高等數(shù)學(xué)基本概念整理

1、§1.1 函數(shù)一、有關(guān)四種性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性)1. 口訣(1)：奇偶函數(shù)常遇到；對稱性質(zhì)不可忘。2. 在(a,b)內(nèi)，若，則單調(diào)增加若，則單調(diào)減少口訣(2)：單調(diào)增加與減少；先算導(dǎo)數(shù)正與負(fù)例1 求解 是奇函數(shù)，是奇函數(shù)， 因此是奇函數(shù)。于是。例2 設(shè)，則下列結(jié)論正確的是(A)若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)。(B)若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)。(C)若為周期函數(shù)，則為周期函數(shù)。(D)若為單調(diào)函數(shù)，則為單調(diào)函數(shù)。解 (B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。證明 為奇函數(shù)，所以，為偶函數(shù)。例3 設(shè)，是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時，下列結(jié)論成立的是(A) (B

2、)(C) (D)解 ，單調(diào)減少于是x<b，則有，故(A)成立。二、有關(guān)復(fù)合函數(shù)1. 已知，求2. 已知和，求例1、已知和求解：例2、已知，且，求解：令，則，因此2 / 85于是，§1.2 極限一、有關(guān)無窮小量1.有界變量乘無窮小(量)仍是無窮小(量)；2.等價無窮小代換；3.無窮小的階的比較。例1 求解 原式例2 設(shè)當(dāng)x0時(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無窮小，而xsinxn是比高階的無窮小，則正整 數(shù)n等于(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 4解： 由題意可知，4>n+1>2，n+1=3, n=2 選(B)例3 設(shè)，則當(dāng)x0時， 是的

3、 ( )(A) 高階無窮小 (B) 低階無窮小(C)同階但不等價的無窮小 (D) 等價無窮小解 選(C)二、有關(guān)兩個準(zhǔn)則準(zhǔn)則1 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在。準(zhǔn)則2 夾逼定理。例1 設(shè)，證明存在，并求其值。解 我， (幾何平均值算術(shù)平均值) 用數(shù)學(xué)歸納法可知n>1時， 有界。又當(dāng)n>1時， ，則單調(diào)增加。根據(jù)準(zhǔn)則1，存在把兩邊取極限，得 (舍去) 得 ， ?？谠E(3)：遞推數(shù)列求極限；單調(diào)有界要先證；兩邊極限一起上；方程之中把值找。例2 求。解 令，則0<xn<yn，于是，由夾逼定理可知，于是原極限為0。三、有關(guān)兩個重要公式公式1、公式2、例1 求。解 當(dāng)x=0時，原式=1

4、當(dāng)x0時，原式= 例2 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，求c的值。解:則拉格朗日中值定理，有 其中介于(x-1)與x之間，那么 于是，e2c=e,2c=1，則口訣(4)：函數(shù)之差化導(dǎo)數(shù)；拉氏定理顯神通。四、用洛必達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則主要處理七種待定型極限：“”型，“”型，“0·”型，“-”型，“1”型，“00”型和“0”型口訣(5)：待定極限七類型，分層處理洛必達(dá)。第一層次：直接用洛必達(dá)法則“”型 用洛必達(dá)法則“”型 用洛必達(dá)法則第二層次：間接用洛必達(dá)法則“0·”型 例變?yōu)椤啊毙汀?”型 例變?yōu)椤啊毙偷谌龑哟危洪g接再間接用洛必達(dá)法則“1”型，“00”型，“0”型均為形式而稱為冪指函數(shù)，比

5、較復(fù)雜。口訣(6)：冪指函數(shù)最復(fù)雜；指數(shù)、對數(shù)一起上。,而上面三種類型化為,這時一定是“0·”型再用第二層次的方法處理即可例 =例1 求。解 原式=例2 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，求解 原式=(分母令)= (用積分中值定理)=(在0和x之間)=.口訣(7)：變限積分是函數(shù)；遇到之后先求導(dǎo)。公式： (當(dāng)連續(xù)時)例3 高a>0,b>0常數(shù)，求解 先考慮它是“”型。令 令型=因此， 于是， ?？谠E(8) 離散數(shù)列“洛必達(dá)”；先要轉(zhuǎn)化連續(xù)型。五、求分段函數(shù)的極限例 求。解 口訣(9)：分段函數(shù)分段點(diǎn)；左右運(yùn)算要先行。六 用導(dǎo)數(shù)定義求極限例 設(shè)曲線與在原點(diǎn)相切，求解 由題設(shè)可知， 于是 七

6、用定積分定義求極限公式： (連續(xù))例1 求。分析 如果還想用夾逼定理中方法來考慮而， 由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來考慮。解 =例2 求。解 而 由夾逼定理可知， 口訣(10)：數(shù)列極限逢絕境；轉(zhuǎn)化積分見光明。八、求極限的反問題例1 設(shè)，求a和b.解 由題設(shè)可知，1+a+b=0再對極限用洛必達(dá)法則 例2、 設(shè)在(0，+)內(nèi)可導(dǎo)， >0， 且滿足，求解： 先用冪指函數(shù)處理方法再用導(dǎo)數(shù)定義 取， 于是這樣 所以 再由，可知C=1，則§1.3 連續(xù)一、連續(xù)與間斷例1 設(shè)，在內(nèi)有定義，為連續(xù)，且，有間斷點(diǎn)，則下列函數(shù)中必有間斷點(diǎn)為(A) (B)(C) (D)解：(

7、A)，(B)，(C)不成立可用反例，,(D)成立 可用反證法：假若不然沒有間斷點(diǎn)，那么為兩個連續(xù)函數(shù)乘積，一定連續(xù)故矛盾，所以一定有間斷點(diǎn)例2 求的間斷點(diǎn)，并判別其類型。解 ，考慮 可見為間斷點(diǎn),是可去間斷點(diǎn)，其它皆為第二類間斷點(diǎn)。二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（重點(diǎn)為介值定理及其推論）例1 設(shè)在上連續(xù)，且，證明存在，使得證 令，則在上連續(xù)， ，根據(jù)介值定理推論，存在使，即證。例2 設(shè)在上連續(xù)，且，求證：存在，使。證 在上連續(xù)，故有最大值M和最小值m，于是根據(jù)介值定理，存在使 .口訣（11）：函數(shù)為零欲論證；介值定理定乾坤。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)§2.1 導(dǎo)數(shù)與微分一、可導(dǎo)性與連續(xù)性例

8、設(shè)，問a和b為何值時，可導(dǎo)，且求。解 x1時， x1時，. 由處連續(xù)性，可知再由處可導(dǎo)性， 存在 存在且 根據(jù)洛必達(dá)法則 于是.二、導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則和計算公式（要求非常熟練地運(yùn)用，具體例題可看參考書）三、切線和法線方程例1 已知曲線的極坐標(biāo)方程，求曲線上對應(yīng)于處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程。解 曲線的參數(shù)方程為故切線方程 即 法線方程 即 例2 設(shè)為周期是5的連續(xù)函數(shù)，在鄰域內(nèi)恒有 其中 ，在處可導(dǎo)，求曲線在點(diǎn)（）處的切線方程。解 由題設(shè)可知，故切線方程為所以關(guān)鍵是求出和由連續(xù)性 由所給條件可知 ， 再由條件可知 令，又上式左邊則 所求切線方程為即四、高階導(dǎo)數(shù)1.求二階導(dǎo)數(shù)例1、設(shè)，求。解

9、例2 設(shè)由方程所確定，求解： ，得2.求n階導(dǎo)數(shù)例1 設(shè)，求 (n正整數(shù))。解 先用多項(xiàng)式除法，得，然后把真分式再化為最簡公式令 令 ，得令 ，得口訣（12）：有理函數(shù)要運(yùn)算；最簡分式要先行。例2 設(shè)，求（n為正整數(shù)）。解 口訣（13）：高次三角要運(yùn)算；降次處理先開路。注 有時求可以通過冪級數(shù)的系數(shù)公式反過來來計算，這就需要掌握把函數(shù)展成冪級數(shù)的有關(guān)技巧，數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三在無窮級數(shù)中有專門討論。§2.2 微分中值定理一、 羅爾定理羅爾定理：設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，則存在使?？谠E（14）：導(dǎo)數(shù)為零欲論證；羅爾定理負(fù)重任。在考研考題中，經(jīng)常要作輔助函數(shù)，而對用羅爾定理，從而得出的有關(guān)結(jié)論，

10、為此，我們引進(jìn)兩個模型及有關(guān)例題。模型：設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則存在，使成立。證 令，其中。于是在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，。根據(jù)羅爾定理，存在使而 ，而因此 例1設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證：(1) 存在，使；(2) 存在，使 （為任意實(shí)數(shù)）。證 (1)令，顯然，在上連續(xù)又，根據(jù)介值定理推論存在，使，即（2）令 (相當(dāng)于模型中，）， 在上用羅爾定理，存在，使 即 從而 ?？谠E（15）：導(dǎo)數(shù)、函數(shù)合為零；輔助函數(shù)用羅爾。1. 模型 設(shè)，在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，則存在，使證 令，則，在上用羅爾定理，存在，使，即。例2 設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，k為正整數(shù)，求證存在，使得證 取a=0,b=1，令，

11、用模型，存在，使得故 即。3.例3 設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，對任意k1，有，求證：存在，使證 由定積分中值定理可知存在，使得 令 ，可知對在上用羅爾定理，存在，使，而從中消去因子，得。4. 例4 設(shè)在上連續(xù)，求證：存在，使證 令則 又 如果在內(nèi)不變號，由于連續(xù)性，積分不為0，故在內(nèi)一定有正有負(fù)，故存在使，而 ，于是分別在和上對用羅爾定理則存在，使和，即二、 拉格朗日中值定理和柯西中值定理。1. 拉格朗日中值定理：設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，則存在，使，即?？谠E（4）：函數(shù)之差化導(dǎo)數(shù)；拉氏定理顯神通2. 柯西中值定理設(shè)，在上皆連續(xù)，在內(nèi)皆可導(dǎo)，且，則存在，使 例1 設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且,證明：存在使證 考

12、慮柯西中值定理（待定）最后一步是把分子用拉格朗日中值定理。再把欲證的結(jié)論變形，兩式比較，看出令即可。類似地，欲證，則取即可例2. 已知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明（）存在，使得（）存在兩個不同，使得證： （）令，則在上連續(xù)，又有，根據(jù)介值定理，所以存在，使得 即 。（）根據(jù)拉格朗日中值定理，存在，使得 ， ， 從而 。在上面兩個例子中，都是尋找的問題，但所用方法完全不同，我們可以用兩個口訣來加以區(qū)別。口訣（16）：尋找無約束，柯西、拉氏先后上。口訣（17）：尋找有約束，兩個區(qū)間用拉氏。泰勒定理。設(shè)在包含的區(qū)間內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，在上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對，存在在與之間，有公式 （稱為拉格朗日余項(xiàng)形

13、式的泰勒公式）例 設(shè)在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且。求證：使。證 麥克勞林公式 其中，介于0與之間， 后式減前式，得在上連續(xù)，設(shè)其最大值為M，最小值為m。則 再由介值定理， 使 §2.3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、 不等式的證明例1 求證：當(dāng)時，。證 令，只需證明時，易知 ，由于的符號不易判別，再求導(dǎo)得。再考慮可見當(dāng)時，；單調(diào)減少，當(dāng)時，單調(diào)增加，是的最小值，由于，單調(diào)增加，而，時，則單調(diào)減少，時，單調(diào)增加，于是， 時。例2 設(shè)，求證： 證 令, 則 于是可知在時單調(diào)增加，又，時，這樣單調(diào)增加，因此，時，得證口訣（18）：數(shù)字不等式難證，函數(shù)不等式先行。二、 極值與拐點(diǎn)例1 設(shè)有二階導(dǎo)數(shù)，滿足。求證：

14、當(dāng)時，為極小值證 （1）情形 故為極小值。（2）情形這時方程條件用代入不行，無法得出上面的方式。 存在 連續(xù)， （用洛必達(dá)法則） （再用洛必達(dá)法則） 是極小值例2 設(shè)，則( )（A）是的極值點(diǎn)，但不是曲線的拐點(diǎn)（B）不是的極值點(diǎn)，但是曲線的拐點(diǎn)（C）是的極值點(diǎn)，且是曲線的拐點(diǎn)（D）不是的極值點(diǎn)，也不是曲線的拐點(diǎn)解 在0的兩側(cè)異號，故0是的極值點(diǎn)又點(diǎn)兩側(cè)，凸凹性不同（兩側(cè)異號）所以是曲線的拐點(diǎn)，應(yīng)選C。例3 設(shè)的導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，又，則（ ）（A）是的極小值點(diǎn)（B）是的極大值點(diǎn)（C）是曲線的拐點(diǎn)（D）不是極值點(diǎn)，也不是曲線的拐點(diǎn)分析：題目只設(shè)在a點(diǎn)連續(xù)，無法考慮a點(diǎn)兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)故（C）(D)不行又由

15、 可知存在和內(nèi) 當(dāng)時，則 當(dāng)時，則 故是的極大值點(diǎn)，應(yīng)選B。上面用極值第一充分條件來判斷，也可以用第二充分條件來判斷。由 可知根據(jù)在處連續(xù)，則于是根據(jù)極值第二充分條件則知為極大值。故是的極大值點(diǎn)一、 最大值和最小值的應(yīng)用題1. 數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二要考物理、力學(xué)方面內(nèi)容。2. 數(shù)學(xué)三要考經(jīng)濟(jì)方面內(nèi)容，我們這里不再統(tǒng)一討論。第三章 一元函數(shù)積分學(xué)§3.1 積分的概念與計算一、 一般方法例1設(shè)的一個原函數(shù),求。解 例2 設(shè)，又解 而,又因此則 例3 設(shè)解一 令則解二 令則例4 設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足解 令兩邊從1到e進(jìn)行積分，得于是，則例5 設(shè)連續(xù)，且。解 變上限積分的被積函數(shù)中出現(xiàn)上限變量必須先處理

16、。令 則代入條件方程后，兩邊對x求導(dǎo)，得雙方都即令，化簡得三、 遞推方法例 1 設(shè)（1）求證當(dāng)，（2）求解1 ,則（2）當(dāng)n=2k, 正偶數(shù)時，當(dāng)，正奇數(shù)時，例 2 設(shè)求證：證 令則例 3 設(shè)求證：四、 反常積分例1 計算解 用洛必達(dá)法則令例2 （1） 求證：（n為整數(shù)）（2） 求解 （1）（n為整數(shù)）（2）§3.2 有關(guān)變上（下）限積分和積分證明題一、 有關(guān)變上（下）限積分基本公式：(1) 設(shè)，f連續(xù) 則口訣（7）：變限積分是函數(shù)；遇到之后先求導(dǎo)。例1設(shè)（a為常數(shù)）求解 例2 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，對所有，均有，求。解 把所給方程兩邊求x求導(dǎo)把代入，得再兩邊對t求導(dǎo)，得于是 則令代入得 例3

17、設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，反函數(shù)為，且求。解方程兩邊對x求導(dǎo)，得于是故由得則口訣（19）：正反函數(shù)連續(xù)用；最后只留原變量。二、 積分證明題例1 設(shè)在上連續(xù)，且試證：存在使證一 令在上滿足柯西中值定理有關(guān)條件，故存在，使即則證二 令 令在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且根據(jù)羅爾定理，存在使則即例 2設(shè)在上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，。證明 對任何有證 設(shè)，則在上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且由于時，因此即在上單調(diào)遞減。注意到而故因此時，由此可得對任何有 §3.3 定積分的應(yīng)用一、幾何方面例1 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)，證明，且唯一，使得，所圍面積是所圍面積的三倍。證 令由連續(xù)函數(shù)介值定理的推論可知，使。再由可知的單調(diào)增加性，則惟一。例2 設(shè)在上

18、為任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)，（1） 試證：，使上以為高的矩形面積等于上以為曲邊的曲邊梯形面積；（2） 又設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且證明（1）中惟一。（1） 證 設(shè)則且對在上用羅爾定理使即證畢。（2） 證 令當(dāng)時，（由（2）的已知條件）因此在內(nèi)，單調(diào)減少，是惟一的。例3 是由拋物線和直線及所圍成的平面區(qū)域；是由拋物線和直線所圍成的平面區(qū)域，其中。（1） 試求繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積;繞軸而成的旋轉(zhuǎn)體體積(如圖)。（2） 問a當(dāng)為何值時， 取得最大值。解 （1）或（2）由得區(qū)間內(nèi)的惟一駐點(diǎn)。又，因此是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)。此時的最大值為。二、物理、力學(xué)方面的應(yīng)用（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二）三、經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用（數(shù)學(xué)三）第四章

19、多元函數(shù)微分學(xué)§4.1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、 幾個關(guān)系連續(xù)存在例：存在是連續(xù)的（ ）條件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）無關(guān)解：從上面的關(guān)系中可以看出應(yīng)選D二、 多元復(fù)合與隱函數(shù)的微分法zuvxy1. 多元復(fù)合函數(shù)微分法鎖鏈公式模型 設(shè)則 uxzxyy模型 設(shè) 則 uxzxy模型 設(shè)則 其它各種模型，可類似地討論?？谠E(20)：多元復(fù)合求偏導(dǎo)；鎖鏈公式不可忘。2. 隱函數(shù)微分法設(shè) 確定若連續(xù)，且，則 口訣(21)：多元隱函求偏導(dǎo)；交叉偏導(dǎo)加負(fù)號。例1 設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)及分別由下列兩式確定和，求。解 由 兩邊對求導(dǎo)，得解出 (分子和分母消去公因子)由兩邊對求導(dǎo)，

20、得解出 所以 .例2 設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 由方程所確定，求。解一 令得， 則用隱函數(shù)求導(dǎo)公式得于是 解二 在 兩邊求微分得解出 代入 合并化簡也得 .例3 設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，又，求。解 ， ，uvxy則 .于是 而 把這兩個式子，代入上面就得同理， 所以 例4 設(shè)，求。解 對的兩邊求全微分，得，注例4的技巧在于：如果先求出是的函數(shù)，比較復(fù)雜，這時再偏導(dǎo)數(shù)就繁?，F(xiàn)在這樣先用微分的方法得出它們作為的函數(shù)是線性函數(shù)，因此很容易求出有關(guān)的偏導(dǎo)數(shù)。§4.2 多元函數(shù)的極值一、 二元函數(shù)的普通極值例1 求函數(shù)的極值。解 要求 ，得故知，由此解得三個駐點(diǎn)又在點(diǎn)處 ， ， 又是極小值點(diǎn)極小

21、值在點(diǎn)處， ， ，也是極小值點(diǎn)極小值在點(diǎn)， ， 不能判定，這時取(其中為充分小的正數(shù))則而取時， 由此可見不是極值點(diǎn)例2 設(shè)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值。解 因?yàn)椋恳豁?xiàng)對求導(dǎo)， 看作的函數(shù)，得 ， (1)每一項(xiàng)對求導(dǎo)， 看作的函數(shù)，得 (2)令 得故 將上式代入可得 或 把(1)的每一項(xiàng)再對求導(dǎo)， 和看作的函數(shù)得 把(1)的每一項(xiàng)再對求導(dǎo)，和看作的函數(shù)得把(2)的每一項(xiàng)再對求導(dǎo)，和看作的函數(shù)得，所以 ， ， ，故，又，從而點(diǎn)(9，3)是的極小值點(diǎn)，極小值為類似地，由， ， ，可知，又，所以點(diǎn)(-9，-3)是的極大值點(diǎn)，極大值為。二、 條件極值問題例1 在橢球面第一象限上P點(diǎn)處作切平面，使

22、與這三個坐標(biāo)平面所圍四面體的體積最小，求P點(diǎn)坐標(biāo)。解 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，則橢球面在P點(diǎn)的切平面的法向量為切平面： 即 X軸截距 y軸截距 z軸截距 所以四面體的體積約束條件用拉格朗日乘子法，令 (1) (2) (3) (4)用x乘(1)+y乘(2)+z乘(3)得則 (5)將(5)分別找代入(1)，(2)，(3)得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為而最小體積。例2 求坐標(biāo)原點(diǎn)到曲線的最短距離。解 設(shè)曲線C上點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為d，令，約束條件，用拉格朗日乘子法，令 (1) (2) (3) (4) (5)首先，由(1)，(2)可見，如果取，則，由(3)可知，再由(4)，(5)得解得 這樣得到兩個駐點(diǎn)其次，如果取，由(3)得

23、，再由(1)(2)得這樣(4)成為，是矛盾的，所以這種情形設(shè)有駐點(diǎn)。最后，討論情形，由(1)，(2)，(3)可得代入(4)，(5)消去得此方程無解，所以這種情形也沒有駐點(diǎn)。綜合上面討論，可知只有兩個駐點(diǎn)，它們到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都等于1，由實(shí)際問題一定有最短距離，所以最短距離為1。例3 已知函數(shù)的全微分，并且，求在橢圓域上的最大值和最小值。解一 由，可知，再由，得，故。令，解得駐點(diǎn)。在橢圓上，即其最大值為，最小值為，再與比較，可知在橢圓域D上的最大值為3，最小值為-2。解二 同解一，得駐點(diǎn)。 用拉格朗日乘數(shù)法求此函數(shù)在橢圓上的極值。設(shè) 令 解得4個可能的極值點(diǎn)。又再與比較，得在D上的最大值為3，最

24、小值為-2。第五章 二重積分一、二重積分的計算口訣(22) 二重積分的計算；累次積分是關(guān)鍵例1 計算，其中D由和軸所圍區(qū)域解 如果 那么先對求原函數(shù)就不行，故考慮另一種順序的累次積分這時先對x積分，當(dāng)作常數(shù)處理就可以了。原式例2 計算.解 原式 例3 求D:解一 (對稱性) .解二 由積分區(qū)域?qū)ΨQ性和被積函數(shù)的奇偶性可知原式.二、交換積分的順序例1 交換的積分順序解 原式其中D由和以及所圍的區(qū)域.由 解出 解出 因此按另一順序把二重積分化為累次積分對三個小區(qū)域得原式例2 設(shè)連續(xù)，證明：證明 交換積分次序令 ，則則三、證明題例1 證明 證： 例2 設(shè)在上連續(xù)，試證：.證 ,則 但 ,故 口訣(2

25、3)：定積分化重積分；廣闊天地有作為。第六章 常微分方程§6.1 一階微分方程一、規(guī)定類型的微分方程求解(略)二、常用的處理技巧1、 變量替換例 求微分方程的通解解 令，原方程化為化簡為 再令，則方程化為化簡為2.化為反函數(shù)的微分方程例 求微分方程的通解解 此題不是一階線性方程，但把x看作未知函數(shù)，y看作自變量，所得微分方程即 是一階線性方程，求通解得3.求導(dǎo)處理后得規(guī)定類型的微分方程例1 設(shè)連續(xù)，求解： 兩邊對x求導(dǎo)，得為一階線性方程，從而容易求解。例2 設(shè)，其中在內(nèi)滿足以下條件，且(1) 求所滿足的一階微分方程(2) 求出的表達(dá)式解 (1)由 可知所滿足的一階微分方程為(2) 將

26、代入，可知于是口訣(24) 微分方程欲規(guī)范； 變換，求導(dǎo)，函數(shù)反。三、應(yīng)用 例 求通過的曲線方程，使曲線上任意點(diǎn)處切線與y軸之交點(diǎn)與切點(diǎn)的距離等于此交點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。解 設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，則其切線方程為，故切線與y軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由題意所以，這樣，令 解得，即則 .§6.2 特殊的高階微分方程一、規(guī)定類型微分方程的求解(略)二、常用的處理技巧1.變量替換例 求微分方程的通解。解 這是二階非常系數(shù)線性方程，不是規(guī)定類型令 ，則，這樣，原方程變?yōu)槭且?guī)定類型(二階常系數(shù)線性非齊次方程)解出 于是 2.化為反函數(shù)的微分方程例 在內(nèi)二階可導(dǎo)，為反函數(shù)(1)試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分

27、方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件的解。解(1)由反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式知即 上式兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得所以 代入原微分方程得 (*)（2）方程(*)所對應(yīng)的齊次線性方程的通解為設(shè)方程(*)的特解為代入方程(*)求得，故，從而的通解是由 ，得，故所初值問題的解為3.求導(dǎo)后化為規(guī)定類型的微分方程例 設(shè)，連續(xù)，求解 由表達(dá)式可知是可導(dǎo)的，兩邊對x求導(dǎo)，則得(這里再分別求導(dǎo))再對兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得即屬于常系數(shù)二階非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解設(shè)代入方程求出系數(shù),則得 ,故的一般表達(dá)式由條件和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式可知可確定出因此 4.線性方程的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)例 已知是某二階線性非齊次常系數(shù)微分方程的三個解

28、，求此微分方程及其通解。解 由線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理可得，是該方程對應(yīng)的齊次方程的解，由解與的形式，可得齊次方程為設(shè)該方程為，代入，得所以，該方程為其通解為.注 數(shù)學(xué)二到這里全部結(jié)束第七章 無窮級數(shù)(數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三)§7.1 數(shù)項(xiàng)級數(shù)例1 若級數(shù)收斂，則收斂，收斂，收斂，證 (1) 收斂 ，取，存在N，當(dāng)時，于是再用比較判別法由收斂可知收斂.(2) (幾何平均值算術(shù)平均值).已知：收斂，收斂，故收斂再用比較判別法，可知收斂.(3) 已知收斂，用比較判別法可知收斂。例2 正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，問是否收斂？并說明理由。解 又單調(diào)減少，存在，如果，根據(jù)萊布尼茲判別法可知收斂，與假設(shè)

29、矛盾，這樣，由等比級數(shù)收斂和比較判別法可知收斂。例3 設(shè).(1) 求的值(2) 證明：對任意正常數(shù)，收斂。證 (1) (2) ，收斂，由比較判別法可知收斂。注數(shù)學(xué)三的考生對上面例2，例3的要求不高，可以只作參考，它們都是數(shù)學(xué)一的歷年考題。§7.2 冪級數(shù)這部分的重點(diǎn)和難點(diǎn)是求冪級數(shù)的和函數(shù)，它的基本方法有三個。1. 將的公式，反過來作為冪級數(shù)求和公式例：求冪極數(shù)的和函數(shù)解： 原式 2.通過逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分的方法化為等比級數(shù)，求出和函數(shù)后再反回去。例1 例2 求的和函數(shù)解 令 可知則 于是 例1和例2是這方法最容易理解的原理，其它比較復(fù)雜的例子可以類似地處理，這種方法是歷年考試中用得

30、最多的方法。例3 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)(1) (2) 解 (1) 可求出收斂半徑，故收斂域?yàn)?2) 可求出收斂半徑，故收斂域?yàn)槎?因此， 。例4 設(shè)滿足(n為正整數(shù))，且，求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)之和。解 解一組微分方程可得通解 由初始條件，得 故 從而 ，令 而在內(nèi)，故 于是 又 因此，在時，都有3. 列出冪級數(shù)和函數(shù)的微分方程從而解之例 設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為，求：(1)所滿足的一階微分方程；(2) 的表達(dá)式。解 (1) 得 因此，是初值問題的解。(2) 為一階線性非齊次方程，它的通解.由初始條件，求出，故于是 注事實(shí)上這個考題如果不是規(guī)定列微分方程的方法來求解，也可以把第一種方法中的例作適當(dāng)處理來求和函數(shù)

31、§7.3 函數(shù)展開成冪級數(shù)一、將展成的冪級數(shù)的方法1.套公式的方法， 其中 例 () () ， () ， (為實(shí)常數(shù))2.逐項(xiàng)求導(dǎo)的方法例：() ，() ，3.變量替換的方法例：() ，() ，4.逐項(xiàng)積分的方法例：() ，由此可得，() 由此可得5.其它方法例1() () ，例2將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和。解因?yàn)椋?。又，所以，因?yàn)榧墧?shù)收斂，函數(shù)在處連續(xù)，所以，。令，得，再由，得。二、將展成冪級數(shù)的方法例1將展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間（此題為2007年數(shù)學(xué)三的一個考題）解：因?yàn)橐?，所以收斂半徑?，故收斂區(qū)間為例2，因此，例3例4（數(shù)學(xué)三到此結(jié)束）§7.4傅

32、里葉級數(shù)（數(shù)學(xué)一）一、傅里葉系數(shù)和傅里葉級數(shù)的概念二、Dirichlet收斂定理（條件和結(jié)論）三、 把函數(shù)展成傅里葉級數(shù)第八章向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)學(xué)一）一、向量運(yùn)算的應(yīng)用主要是兩個向量的數(shù)量積和向量積，以及三個向量的混合積在幾何上的應(yīng)用。例1、 點(diǎn)P到過A，B的直線之間的距離例2、 點(diǎn)P到A，B，C所在平面的距離因?yàn)樗拿骟wPABC的體積而又例3、 過點(diǎn)A,B與過點(diǎn)C,D的異面直線之間的距離因?yàn)槎⑵矫媸ㄍㄟ^一條直線的所有平面）例1求通過和直線的平面方程解：通過的所有平面的方程為所代入，得，即取方程得故所求方程為例2 求過直線且切于球面 的平面。解過所給直線除平面外的其它所有平面方程為即

33、（）球面與平面相切，因此球心到平面距離應(yīng)等于半徑于是得代入（）得兩個所求的平面。三、求空間曲線繞z軸一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程第一步：從上面聯(lián)立方程解出第二步：旋轉(zhuǎn)曲面方程為線 軸一周或繞 軸一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程類似地處理。四、空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影1.曲線C的方程曲線C在 平面上的投影先從曲線C的方程中消去得到 ，它表示曲線C為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程，那么就是C在平面上投影曲線方程曲線C在平面上投影或在平面上投影類似地處理。2.曲線C的方程則曲線C在平面上的投影曲線方程為曲線C在 平面上的投影曲線方程為曲線C在 平面上的投影為第九章三重積分、曲線積分、曲面積分（數(shù)學(xué)一）§9.1

34、三重積分三重積分的重點(diǎn)是通過物理應(yīng)用形式來進(jìn)行三重積分的計算，另外，通過高斯定理把曲面積分化為三重積分來計算。例設(shè)有一半徑為R的球體， 是球表面上的一個定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到的距離成正比（比例系數(shù)），求球體重心的位置。解一設(shè)球面方程為，為，球體的重心坐標(biāo)為，由對稱性可知由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性，則有 于是因此，重心坐標(biāo)為解二設(shè)球面坐標(biāo)，重心坐標(biāo)由對稱性可知于是，重心坐標(biāo)§9.2曲線積分一、用參數(shù)公式直接計算例1計算曲線積分，其中L是曲線，從z軸正向往負(fù)向看L的方向是順時針方向。解:曲線L是圓柱面和平面的交線，是一個橢圓周，它的參數(shù)方程（不是惟一的選法）最簡單可取根據(jù)題意規(guī)定L的定向，則從變到0，于是二、用格林公式等性質(zhì)來計算曲線積分例1求，其中為正的常數(shù)，L為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧。解一：用格林公式，但L不是封閉曲線，故補(bǔ)上一段 ，它為從 沿 到 的有向直線。這樣 構(gòu)成封閉曲線，為逆時針方向于是 ，令 ，根據(jù)格林公式這里D為由L和圍成的上半圓區(qū)域。另外，