階微分方程解的存在定理

1、第三章 一階微分方程解的存在定理教學(xué)目標(biāo)1. 理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練近似解的誤差估計(jì)式。2. 了解解的延拓定理及延拓條件。3. 理解解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。教學(xué)重難點(diǎn) 解的存在唯一性定理的證明，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。教學(xué)方法 講授，實(shí)踐。教學(xué)時(shí)間 12學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容 解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理及其證明?？己四繕?biāo) 1.理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論，能用逐次逼近法解簡(jiǎn)單的問(wèn)題。2.熟練近似解的誤差估計(jì)式，解對(duì)初值的連續(xù)性及可微性公式。3.利用解的存在唯

2、一性定理、解的延拓定理及延拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來(lái)源于生產(chǎn)實(shí)踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律，能動(dòng)解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測(cè)未來(lái)的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解法的幾種類型，但是，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實(shí)際問(wèn)題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解。因此初值問(wèn)題的研究就顯得十分重要，從前面我們也了解到初值問(wèn)題的解不一定是唯一的。他必須滿足一定的條件才能保證初值問(wèn)題解的存在性與唯一性，而討論初值問(wèn)題解的存在性與唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理論

3、，穩(wěn)定性理論以及其他理論的基礎(chǔ)。例如方程 過(guò)點(diǎn)的解就是不唯一，易知是方程過(guò)的解，此外，容易驗(yàn)證，或更一般地，函數(shù) 都是方程過(guò)點(diǎn)而且定義在區(qū)間上的解，其中是滿足的任一數(shù)。 解的存在唯一性定理能夠很好地解釋上述問(wèn)題，它明確地肯定了方程的解在一定條件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似解法具有重要的意義，而解的存在唯一性是進(jìn)行近似計(jì)算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意義；如果存在不唯一，不能確定所求的是哪個(gè)解。而解的存在唯一性定理保證了所求解的存在性和唯一性。1存在性與唯一性定理：（1）顯式一階微分方程2 / 19 （3.1）這里是在矩形域： （3.

4、2）上連續(xù)。 定理1：如果函數(shù)滿足以下條件：1）在上連續(xù)：2）在上關(guān)于變量滿足李普希茲（Lipschitz）條件，即存在常數(shù)，使對(duì)于上任何一對(duì)點(diǎn)，均有不等式成立，則方程（3.1）存在唯一的解，在區(qū)間上連續(xù)，而且滿足初始條件 （3.3）其中,稱為L(zhǎng)ipschitz常數(shù).思路：1） 求解初值問(wèn)題(3.1)的解等價(jià)于積分方程 的連續(xù)解。2） 構(gòu)造近似解函數(shù)列 任取一個(gè)連續(xù)函數(shù)，使得，替代上述積分方程右端的，得到 如果，那么是積分方程的解，否則，又用替代積分方程右端的，得到 如果，那么是積分方程的解，否則，繼續(xù)進(jìn)行，得到 （3.4）于是得到函數(shù)序列.3） 函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂于，即 存在，對(duì)(3.

5、4)取極限,得到 即.4) 是積分方程在上的連續(xù)解.這種一步一步求出方程解的方法逐步逼近法.在定理的假設(shè)條件下,分五個(gè)命題來(lái)證明定理. 為了討論方便,只考慮區(qū)間,對(duì)于區(qū)間的討論完全類似.命題1 設(shè)是方程(3.1)定義于區(qū)間上,滿足初始條件 （3.3）的解,則是積分方程 (3.5)的定義于上的連續(xù)解.反之亦然.證明 因?yàn)槭欠匠?3.1)滿足的解,于是有 兩邊取到的積分得到 即有 所以是積分方程定義在區(qū)間上的連續(xù)解.反之,如果是積分方程(3.5)上的連續(xù)解,則 （3.6）由于在上連續(xù),從而連續(xù),兩邊對(duì)求導(dǎo),可得 而且 ,故是方程(3.1)定義在區(qū)間上,且滿足初始條件的解.構(gòu)造Picard的逐次逼近

6、函數(shù)序列. （3.7）命題2 對(duì)于所有的，（3.6）中的函數(shù)在上有定義，連續(xù)且滿足不等式 （3.8）證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)時(shí)，顯然在上有定義、連續(xù)且有 即命題成立. 假設(shè)命題2成立，也就是在上有定義、連續(xù)且滿足不等式 當(dāng)時(shí)， 由于在上連續(xù),從而在上連續(xù)，于是得知在上有定義、連續(xù),而且有 即命題2對(duì)時(shí)也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有的均成立.命題3 函數(shù)序列在上是一致收斂的.記,證明 構(gòu)造函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (3.9)它的部分和為 于是的一致收斂性與級(jí)數(shù)(3.9)的一致收斂性等價(jià). 為此，對(duì)級(jí)數(shù)(3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì). (3.10)由Lipschitz條件得知設(shè)對(duì)于正整數(shù),有不等式 成立,則由Lips

7、chitz條件得知,當(dāng)時(shí),有 于是由數(shù)學(xué)歸納法可知, 對(duì)所有正整數(shù),有 (3.11)由正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的收斂性,利用Weierstrass判別法,級(jí)數(shù)(3.9)在上一致收斂.因而序列在上一致收斂. 設(shè),則也在上連續(xù),且 命題4 是積分方程(3.5)的定義在上的連續(xù)解.證明 由Lipschitz條件 以及在上一致收斂于,可知在上一致收斂于.因此 即 故是積分方程(3.5)的定義在上的連續(xù)解.命題5 設(shè)是積分方程(3.5)的定義在上的一個(gè)連續(xù)解,則,.證明 設(shè),則是定義在的非負(fù)連續(xù)函數(shù),由于 而且滿足Lipschitz條件,可得 令,則是的連續(xù)可微函數(shù),且,即,于是在上, 故,即,命題得證.對(duì)定理說(shuō)明幾

8、點(diǎn):(1)存在唯一性定理中的幾何意義.在矩形域中,故方程過(guò)的積分曲線的斜率必介于與之間,過(guò)點(diǎn)分別作斜率為與的直線.當(dāng)時(shí)，即,（如圖(a)所示），解在上有定義；當(dāng)時(shí),即,（如圖(b)所示），不能保證解在上有定義，它有可能在區(qū)間內(nèi)就跑到矩形外去，只有當(dāng)才能保證解在內(nèi)，故要求解的存在范圍是. (2)、 由于李普希茲條件的檢驗(yàn)是比較費(fèi)事的，而我們能夠用一個(gè)較強(qiáng)的，但卻易于驗(yàn)證的條件來(lái)代替他，即如果函數(shù)在矩形域上關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)存在并有界，即，則李普希茲條件條件成立. 事實(shí)上 這里. 如果在上連續(xù)，它在上當(dāng)然滿足李普希茲條件.但是,滿足李普希茲條件的函數(shù)不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在.例如函數(shù)在任何區(qū)域都滿足李普希茲條

9、件,但它在處沒(méi)有導(dǎo)數(shù). (3)、設(shè)方程(3.1)是線性的,即方程為 易知,當(dāng)在區(qū)間上連續(xù)時(shí),定理1的條件就能滿足,且對(duì)任一初值所確定的解在整個(gè)區(qū)間上有定義、連續(xù). 實(shí)際上,對(duì)于一般方程(3.1),由初值所確定的解只能定義在上,是因?yàn)樵跇?gòu)造逐步逼近函數(shù)序列時(shí),要求它不越出矩形域,此時(shí),右端函數(shù)對(duì)沒(méi)有任何限制,只要取. (4)、Lipschitz條件 是保證初值問(wèn)題解惟一的充分條件，而非必要條件. 例如 試證方程 經(jīng)過(guò)平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的. 證明 時(shí), ,在上連續(xù), 也在上連續(xù),因此對(duì)軸外的任一點(diǎn),方程滿足的解都是唯一存在的.又由 可得方程的通解為 ,其中為上半平面的通解, 為下半平面的通解

10、,它們不可能與相交.注意到是方程的解,因此對(duì)軸上的任一點(diǎn),只有通過(guò),從而保證平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的. 但是 因?yàn)?故不可能存在,使得 所以方程右端函數(shù)在的任何鄰域并不滿足Lipschitz條件. 此題說(shuō)明Lipschitz條件 是保證初值問(wèn)題解惟一的充分條件，而非必要條件. 2)考慮一階隱方程 (3.12)由隱函數(shù)存在定理,若在的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且,而,則必可把唯一地表為的函數(shù) (3.13)并且于的某一鄰域連續(xù),且滿足如果關(guān)于所有變?cè)嬖谶B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則對(duì)也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),并且 (3.14)顯然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)滿足初始條件的解存在且唯一.從而得到下面的定理.定理2 如果在點(diǎn)的某一鄰域中:) 關(guān)于所有變?cè)B續(xù),且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；）則方程（3.12）存在唯一的解 （為足夠小的正數(shù)）滿足初始條件 （3.15）1、 近似計(jì)算和誤差估計(jì)求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法 對(duì)方程的第次近似解和真正解在內(nèi)的誤差估計(jì)式 （3.16）此式可用數(shù)學(xué)歸納法證明. 設(shè)有不等式 成立,則