高等數(shù)學(xué)-第9章多元函數(shù)微分法極其應(yīng)用

1、章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用§1 多元函數(shù)的基本概念課時(shí)2教學(xué)目的理解鄰域、內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、邊界點(diǎn)和區(qū)域的概念，二元函數(shù)的概念，掌握多元函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念教學(xué)重點(diǎn)及突出方法多元函數(shù)的基本概念，多元函數(shù)的極限和連續(xù)性教學(xué)難點(diǎn)及突破方法多元函數(shù)的極限與連續(xù)性，與一元函數(shù)類似，多元連續(xù)函數(shù)也有最大最小值定理，介值定理。相關(guān)參考資料高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P89-P107大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P449-P4561 / 21教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.1 多元函數(shù)的基本概念二元函數(shù)的基本概

2、念：設(shè)D是平面上一點(diǎn)集，若對(duì)每個(gè)點(diǎn)P(x,y)，D，變量z按照一定法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱z是變量x,y的二元函數(shù)（或點(diǎn)P的函數(shù)），記為z=f(x,y)（或z=f(P)），D稱為函數(shù)的定義域。鄰域：設(shè)P0(x0,y0)是xoy面上的一個(gè)點(diǎn)，是一正數(shù)。與點(diǎn)P0距離小于的點(diǎn)P(x,y)的全體，稱為P0點(diǎn)的鄰域，記為U(P0,)。內(nèi)點(diǎn):設(shè)E是平面上一點(diǎn)集，P是平面上一點(diǎn)，若存在點(diǎn)P的某一個(gè)鄰域U(P,)，使U(P,)包含于E，則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)。開集：若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集。區(qū)域：若D既是開集，又是連通的，則稱D為區(qū)域。聚點(diǎn)：設(shè)E為平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P是平面上的一個(gè)點(diǎn)，若P點(diǎn)的任一個(gè)

3、鄰域內(nèi)總有無限多個(gè)點(diǎn)屬于E，則稱P為E的聚點(diǎn)。多元函數(shù)的極限；設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn)，若對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)適合不等式的一切點(diǎn)P(x,y)，都有成立，則稱A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)xx0,yy0時(shí)的極限，記為。二元(多元)函數(shù)極限不存在的判別方法:如果點(diǎn)P沿不同曲線趨近于P0時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，則函數(shù)的極限不存在。正像一元函數(shù)的極限一樣，二重極限也有與一元函數(shù)類似的運(yùn)算法則.二元函數(shù)的連續(xù)性:  如果當(dāng)點(diǎn)(x,y)趨向點(diǎn)(x0,y0)時(shí)，函數(shù)f(x,y)的二重極限等于f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的函數(shù)值f(x0,y0)，那末

4、稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù).如果f(x,y)在區(qū)域D的每一點(diǎn)都連續(xù)，那末稱它在區(qū)域D連續(xù)。  如果函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)不滿足連續(xù)的定義，那末我們就稱(x0,y0)是f(x,y)的一個(gè)間斷點(diǎn)。關(guān)于二元函數(shù)間斷的問題:  二元函數(shù)間斷點(diǎn)的產(chǎn)生與一元函數(shù)的情形類似，但是二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜，它除了有間斷點(diǎn)，還有間斷線。  二元連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商(分母不為零)和復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):最大值和最小值定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最小值和最大值。介值定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連

5、續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。有界性定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)一定有界。結(jié)論：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的例題的講解。章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用§2 偏導(dǎo)數(shù)課時(shí)2教學(xué)目的理解偏導(dǎo)數(shù)的概念及二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，掌握一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，理解函數(shù)在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在但在該點(diǎn)不一定連續(xù)的正確含義。教學(xué)重點(diǎn)及突出方法偏導(dǎo)數(shù)的概念，一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。教學(xué)難點(diǎn)及突破方法偏導(dǎo)數(shù)的概念，一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。通過偏導(dǎo)數(shù)定義，使學(xué)生了解偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算的聯(lián)系。多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，就是只有

6、一個(gè)自變量變化（而其他自變量看成是常數(shù)）時(shí)，函數(shù)的變化率，因此，求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就相當(dāng)于求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則在這里都適用。相關(guān)參考資料高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P108-P117大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P456-P460教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.2 偏導(dǎo)數(shù) 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算法 在多元函數(shù)的微分運(yùn)算中,函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是最基本的運(yùn)算. 下面我們就以二元函數(shù)為例，給出方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的概念. 定義1(偏導(dǎo)數(shù)):設(shè)有二元函數(shù)f(x,y),M0(x0,y0)是一個(gè)確定的點(diǎn).

7、 固定y=y0,將f(x,y0)看成變量x的一元函數(shù).如果x的函數(shù)f(x,y0)在點(diǎn)x0存在導(dǎo)數(shù),也就是極限 存在,則稱極限值為二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)M0(x0,y0)關(guān)于變?cè)獂的 偏導(dǎo)數(shù), 記作或fx/(x0,y0)。 這就是說,為了求偏導(dǎo)數(shù),只需固定y=y0,將f(x,y0)看成變量x的一元函數(shù)f(x,y0),對(duì)于x在點(diǎn)x0求導(dǎo)數(shù)就可以了. 因此從純粹計(jì)算的觀點(diǎn)看,求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)沒有什么區(qū)別. 同樣, 二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)M0(x0,y0)關(guān)于變?cè)獃的 偏導(dǎo)數(shù)為：= fy/(x0,y0) 對(duì)于三元函數(shù)乃至多元函數(shù),可以類似地定義和計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)。 對(duì)于多元函數(shù),函數(shù)在

8、某個(gè)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在性與函數(shù)在該點(diǎn)的連續(xù)性沒有直接聯(lián)系,不像一元函數(shù)那樣簡(jiǎn)單：導(dǎo)數(shù)存在可以保證連續(xù)。偏導(dǎo)數(shù)的求法：   當(dāng)函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx/(x0,y0)與fy/(x0,y0)都存在時(shí)， 我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導(dǎo)。如果函數(shù)f(x,y)在域D的每一點(diǎn)均可導(dǎo)，   那末稱函數(shù)f(x,y)在域D可導(dǎo)。 此時(shí)，對(duì)應(yīng)于域D的每一點(diǎn)(x,y)，必有一個(gè)對(duì)x(對(duì)y)的偏導(dǎo)數(shù)，因而在域D確定了一個(gè)新的二元函數(shù)，   稱為f(x,y)對(duì)x(對(duì)y)的偏導(dǎo)函數(shù)。簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)。至于實(shí)際求偏導(dǎo)

9、數(shù)，只要將二元函數(shù)中的一個(gè)變量固定，將其看作常數(shù)，對(duì)另一變量按照一元函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)即可。通過例題熟悉偏導(dǎo)數(shù)的概念。二、高階偏導(dǎo)數(shù)   如果二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)fx/(x,y)與fy/(x,y)仍然可導(dǎo)，   那末這兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。   二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。   注意：f"xy與f"yx的區(qū)別在于：前者是先對(duì)x求偏導(dǎo)，然后將所得的偏導(dǎo)函數(shù)再對(duì)y求偏導(dǎo)；后者是

10、先對(duì)y求偏導(dǎo)再對(duì)x求偏導(dǎo)。定理：.如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)f"xy與f"yx都連續(xù)時(shí)，求導(dǎo)的結(jié)果與求導(dǎo)的先后次序無關(guān)，即f"xy=f"yx。章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用§3 全微分課時(shí)2教學(xué)目的理解全微分的概念，可微分的必要條件及充分條件，可微與連續(xù)的關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)及突出方法可微分的必要條件及充分條件，可微與連續(xù)的關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)及突破方法可微分的必要條件及充分條件，可微與連續(xù)的關(guān)系。相關(guān)參考資料高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P119-P126大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出

11、版社，P460-P462教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.3 全微分及其應(yīng)用我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的微分的概念了，現(xiàn)在我們用類似的思想方法來學(xué)習(xí)多元函數(shù)的的全增量，從而把微分的概念推廣到多元函數(shù)。   這里我們以二元函數(shù)為例。函數(shù)z=f(x,y)的全增量為：z=f(x+x，y+y)-f(x，y)全微分的定義如果函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)（x，y）的全增量z=f(x+x，y+y)-f(x，y)可表示為：z=Ax +By+ o() (o()是當(dāng)0時(shí)的高階無窮小)其中A,B不依賴于x, y而僅與x, y有關(guān)，則稱函數(shù)z=f(x，y) 在點(diǎn)（x，y）可微分，而Ax +By稱為函

12、數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)（x，y）的全微分，記作dz，即dz=Ax +By。如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分，那末稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分。下面討論函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)（x，y）可微分的條件。定理1（必要條件）：如果函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)（x，y）可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)（x，y）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f 'x(x，y)，f 'y(x，y)必定存在，且函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)（x，y）的全微分為dz=f 'x(x, y)x + f 'y(x, y)y。   注意：在找函數(shù)相應(yīng)的全增量時(shí)，為了使z與偏導(dǎo)數(shù)發(fā)生關(guān)系，我們可把由(x0,y0)變到(x0+x,y0

13、+y)的過程分為兩部：先由點(diǎn)(x0,y0)變到點(diǎn)(x0,y0+y)，再變到點(diǎn)(x0+x,y0+y)。定理2（充分條件）：如果函數(shù)z=f(x，y) 偏導(dǎo)數(shù)f 'x(x，y)，f 'y(x，y)在點(diǎn)（x，y）連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。習(xí)慣上，我們將自變量的增量x ，y分別記作dx，dy，并分別稱為自變量x，y的微分。則函數(shù)z=f(x，y)的全微分可寫為 dz=f 'x(x, y)dx + f 'y(x, y)dy。微分與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)在點(diǎn)(x,y)可微分，則這函數(shù)在該點(diǎn)處必定連續(xù)。由二元函數(shù)的全微分的定義及關(guān)于全微分存在的充分條件可知，當(dāng)函數(shù)z=f(x，y)

14、偏導(dǎo)數(shù)f 'x(x，y)，f 'y(x，y)在點(diǎn)（x，y）連續(xù)，且|x| ，|y|都較小時(shí)，就有近似等式 zdz=f 'x(x, y)x + f 'y(x, y)y可利用此式進(jìn)行近似計(jì)算。章節(jié)第九章 多元函數(shù)微分法及應(yīng)用§4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則課時(shí)2教學(xué)目的掌握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。教學(xué)重點(diǎn)及突出方法多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)難點(diǎn)及突破方法多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。恰當(dāng)選擇中間變量并理清因變量、中間變量與自變量之間的聯(lián)系方式，是用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則計(jì)算多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵所在。相關(guān)參考資料高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）（物理類），文麗

15、，吳良大編，北京大學(xué)出版社P128-P146大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P474-P479教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式   定理：   設(shè)均在(x, y)處可導(dǎo),函數(shù)z=f (u, v)在對(duì)應(yīng)的(u, v)處有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)   那末,復(fù)合函數(shù)在(x, y)處可導(dǎo),且有鏈?zhǔn)角髮?dǎo)公式：上述公式可以推廣到多元，在此不詳述。   一個(gè)多元復(fù)合函數(shù)，其一階偏導(dǎo)數(shù)的個(gè)數(shù)取決于此復(fù)合函數(shù)自變量的個(gè)數(shù)。在一階偏導(dǎo)數(shù)的鏈導(dǎo)公式中，項(xiàng)數(shù)的多少取決

16、于與此自變量有關(guān)的中間變量的個(gè)數(shù)。全導(dǎo)數(shù)  全導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只是求導(dǎo)的過程是借助于偏導(dǎo)數(shù)來完成而已定理: 如果函數(shù)u=(t)及（t）都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u, v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f(t), (t)在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：。如果z=f(u, x, y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而u=(x, y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f(x, y), x, y)對(duì)自變量x, y的偏導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，可以得到全微分形式的不變性。章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用§5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則公式課時(shí)2教學(xué)目

17、的掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。教學(xué)重點(diǎn)及突出方法隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。教學(xué)難點(diǎn)及突破方法隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，尤其是方程組的情形。對(duì)方程組的情形，可將方程組的每一個(gè)方程對(duì)變量求偏導(dǎo)得到方程組，然后解方程組求出要求的偏導(dǎo)數(shù)。相關(guān)參考資料高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P159-P167大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P479-P484教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、一個(gè)方程的情形隱函數(shù)存在定理1： 設(shè)函數(shù)F(x, y)在點(diǎn)P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y

18、0) 0，則方程F(x, y) = 0在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y = f(x)，它滿足條件y0 = f(x0)，并有。上面公式就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。隱函數(shù)存在定理2： 設(shè)函數(shù)F(x, y, z)在點(diǎn)P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) 0，則方程F(x, y, z) = 0在點(diǎn)(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z = f(x, y)，它滿足條件z0 = f(x0,y0)，并有,。二、方程組的情形隱函數(shù)存在定理3 設(shè)F（x, y,

19、 u, v）、G（x, y, u, v）在點(diǎn)P（x0,y0,u0,v0）的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又F（x0,y0,u0,v0）= 0，G（x0,y0,u0,v0）= 0，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）式）：在點(diǎn)P(x0,y0,u0,v0)不等于零，則方程組F（x, y,u,v）= 0，G（x,y,u,v）= 0在點(diǎn)P（x0,y0,u0,v0）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u = u（x, y），v = v（x, y），它們滿足條件u0 = u（x0,y0），v0 = v（x0,y0），并有。章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用習(xí)題（一

20、）課時(shí)2教學(xué)目的通過講解習(xí)題及補(bǔ)充的例題，使學(xué)生掌握復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)及隱函數(shù)求導(dǎo)的計(jì)算方法。教學(xué)重點(diǎn)及突出方法教學(xué)難點(diǎn)及突破方法相關(guān)參考資料數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南2004版（理工），陳文登，黃先開，世界圖書出版社，P261-P273教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容第九章的前五節(jié)習(xí)題中存在的問題并補(bǔ)充一些考研題及陳文登復(fù)習(xí)資料上的一些題。章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用§6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用課時(shí)2教學(xué)目的掌握空間曲線的切線與法平面及空間曲面的切平面與法線的計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)及突出方法空間曲線的切線與法平面及空間曲面的切平面與法線的計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)及突破方法空間曲線的切線與法平面及空間曲面的切平

21、面與法線的計(jì)算。相關(guān)參考資料高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P191-P197大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P501-P507教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.6   微分法在幾何上的應(yīng)用一、 空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線的參數(shù)方稱為x=(t)，y=(t)，z=(t)，這里假定上式的三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo)。在曲線上取對(duì)應(yīng)于t=t0的一點(diǎn)M（x0，y0，z0）。根據(jù)解析幾何，可得曲線在點(diǎn)M處的切線方程為：切線的方向向量稱為曲線的切向量。向量T='（t0），'（t0），'（t0）就是曲線在

22、點(diǎn)M處的一個(gè)切向量。通過點(diǎn)而與切線垂直的平面稱為曲線在點(diǎn)M處的法平面，它是通過點(diǎn)M（x0，y0，z0）而以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為'(t0)(x-x0)+'(t0)(y-y0)+'(t0)(z-z0)= 0。二、 曲面的切平面與法線 設(shè)曲面由方程F（x, y, z）= 0給出，M（x0，y0，z0）是曲面上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù)F（x, y, z）的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零。則根據(jù)解析幾何，可得曲面上通過點(diǎn)M的一切曲線在點(diǎn)M的切線都在同一個(gè)平面上。這個(gè)平面稱為曲面在點(diǎn)M的切平面。這切平面的方程是Fx(x0，y0，z0)(x-x0)+Fy(x0，y0

23、，z0)(y-y0)+Fz(x0，y0，z0)(z-z0)= 0通過點(diǎn)M（x0，y0，z0）而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線。法線方程是: 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量。向量n = Fx（x0，y0，z0），F(xiàn)y（x0，y0，z0），F(xiàn)z（x0，y0，z0）就是曲面在點(diǎn)M處的一個(gè)法向量。章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用§7 方向?qū)?shù)和梯度課時(shí)2教學(xué)目的了解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法。教學(xué)重點(diǎn)及突出方法方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法。教學(xué)難點(diǎn)及突破方法方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法。從偏導(dǎo)數(shù)的概念拓廣到方向?qū)?shù)概念，并指出與偏導(dǎo)數(shù)之關(guān)系，其次可通過具體應(yīng)用實(shí)

24、例引入梯度之概念，可畫圖指出梯度與方向?qū)?shù)之關(guān)系，此外，順便介紹等高線、梯度場(chǎng)、勢(shì)場(chǎng)等知識(shí)加深對(duì)梯度概論的理解。相關(guān)參考資料高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P150-P157大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P484-P487教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.7方向?qū)?shù)和梯度(1)將偏微分的幾何意義推廣到任意方向之偏微分。 (2) 由一般的方向?qū)?shù)中可以找出變化最大(小)的方向，定出 梯度向量章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用§8 多元函數(shù)極值的求法 課時(shí)2教學(xué)目的會(huì)求二元函數(shù)的無條件極值及利用拉格朗日乘數(shù)法求條

25、件極值。教學(xué)重點(diǎn)及突出方法二元函數(shù)的無條件極值及利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)難點(diǎn)及突破方法二元函數(shù)的無條件極值及利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。相關(guān)參考資料高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P175-P189大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P512-P520教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.8 多元函數(shù)極值的求法一、 多元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決。定理1（必要條件） 設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0,y0)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：fx(

26、x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。定理2（充分條件） 設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，則f(x,y)在(x0,y0)處是否取得極值的條件如下：（1）AC-B2>0時(shí)具有極值，且當(dāng)A<0時(shí)有極大值，當(dāng)A>0時(shí)有極小值；（2）AC-B2<0時(shí)沒有極值；（2）AC-B2=0時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。利用定理1、2，我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z = f(x,y)的極值的求法敘述如下：第一步 解方程組fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的