立體幾何(最簡)

1、立體幾何一、知識提煉1. 四大公理和空間直線【雙基提煉】平面是幾何中最基本的概念之一 . 在數(shù)學中 , 對這一類概念一般不加以定義而只進行描述 .平面是無限的 . 因此 , “延展平面 ”與“延長直線 a ”的說法都是錯誤的 .我們通常把平面畫成平行四邊形或三角形 .四大公理公理 1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi) , 那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi) .公理 2:如果兩個平面有一個公共點 , 那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線 .公理 3:經(jīng)過不在同一直線上的三點 , 有且只有一個平面 .推論 1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點 , 有且只有一個平面 .推論 2:經(jīng)過兩條相交直線

2、 , 有且只有一個平面 .推論 3:經(jīng)過兩條平行直線 , 有且只有一個平面 .公理 4:平行于同一條直線的兩條直線平行 .四大公理 , 支撐著空間世界的骨架 .四大公理 , 立體幾何的邏輯基礎(chǔ)和推理依據(jù) .異面直線的定義 :不能同在一個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線 .那么 , 怎樣判定兩條直線是異面直線呢 ?方法一 :根據(jù)異面直線的定義 .方法二 :(異面直線的判定定理 過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線 , 和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線 . 方法三 :反證法 .反 證 法反證法是一種十分重要的證明方法 , 它在立體幾何的證明中有著廣泛的應用 , 熟練地運用反證法是學習 立體幾何的必備基礎(chǔ)之一

3、 .如何用反證法證題呢 ? 它的一般步驟為 :(1反設(shè) :即作出與命題結(jié)論相反的假設(shè) ;(2歸謬 :由所作的假設(shè)出發(fā) , 通過正確的推理 , 導出矛盾 ;(3判斷 :斷定產(chǎn)生矛盾的原因在于所作的假設(shè)是錯誤的 , 因此證得原來命題結(jié)論的正確性 .反證法不同于由因?qū)Ч木C合法和執(zhí)果索因的分析法 . 它是一種間接證法 , 由于它的主要特征是“導出 矛盾” , 因此又叫“歸謬法” .在進行反設(shè)時 , 要注意與原結(jié)論相反的方面是只有一種情形還是有若干種情形 . 如果只有一種情形 , 那么 只需就這種情形去導出矛盾 ; 如果有若干種情形 , 那么必須針對每一種情形分別去導出矛盾 , 后者又稱為“窮 舉歸謬

4、法” .怎樣才算歸結(jié)到謬誤 , 導出矛盾呢 ? 一般地說 , 從所作的假設(shè)出發(fā) , 導出的結(jié)果符合下列條件之一者就是 “歸謬” :(1與已知條件相矛盾 ;(2與已知公理 , 定理相矛盾 ;(3與所作的假設(shè)相矛盾 ;(4與已知定義相矛盾 ;(5導 出了兩個互相矛盾的結(jié)果 .在歸謬的過程中應當注意 :推理過程必須是完全正確的 . 因為錯誤的推理導出的矛盾并不能由此斷言假 設(shè)的不正確 . 另外 , 必須重視題設(shè)中已知條件的使用 , 沒有使用已知條件要導出矛盾的結(jié)果是不可能的 .平面圖形直觀圖的畫法原則 :橫時長 , 豎時半 , 畫 45角才好看 .2. 直線與平面平行的判定和性質(zhì)【雙基提煉】如果一條

5、直線和一個平面沒有公共點 , 則說這條直線和這個平面平行 . 一條直線和一個平面的位置關(guān)系有且只有以下三種 : (1直線在平面內(nèi) -有無數(shù)個公共點 ;(2直線和平面相交 -有且只有一個公共點 ; (3直線和平面平行 -沒有公共點 .把“直線和平面相交”或“直線和平面平行”的情況統(tǒng)稱為“直線在平面外” .直線與平面平行的判定定理 :如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行 , 那么這條直線和這個平 面平行 .判定定理表明 , 通過“線線平行證明線面平行” , 這是低維升向高維的理論依據(jù) .直線與平面平行的性質(zhì)定理 :如果一條直線和一個平面平行 , 經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交 , 那么

6、這 條直線和交線平行 .3. 直線與平面垂直的判定和性質(zhì)【雙基提煉】直線和平面垂直的定義 :如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直 , 就稱這條直線和這個平面垂直 . “任何一條直線”與“所有直線”是同意語 .直線和平面垂直的判定定理 :如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直 , 那么這條直線垂直于這個 平面 .直線和平面垂直的性質(zhì)定理 :如果兩條直線同垂直于一個平面 , 那么這兩條直線平行 . 推論 :如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面 , 那么另一條也垂直于這個平面 .4. 斜線、射影、角和距離【雙基提煉】斜線 :和平面 相交且不與 垂直的直線叫做平面 的斜線 . 斜線和

7、的交點叫做斜足 , 斜線上一點和斜足 之間的線段叫做這點到平面的斜線段 .射影 :過斜線 a 上的一點 A 向平面 引垂線 , 經(jīng)過垂足 1A 和斜足 B 的直線 B A 1叫做斜線 a 在平面 上的 射影 . 垂足 1A 和斜足 B 間的線段叫做這點 A 到平面 的斜線段 AB 在平面 上的射影 . 當直線平面 時 , 直線 a 在平面 內(nèi)的射影就是 a 和 的交點 B . 斜線上任意一點在平面上的射影一定在斜線的射影上 . 垂線段和斜線段長定理 :垂線段最短 ; 射影相等的兩條斜線段相等 , 射影較長的斜線段也較長 , 反之亦然 . 直線和平面所成的角 :一條直線和平面平行 , 或直線在平

8、面內(nèi) , 規(guī)定直線和平面成 0角 . 直線和平面所成角 的范圍是 :90, 0.斜線和平面所成的角 , (射影角最小 .5. 三垂線定理及其應用【雙基提煉】三垂線定理 :在平面內(nèi)的一條直線 , 如果和這個平面的一條斜線的射影垂直 , 則它 也和這條斜線垂直 .O P已知 :PO , PA 分別是平面 的垂線 , 斜線 , AO 是 PO 在平面 上 的射影 . AO a a , (如圖 . 求證 :PO a . 證 :PO a PAO PO PAO a a AO a PA a PA 平面 又 平面 又 .三垂線定理實質(zhì)上是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理 . 這兩條直線可以是相交

9、 直線 , 也可以是異面直線 .三垂線定理的逆定理 :在平面內(nèi)的一條直線 , 如果和這個平面的一條斜線垂直 , 那么它也和這條斜線的射影 垂直 .對于平面 內(nèi)的直線 a 來說 , 三條直線 PO , AO , PA 都是它的垂線 , 所以命名為三垂線定理 . 應用三垂線定理及其逆定理時 , 必須注意 - (1要掌握三垂線定理及其逆定理的證明方法 .三垂線定理及其逆定理是把線面垂直的判定定理和線面垂直的定義作為性質(zhì)定理聯(lián)合使用時 , 用定理 的形式固定下來 . 因此三垂線定理及其逆定理的證明途徑都是通過證明“線面垂直”而證得“線線垂直” , 即通過證明 PAO a 平面 而證得 a PO 或 a

10、 AO 的 .凡是能用三垂線定理及其逆定理證明的“線線垂直” , 必定可以通過證明“線面垂直”來證得 . 但是前 者往往更為簡捷 .(2要善于識別變式圖形中由三垂線定理及其逆定理所確定的直線和直線的垂直關(guān)系 .用這兩個定理來確定兩條直線和垂直關(guān)系時 , 首先要把其中一條直線看成是某一平面內(nèi)的直線 , 另一條 直線是這個平面的斜線 , 或是某一條斜線在平面內(nèi)的射影 ; 其次是確定斜線上某一點所引的這個平面的垂線 和垂足 ; 最后按定理的條件得出兩條直線的互相垂直 .6. 兩個平面平行的判定和性質(zhì)【雙基提煉】如果兩個平面沒有公共點 , 則說這兩個平面互相平行 .兩個平面的位置關(guān)系只有 :(1兩平面

11、平行 -沒有公共點 ;(2兩平面相交 -有一條公共直線 .兩平面平行的判定定理 :如一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面 , 那么這兩個平面平行 .兩個平面平行的性質(zhì)定理 :如果兩個平行平面同時和第三個平面相交 , 那么它們的交線平行 . 以下結(jié)論 , 可以 看作是兩個平面平行的性質(zhì)定理 , 在解題過程中可以直接引用 : 結(jié)論 1:垂直于同一條直線的兩個平面平行 .結(jié)論 2:兩個平面平行 , 其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面 .結(jié)論 3:一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面 , 它也垂直于另一個平面 . 結(jié)論 4:夾在兩個平行平面間的平行線段相等 .結(jié)論 5:經(jīng)過平面外一點有且只

12、有一個平面與已知平面平行 .7. 兩個平面垂直的判定和性質(zhì)【雙基提煉】兩平面互相垂直的定義 :兩個平面 相交 , 如果所成的 二面角是直二面角 , 就說這兩個平面互相垂直 . 兩個平面垂直的判定定理 :如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線 , 那么這兩個平面互相垂直 .兩個平面垂直的性質(zhì)定理 (一 :如果兩個平面垂直 , 那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個 平面 .兩個平面垂直的性質(zhì)定理 (二 :如果兩個平面互相垂直 , 那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線 , 在第一個平面內(nèi) .8. 二面角及其平面角 (理科 【雙基提煉】一個平面內(nèi)的一條直線 , 把這個平面分成兩部

13、分 , 其中的每一部分都叫做半平面 .從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角 . 這條直線叫做二面角的棱 . 這兩個半平面叫做 二面角的面 .以二面角的棱上任意一點為端點 , 在兩個平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線 , 這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角 .平面角是直角的二面角叫做直二面角 .有關(guān)二面角的問題 , 一般地 , 總要先找到并作出它的平面角 . 找二面角的平面角的常用方法有 :(一 定義法 由圖形的特殊條件 , 按定義直接作出 , 如由兩個 同底 , 等腰的三角形構(gòu)成的兩個平面的二面角 , 只需取底邊 的中點 , 如在空間四邊 ACBD 中 , , , DC DB AC

14、 AB =, 二面角 D BC A -的大小 , 如圖 . 只需取 BC 中點 E , 連結(jié) ED , AE , 則AED 便是二面角 D BC A -的平面角 .(二 垂線法 利用三垂線定理或三垂線定理的逆定理直接作平面角 . (三 垂面法 通過作二面角棱的垂面 , 此垂面與二面角的兩個面所交的兩條射線構(gòu)成的角就是這個二面角 的平面角 .(四 延伸法 若所求二面角的兩個面只有一個公共點是已知的 , 因此要把兩個面延伸而得到二面角的棱 , 然后 在求出它的平面角 .(五 射影法 若多邊形的面積為 S , 它在一個平面上的射影的面積為 0S , 則多邊形所在平面與這個平面所 成的二面角 , 滿足

15、 cos 0=S S . 利用這個公式求二面角的方法稱 “射影法” . 射影法對于解決棱不太明顯 的二面角問題有獨特的作用 .*9. 平面圖形的翻折和拼接【雙基提煉】將平面圖形按某種要求翻折成空間圖形時 , 原來平面圖形中的某些點 , 線位置關(guān)系將發(fā)生相應的變化 , 研究這種變化不但可以提高綜合運用知識的能力 , 而且有助于發(fā)展空間想象能力 .然而 , 在翻折以后 , 總有一些量沒有變化 , 而這些沒有發(fā)生變化的量 , 在解題過程中往往起著重要的作用 . 抓住了這變與不變 , 便是把握住了翻折問題的靈魂 . 解答有關(guān)翻折問題的思路是 :解答有關(guān)翻折問題的規(guī)律是 -1. 根據(jù)題設(shè)畫出明確的示意圖

16、 , 盡量地直觀和形象 ;2. 將翻折前后的兩圖對照 , 查一查哪些量變了 , 哪些量沒有變 ;3. 添加的輔助線常常是從某點向軸 (折痕 作垂線或從某點向另一平面作垂線 .二、經(jīng)典好題1. 直線與平面平行的判定和性質(zhì)翻折平面空間轉(zhuǎn)向平面DB A 1、 如圖所示 , 設(shè) S 是 ABC 確定的平面外一點 , a SC SB SA CA BC AB =, 又 G F E D , , , 分別 是 AB SC BC AC , , , 之中點 .(1求證 : SG 面 DEF ;(2求異面直線 AB 與 SC 的距離 .2、如圖 , 空間四邊形 ABCD 被一平面所截 , 截面 EFGH 為矩形 .

17、(1求證 : CD 面 EFGH ;(2求異面直線CD , AB 所成的角 .3、如圖所示 , ABCD 與 ABEF 均為正方形 , M 為對角線 AC 上的一點 , N 為對角線 FB 上的一點 , 且滿足FN AM =, 求證 : MN 面 CBE . 2. 直線與平面垂直的判定和性質(zhì)1、如圖 , S 為 ABC Rt 所在平面外一點 , =90ABC , 且 SC SB SA =.(1求證 :點 S 與斜邊 AC 中點D 的連線 SD 面 ABC ;(2若直角邊 BC BA =, 求證 :BD 面 SAC .HC A FDCA62、如圖所示 , 已知 PA 矩形 ABCD 所在的平面

18、, N , M 分別是 PC , AB 的中點 , =45PDA , 求 證 :(1CD MN ;(2MN 面 PCD .3、如圖 , 已知 ABCD 是矩形 , P 面 ABCD , PA 面 ABCD , 經(jīng)過 CD 的平面分別與 PB , PA 交于 F , E , 求證 :CDEF 是直角梯形 .4、在空間四邊形 ABCD 中 , N M H G F E DA CD BC AB , , , , , , =是 BD AC DA CD BC AB , , , , , 的中點 , 求證 :MN 平面 EFGH .5、如圖 , 已知 P 是 ABC 所在平面外一點 , 且滿足 , PB PA

19、=CB 面 M , PAB 是 PC 中點 , N 是 AB 上 的點 , NB AN 3=.(1求證 :AB MN ;(2當 =90APB , 4, 2=AB BC 時 , 求 MN 的長 .B DA F E BAAB C D EHN M G AC73. 斜線、射影、角和距離1、設(shè) S 為平面 ABC 外的點 , 若 SC , SB , SA 兩兩垂直 , =60, 45SBC SBA , M 為 AB 的中點 . 求(1BC 與平面 SAB 所成的角 ;(2SC 與平面 ABC 所成角的正弦值 .4. 三垂線定理及其應用1、如圖 , S 是 ABC 所在平面外一點 , SC , SB ,

20、SA 兩兩垂直 , H 是 ABC 的垂心 , 求證 :SH 面 ABC .5. 兩個平面垂直的判定和性質(zhì)1、 如圖 , 已知 PA 矩形 ABCD 所在的平面 , N , M 分別為 PC , AB 的中點 .(1求證 :AB MN ;(2若平面PDC 與平面 ABCD 成 45角 , 則 MND 平面 PDC . DBA A86. 綜合應用1、如圖所示 , 四棱錐 ABCD P -中 , PD 平面 ABCD , 底面 ABCD 為正方形 , E PD BC , 2=為 PC的中點 , CB CG 31=.(1求證 :BC PC ;(2求三棱錐 DEG C -的體積 ;(3AD 邊上是否存

21、在一點 M , 使 得 PA 平面 MEG ? 若存在 , 求 AM 的長 ; 否則 , 說明理由 .2、在四棱錐 ABCD P -中 , =PA CAD BAC ACD ABC , 60, 90平面 ABCD , E 為PD 的中點 , 且滿足 22=AB PA .(1求四棱錐 ABCD P -的體積 ;(2若 F 為 PC 的中點 , 求證 :PC 平面 AEF ;(3求證 :CE 平面 PAB .ACPDEA BDEP93、如圖 , 在四棱錐 ABCD P -中 , 底面 ABCD 為正方形 , 側(cè)棱 PD 底面 ABCD , E DC PD , 3, 4=是PC 的中點 .(1證明 :

22、PA 平面 BDE ;(2求 PAD 以 PA 為軸旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體的體積 .4、正方體 1111D C B A ABCD -中 , N M , 分別是 BC AB , 的中點 .(1求證 :平面 MN B 1平面 D D BB 11; (2在棱 1DD 上是否存在點 P , 使 1BD 平面 PMN ? 若有 , 確定點 P 的位置 ; 若沒有 , 說明理由 .BCDE PACD1A 11C 1105、 如圖 , 四棱錐 ABCD P -的底面是邊長為 1的正方形 , 側(cè)棱 PA 底面 ABCD , 且 E PA , 2=是側(cè)棱 PA 上的動點 .(1求四棱錐 ABCD P -的體積 ;(

23、2如果 E 點是 PA 的中點 , 求證 :PC 平面 BDE ;(3是否不論 點 E 在側(cè)棱 PA 的任何位置 , 都有 CE BD ? 證明你的結(jié)論 .6、已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示 , 其正視圖為矩形 , 側(cè)視圖為等腰直角三角形 , 俯視圖為直角梯 形 .(1若 M 為 CB 中點 , 證明 :MA 平面 1CNB ;(2求這個幾何體的體積 .A B DP B 1C 1C M 8 正視圖 4俯視圖側(cè)視圖7、如圖,在直三棱柱 ABC - A1 B1C1 中, AB = AC , D, E 分別為 BC , BB1 的中點,四邊形 B1 BCC 1 是正方 形.(1求證: A1 B

24、 平面 AC 1 D ;(2求證: CE 平面 AC 1 D . A1 C1 A C D B1 E B E 8、如圖,平行四邊形 ABCD 中, ÐDAB = 60°, AB = 2, AD = 4 ,將 DCBD 沿 BD 折起到 D EBD 的位置, 使平面 EBD 平面 ABD .(1求證: AB DE ;(2求三棱錐 E - ABD 的側(cè)面積. D C A 滿足 AB = BC = 9、如圖所示,是以正方形 ABCD 為底面的正四棱柱被一個平面所截得的幾何體,四邊形 EFGH 為截面,且 B 2 , AE = 1, BF = DH = 2, CG = 3 .(1試證明:截面四邊形 EFGH 是棱形;(2求