2013-2022年數(shù)學(xué)高考真題專(zhuān)題練習(xí)--函數(shù)與方程及函數(shù)的綜合應(yīng)用

1、2013-2022年數(shù)學(xué)高考真題專(zhuān)題練習(xí)3.6函數(shù)與方程及函數(shù)的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)1.(2015天津文,8,5分)已知函數(shù)f(x)=2|x|,x2,(x2)2,x>2,函數(shù)g(x)=3-f(2-x),則函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.2B.3C.4D.5答案A由已知條件可得g(x)=3-f(2-x)=|x2|+1,x0,3x2,x<0.函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖所示.由圖可知函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)y=f(x)

2、-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,選A.2.(2014北京文,6,5分)已知函數(shù)f(x)=6x-log2x.在下列區(qū)間中,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)答案Cf(1)=6-log21=6>0, f(2)=3-log22=2>0,f(4)=64-log24=32-2<0,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是(2,4),故選C.3.(2011課標(biāo),10,5分)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.14,0B.0,14C.14,12D.12,34答案C顯然f(x)為定義域R上的連續(xù)函數(shù).如圖作出y=ex與y=3-4x的

3、圖象,由圖象知函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點(diǎn)一定落在區(qū)間0,34內(nèi),又f14=4e-2<0, f12=e-1>0.故選C.評(píng)析本題考查函數(shù)零點(diǎn)的概念及求解方法,考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,屬中等難度試題.4.(2016山東文,15,5分)已知函數(shù)f(x)=|x|,xm,x22mx+4m,x>m,其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,則m的取值范圍是. 答案(3,+)解析f(x)的圖象如圖所示,若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,只需4m-m2<m,解之得m>3或m<0,又m>

4、;0,所以m>3.方法總結(jié)分段函數(shù)問(wèn)題、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題或方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題通常采用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決.評(píng)析本題考查基本初等函數(shù)及分段函數(shù)的圖象,考查數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于難題.5.(2016天津文,14,5分)已知函數(shù)f(x)=x2+(4a3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1,x0(a>0,且a1)在R上單調(diào)遞減,且關(guān)于x的方程|f(x)|=2-x3恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是. 答案13,23解析函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,4a320,0<a<1,3a1,解得13a34.在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=|f(x)|與y=2-x

5、3的圖象,如圖所示.方程|f(x)|=2-x3恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解等價(jià)于y=|f(x)|的圖象與y=2-x3的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),則需滿足3a<2,得a<23,綜上可知,13a<23.易錯(cuò)警示(1)f(x)在R上單調(diào)遞減,需滿足4a320,0<a<1,3a1,缺少條件是失分的一個(gè)原因;(2)由方程解的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍往往利用數(shù)形結(jié)合思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題是解決這類(lèi)問(wèn)題常用的方法.評(píng)析本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)與方程,利用數(shù)形結(jié)合思想,將方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題是求解這類(lèi)問(wèn)題的常用方法.6.(2015湖南理,15,5

6、分)已知函數(shù)f(x)=x3,xa,x2,x>a.若存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是. 答案(-,0)(1,+)解析當(dāng)a<0時(shí),若x(a,+),則f(x)=x2,當(dāng)b(0,a2)時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),分別是x1=-b,x2=b.當(dāng)0a1時(shí),f(x)的圖象如圖所示,易知函數(shù)y=f(x)-b最多有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)a>1時(shí), f(x)的圖象如圖所示,當(dāng)b(a2,a3時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),分別是x1=3b,x2=b.綜上,a(-,0)(1,+).7.(2015北京理,14,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=2xa,x

7、<1,4(xa)(x2a),x1.若a=1,則f(x)的最小值為; 若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案-112,12,+)解析當(dāng)a=1時(shí), f(x)=2x1,x<1,4(x1)(x2),x1,其大致圖象如圖所示:由圖可知f(x)的最小值為-1.當(dāng)a0時(shí),顯然函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn);當(dāng)0<a<1時(shí),易知f(x)在(-,1)上有一個(gè)零點(diǎn),要使f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則當(dāng)x1時(shí), f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn),結(jié)合圖象可知,2a1,即a12,則12a<1;當(dāng)a1時(shí),2a>1,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x1時(shí), f(x)有2個(gè)零點(diǎn),則要使f

8、(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則需要f(x)在(-,1)上無(wú)零點(diǎn),則2-a0,即a2.綜上可知,滿足條件的a的取值范圍是12,12,+).8.(2015湖北文,13,5分)函數(shù)f(x)=2sin xsinx+2-x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為. 答案2解析f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1=sin 2x與y2=x2圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y1=sin 2x與y2=x2的圖象如圖所示:由圖可知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn),則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.考點(diǎn)二函數(shù)模型及應(yīng)用1.(2020課標(biāo)文,3,5分)如圖,將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1,a2,a

9、12,設(shè)1i<j<k12.若k-j=3且j-i=4,則稱(chēng)ai,aj,ak為原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,則稱(chēng)ai,aj,ak為原位小三和弦.用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為()A.5B.8C.10D.15答案C根據(jù)已知條件可知原位大三和弦有a1,a5,a8;a2,a6,a9;a3,a7,a10;a4,a8,a11;a5,a9,a12,共5個(gè).原位小三和弦有a1,a4,a8;a2,a5,a9;a3,a6,a10;a4,a7,a11;a5,a8,a12,共5個(gè),所以用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為10,故選C.2.(20

10、13課標(biāo)理,11,5分)已知函數(shù)f(x)=x2+2x,x0,ln(x+1),x>0.若|f(x)|ax,則a的取值范圍是()A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,0答案D由題意作出y=|f(x)|=x22x(x0),ln(x+1)(x>0)的圖象:由題意結(jié)合圖象知,當(dāng)a>0時(shí),y=ax與y=ln(x+1)在x>0時(shí)必有交點(diǎn),所以a0.當(dāng)x0時(shí),|f(x)|ax顯然成立;當(dāng)x<0時(shí),|f(x)|=x2-2xax,則ax-2恒成立,又x-2<-2,a-2.綜上,-2a0,故選D.評(píng)析本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合的能力.借助基本初等函數(shù)的圖象縮

11、小參數(shù)范圍是解題關(guān)鍵.3.(2012課標(biāo)理,12,5分)設(shè)點(diǎn)P在曲線y=12ex上,點(diǎn)Q在曲線y=ln(2x)上,則|PQ|的最小值為()A.1-ln 2B.2(1-ln 2)C.1+ln 2D.2(1+ln 2)答案B由y=12ex得ex=2y,所以x=ln(2y),所以y=12ex的反函數(shù)為y=ln(2x),所以y=12ex與y=ln(2x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng),所以?xún)蓷l曲線上的點(diǎn)的距離的最小值是兩條曲線上切線斜率為1的切點(diǎn)之間的距離,令ln(2x)'=1x=1,解得x1=1,令12ex'=1,解得x2=ln 2,所以?xún)汕悬c(diǎn)分別為(1,ln 2)和(ln 2,1),故d

12、=2(1-ln 2),故選B.評(píng)析本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象的性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合的思想.4.(2011課標(biāo)理,12,5分)函數(shù)y=11x的圖象與函數(shù)y=2sin x(-2x4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于()A.2B.4C.6D.8答案D函數(shù)y=11x=1x1和y=2sin x的圖象有公共的對(duì)稱(chēng)中心(1,0),畫(huà)出二者圖象如圖所示,易知y=11x與y=2sin x(-2x4)的圖象共有8個(gè)交點(diǎn),不妨設(shè)其橫坐標(biāo)為x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8,由對(duì)稱(chēng)性得x1+x8=x

13、2+x7=x3+x6=x4+x5=2,x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=8,故選D.5.(2011課標(biāo)文,12,5分)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當(dāng)x-1,1時(shí)f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lg x|的圖象的交點(diǎn)共有()A.10個(gè)B.9個(gè)C.8個(gè)D.1個(gè)答案A在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出f(x)和y=|lg x|的圖象,如圖.又lg10=1,由圖象知選A.評(píng)析本題考查函數(shù)的圖象、周期等相關(guān)知識(shí),考查學(xué)生作圖、用圖能力,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.6.(2011湖北文,15,5分)里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為:M=lg A-lg A0,其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅,A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.假設(shè)在一次地震中,測(cè)震儀記錄的最大振幅是1 000,