北京市東城區(qū)2013屆高三數(shù)學5月綜合練習試題（二） 文（含解析）

1、2013年北京市東城區(qū)高考數(shù)學二模試卷（文科）一、本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項第卷（選擇題共40分）1（5分）（2013東城區(qū)二模）已知集合A=x|x（x1）0，xR，B=x|2x2，xR，那么集合AB是（）A Bx|0x1，xR Cx|2x2，xR Dx|2x1，xR考點：交集及其運算專題：計算題分析：先求解一元二次不等式化簡集合A，然后直接利用交集的運算求解解答：解：由x（x1）0，得0x1所以A=x|x（x1）0，xR=x|0x1，又B=x|2x2，xR，所以AB=x|0x1，xRx|2x2，xR=x|0x1，xR故選B點評：本題考

2、查了交集及其運算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題2（5分）（2013東城區(qū)二模）如圖是某班50位學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90）90，100），則圖中x的值等于（）A0.754B0.048C0.018D0.012考點：頻率分布直方圖專題：圖表型分析：根據(jù)所以概率的和為1，即所求矩形的面積和為1，建立等式關(guān)系，可求出所求；解答：解：由圖得30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，解得x=0.018故選C點評：本題主要考查了頻率分布直方圖，熟練掌握

3、頻率分布直方圖中各組累積頻率和為1是解答的關(guān)鍵3（5分）（2013東城區(qū)二模）f（x）=，則f（f（1）等于（）A2B2C4D4考點：對數(shù)的運算性質(zhì)；函數(shù)的值專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：根據(jù)分段函數(shù)的定義域，先求f（1）的值，進而根據(jù)f（1）的值，再求f（f（1）解答：解：由分段函數(shù)知，f（1）=，所以f（f（1）=f（2）=3+log22=3+1=4故選D點評：本題考查分段函數(shù)求值以及對數(shù)的基本運算分段函數(shù)要注意各段函數(shù)定義域的不同在代入求值過程中要注意取值范圍4（5分）（2013東城區(qū)二模）已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數(shù)

4、為（）A1B2C3D4考點：由三視圖還原實物圖專題：空間位置關(guān)系與距離分析：由題意可知，幾何體為三棱錐，將其放置在長方體模型中即可得出正確答案解答：解：由題意可知，幾何體是三棱錐，其放置在長方體中形狀如圖所示（圖中紅色部分），利用長方體模型可知，此三棱錐的四個面中，全部是直角三角形故選D點評：本題考查學生的空間想象能力，由三視圖還原實物圖，是基礎(chǔ)題5（5分）（2013東城區(qū)二模）已知命題p：xR，sin（x）=sinx；命題q：，均是第一象限的角，且，則sinsin下列命題是真命題的是（）ApqBpqCpqDpq考點：全稱命題；復合命題的真假專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：我們先判斷命題p：x

5、R，sin（x）=sinx與命題q：，均是第一象限的角，且，則sinsin的真假，進而根據(jù)復合命題的真值表，易判斷四個結(jié)論的真假，最后得到結(jié)論解答：解：由三角函數(shù)的誘導公式知sin（x）=sinx，得命題p：xR，sin（x）=sinx為真命題，又取=420°，=60°，但sinsin不成立，q為假命題，故非p是假命題，非q是真命題；所以A：pq是真命題，B：pq是假命題，C：pq假命題，D：命題pq是假命題，故選A點評：本題考查的知識點是復合命題的真假，其中根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式及三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷命題p與命題q的真假是解答的關(guān)鍵6（5分）（2013東城區(qū)二模）已知x，

6、y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為（）A3B3C1D考點：簡單線性規(guī)劃專題：計算題分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可解答：解：作圖易知可行域為一個三角形，當直線z=2x+y過點A（2，1）時，z最大是3，故選D點評：本小題是考查線性規(guī)劃問題，本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題7（5分）（2013東城區(qū)二模）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定函數(shù)f（x）=lnx的零點所在的區(qū)間是（）x12e35lnx00.6911.101.6131.51.1010.6A（1，2）B（2，

7、e）C（e，3）D（3，5）考點：函數(shù)零點的判定定理專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由所給的表格可得 f（e）=0.10，f（3）=0.10，故有f（e）f（3）0，由此求得函數(shù)的零點所在的區(qū)間解答：解：由所給的表格可得 f（e）=11.1=0.10，f（3）=1.11=0.10，f（e）f（3）0，故函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（e，3），故選C點評：本題主要考查函數(shù)的零點的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題8（5分）（2013東城區(qū)二模）在數(shù)列an中，若對任意的nN*，都有（t為常數(shù)），則稱數(shù)列an為比等差數(shù)列，t稱為比公差現(xiàn)給出以下命題：等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列；若數(shù)列an滿足

8、，則數(shù)列an是比等差數(shù)列，且比公差；若數(shù)列cn滿足c1=1，c2=1，cn=cn1+cn2（n3），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；若an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，則數(shù)列anbn是比等差數(shù)列其中所有真命題的序號是（）ABCD考點：命題的真假判斷與應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合專題：新定義分析：由等比數(shù)列的特點，代入可知滿足新定義，若等差數(shù)列的公差d=0時滿足題意，當d0時，不是比等差數(shù)列，可知正確；代入新定義驗證可知，不滿足；由遞推公式計算數(shù)列的前4項，可得，故該數(shù)列不是比等差數(shù)列；可舉an為0列，則數(shù)列anbn為0列，顯然不滿足定義解答：解：若數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比為q，則，為常數(shù)，故等比數(shù)列

9、一定是比等差數(shù)列，若數(shù)列an為等差數(shù)列，且公差為d，當d=0時，為常數(shù)，是比等差數(shù)列，當d0時，不為常數(shù)，故不是比等差數(shù)列，故等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列，故正確；若數(shù)列an滿足，則=不為常數(shù)，故數(shù)列an不是比等差數(shù)列，故錯誤；若數(shù)列cn滿足c1=1，c2=1，cn=cn1+cn2（n3），可得c3=2，c4=3，故，顯然，故該數(shù)列不是比等差數(shù)列，故正確；若an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，可舉an為0列，則數(shù)列anbn為0列，顯然不滿足定義，即數(shù)列anbn不是比等差數(shù)列，故錯誤故答案為：D點評：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列以及新定義，屬基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每

10、小題5分，共30分9（5分）（2013東城區(qū)二模）已知向量=（2，3），=（1，），若，則=考點：平行向量與共線向量專題：平面向量及應(yīng)用分析：由向量共線可得2×3×1=0，解之即可解答：解：=（2，3），=（1，），若，2×（3）×1=0，解得=故答案為：點評：本題考查向量共線的充要條件，屬基礎(chǔ)題10（5分）（2013東城區(qū)二模）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a3=2，S4=5S2，則a1的值為，S4的值為考點：等比數(shù)列的前n項和專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：經(jīng)分析等比數(shù)列為非常數(shù)列，設(shè)出等比數(shù)列的公比，有給出的條件列方程組求出a1和q的

11、值，則S4的值可求解答：解：若等比數(shù)列的公比等于1，由a3=2，則S4=4a3=4×2=8，5S2=5×2S3=5×2×2=20，與題意不符設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=±2因為數(shù)列an的各項均為正數(shù)，所以q=2則故答案為；點評：本題考查了等比數(shù)列的前n項和，考查了分類討論過的數(shù)學思想，在利用等比數(shù)列的前n項和公式時，一定要注意對公比的討論，此題是基礎(chǔ)題11（5分）（2013東城區(qū)二模）閱讀程序框圖，運行相應(yīng)的程序，當輸入x的值為25時，輸出x的值為4考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)專題：圖表型分析：根據(jù)題意，按

12、照程序框圖的順序進行執(zhí)行，當|x|1時跳出循環(huán)，輸出結(jié)果解答：解：當輸入x=25時，|x|1，執(zhí)行循環(huán)，x=4；|x|=41，執(zhí)行循環(huán)，x=1，|x|=1，退出循環(huán)，輸出的結(jié)果為x=3×1+1=4故答案為：4點評：本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，搞清程序框圖的算法功能是解決本題的關(guān)鍵，按照程序框圖的順序進行執(zhí)行求解，屬于基礎(chǔ)題12（5分）（2013東城區(qū)二模）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A+C=2B若a=1，則c的值為2考點：余弦定理專題：計算題分析：由A+C=2B，以及三角形的內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，確定出cosB的值，再由a與b的值，利用余弦定理即可求出c的值解

13、答：解：A+C=2B，A+B+C=，B=，即cosB=，又a=1，b=，由余弦定理得：3=1+c2c，解得：c=2或c=1（舍去），則c的值為2故答案為：2點評：此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵13（5分）（2013東城區(qū)二模）過拋物線y2=4x焦點的直線交拋物線于A、B兩點，若|AB|=10，則AB的中點P到y(tǒng)軸的距離等于4考點：拋物線的簡單性質(zhì)專題：計算題；數(shù)形結(jié)合分析：設(shè)AB的中點為 E，過 A、E、B 分別作準線的垂線，垂足分別為 C、F、D，如圖所示： 由EF為直角梯形的中位線及拋物線的定義求出 EF，則 EH=EF1 為所求解答：解：拋物線

14、y2=4x焦點（1，0），準線為 l：x=1，設(shè)AB的中點為 E，過 A、E、B 分別作準線的垂線，垂足分別為 C、F、D，EF交縱軸于點H，如圖所示：則由EF為直角梯形的中位線知，EF=5，EH=EF1=4，故答案為：4點評：本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想14（5分）（2013東城區(qū)二模）對定義域的任意x，若有的函數(shù)，我們稱為滿足“翻負”變換的函數(shù)，下列函數(shù)：，y=logax+1，其中滿足“翻負”變換的函數(shù)是 （寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）考點：函數(shù)奇偶性的判斷專題：新定義；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：利用“翻負”的定義逐個命題判斷即可解答：解：f（

15、x）=x，則f（）=（x）=f（x），即f（x）=f（），所以滿足“翻負”變換；f（x）=logax+1，則f（）=（loga+1）=logax1f（x），所以y=logax+1不滿足“翻負”變換；f（x）=，當0x1時，f（）=（x）=x=f（x）；當x=1時，=1，f（）=0=0=f（x）；當x1時，01，f（）=f（x），所以f（x）=滿足“翻負”變換，故答案為：點評：本題考查學生對問題的閱讀理解能力、解決問題的能力，屬中檔題三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（13分）（2013東城區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=sinx（cosxsinx）（1）求

16、f（x）的最小正周期；（2）當x（0，）時，求f（x）的取值范圍考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；復合三角函數(shù)的單調(diào)性專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：（）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為sin（2x+），由此求得f（x）的最小正周期（） 因為 0x，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的取值范圍解答：解：（）因為函數(shù)f（x）=sinx（cosxsinx）=sinxcosxsin2x=sin2x=sin2x+cod2x=sin（2x+），所以，f（x）的最小正周期 T=（） 因為 0x，所以，2x+，1sin（2x+）1，sin（2x+），所以，f（x）的取值范圍是 （，點評：

17、本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題16（13分）（2013東城區(qū)二模）用分層抽樣方法從高中三個年級的相關(guān)人員中抽取若干人組成研究小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表：（單位：人）年級相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)高一99x高二27y高三182（1）求x，y；（2）若從高二、高三年級抽取的人中選2人，求這二人都來自高二年級的概率考點：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；分層抽樣方法專題：概率與統(tǒng)計分析：（1）根據(jù)分層抽樣，抽取人數(shù)與相關(guān)人員數(shù)對應(yīng)成比例的原則，結(jié)合已知中高中三個年級的相關(guān)人員數(shù)及從高三年級中抽取的人數(shù)，易求得x，y的值（2）設(shè)從高二年級抽取的

18、3人為b1，b2，b3，從高三年級抽取的2人為c1，c2，從中隨機選2人，我們用列舉法列出所有不同的選取結(jié)果的個數(shù)，及滿足條件選中的2人都來自高二的結(jié)果個數(shù)，即可得到答案解答：解：（）由題意可得 ，所以x=11，y=3（）記從高二年級抽取的3人為b1，b2，b3，從高三年級抽取的2人為c1，c2，則從這兩個年級中抽取的5人中選2人的基本事件有：（b1，b2），（b1，b3），（b1，c1），（b1，c2），（b2，b3），（b2，c1），（b2，c2），（b3，c1），（b3，c2），（c1，c2）共10種設(shè)選中的2人都來自高二的事件為A，則A包含的基本事件有：（b1，b2），（b1，b3），

19、（b2，b3）共3種因此故選中的2人都來自高二的概率為0.3點評：本題考查的知識點是古典概型，及分層抽樣，其中用列舉法計算基本事件數(shù)及事件性質(zhì)的概率是古典概型最常用的方法17（14分）（2013東城區(qū)二模）如圖，BCD是等邊三角形，AB=AD，BAD=90°，M，N，G分別是BD，BC，AB的中點，將BCD沿BD折疊到BCD的位置，使得ADCB（1）求證：平面GNM平面ADC；（2）求證：CA平面ABD考點：直線與平面垂直的判定；平面與平面平行的判定專題：空間位置關(guān)系與距離分析：（1）利用線面平行的判定定理，證明MN平面ADC，NG平面ADC，再利用面面平行的判定定理證明平面GNM平

20、面ADC；（2）利用AD平面CAB，證明ADCA，利用勾股定理的逆定理，證明ABCA，再利用線面垂直的判定定理證明CA平面ABD解答：證明：（1）因為M，N分別是BD，BC的中點，所以MNDC因為MN平面ADC，DC平面ADC，所以MN平面ADC同理NG平面ADC又因為MNNG=N，所以平面GNM平面ADC（2）因為BAD=90°，所以ADAB又因為ADCB，且ABCB=B，所以AD平面CAB因為CA平面CAB，所以ADCA因為BCD是等邊三角形，AB=AD，不防設(shè)AB=1，則 ，可得CA=1由勾股定理的逆定理，可得ABCA因為ABAD=A，所以CA平面ABD （14分）點評：本題考

21、查面面平行，考查線面垂直，考查學生分析解決問題的能力，正確運用面面平行、線面垂直的判定定理是關(guān)鍵18（14分）（2013東城區(qū)二模）已知函數(shù)（a0）（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）如果P（x0，y0）是曲線y=f（x）上的點，且x0（0，3），若以P（x0，y0）為切點的切線的斜率恒成立，求實數(shù)a的最小值考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程專題：導數(shù)的概念及應(yīng)用分析：（1）先求導數(shù)，然后解導數(shù)不等式，可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）求出導數(shù)得到切線的斜率，利用斜率關(guān)系求實數(shù)a的最小值解答：解：（） ，定義域為（0，+），則因為a0，由f'（x）0，得x（a，+），由

22、f'（x）0，得x（0，a），所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）（）由題意，以P（x0，y0）為切點的切線的斜率k滿足（0x03），所以對0x03恒成立又當x00時，所以a的最小值為點評：本題考查導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，以及利用導數(shù)求切線斜率熟練掌握各種導數(shù)的運算是解決導數(shù)問題的關(guān)鍵19（13分）（2013東城區(qū)二模）已知橢圓的離心率，原點到過A（a，0），B（0，b）兩點的直線的距離是（1）求橢圓的方程；（2）已知直線y=kx+1（k0）交橢圓于不同的兩點E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)都在以B為圓心的圓上，求k的取值范圍考點：圓與圓錐曲線的綜合；橢圓的標準方程專題：綜合題

23、分析：（1）直線AB的方程為：bxayab=0，利用原點到過A（a，0），B（0，b）兩點的直線的距離是，可得，利用橢圓的離心率，可得，從而可求b2=4，a2=16，故可求橢圓的方程；（2）由題意，B（0，2），設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），由E，F(xiàn)在圓上，得x12+（y1+2）2=x22+（y2+2）2，由E，F(xiàn)在直線y=kx+1得y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入可得（1+k2）（x1+x2）（x1x2）+6k（x1x2）=0，從而可得x1+x2=；將y=kx+1代入，得（1+4k2）x2+8kx12=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，可得x1+x2=，從而可求得k的值解答：解：（1）直線AB的方程為：bxayab=0原點到過A（a，0），B（0，b）兩點的直線的距離是橢圓的離心率，a2=4b2代入，可得b2=4，a2=16橢圓的方程為；（2）由題意，B（0，2）設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），由E，F(xiàn)在圓上，得x12+（y1+2）2=x22+（y2+2）2，由E，F(xiàn)在直線y=kx+1得y1=kx1+1，y2=kx2+1，代