高中數(shù)學導數(shù)與積分題型大總結

1、導數(shù)的應用1函數(shù)的單調性(1)利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性注意：在某個區(qū)間內，f'(x)是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在R內是增函數(shù)，但x=0時f'(x)=0。也就是說，如果已知f(x)為增函數(shù)，解題時就必須寫f'(x)0。(2)求函數(shù)單調區(qū)間的步驟確定f(x)的定義域；求導數(shù)；由（或）解出相應的x的范圍當f'(x)0時，f(x)在相應區(qū)間上是增函數(shù)；當f'(x)0時，f(x)在相應區(qū)間上是減函數(shù)2函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極值的判定如果在兩側符號相同，則不是f(x)的極值點；極大值與極小值判斷3求函數(shù)極值的步驟確

2、定函數(shù)的定義域；求導數(shù)；在定義域內求出所有的駐點，即求方程及的所有實根；檢查在駐點左右的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值4函數(shù)的最值(1)如果f(x)在a,b上的最大值（或最小值）是在(a，b)內一點處取得的，顯然這個最大值（或最小值）同時是個極大值（或極小值），它是f(x)在(a，b)內所有的極大值（或極小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在a，b的端點a或b處取得，極值與最值是兩個不同的概念(2)求f(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟求f(x)在(a，b)內的極值；將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中

3、最大的一個是最大值，最小的一個是最小值7.   注意事項（1）函數(shù)圖像看增減，導數(shù)圖像看正負。（2）極大值不一定比極小值大。高階導數(shù)的求法：由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù).一般用來尋找解題方法。【例題解析】考點1 導數(shù)的概念【例1】 是的導函數(shù)，則的值是【例2】.設函數(shù),集合M=,P=,若MP,則實數(shù)a的取值范圍是 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)考點2 曲線的切線（1）關于曲線在某一點的切線求曲線y=f(x)在某一點P（x,y）的切線，即求出函數(shù)y=f(x)在P點的導數(shù)就是曲線在該點的切線的斜率.（2） 關于兩曲線的公切線 ：若一直線

4、同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.【例3】.已知函數(shù)在區(qū)間，內各有一個極值點（I）求的最大值；（II）當時，設函數(shù)在點處的切線為，若在點處穿過函數(shù)的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經(jīng)過點時，從的一側進入另一側），求函數(shù)的表達式解答過程：（I）因為函數(shù)在區(qū)間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根，設兩實根為（），則，且于是，且當，即，時等號成立故的最大值是16（II）解法一：由知在點處的切線的方程是，即，因為切線在點處過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，則不是的極值點而，且若，則和都是的極值點所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的

5、函數(shù)值異號，于是存在（）當時，當時，；或當時，當時，設，則當時，當時，；或當時，當時，由知是的一個極值點，則，所以，又由，得，故【例4.】若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A B C D【例5】過坐標原點且與x2+y2 -4x+2y+=0相切的直線的方程為 ( )A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x 【例6】已知兩拋物線, 取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.解答過程：函數(shù)的導數(shù)為，曲線在點P()處的切線方程為，即 曲線在點Q的切線方程是即若直線是過點P點和Q點的公切線，則式和式都是的方程，故得，消去得方

6、程， 若=，即時，解得，此時點P、Q重合.當時，和有且只有一條公切線，由式得公切線方程為 .考點3 導數(shù)的應用1. 求函數(shù)的解析式; 2. 求函數(shù)的值域; 3.解決單調性問題; 4.求函數(shù)的極值（最值）;5.構造函數(shù)證明不等式.典型例題【例7】.函數(shù)定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內圖象如圖，則函數(shù)在開區(qū)間內有極小值點（）A1個 B2個 C3個D 4個【例8】 設函數(shù)在及時取得極值（）求a、b的值；（）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍解答過程：（），因為函數(shù)在及取得極值，則有，即解得，（）由（）可知，當時，；當時，；當時，所以，當時，取得極大值，又，則當時，的最大值為因為對于任意的，有恒成立，所

7、以，解得或，因此的取值范圍為【例9】函數(shù)的值域是_.解答過程：由得，即函數(shù)的定義域為.，又，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，而，的值域是.【例10】已知函數(shù)，其中為參數(shù)，且（1）當，判斷函數(shù)是否有極值；（2）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；（3）若對（2）中所求的取值范圍內的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內都是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解答過程（）當時，則在內是增函數(shù)，故無極值.（），令，得.由（），只需分下面兩種情況討論. 當時，隨x的變化的符號及的變化情況如下表：x0+0-0+極大值極小值因此，函數(shù)在處取得極小值，且.要使，必有，可得.由于，故.當時，隨x的變化，的符號及的變化情況如下表：+0-0+

8、極大值極小值因此，函數(shù)處取得極小值，且若，則.矛盾.所以當時，的極小值不會大于零.綜上，要使函數(shù)在內的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為.（III）解：由（II）知，函數(shù)在區(qū)間與內都是增函數(shù)。由題設，函數(shù)內是增函數(shù)，則a須滿足不等式組 或 由（II），參數(shù)時時，.要使不等式關于參數(shù)恒成立，必有，即.綜上，解得或.所以的取值范圍是.【例11】設函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調區(qū)間.解答過程由已知得函數(shù)的定義域為，且（1）當時，函數(shù)在上單調遞減，（2）當時，由解得、隨的變化情況如下表0+極小值從上表可知：當時，函數(shù)在上單調遞減.當時，函數(shù)在上單調遞增.綜上所述：

9、當時，函數(shù)在上單調遞減.當時，函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)在上單調遞增.【例12】已知函數(shù)在點處取得極大值，其導函數(shù)的圖象經(jīng)過點，如圖所示.求：（）的值；（）的值.解答過程解法一：（）由圖像可知，在上，在上，在上,故在上遞增，在上遞減，因此在處取得極大值，所以（）由得解得解法二：（）同解法一（）設又所以由即得所以【例13】設是函數(shù)的一個極值點.（）求與的關系式（用表示），并求的單調區(qū)間；（）設，.若存在使得成立，求的取值范圍.解答過程（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，則 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x3

10、3a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是極值點，所以x+a+10，那么a4.當a<4時，x2>3x1，則在區(qū)間（，3）上，f (x)<0， f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間（3，a1）上，f (x)>0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（a1，）上，f (x)<0，f (x)為減函數(shù).當a>4時，x2<3x1，則在區(qū)間（，a1）上，f (x)<0， f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間（a1，3）上，f (x)>0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（3，）上，f (x)<0，f (x)為減函數(shù).（）由（）知，當a&g

11、t;0時，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調遞增，在區(qū)間（3，4）上單調遞減，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e3<0，f (4)（2a13）e1>0，f (3)a6，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在區(qū)間0，4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只須僅須（a2）（a6）<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范圍是（0，）.【例14】 已知函數(shù)，在處取得極大值，在處取得極小值，且（1）證明；（2）

12、若z=a+2b,求z的取值范圍。解答過程求函數(shù)的導數(shù)（）由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根所以當時，為增函數(shù)，由，得（）在題設下，等價于即化簡得此不等式組表示的區(qū)域為平面上三條直線：所圍成的的內部，其三個頂點分別為：ba2124O在這三點的值依次為所以的取值范圍為考點4 導數(shù)的實際應用【例15】.用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？解答過程設長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為.故長方體的體積為從而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.當0x1時，V

13、（x）0；當1x時，V（x）0，故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值。從而最大體積VV（x）9×12-6×13（m3），此時長方體的長為2 m，高為1.5 m.答：當長方體的長為2 m時，寬為1 m，高為1.5 m時，體積最大，最大體積為3 m3?！纠?6】統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米.（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 曲邊梯形

14、的面積與定積分例1（1）已知和式當n+時，無限趨近于一個常數(shù)A，則A可用定積分表示為（）AB C D（2）下列定積分為1是（）A B C D（3）求由圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇為積分變量，則積分區(qū)間為（）A0，B0，2 C1，2D0，1（4）由y=cosx及x軸圍成的介于0與2之間的平面圖形的面積，利用定積分應表達為 （5）計算= 。 例2利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分的值是正是負？（1）； （2）； （3）利用定積分的幾何意義，比較下列定積分的大小， ， 。 例3計算下列定積分：； ； 。例4 利用定積分表示圖中四個圖形的面積：xOay = x2 l (1)xO21y = x2 (

15、2)yyy=(x-1)2 -1Ox12(3)xabOl y = 1(4)yy 【練習】1下列定積分值為1的是（）AB。C。D。2=（）A0B。CD。3設連續(xù)函數(shù)f(x)0，則當ab時，定積分的符號（ ）A一定是正的B當0<a<b時為正，當a<b<0時為負C一定是負的D當0<a<b時為負，當a<b<0時為正4由直線，及軸所圍成平面圖形的面積為（）AB。CD。5和式當n+時，無限趨近于一個常數(shù)A，則A用定積分可表示為 。6曲線，所圍成的圖形的面積可用定積分表示為7計算曲邊三角形的面積的過程大致為：分割；以直代曲；作和；逼近。試用該方法計算由直線x=0

16、，x=1，y=0和曲線y=x2所圍成的曲邊三角形的面積。（下列公式可供使用：12+22+n2=）8求由曲線與所圍的圖形的面積.9計算，其中,10彈簧在拉伸過程中，力與伸長量成正比，即力F(x)=kx（k是正的常數(shù)，x是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長b所做的功曲邊梯形的面積與定積分 A組1若是上的連續(xù)偶函數(shù)，則 （）AB0CD2變速直線運動的物體的速度為v(t)，初始t=0時所在位置為，則當秒末它所在的位置為（）ABCD3由直線，及軸所圍成平面圖形的面積為（）ABCD4設且，給出下列結論：A0；B0；。其中所有正確的結論有 。5設函數(shù)f (x)的圖象與直線x =a, x =b及x軸所圍成圖形的面

17、積稱為函數(shù)f(x)在a，b上的面積。已知函數(shù)ysinnx在0，（nN*）上的面積為。ysin3x在0,上的面積為 ；ysin（3x）1在，上的面積為 。6求由曲線與所圍的圖形的面積。7試根據(jù)定積分的定義說明下列兩個事實：；。8物體按規(guī)律（m）作直線運動，設介質的阻力與速度成正比，且速度等于10（m/s）時阻力為2（N），求物體從x=0到x=2阻力所做的功的積分表達式 曲邊梯形的面積與定積分B組1如果1kg力能拉長彈簧1cm，為了將彈簧拉長6cm，則力所作的功為（）A0.18kg·mB0.26kg·mC0.12kg·mD0.28kg·m2已知ba，下列值：

18、，|的大小關系為（）A|B。|C= |=D= |3若與是上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線x=a, x=b所圍圖形的面積（）ABC，D4給出下列命題：若0，ba，則f(x)0；若f(x)0，ba，則0；若=0，ba，則f(x)=0；若f(x)=0，ba，則=0；若=0，ba，則f(x)=0。其中所有正確命題的序號為 。5給出下列定積分：，其中為負值的有 。6求由曲線所圍圖形的面積。7計算：。8試問下面的結論是否成立？若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是單調增函數(shù)，則。若成立，請證明之；若不成立，請說明理由?！镜湫屠}】例1（1）B（2）C3B。（4）或。（5）。提示：這是求單位圓落在第一象限內部分的面積。 例2（1）正 (2)正 (3)負。 。 例3 (1)； (2) ；(3)0 ；(4)0。 例4 (1) ； (2) ； (3) ；(4) 【課內練習】1C。2A。提示：被積函數(shù)為奇函數(shù)，且積分區(qū)間又關于原點對稱，利用定積分的幾何意義知，面積的代數(shù)