高考文科數(shù)學(xué)圓錐曲線專題復(fù)習(xí)

1、 高三文科數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)之圓錐曲線 知識(shí)歸納：名 稱橢圓雙曲線圖 象定 義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓即 當(dāng)22時(shí)，軌跡是橢圓， 當(dāng)22時(shí)，軌跡是一條線段 當(dāng)22時(shí)，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線即當(dāng)22時(shí)，軌跡是雙曲線當(dāng)22時(shí)，軌跡是兩條射線當(dāng)22時(shí)，軌跡不存在標(biāo)準(zhǔn)方 程焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 注：根據(jù)分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)：常數(shù)的關(guān) 系 ， 最大，最大，可以漸近線焦點(diǎn)在軸上時(shí)：焦點(diǎn)在軸上時(shí)：拋物線：圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線（一）橢圓 1. 橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程 （1）范圍：，

2、橢圓落在組成的矩形中。 （2）對(duì)稱性:圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。圖象關(guān)于x軸對(duì)稱。圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。原點(diǎn)叫橢圓的對(duì)稱中心，簡(jiǎn)稱中心。x軸、y軸叫橢圓的對(duì)稱軸。從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對(duì)稱的截距。 （3）頂點(diǎn)：橢圓和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn) 橢圓共有四個(gè)頂點(diǎn)：，。加兩焦點(diǎn)共有六個(gè)特殊點(diǎn)。叫橢圓的長(zhǎng)軸，叫橢圓的短軸。長(zhǎng)分別為。分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)。 （4）離心率：橢圓焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比。橢圓形狀與的關(guān)系：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在時(shí)的特例。橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時(shí)也可認(rèn)為是橢圓在時(shí)的特例。 2. 橢圓的第二定義

3、：一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)內(nèi)常數(shù)，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)就是離心率。橢圓的第二定義與第一定義是等價(jià)的，它是橢圓兩種不同的定義方式 3. 橢圓的準(zhǔn)線方程 對(duì)于，左準(zhǔn)線；右準(zhǔn)線對(duì)于，下準(zhǔn)線；上準(zhǔn)線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（焦參數(shù)）（二）雙曲線的幾何性質(zhì)： 1. （1）范圍、對(duì)稱性由標(biāo)準(zhǔn)方程，從橫的方向來(lái)看，直線xa,xa之間沒(méi)有圖象，從縱的方向來(lái)看，隨著x的增大，y的絕對(duì)值也無(wú)限增大，所以曲線在縱方向上可無(wú)限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線。雙曲線不封閉，但仍稱其對(duì)稱中心為雙曲線的中心。 （2）頂點(diǎn) 頂點(diǎn)：，特殊點(diǎn)： 實(shí)軸：長(zhǎng)為2a,a叫做實(shí)

4、半軸長(zhǎng)。虛軸：長(zhǎng)為2b，b叫做虛半軸長(zhǎng)。 雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異。 （3）漸近線 過(guò)雙曲線的漸近線（） （4）離心率 雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，叫做雙曲線的離心率 范圍：e>1 雙曲線形狀與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值就越大，這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開(kāi)闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越闊。 2. 等軸雙曲線 定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。 等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率。 3. 共漸近線的雙曲線系 如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗?/p>

5、。 4. 共軛雙曲線 以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區(qū)別：三量a,b,c中a,b不同（互換）c相同。共用一對(duì)漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?。 5. 雙曲線的第二定義：到定點(diǎn)F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。其中，定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線。常數(shù)e是雙曲線的離心率。 6. 雙曲線的準(zhǔn)線方程： 對(duì)于來(lái)說(shuō)，相對(duì)于左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著左準(zhǔn)線，相對(duì)于右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著右準(zhǔn)線； 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（也叫焦參數(shù)）。 對(duì)于來(lái)說(shuō)，相對(duì)于下焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著下準(zhǔn)線；相對(duì)于上焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著上準(zhǔn)線。（

6、三）拋物線的幾何性質(zhì) （1）范圍 因?yàn)閜0，由方程可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）滿足不等式x0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。 （2）對(duì)稱性 以y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸。 （3）頂點(diǎn) 拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)在方程中，當(dāng)y0時(shí)，x0，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)。 （4）離心率 拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示。由拋物線的定義可知，e1?！镜湫屠}】 例1. 根據(jù)下列條件，寫(xiě)出橢圓方程 （1）中心在原點(diǎn)、以對(duì)

7、稱軸為坐標(biāo)軸、離心率為1/2、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8； （2）和橢圓9x24y236有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）； （3）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，從一個(gè)焦點(diǎn)看短軸兩端的視角為直角，焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸上較近頂點(diǎn)的距離是。 分析：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要根據(jù)焦點(diǎn)位置確定方程形式，其次是根據(jù)a2b2c2及已知條件確定a2、b2的值進(jìn)而寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程。 解：（1）焦點(diǎn)位置可在x軸上，也可在y軸上 因此有兩解： （2）焦點(diǎn)位置確定，且為（0，），設(shè)原方程為,（a>b>0），由已知條件有，故方程為。 （3）設(shè)橢圓方程為,（a>b>0） 由題設(shè)條件有及a2b2c2，解得b 故所求橢圓的方程是。 例2

8、. 直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，A、B在雙曲線的同一支上？當(dāng)為何值時(shí)，A、B分別在雙曲線的兩支上？ 解：把代入 整理得：（1） 當(dāng)時(shí)， 由>0得且時(shí)，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)若A、B在雙曲線的同一支，須>0，所以或。 故當(dāng)或時(shí)，A、B兩點(diǎn)在同一支上；當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上。 例3. 已知拋物線方程為（p>0），直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長(zhǎng)為3，求p的值。 解：設(shè)與拋物線交于 由距離公式|AB| 則有 由 從而 即 由于p>0，解得 例4. 過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，

9、直線y=x過(guò)線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程.解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設(shè)AB中點(diǎn)為(x0,y0),則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設(shè)l的方程為y=x+1.右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x,y),由點(diǎn)(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2=.所求橢圓C的方程為 =1,l的方

10、程為y=x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直線l：y=x過(guò)AB的中點(diǎn)(),則,解得k=0，或k=1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一.解法3：設(shè)橢圓方程為直線不平行于y軸，否則AB中點(diǎn)在x軸上與直線中點(diǎn)矛盾。故可設(shè)直線，則，

11、 所以所求的橢圓方程為： 例5. 如圖，已知P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線OP1、OP2為漸近線且過(guò)點(diǎn)P的離心率為的雙曲線方程.解：以O(shè)為原點(diǎn)，P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)雙曲線方程為=1(a0,b0)由e2=，得.兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=x設(shè)點(diǎn)P1(x1, x1),P2(x2,x2)(x10,x20),則由點(diǎn)P分所成的比=2,得P點(diǎn)坐標(biāo)為(),又點(diǎn)P在雙曲線=1上，所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1.例6. 已知點(diǎn)

12、B（1，0），C（1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足（1）求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；（2）已知點(diǎn)A（m,2）在曲線C上，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE，且ADAE，判斷：直線DE是否過(guò)定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.（3）已知點(diǎn)A（m,2）在曲線C上，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2滿足k1·k2=2.求證：直線DE過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn).解：（1）設(shè)【模擬試題】（答題時(shí)間：50分鐘）1、 選擇題 1. 是任意實(shí)數(shù)，則方程所表示的曲線不可能是（ ） A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 拋物線 D. 圓 2. 已知橢的一條準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù)的值是（ ） A. 7或7B

13、. 4或12C. 1或15D. 0 3. 雙曲線的離心率，則的取值范圍為（ ） A. B. （12，0） C. （3，0） D. （60，12） 4. 以的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為（） A. B. C. D. 5. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A. B. C. D. 6. 已知點(diǎn)A（2，1），的焦點(diǎn)為F，P是的點(diǎn)，為使取得最小值，點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. 7. 已知雙曲線的漸近線方程為，一條準(zhǔn)線方程為，則雙曲線方程為（ ） A. B. C. D. 8. 拋物線到直線距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A. B. C. D. 9. 動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且動(dòng)圓與直線相切，則動(dòng)圓必

14、過(guò)定點(diǎn)（ ） A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，2） 10中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0，±5)的橢圓被直線3xy2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為( ) 二、填空題 11. 到定點(diǎn)（2，0）的距離與到定直線的距離之比為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)。 12.雙曲線的一條準(zhǔn)線是，則_。 13. 已知點(diǎn)（2，3）與拋物線的焦點(diǎn)距離是5，_。 14直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點(diǎn)P，若過(guò)點(diǎn)P且以雙曲線12x24y2=3的焦點(diǎn)作橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長(zhǎng)軸的橢圓方程為_(kāi)。 三、解答題 15. 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F（2，0）作斜率為的直線，

15、交雙曲線于M、N 兩點(diǎn)，且4，求雙曲線方程。 16. 過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于、，為右焦點(diǎn)。求：的最值 17. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，且離心率滿足， 成等比數(shù)列。（1）求橢圓的方程。（2）試問(wèn)是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線平分？若存在，求出的傾角的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 18. 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求AMN的最大面積.【試題答案】 1. C2. C3. B4. A5. B 6. A7

16、. A8. B9. B 10.C 11. 12. 13. 4 14. =115. 解：設(shè)所求雙曲線方程為（a>0，b>0），由右焦點(diǎn)為（2，0）。知c2，b24a2則雙曲線方程為，設(shè)直線MN的方程為：，代入雙曲線方程整理得：（208a2）x212a2x5a432a20 設(shè)M（x1,y1）,N（x2,y2）,則 解得：，故所求雙曲線方程為：16. 解：直線：為參數(shù)、為與橢圓的交點(diǎn) 時(shí)時(shí) 17. 解：（1）依題意，成等比數(shù)列， 可得 設(shè)P（）是橢圓上任一點(diǎn) 依橢圓的定義得 化簡(jiǎn)得 即為所求的橢圓方程 （2）假設(shè)存在 因與直線相交，不可能垂直軸 所以設(shè)的方程為： 由 消去得， 有兩個(gè)不等實(shí)根 設(shè)兩交點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為 線段MN恰被直線平分 即 代入得 直線傾角的范圍為解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,5m0