高等數(shù)學基本概念整理

1、§1.1 函數(shù)一、有關(guān)四種性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性)1. 口訣(1)：奇偶函數(shù)常遇到；對稱性質(zhì)不可忘。2. 在(a,b)內(nèi)，若，則單調(diào)增加若，則單調(diào)減少口訣(2)：單調(diào)增加與減少；先算導數(shù)正與負例1 求解 是奇函數(shù)，是奇函數(shù)， 因此是奇函數(shù)。于是。例2 設，則下列結(jié)論正確的是(A)若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)。(B)若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)。(C)若為周期函數(shù)，則為周期函數(shù)。(D)若為單調(diào)函數(shù)，則為單調(diào)函數(shù)。解 (B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。證明 為奇函數(shù)，所以，為偶函數(shù)。例3 設，是恒大于零的可導函數(shù)，且，則當時，下列結(jié)論成立的是(A) (B

2、)(C) (D)解 ，單調(diào)減少于是x<b，則有，故(A)成立。二、有關(guān)復合函數(shù)1. 已知，求2. 已知和，求例1、已知和求解：例2、已知，且，求解：令，則，因此2 / 85于是，§1.2 極限一、有關(guān)無窮小量1.有界變量乘無窮小(量)仍是無窮小(量)；2.等價無窮小代換；3.無窮小的階的比較。例1 求解 原式例2 設當x0時(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無窮小，而xsinxn是比高階的無窮小，則正整 數(shù)n等于(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 4解： 由題意可知，4>n+1>2，n+1=3, n=2 選(B)例3 設，則當x0時， 是的

3、 ( )(A) 高階無窮小 (B) 低階無窮小(C)同階但不等價的無窮小 (D) 等價無窮小解 選(C)二、有關(guān)兩個準則準則1 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在。準則2 夾逼定理。例1 設，證明存在，并求其值。解 我， (幾何平均值算術(shù)平均值) 用數(shù)學歸納法可知n>1時， 有界。又當n>1時， ，則單調(diào)增加。根據(jù)準則1，存在把兩邊取極限，得 (舍去) 得 ， ?？谠E(3)：遞推數(shù)列求極限；單調(diào)有界要先證；兩邊極限一起上；方程之中把值找。例2 求。解 令，則0<xn<yn，于是，由夾逼定理可知，于是原極限為0。三、有關(guān)兩個重要公式公式1、公式2、例1 求。解 當x=0時，原式=1

4、當x0時，原式= 例2 設在內(nèi)可導，且，求c的值。解:則拉格朗日中值定理，有 其中介于(x-1)與x之間，那么 于是，e2c=e,2c=1，則口訣(4)：函數(shù)之差化導數(shù)；拉氏定理顯神通。四、用洛必達法則求極限洛必達法則主要處理七種待定型極限：“”型，“”型，“0·”型，“-”型，“1”型，“00”型和“0”型口訣(5)：待定極限七類型，分層處理洛必達。第一層次：直接用洛必達法則“”型 用洛必達法則“”型 用洛必達法則第二層次：間接用洛必達法則“0·”型 例變?yōu)椤啊毙汀?”型 例變?yōu)椤啊毙偷谌龑哟危洪g接再間接用洛必達法則“1”型，“00”型，“0”型均為形式而稱為冪指函數(shù)，比

5、較復雜。口訣(6)：冪指函數(shù)最復雜；指數(shù)、對數(shù)一起上。,而上面三種類型化為,這時一定是“0·”型再用第二層次的方法處理即可例 =例1 求。解 原式=例2 設函數(shù)連續(xù)，且，求解 原式=(分母令)= (用積分中值定理)=(在0和x之間)=.口訣(7)：變限積分是函數(shù)；遇到之后先求導。公式： (當連續(xù)時)例3 高a>0,b>0常數(shù)，求解 先考慮它是“”型。令 令型=因此， 于是， ?？谠E(8) 離散數(shù)列“洛必達”；先要轉(zhuǎn)化連續(xù)型。五、求分段函數(shù)的極限例 求。解 口訣(9)：分段函數(shù)分段點；左右運算要先行。六 用導數(shù)定義求極限例 設曲線與在原點相切，求解 由題設可知， 于是 七

6、用定積分定義求極限公式： (連續(xù))例1 求。分析 如果還想用夾逼定理中方法來考慮而， 由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來考慮。解 =例2 求。解 而 由夾逼定理可知， 口訣(10)：數(shù)列極限逢絕境；轉(zhuǎn)化積分見光明。八、求極限的反問題例1 設，求a和b.解 由題設可知，1+a+b=0再對極限用洛必達法則 例2、 設在(0，+)內(nèi)可導， >0， 且滿足，求解： 先用冪指函數(shù)處理方法再用導數(shù)定義 取， 于是這樣 所以 再由，可知C=1，則§1.3 連續(xù)一、連續(xù)與間斷例1 設，在內(nèi)有定義，為連續(xù)，且，有間斷點，則下列函數(shù)中必有間斷點為(A) (B)(C) (D)解：(

7、A)，(B)，(C)不成立可用反例，,(D)成立 可用反證法：假若不然沒有間斷點，那么為兩個連續(xù)函數(shù)乘積，一定連續(xù)故矛盾，所以一定有間斷點例2 求的間斷點，并判別其類型。解 ，考慮 可見為間斷點,是可去間斷點，其它皆為第二類間斷點。二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（重點為介值定理及其推論）例1 設在上連續(xù)，且，證明存在，使得證 令，則在上連續(xù)， ，根據(jù)介值定理推論，存在使，即證。例2 設在上連續(xù)，且，求證：存在，使。證 在上連續(xù)，故有最大值M和最小值m，于是根據(jù)介值定理，存在使 .口訣（11）：函數(shù)為零欲論證；介值定理定乾坤。第二章 一元函數(shù)微分學§2.1 導數(shù)與微分一、可導性與連續(xù)性例

8、設，問a和b為何值時，可導，且求。解 x1時， x1時，. 由處連續(xù)性，可知再由處可導性， 存在 存在且 根據(jù)洛必達法則 于是.二、導數(shù)與微分的運算法則和計算公式（要求非常熟練地運用，具體例題可看參考書）三、切線和法線方程例1 已知曲線的極坐標方程，求曲線上對應于處的切線與法線的直角坐標方程。解 曲線的參數(shù)方程為故切線方程 即 法線方程 即 例2 設為周期是5的連續(xù)函數(shù)，在鄰域內(nèi)恒有 其中 ，在處可導，求曲線在點（）處的切線方程。解 由題設可知，故切線方程為所以關(guān)鍵是求出和由連續(xù)性 由所給條件可知 ， 再由條件可知 令，又上式左邊則 所求切線方程為即四、高階導數(shù)1.求二階導數(shù)例1、設，求。解

9、例2 設由方程所確定，求解： ，得2.求n階導數(shù)例1 設，求 (n正整數(shù))。解 先用多項式除法，得，然后把真分式再化為最簡公式令 令 ，得令 ，得口訣（12）：有理函數(shù)要運算；最簡分式要先行。例2 設，求（n為正整數(shù)）。解 口訣（13）：高次三角要運算；降次處理先開路。注 有時求可以通過冪級數(shù)的系數(shù)公式反過來來計算，這就需要掌握把函數(shù)展成冪級數(shù)的有關(guān)技巧，數(shù)學一和數(shù)學三在無窮級數(shù)中有專門討論。§2.2 微分中值定理一、 羅爾定理羅爾定理：設在上連續(xù)，內(nèi)可導，且，則存在使?？谠E（14）：導數(shù)為零欲論證；羅爾定理負重任。在考研考題中，經(jīng)常要作輔助函數(shù)，而對用羅爾定理，從而得出的有關(guān)結(jié)論，

10、為此，我們引進兩個模型及有關(guān)例題。模型：設在上連續(xù)，內(nèi)可導，且，是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則存在，使成立。證 令，其中。于是在上連續(xù)，在內(nèi)可導，。根據(jù)羅爾定理，存在使而 ，而因此 例1設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，試證：(1) 存在，使；(2) 存在，使 （為任意實數(shù)）。證 (1)令，顯然，在上連續(xù)又，根據(jù)介值定理推論存在，使，即（2）令 (相當于模型中，）， 在上用羅爾定理，存在，使 即 從而 。口訣（15）：導數(shù)、函數(shù)合為零；輔助函數(shù)用羅爾。1. 模型 設，在上連續(xù)，內(nèi)可導，且，則存在，使證 令，則，在上用羅爾定理，存在，使，即。例2 設在上連續(xù)，內(nèi)可導，k為正整數(shù)，求證存在，使得證 取a=0,b=1，令，

11、用模型，存在，使得故 即。3.例3 設在上連續(xù)，內(nèi)可導，對任意k1，有，求證：存在，使證 由定積分中值定理可知存在，使得 令 ，可知對在上用羅爾定理，存在，使，而從中消去因子，得。4. 例4 設在上連續(xù)，求證：存在，使證 令則 又 如果在內(nèi)不變號，由于連續(xù)性，積分不為0，故在內(nèi)一定有正有負，故存在使，而 ，于是分別在和上對用羅爾定理則存在，使和，即二、 拉格朗日中值定理和柯西中值定理。1. 拉格朗日中值定理：設在上連續(xù)，內(nèi)可導，則存在，使，即?？谠E（4）：函數(shù)之差化導數(shù)；拉氏定理顯神通2. 柯西中值定理設，在上皆連續(xù)，在內(nèi)皆可導，且，則存在，使 例1 設在上連續(xù)，內(nèi)可導，且,證明：存在使證 考

12、慮柯西中值定理（待定）最后一步是把分子用拉格朗日中值定理。再把欲證的結(jié)論變形，兩式比較，看出令即可。類似地，欲證，則取即可例2. 已知在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，證明（）存在，使得（）存在兩個不同，使得證： （）令，則在上連續(xù)，又有，根據(jù)介值定理，所以存在，使得 即 。（）根據(jù)拉格朗日中值定理，存在，使得 ， ， 從而 。在上面兩個例子中，都是尋找的問題，但所用方法完全不同，我們可以用兩個口訣來加以區(qū)別?？谠E（16）：尋找無約束，柯西、拉氏先后上。口訣（17）：尋找有約束，兩個區(qū)間用拉氏。泰勒定理。設在包含的區(qū)間內(nèi)有n+1階導數(shù)，在上有n階連續(xù)導數(shù)，則對，存在在與之間，有公式 （稱為拉格朗日余項形

13、式的泰勒公式）例 設在上具有三階連續(xù)導數(shù)，且。求證：使。證 麥克勞林公式 其中，介于0與之間， 后式減前式，得在上連續(xù)，設其最大值為M，最小值為m。則 再由介值定理， 使 §2.3 導數(shù)的應用一、 不等式的證明例1 求證：當時，。證 令，只需證明時，易知 ，由于的符號不易判別，再求導得。再考慮可見當時，；單調(diào)減少，當時，單調(diào)增加，是的最小值，由于，單調(diào)增加，而，時，則單調(diào)減少，時，單調(diào)增加，于是， 時。例2 設，求證： 證 令, 則 于是可知在時單調(diào)增加，又，時，這樣單調(diào)增加，因此，時，得證口訣（18）：數(shù)字不等式難證，函數(shù)不等式先行。二、 極值與拐點例1 設有二階導數(shù)，滿足。求證：

14、當時，為極小值證 （1）情形 故為極小值。（2）情形這時方程條件用代入不行，無法得出上面的方式。 存在 連續(xù)， （用洛必達法則） （再用洛必達法則） 是極小值例2 設，則( )（A）是的極值點，但不是曲線的拐點（B）不是的極值點，但是曲線的拐點（C）是的極值點，且是曲線的拐點（D）不是的極值點，也不是曲線的拐點解 在0的兩側(cè)異號，故0是的極值點又點兩側(cè)，凸凹性不同（兩側(cè)異號）所以是曲線的拐點，應選C。例3 設的導數(shù)在處連續(xù)，又，則（ ）（A）是的極小值點（B）是的極大值點（C）是曲線的拐點（D）不是極值點，也不是曲線的拐點分析：題目只設在a點連續(xù)，無法考慮a點兩側(cè)二階導數(shù)故（C）(D)不行又由

15、 可知存在和內(nèi) 當時，則 當時，則 故是的極大值點，應選B。上面用極值第一充分條件來判斷，也可以用第二充分條件來判斷。由 可知根據(jù)在處連續(xù)，則于是根據(jù)極值第二充分條件則知為極大值。故是的極大值點一、 最大值和最小值的應用題1. 數(shù)學一和數(shù)學二要考物理、力學方面內(nèi)容。2. 數(shù)學三要考經(jīng)濟方面內(nèi)容，我們這里不再統(tǒng)一討論。第三章 一元函數(shù)積分學§3.1 積分的概念與計算一、 一般方法例1設的一個原函數(shù),求。解 例2 設，又解 而,又因此則 例3 設解一 令則解二 令則例4 設連續(xù)函數(shù)滿足解 令兩邊從1到e進行積分，得于是，則例5 設連續(xù)，且。解 變上限積分的被積函數(shù)中出現(xiàn)上限變量必須先處理

16、。令 則代入條件方程后，兩邊對x求導，得雙方都即令，化簡得三、 遞推方法例 1 設（1）求證當，（2）求解1 ,則（2）當n=2k, 正偶數(shù)時，當，正奇數(shù)時，例 2 設求證：證 令則例 3 設求證：四、 反常積分例1 計算解 用洛必達法則令例2 （1） 求證：（n為整數(shù)）（2） 求解 （1）（n為整數(shù)）（2）§3.2 有關(guān)變上（下）限積分和積分證明題一、 有關(guān)變上（下）限積分基本公式：(1) 設，f連續(xù) 則口訣（7）：變限積分是函數(shù)；遇到之后先求導。例1設（a為常數(shù)）求解 例2 設在內(nèi)可導，對所有，均有，求。解 把所給方程兩邊求x求導把代入，得再兩邊對t求導，得于是 則令代入得 例3

17、設在內(nèi)可導，反函數(shù)為，且求。解方程兩邊對x求導，得于是故由得則口訣（19）：正反函數(shù)連續(xù)用；最后只留原變量。二、 積分證明題例1 設在上連續(xù)，且試證：存在使證一 令在上滿足柯西中值定理有關(guān)條件，故存在，使即則證二 令 令在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且根據(jù)羅爾定理，存在使則即例 2設在上的導數(shù)連續(xù)，且，。證明 對任何有證 設，則在上的導數(shù)連續(xù)，并且由于時，因此即在上單調(diào)遞減。注意到而故因此時，由此可得對任何有 §3.3 定積分的應用一、幾何方面例1 設在上連續(xù)，在內(nèi)，證明，且唯一，使得，所圍面積是所圍面積的三倍。證 令由連續(xù)函數(shù)介值定理的推論可知，使。再由可知的單調(diào)增加性，則惟一。例2 設在上

18、為任一非負連續(xù)函數(shù)，（1） 試證：，使上以為高的矩形面積等于上以為曲邊的曲邊梯形面積；（2） 又設在內(nèi)可導，且證明（1）中惟一。（1） 證 設則且對在上用羅爾定理使即證畢。（2） 證 令當時，（由（2）的已知條件）因此在內(nèi)，單調(diào)減少，是惟一的。例3 是由拋物線和直線及所圍成的平面區(qū)域；是由拋物線和直線所圍成的平面區(qū)域，其中。（1） 試求繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積;繞軸而成的旋轉(zhuǎn)體體積(如圖)。（2） 問a當為何值時， 取得最大值。解 （1）或（2）由得區(qū)間內(nèi)的惟一駐點。又，因此是極大值點，也是最大值點。此時的最大值為。二、物理、力學方面的應用（數(shù)學一和數(shù)學二）三、經(jīng)濟方面的應用（數(shù)學三）第四章

19、多元函數(shù)微分學§4.1 偏導數(shù)與全微分一、 幾個關(guān)系連續(xù)存在例：存在是連續(xù)的（ ）條件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）無關(guān)解：從上面的關(guān)系中可以看出應選D二、 多元復合與隱函數(shù)的微分法zuvxy1. 多元復合函數(shù)微分法鎖鏈公式模型 設則 uxzxyy模型 設 則 uxzxy模型 設則 其它各種模型，可類似地討論?？谠E(20)：多元復合求偏導；鎖鏈公式不可忘。2. 隱函數(shù)微分法設 確定若連續(xù)，且，則 口訣(21)：多元隱函求偏導；交叉偏導加負號。例1 設有連續(xù)的一階偏導數(shù)，又函數(shù)及分別由下列兩式確定和，求。解 由 兩邊對求導，得解出 (分子和分母消去公因子)由兩邊對求導，

20、得解出 所以 .例2 設有連續(xù)偏導數(shù)， 由方程所確定，求。解一 令得， 則用隱函數(shù)求導公式得于是 解二 在 兩邊求微分得解出 代入 合并化簡也得 .例3 設具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足，又，求。解 ， ，uvxy則 .于是 而 把這兩個式子，代入上面就得同理， 所以 例4 設，求。解 對的兩邊求全微分，得，注例4的技巧在于：如果先求出是的函數(shù)，比較復雜，這時再偏導數(shù)就繁?，F(xiàn)在這樣先用微分的方法得出它們作為的函數(shù)是線性函數(shù)，因此很容易求出有關(guān)的偏導數(shù)。§4.2 多元函數(shù)的極值一、 二元函數(shù)的普通極值例1 求函數(shù)的極值。解 要求 ，得故知，由此解得三個駐點又在點處 ， ， 又是極小值點極小

21、值在點處， ， ，也是極小值點極小值在點， ， 不能判定，這時取(其中為充分小的正數(shù))則而取時， 由此可見不是極值點例2 設是由確定的函數(shù)，求的極值點和極值。解 因為，每一項對求導， 看作的函數(shù)，得 ， (1)每一項對求導， 看作的函數(shù)，得 (2)令 得故 將上式代入可得 或 把(1)的每一項再對求導， 和看作的函數(shù)得 把(1)的每一項再對求導，和看作的函數(shù)得把(2)的每一項再對求導，和看作的函數(shù)得，所以 ， ， ，故，又，從而點(9，3)是的極小值點，極小值為類似地，由， ， ，可知，又，所以點(-9，-3)是的極大值點，極大值為。二、 條件極值問題例1 在橢球面第一象限上P點處作切平面，使

22、與這三個坐標平面所圍四面體的體積最小，求P點坐標。解 設P點坐標，則橢球面在P點的切平面的法向量為切平面： 即 X軸截距 y軸截距 z軸截距 所以四面體的體積約束條件用拉格朗日乘子法，令 (1) (2) (3) (4)用x乘(1)+y乘(2)+z乘(3)得則 (5)將(5)分別找代入(1)，(2)，(3)得所以P點坐標為而最小體積。例2 求坐標原點到曲線的最短距離。解 設曲線C上點到坐標原點的距離為d，令，約束條件，用拉格朗日乘子法，令 (1) (2) (3) (4) (5)首先，由(1)，(2)可見，如果取，則，由(3)可知，再由(4)，(5)得解得 這樣得到兩個駐點其次，如果取，由(3)得

23、，再由(1)(2)得這樣(4)成為，是矛盾的，所以這種情形設有駐點。最后，討論情形，由(1)，(2)，(3)可得代入(4)，(5)消去得此方程無解，所以這種情形也沒有駐點。綜合上面討論，可知只有兩個駐點，它們到坐標原點的距離都等于1，由實際問題一定有最短距離，所以最短距離為1。例3 已知函數(shù)的全微分，并且，求在橢圓域上的最大值和最小值。解一 由，可知，再由，得，故。令，解得駐點。在橢圓上，即其最大值為，最小值為，再與比較，可知在橢圓域D上的最大值為3，最小值為-2。解二 同解一，得駐點。 用拉格朗日乘數(shù)法求此函數(shù)在橢圓上的極值。設 令 解得4個可能的極值點。又再與比較，得在D上的最大值為3，最

24、小值為-2。第五章 二重積分一、二重積分的計算口訣(22) 二重積分的計算；累次積分是關(guān)鍵例1 計算，其中D由和軸所圍區(qū)域解 如果 那么先對求原函數(shù)就不行，故考慮另一種順序的累次積分這時先對x積分，當作常數(shù)處理就可以了。原式例2 計算.解 原式 例3 求D:解一 (對稱性) .解二 由積分區(qū)域?qū)ΨQ性和被積函數(shù)的奇偶性可知原式.二、交換積分的順序例1 交換的積分順序解 原式其中D由和以及所圍的區(qū)域.由 解出 解出 因此按另一順序把二重積分化為累次積分對三個小區(qū)域得原式例2 設連續(xù)，證明：證明 交換積分次序令 ，則則三、證明題例1 證明 證： 例2 設在上連續(xù)，試證：.證 ,則 但 ,故 口訣(2

25、3)：定積分化重積分；廣闊天地有作為。第六章 常微分方程§6.1 一階微分方程一、規(guī)定類型的微分方程求解(略)二、常用的處理技巧1、 變量替換例 求微分方程的通解解 令，原方程化為化簡為 再令，則方程化為化簡為2.化為反函數(shù)的微分方程例 求微分方程的通解解 此題不是一階線性方程，但把x看作未知函數(shù)，y看作自變量，所得微分方程即 是一階線性方程，求通解得3.求導處理后得規(guī)定類型的微分方程例1 設連續(xù)，求解： 兩邊對x求導，得為一階線性方程，從而容易求解。例2 設，其中在內(nèi)滿足以下條件，且(1) 求所滿足的一階微分方程(2) 求出的表達式解 (1)由 可知所滿足的一階微分方程為(2) 將

26、代入，可知于是口訣(24) 微分方程欲規(guī)范； 變換，求導，函數(shù)反。三、應用 例 求通過的曲線方程，使曲線上任意點處切線與y軸之交點與切點的距離等于此交點與原點的距離。解 設曲線上任意一點，則其切線方程為，故切線與y軸交點A的坐標為，由題意所以，這樣，令 解得，即則 .§6.2 特殊的高階微分方程一、規(guī)定類型微分方程的求解(略)二、常用的處理技巧1.變量替換例 求微分方程的通解。解 這是二階非常系數(shù)線性方程，不是規(guī)定類型令 ，則，這樣，原方程變?yōu)槭且?guī)定類型(二階常系數(shù)線性非齊次方程)解出 于是 2.化為反函數(shù)的微分方程例 在內(nèi)二階可導，為反函數(shù)(1)試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分

27、方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件的解。解(1)由反函數(shù)導數(shù)公式知即 上式兩端關(guān)于x求導，得所以 代入原微分方程得 (*)（2）方程(*)所對應的齊次線性方程的通解為設方程(*)的特解為代入方程(*)求得，故，從而的通解是由 ，得，故所初值問題的解為3.求導后化為規(guī)定類型的微分方程例 設，連續(xù)，求解 由表達式可知是可導的，兩邊對x求導，則得(這里再分別求導)再對兩邊關(guān)于x求導，得即屬于常系數(shù)二階非齊次線性方程對應齊次方程通解非齊次方程特解設代入方程求出系數(shù),則得 ,故的一般表達式由條件和導數(shù)表達式可知可確定出因此 4.線性方程的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)例 已知是某二階線性非齊次常系數(shù)微分方程的三個解

28、，求此微分方程及其通解。解 由線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理可得，是該方程對應的齊次方程的解，由解與的形式，可得齊次方程為設該方程為，代入，得所以，該方程為其通解為.注 數(shù)學二到這里全部結(jié)束第七章 無窮級數(shù)(數(shù)學一和數(shù)學三)§7.1 數(shù)項級數(shù)例1 若級數(shù)收斂，則收斂，收斂，收斂，證 (1) 收斂 ，取，存在N，當時，于是再用比較判別法由收斂可知收斂.(2) (幾何平均值算術(shù)平均值).已知：收斂，收斂，故收斂再用比較判別法，可知收斂.(3) 已知收斂，用比較判別法可知收斂。例2 正項數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，問是否收斂？并說明理由。解 又單調(diào)減少，存在，如果，根據(jù)萊布尼茲判別法可知收斂，與假設

29、矛盾，這樣，由等比級數(shù)收斂和比較判別法可知收斂。例3 設.(1) 求的值(2) 證明：對任意正常數(shù)，收斂。證 (1) (2) ，收斂，由比較判別法可知收斂。注數(shù)學三的考生對上面例2，例3的要求不高，可以只作參考，它們都是數(shù)學一的歷年考題。§7.2 冪級數(shù)這部分的重點和難點是求冪級數(shù)的和函數(shù)，它的基本方法有三個。1. 將的公式，反過來作為冪級數(shù)求和公式例：求冪極數(shù)的和函數(shù)解： 原式 2.通過逐項求導和逐項積分的方法化為等比級數(shù)，求出和函數(shù)后再反回去。例1 例2 求的和函數(shù)解 令 可知則 于是 例1和例2是這方法最容易理解的原理，其它比較復雜的例子可以類似地處理，這種方法是歷年考試中用得

30、最多的方法。例3 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)(1) (2) 解 (1) 可求出收斂半徑，故收斂域為(2) 可求出收斂半徑，故收斂域為而 因此， 。例4 設滿足(n為正整數(shù))，且，求函數(shù)項級數(shù)之和。解 解一組微分方程可得通解 由初始條件，得 故 從而 ，令 而在內(nèi)，故 于是 又 因此，在時，都有3. 列出冪級數(shù)和函數(shù)的微分方程從而解之例 設級數(shù)的和函數(shù)為，求：(1)所滿足的一階微分方程；(2) 的表達式。解 (1) 得 因此，是初值問題的解。(2) 為一階線性非齊次方程，它的通解.由初始條件，求出，故于是 注事實上這個考題如果不是規(guī)定列微分方程的方法來求解，也可以把第一種方法中的例作適當處理來求和函數(shù)

31、§7.3 函數(shù)展開成冪級數(shù)一、將展成的冪級數(shù)的方法1.套公式的方法， 其中 例 () () ， () ， (為實常數(shù))2.逐項求導的方法例：() ，() ，3.變量替換的方法例：() ，() ，4.逐項積分的方法例：() ，由此可得，() 由此可得5.其它方法例1() () ，例2將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和。解因為，。又，所以，因為級數(shù)收斂，函數(shù)在處連續(xù)，所以，。令，得，再由，得。二、將展成冪級數(shù)的方法例1將展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間（此題為2007年數(shù)學三的一個考題）解：因為要求，所以收斂半徑為2，故收斂區(qū)間為例2，因此，例3例4（數(shù)學三到此結(jié)束）§7.4傅

32、里葉級數(shù)（數(shù)學一）一、傅里葉系數(shù)和傅里葉級數(shù)的概念二、Dirichlet收斂定理（條件和結(jié)論）三、 把函數(shù)展成傅里葉級數(shù)第八章向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)學一）一、向量運算的應用主要是兩個向量的數(shù)量積和向量積，以及三個向量的混合積在幾何上的應用。例1、 點P到過A，B的直線之間的距離例2、 點P到A，B，C所在平面的距離因為四面體PABC的體積而又例3、 過點A,B與過點C,D的異面直線之間的距離因為二、平面束（通過一條直線的所有平面）例1求通過和直線的平面方程解：通過的所有平面的方程為所代入，得，即取方程得故所求方程為例2 求過直線且切于球面 的平面。解過所給直線除平面外的其它所有平面方程為即

33、（）球面與平面相切，因此球心到平面距離應等于半徑于是得代入（）得兩個所求的平面。三、求空間曲線繞z軸一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程第一步：從上面聯(lián)立方程解出第二步：旋轉(zhuǎn)曲面方程為線 軸一周或繞 軸一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程類似地處理。四、空間曲線在坐標平面上的投影1.曲線C的方程曲線C在 平面上的投影先從曲線C的方程中消去得到 ，它表示曲線C為準線，母線平行于z軸的柱面方程，那么就是C在平面上投影曲線方程曲線C在平面上投影或在平面上投影類似地處理。2.曲線C的方程則曲線C在平面上的投影曲線方程為曲線C在 平面上的投影曲線方程為曲線C在 平面上的投影為第九章三重積分、曲線積分、曲面積分（數(shù)學一）§9.1

34、三重積分三重積分的重點是通過物理應用形式來進行三重積分的計算，另外，通過高斯定理把曲面積分化為三重積分來計算。例設有一半徑為R的球體， 是球表面上的一個定點，球體上任一點的密度與該點到的距離成正比（比例系數(shù)），求球體重心的位置。解一設球面方程為，為，球體的重心坐標為，由對稱性可知由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性，則有 于是因此，重心坐標為解二設球面坐標，重心坐標由對稱性可知于是，重心坐標§9.2曲線積分一、用參數(shù)公式直接計算例1計算曲線積分，其中L是曲線，從z軸正向往負向看L的方向是順時針方向。解:曲線L是圓柱面和平面的交線，是一個橢圓周，它的參數(shù)方程（不是惟一的選法）最簡單可取根據(jù)題意規(guī)定L的定向，則從變到0，于是二、用格林公式等性質(zhì)來計算曲線積分例1求，其中為正的常數(shù)，L為從點沿曲線到點的弧。解一：用格林公式，但L不是封閉曲線，故補上一段 ，它為從 沿 到 的有向直線。這樣 構(gòu)成封閉曲線，為逆時針方向于是 ，令 ，根據(jù)格林公式這里D為由L和圍成的上半圓區(qū)域。另外，