相似三角形壓軸題含答案

1、1、(2011 學(xué)年度九年級第二學(xué)期普陀區(qū)期終調(diào)研)如圖，四邊形ABCD中，BCAD/，點(diǎn)E在CB的延長線上，聯(lián)結(jié)DE，交AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié) DB ，AFDDBE，且2DEBE CE. (1) 求證：DBECDE ； （2）當(dāng)BD平分ABC 時(shí)，求證：四邊形ABCD是菱形.來*源 :中 %教網(wǎng) & 答案： （1）證明：CEBEDE2， www.zz&ste %p. #com DEBECEDE （2 分）來源 #: %中 國 教&育出 版網(wǎng) EE， （1 分） DBECDE （1 分） CDEDBE （1 分） www#.zz *ste&p.c om （2） CDE

2、DBE， 又AFDDBE， CDEAFD（1 分） DCAB/ （1 分） 又BCAD/， 四邊形ABCD是平行四邊形 （1 分） BCAD/， 1ADB （1 分）來源 #:中 教網(wǎng)& %中 國教&育 出 %版 *網(wǎng) DB平分ABC， 21 （1 分）www.zzst #%e p.c& om 2ADB ADAB （1 分） 四邊形ABCD是菱形 （1 分） 2、 （2010山東省泰安市）如圖，在ABC 中，D 是 BC 邊上一點(diǎn)，E 是 AC 邊上一點(diǎn)，且滿足 AD=AB，ADE=C （1）求證：AED=ADC，DEC=B； （2）求證：AB2=AE AC 2 （本小

3、題滿分 8 分） 證明： （1）在ADE 和ACD 中 ADE=C，DAE=DAE AED=180 DAEADE ADC=180 ADEC AED=ADC （2 分） AED+DEC=180 ADB+ADC=180 DEC=ADB 又AB=AD ADB=B DEC=B （4 分） （2）在ADE 和ACD 中 由（1）知ADE=C，DAE=DAE ADEACD （5 分） ADACAEAD 即 AD2=AE AC （7 分） 又 AB=AD AB2=AE AC （8 分） 3. （2009 泰安）如圖，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 的中點(diǎn)，ED 的延長線與

4、 CB 的延長線交于點(diǎn) F。 （1） 求證：FD2=FB FC。 （2） 若 G 是 BC 的中點(diǎn)，連接 GD，GD 與 EF 垂直嗎？并說明理由。 【答案】證明： （1）E 是 RtACD 斜邊中點(diǎn) DE=EA A=2 1=2 1=A FDC=CDB+1=90+1，F(xiàn)BD=ACB+A=90+A FDC=FBD F 是公共角 FBDFDC FCFDFDFB FCFBFD2 （2）GDEF 理由如下： DG 是 RtCDB 斜邊上的中線， DG=GC 3=4 由（1）得4=1 3=1 3+5=90 5+1=90 DGEF 4、 （2010 廣東珠海）如圖，在平行四邊形 ABCD 中，過點(diǎn) A 作

5、 AEBC，垂足為 E， 連接 DE，F(xiàn) 為線段 DE 上一點(diǎn)，且AFEB. (1) 求證：ADFDEC (2) 若 AB4,AD33,AE3,求 AF 的長. 【答案】 （1）證明：四邊形 ABCD 是平行四邊形 ADBC ABCD ADF=CED B+C=180 AFE+AFD=180 AFE=B AFD=C ADFDEC (2)解：四邊形 ABCD 是平行四邊形 ADBC CD=AB=4 又AEBC AEAD 在 RtADE 中，DE=63)33(2222 AEAD ADFDEC CDAFDEAD 4633AF AF=32 5、 （2010 廣東肇慶）如圖 5，ACB=90 ， AC=B

6、C，BECE 于 E，ADCE 于 D，CE 與 AB交于 F. （1） 求證：CEBADC; （2） 若 AD=9cm，DE6cm，求 BE 和 EF 的長. 【答案】解： （1）因?yàn)锳CB=90 ，所以BCE+ECA=90 . 因?yàn)?ADCE 于 D，所以CAD+ECA=90 . 所以BCE=CAD. 因?yàn)?BECE 于 E，所以BEC=CDA=90 . 又因?yàn)?AC=BC，所以CEBADC（AAS）. （3） 因?yàn)镃EBADC， 所以 CE=AD=9cm， CD=BE.因?yàn)?DE6cm， 所以 CD=CE-DE=3cm.所以 BE=3cm.因?yàn)锽EF=ADF=90 ，EFB=DFA,所以

7、EFBDFA.所以BEEF=ADFD.設(shè) EF=xcm，所以 DF=(6-x)cm,所以3=96-xx,所以 x=32cm. 6、.(2009 年濰坊)已知ABC，延長 BC 到 D，使CDBC取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)FD交AC于點(diǎn)E （1）求AEAC的值； （2）若ABaFBEC，求AC的長 解： （1） 過點(diǎn) F 作FMAC，交BC于點(diǎn)M F為AB的中點(diǎn) M為BC的中點(diǎn)，12FMAC 由FMAC，得CEDMFD， （2）1122ABaFBABa， 又12FBECECa， 13332ECACACECa， 7、 （2011東莞市）21如圖（1） ，ABC 與EFD 為等腰直角三角形，AC 與 DE

8、 重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90 ，固定ABC，將DEF 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) DF 邊與 AB 邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè) DE，DF(或它們的延長線)分別交 BC(或它的延長線) 于 G，H 點(diǎn)，如圖(2) （1）問：始終與AGC 相似的三角形有 及 ； （2）設(shè) CG=x，BH=y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)圖(2)的情形說明理由） （3）問：當(dāng) x 為何值時(shí)，AGH 是等腰三角形. 【答案】【答案】解： （1）HAB ，HGA。 （2）AGCHAB，ACGCHBAB，即9=9xy。 81=yx。 又BC=22999 2

9、09 2x ，。 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為81=09 2y xx。 （3） 當(dāng)GAH= 45是等腰三角形.的底角時(shí)， 如圖 1， 可知9222BCxCG。 當(dāng)GAH= 45是等腰三角形.的頂角時(shí), 如圖 2， 題 21 圖(1) B H F A （D） G C E C （E） B F A （D） 題 21 圖(2) 在HGA 和AGC 中 AGH=CGA，GAH=C=450， HGAAGC。 AG=AH，9xCGAC 當(dāng)922x 或9x 時(shí)，AGH 是等腰三角形。 8、(2009 武漢)如圖 1，在RtABC中，90BAC，ADBC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，連接BO交AD于F，OEOB交

10、BC邊于點(diǎn)E （1）求證：ABFCOE； （2）當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，2ACAB時(shí)，如圖 2，求OFOE的值； （3）當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，ACnAB時(shí)，請直接寫出OFOE的值 【關(guān)鍵詞】相似三角形的判定和性質(zhì) 【答案】解： （1）ADBC，90DACC 90BACBAFC ， 90OEOBBOACOE， 90BOAABF，ABFCOE ABFCOE； （2）解法一：作OGAC，交AD的延長線于G 2ACAB，O是AC邊的中點(diǎn)，ABOCOA 由（1）有ABFCOE，ABFCOE， BFOE 90BADDAC，90DABABDDACABD ， 又90BACAOG，ABOA ABCOAG，2OGACAB

11、OGOA，ABOG，ABFGOF， B A D E C O F G B B A A C O E D D E C O F 圖 1 圖 2 F OFOGBFAB，2OFOFOGOEBFAB 解法二：902BACACABADBC ，于D， RtRtBADBCA2ADACBDAB 設(shè)1AB ，則252ACBCBO， 21155525ADBDAD， 90BDFBOEBDFBOE ， BDBODFOE 由（1）知BFOE，設(shè)OEBFx，1525DFx，10 xDF 在DFB中2211510 xx，23x 2422233OFOBBF4232223OFOE （3）OFnOE 9、 (2010濟(jì)寧市)數(shù)學(xué)課上，

12、 李老師出示了這樣一道題目： 如圖1，正方形ABCD的邊長為12，P為邊BC延長線上的一點(diǎn)，E為DP的中點(diǎn)，DP的垂直平分線交邊DC于M，交邊AB的延長線于N.當(dāng)6CP 時(shí)，EM與EN的比值是多少？ 經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過E作直線平行于BC交DC，AB分別于F，G， 如圖2， 則可得：DFDEFCEP，因?yàn)镈EEP，所以DFFC.可求出EF和EG的值，進(jìn)而可求得EM與EN的比值. (1) 請按照小明的思路寫出求解過程. (2) 小東又對此題作了進(jìn)一步探究， 得出了DPMN的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，請給予證明；如果不B A D E C O F (第 22

13、題) 正確，請說明理由. 22 （1）解：過E作直線平行于BC交DC，AB分別于點(diǎn)F，G， 則DFDEFCEP，EMEFENEG，12GFBC. DEEP，DFFC. 2 分 116322EFCP，123 15EGGFEF . 31155EMEFENEG. 4 分 （2）證明：作MHBC交AB于點(diǎn)H， 5 分 則MHCBCD，90MHN. 1809090DCP， DCPMHN. 90MNHCMNDMECDP，90DPCCDP， DPCMNH.DPCMNH . 7 分 DPMN. 8 分 10、 （2010湖北省咸寧）24 （本題滿分 12 分） 如圖，直角梯形 ABCD 中，ABDC，90DA

14、B，24ADDC，6AB 動(dòng)點(diǎn)M 以每秒 1 個(gè)單位長的速度，從點(diǎn) A 沿線段 AB 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn) P 以相同的速度，從點(diǎn) C 沿折線 C-D-A 向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn) M 到達(dá)點(diǎn) B 時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)過點(diǎn) M 作直線 lAD，與線段 CD 的交點(diǎn)為 E，與折線 A-C-B 的交點(diǎn)為 Q點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t（秒） （1）當(dāng)0.5t 時(shí)，求線段QM的長； （2）當(dāng) 0t2 時(shí)，如果以 C、P、Q 為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求 t 的值； （3）當(dāng) t2 時(shí)，連接 PQ 交線段 AC 于點(diǎn) R請?zhí)骄緾QRQ是否為定值，若是，試求這個(gè)定值；若不是，請說明理由 24解： （1）過點(diǎn)

15、C 作CFAB于 F，則四邊形 AFCD 為矩形 4CF ，2AF 此時(shí)，RtAQMRtACF2 分 QMCFAMAF 即40.52QM，1QM 3 分 （2）DCA為銳角，故有兩種情況： 當(dāng)90CPQ時(shí)，點(diǎn) P 與點(diǎn) E 重合 此時(shí)DECPCD，即2tt ，1t 5 分 當(dāng)90PQC時(shí)，如備用圖 1， A B C D （備用圖 1） A B C D （備用圖 2） Q A B C D l M P （第 24 題） E A B C D （備用圖 1） Q P E l M Q A B C D l M P （第 24 題） E F H B C D E M N A P 此時(shí) RtPEQRtQMA，E

16、QMAPEQM 由（1）知，42EQEMQMt， 而()(2)22PEPCCEPCDCDEttt ， 421222tt 53t 綜上所述，1t 或538 分（說明：未綜述，不扣分） （3）CQRQ為定值9 分 當(dāng)t2 時(shí)，如備用圖 2， 4(2)6PADADPtt 由（1）得，4BFABAF CFBF 45CBF 6QMMBt QMPA 四邊形 AMQP 為矩形 PQAB11 分 CRQCAB 224 22 263CQBCCFBFRQABAB12 分 11、五、石景山五、石景山 24 題：題： 在ABC中，ACAB ,D是底邊BC上一點(diǎn)，E是線段AD上一點(diǎn),且 BACCEDBED 2 (1)

17、如圖 1,若 90BAC,猜想DB與DC的數(shù)量關(guān)系為 ； (2) 如圖 2,若 60BAC，猜想DB與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （3）若BAC，請直接寫出DB與DC的數(shù)量關(guān)系. 【參考答案】24.解： （1）DCDB2 (2) DCDB2 證明：過點(diǎn)C作CFBE交AD的延長線于點(diǎn)F, 在 AD上取點(diǎn)G使得CFCG 76F 602BACCEDBED 606F,30CED 41205 6021713 23 ACAB ABECAG AGBEAECG, 306CEDGCE EGCG BEAGCGCF2121 A B C D （備用圖 2） M Q R F P ABCDEAEBCD圖 1 圖 2

18、 7654321AEBCGFD圖(1) 87654321EDCBAGF圖(2) A O D C M B y x 由DBEDCF得2FCBEDCBD DCDB2 (3) 結(jié)論：DCDB2. 25 （11漳州） （滿分 13 分）如圖，直線 y2x2 與 x 軸、y 軸分別交于 A、B 兩點(diǎn)，將OAB 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90 后得到OCD （1）填空：點(diǎn) C 的坐標(biāo)是(_ ，_ )， 點(diǎn) D 的坐標(biāo)是(_ ，_ )； （2）設(shè)直線 CD 與 AB 交于點(diǎn) M，求線段 BM 的長； （3）在 y 軸上是否存在點(diǎn) P，使得BMP 是等腰三角形？若存在， 請求出所有滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不

19、存在，請說明理由 【答案】 解： （1） 點(diǎn) C 的坐標(biāo)是(0， 1)， 點(diǎn) D 的坐標(biāo)是(2， 0) 4 分 （2）方法一：由（1）可知 CDOC2OD2 5，BC1 又15，43 BMCDOC 6 分 BMDOBCDC 即BM215 BM255 8 分 方法二：設(shè)直線 CD 的解析式為 ykxb 由（1）得 b12kb0 解得 b1k12 直線 CD 的解析式為 y12 x1 又15，BCMDCO BMCDOC 6 分 BMDOBCDC 即BM215 BM25A O D C M B y x P1 P2 1 5 A O D C M B y x P3 E 5 8 分 y2x2y12x1 x25

20、y65 M的坐標(biāo)為(25，65) 6 分 過點(diǎn) M 作 MEy 軸于點(diǎn) E，則 ME25，BE45 BMME2BE2 255 8 分 （3）存在 9 分 分兩種情況討論： 以 BM 為腰時(shí) BM255，又點(diǎn) P 在 y 軸上，且 BPBM 此時(shí)滿足條件的點(diǎn) P 有兩個(gè)， 它們是 P1 (0， 2255)、 P2 (0， 2255) 11 分 過點(diǎn) M 作 MEy 軸于點(diǎn) E，BMC90 ， 則BMEBCM BEBMBMBC BEBM2BC45 又BMBP PEBE45 BP85 OP28525 此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有一個(gè)，它是P3 (0，25) 12 分 以 BM 為底時(shí)，作 BM 的垂直平分線

21、，分別交 y 軸、BM 于點(diǎn) P、F， A O D C M B y x P4 F 由（2）得BMC90 ， PFCM F 是 BM 的中點(diǎn)， BP12BC12 OP32 此時(shí)滿足條件的點(diǎn) P 有一個(gè)，它是 P4 (0，32) 綜上所述，符合條件的點(diǎn) P 有四個(gè)，它們是：P1 (0，2255)、P2 (0，2255)、P3 (0，25)、P4 (0，32) 13分 13.(2010福建省莆田市)如圖 1，在 RtABC中，9068ACBACBC ，點(diǎn) D在邊 AB 上運(yùn)動(dòng)，DE 平分CDB交邊 BC 于點(diǎn) E，CMBD垂足為MENCD，垂足為 N. （1）當(dāng) AD=CD 時(shí)，求證：DEAC； （

22、2）探究：AD 為何值時(shí)，BME與CNE相似？ （3）探究：AD 為何值時(shí)，四邊形 MEND 與BDE的面積相等？ 24 （本小題滿分 12 分） （1）證明：ADCDDACDCA 2BDCDAC 1 分 又DE 是BDC 的平分線 BDC=2BDE DAC=BDE 2 分 DEAC 3 分 （2）解： （）當(dāng)BMECNE時(shí)，得MBENCE BD=DC DE 平分BDC DEBC，BE=EC. 第 24 題 第 24 題 又ACB=90 DEAC. 4 分 BEBDBCAB即2211522BDABACBC AD=5 5 分 （）當(dāng)BMEENC時(shí)，得EBMCEN ENBD 又ENCD BDCD

23、即 CD 是ABC 斜邊上的高 6 分 由三角形面積公式得 ABCD=ACBC CD=245 22185ADACCD 7 分 綜上，當(dāng) AD=5 或185時(shí)，BME 與CNE 相似. （3）由角平分線性質(zhì)易得12MDEDENSSDM ME 12BD EMDM EM 即12DMBD 8 分 EM 是 BD 的垂直平分線. EDB=DBE EDB=CDE DBE=CDE 又DCE=BCD CDECBD 9 分 CDCEDEBCCDBD 10 分 即4BECDBM 45cos4554BMBCDBE 11 分 由式得2258CDCEBC 39112102105ADABBM 12 分 14、（2012

24、莆田市質(zhì)檢）24（本小題滿分 12 分） 如圖，在 RtABC 中，ACB=90, AC=8, BC=6，點(diǎn) D 是射線 CA 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與 A、C 重合）, DE直線 AB 于 E 點(diǎn)，F(xiàn) 是 BD 的中點(diǎn)，過點(diǎn) F 作 FH直線 AB 于點(diǎn) H，連接 EF，設(shè) ADx. (1)（3 分）若點(diǎn) D 在 AC 邊上，求 FH 的長（用含 x 的式子表示）; （4 分）若點(diǎn) D 在射線 CA 上，BEF 的面積為 S，求 s 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x 的取值范圍 (2) ( 5 分）若點(diǎn) D 在 AC 邊上，點(diǎn) P 是 AB 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DP 與 EF 相交于 O 點(diǎn)，當(dāng) DP

25、 + FP 的值最小時(shí)，猜想 DO 與 PO 之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 第 24 題 圖 2HFEDCBA圖 1HEFDCBA24.解：（1） 090ACB，8AC，6BC 10682222BCACAB1 1 分分 方法一： 53106sinABBCA 090AED xAADDE53sin2 2 分分 090DEB,F是BD的中點(diǎn) BFEF FHAB BHEH xDEFH103213 3 分分 方法二：090AEDACB ，AA ADEABC ABADBCDE 106xDE xDE53 2 2 分分 090DEB,F是BD的中點(diǎn) BFEF FHAB BHEH xDEFH103213 3 分分

26、 ADEABC ABADACAE xAE544 4 分分 有兩種情況：（）當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上時(shí)，如圖 1： xBE5410 xxFHBES103)5410(21215 5 分分 xxS232532 ， （80 x）6 6 分分 （）當(dāng)點(diǎn)D在CA延長線上時(shí)，如圖 2： 同理得：xDEFH10321， xBE5410 xxFHBES103)5410(2121 xxS232532 ， （0 x）7 7 分分 （2）猜想：PODO38 8 分分 證明：作點(diǎn)F關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F,連接FF則FFAB于H，連接DF交EF于O，交AB于P，此時(shí)FPDP的值最小時(shí).連接EF. 圖 3PFOHFEDCBA圖 4PF

27、OHFEDCBAPO圖 5FMHFEDCBADEFH21，HFFH DEFF 又FFDE 四邊形FDEF是平行四邊形9 9 分分 方法一：如圖 3，在DPE與PHF中 090HPFDEP DPEF PH DPEPHF 1010 分分 2HFDEPFDP 2PFDP 1111 分分 )(2PODOPODO 化簡得：PODO31212 分分 方法二：連接OH如圖 4： OEOF，HFFH OH,EF 且OH=21,EF1010 分分 OPHPEF 21,EFOHPFOP 1111 分分 3DOOFPO1212 分分 方法三：取PB的中點(diǎn)M，連接FM如圖 5： FHF H，12FHDE FFDE 又FFDE 四邊形FDEF是平行四邊形 OEOF 1010 分分 DFBF，PMBM FMDP，12OPFM，12FMDP111