只元件的壽命為只元件的壽命為Xi , , i=1,2, ,16E(

17、 Xi ) =100, D( Xi ) =10000依題意，所求為依題意，所求為P(Y 1920)例例2 2由于由于E(Y )=1600, , D(Y )=160000由中心極限定理可得由中心極限定理可得1920 16004001-下面介紹定理下面介紹定理1 的特殊情況。的特殊情況。192011920P YP Y 1(0.8)1 0.78810.2119 定理定理2 2（棣莫佛棣莫佛- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理）De MoivreDe Moivre-Laplace-Laplacelim(1)nnnpPxnppdtext2221n設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)為服從參數(shù)為10, ppn的二項(xiàng)分

18、布的二項(xiàng)分布則對任意的則對任意的x ，有，有 x即即(0,1)(1)nnpNnpp近似地近似地(,(1)nN np npp近似地近似地或或所以所以1nnkkX其中其中1, 01kkP Xp P Xp kX相互獨(dú)立，且都服從（相互獨(dú)立，且都服從（0-1）分布。）分布。,(1)kkE Xp D Xpp由由獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理可得可得1(1),)nnkknXNnppp證證 因?yàn)橐驗(yàn)?( , )nb n p所以所以1nnkkX其中其中1, 01kkP Xp P Xp kX相互獨(dú)立，且都服從（相互獨(dú)立，且都服從（0-1）分布。）分布。,(1)kkE Xp D Xpp由由獨(dú)立同

19、分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理可得可得1limlim( )(1)(1)nknknnXnpnpPxPxxnppnpp 證證 因?yàn)橐驗(yàn)?( , )nb n p例例3 報童沿街向行人兜售報紙，假設(shè)每位行人買報報童沿街向行人兜售報紙，假設(shè)每位行人買報的概率為的概率為0.2, 且他們是否買報是相互獨(dú)立的。求報童且他們是否買報是相互獨(dú)立的。求報童向向100位行人兜售之后，賣掉位行人兜售之后，賣掉1530份報紙的概率。份報紙的概率。解解 設(shè)報童賣掉報紙的份數(shù)為設(shè)報童賣掉報紙的份數(shù)為X ，,Xb n p416202 . 0100npqnppn3015 XP42015420308862. 01056

20、. 09918. 025. 15 . 2例例4 有有100100臺車床彼此獨(dú)立地工作。每臺車床的實(shí)臺車床彼此獨(dú)立地工作。每臺車床的實(shí)際工作時間占全部工作時間的際工作時間占全部工作時間的80，求下列事件的，求下列事件的概率。概率。1、任一時刻有、任一時刻有7086臺車床工作。臺車床工作。2、任一時刻有、任一時刻有80臺以上車床工作。臺以上車床工作。解解 設(shè)任一時刻工作的車床臺數(shù)為設(shè)任一時刻工作的車床臺數(shù)為X 。416808 . 0100npqnppn8670 XP4807048086927. 019938. 09332. 015 . 25 . 180180XPXP 5 . 001,Xb n p例

21、例5 某單位有某單位有200200臺電話分機(jī)，每臺分機(jī)有臺電話分機(jī)，每臺分機(jī)有5%的時間的時間要使用外線通話。假定每臺分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)要使用外線通話。假定每臺分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才能以立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才能以90%以以上的概率保證分機(jī)用外線時不等待？上的概率保證分機(jī)用外線時不等待？解解 設(shè)有設(shè)有X 部分機(jī)同時使用外線，則有部分機(jī)同時使用外線，則有),(pnBX200,0.05,10,(1-)3.08.npnpnpp設(shè)有設(shè)有N 條外線。由題意有條外線。由題意有9 . 0 NXP由德莫佛由德莫佛- -拉普拉斯定理得拉普拉斯定理得NXP(1)(1)XnpNnpPnppnpp其中其中10.3.08(1)NnpNnpp 條外線。即至少要安裝取即14,14.94.13NN.90. 0)28. 1 (查表得101.283.08N 故故 N 應(yīng)滿足條件應(yīng)滿