高等數(shù)學多元函數(shù)微分學

1、60曲面及其方程常用二次曲面的方程及其圖形1、球面設是球心，R是半徑，是球面上任一點，則，即2、橢球面3、旋轉(zhuǎn)曲面設L是x0z平面上一條曲線，L繞z旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面：得例1、 稱為旋轉(zhuǎn)拋物面 旋轉(zhuǎn)雙曲面：，(單)4、橢圓拋物面 5、單葉雙曲面 6、雙葉雙曲面 7、二次錐面 圓錐面 1 / 148、柱面 拋物柱面 橢圓柱面 圓柱面 60空間曲線及曲線在三個坐標面上投影方程（以后講）一般式曲線 在三坐標面上投影方程在x0y面上投影曲線方程：在 中消去z，再與z=0聯(lián)立。多元函數(shù)微分學10二元函數(shù)及其極限與連續(xù)1、，定義域為平面上某一個平面域幾何上為空間一張曲面。2、二元函數(shù)極限P186例1、討

2、論函數(shù)極限是否存在。解：而 在(0,0)極限不存在. 3、連續(xù)P18720多元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分1、偏導數(shù)定義：處對x的偏導數(shù)，記作：即： 同理：存在，稱可導。例1、解：例2、P188，例5，6設 解：2、高階偏導數(shù) 連續(xù)，則3、全微分如 可微全微分可導連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)可微例3、設 則 例4、由方程 確定在點全微分30復合函數(shù)微分法定理：P194z = f (u . v) u = u ( x . y.) v = v ( x . y ) z = f ( u , v ) = F ( x . y ) , 例5、P195，例5.14設z = ( 1 + x2 + y2 )xy求解： 例5.15解，例7

3、、 ，其中可微，則 例8、,可微，則例9、設，求證 證：令則 例10、設，其中二階可導，具有二階連續(xù)偏導數(shù)。 求解： 例11、設，試將方程 變換成以 , 為自變量的方程，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)。解： 于是方程變?yōu)椋?0隱函數(shù)求導確定了 求(1)方程兩邊同時對求導，注意，可求得 方程兩邊同時對求導，注意，可求得(2)利用公式 (3)兩邊微分用(2)，(3)需具體方程給出，容易例12、設 由方程，求解法一、在方程兩邊對x求導，注意解法二、設解法三、在方程兩邊微分 即 例13、設 由方程確定，其中可微則例14、已知方程定義了，求解： （或方程兩邊對求導，注意）在方程兩邊對求導，在(1) 式兩邊對

4、x求導法二： 例15、習題7設，其中，都具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且，求解：在，兩邊對求導，設 例16、P200，例：5.2050一階偏導數(shù)在幾何上的應用1、 空間曲線的切線與法平面曲線L：（）（）曲線L在M0點處切線方程為：或例17、P204，例5.24，例5.25例5.25 法二在兩邊微分在點取切線方程例19、求曲線點處切線方程解：法一 代入得切線方程：2、空間曲面的切平面與法線曲面方程：則曲面在點處切平面方程：如曲面方程則切平面方程：法線方程：例20、曲面在（2，1，3）處的法線方程 例21、P203，例5.22例22、曲線 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點處的指向外側(cè)單位法向量是例23、證明：曲面的切平面與坐標軸所圍成的四面體體積為常數(shù)證：設切點為 曲面在M(x0，y0，z0)處切平面：即即四面體體積3、方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)：，可微 ,方向?qū)?shù)： 或：如則分析：設：則設：為函數(shù)在處梯度記為：gradu即P20ÃP20例5.26Ã例5.29例P220，習題19解： g