二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)材料與典型例題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題一、二次函數(shù)的概念和圖像1 、二次函數(shù)的概念一般地，如果y = ax2+bx+c(a,b,近常數(shù)，a#0),那么y叫做x的二次函數(shù)。y=ax2 +bx+c(a,b,c是常數(shù)，a =0)叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像b二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于x =-上-對(duì)稱的曲線，這條曲線叫 拋物線。2a拋物線的主要特征：有開(kāi)口方向；有對(duì)稱軸；有頂點(diǎn)。3、二次函數(shù)圖像的畫法-五點(diǎn)法：二、二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式有三種形式：(1) 一般式：y = ax2+bx + c(a,b,cM常數(shù)，a#0)(2)頂點(diǎn)式：y = a(xh)2 + k(a, h,k 是常數(shù)，

2、a*0)(3)當(dāng)拋物線y = ax2 +bx+c與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程ax2+bx + c = 02有頭根xi和x2存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式ax +bx + c = a(xx1)(xx2),二次函數(shù)y=ax2 +bx + c可轉(zhuǎn)化為 兩根式y(tǒng) = a(x-x1)(x-x2)。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表不。三、拋物線 y = ax2+bx + c中，a,b, c的作用(1) a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與 y = ax2中的a完全一樣.(2) b和a共同決定拋物線又稱軸的位置 .由于拋物線y = ax2+bx+ c的對(duì)稱軸是直線b. 一 bx=，故：b =0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸所在

3、直線；一 >0(即a、b同節(jié))時(shí)，2aab對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；b <0 (即a、b異號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在 y軸右側(cè).a(3) c的大小決定拋物線 y = ax2+bx+c與y軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)x=0時(shí)，y=c,，拋物線y =ax2+bx+c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0, c)： c = 0 ,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；c a 0 ,與y軸交于正半軸；c < 0 ,與y軸交于負(fù)半軸以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在 y軸右側(cè)，則 -<0.a四、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)1、二次函數(shù)的性質(zhì)y =ax2 +bx + c（a,b,c是常數(shù)，a = 0）a<0圖像性質(zhì)(1)拋物

4、線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；一一一 b(2)對(duì)稱軸是x=,頂點(diǎn)坐標(biāo)是2a/ b 4ac -b2 .(,);2a 4a(3)在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng) x<工時(shí)，y隨x2a b的增大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>2a時(shí)，y隨x的增大而增大，簡(jiǎn)記左減右增；b(4)拋物線有取低點(diǎn)，當(dāng) x=-時(shí)，2a,24ac -by有取小值，y最小值=4a(D拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸；b(2)對(duì)稱軸是x=,頂點(diǎn)坐標(biāo)是2a/ b4ac-b2、(,);2a 4a(3)在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng) x<- -b-時(shí)，y2a隨x的增大 b而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng) x>- b2a時(shí)，y隨x的增大而減小，

5、簡(jiǎn)記左增右減；b(4)拋物線有取局點(diǎn)，當(dāng) x=時(shí)，2a24ac-by有取大值，y最大值一4a五、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。因此一元二次方程中的 b = b2 -4ac ,在二次函數(shù)中表示圖像與 X軸是否有交點(diǎn)。當(dāng)A>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)A=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)4<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。補(bǔ)充： 函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減六、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)b gx =- 時(shí),2a4ac -b2y最值4ab 如果自變量的取值范圍是 x1 &

6、lt; x < x2,那么，首先要看 是否在自變量取值范圍 2ax WxWx?內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)b ,4ac-b2x=一 時(shí)，y最值=2a4a若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1 Ex Ex2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x = x2時(shí)，y最大=ax2 + bx2+c ,當(dāng)x = x1時(shí)，y最小=ax；+bxI+c；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x = x1時(shí)，y最大=ax12 + bx1 + c,當(dāng)x = x2時(shí)，y最小=ax2+bx2 +c。典型例題1.已知函數(shù)y = J'X 1) 1"、3),則使y=k成立的x值恰好有三個(gè)，

7、則k的值為()x -5 2 -1 x>3A. 0 B. 1C. 2D. 32 .如圖為拋物線 y =ax2+bx+c的圖像，A B、C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)， 且OAOG1, 則下列關(guān)系中正確的是()A. a+b=-1B. a b=1C . b<2aD .ac<0a3 . 一次函數(shù)y =ax+bx+c的圖象如圖所不，則反比例函數(shù)y= 與一次函數(shù)y = bx + cx在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是().5.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y = x2+2x+3繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180° ,所得拋物線的解析式是().A.y = -(x+1)2+2B.y=-(x-1)2+42

8、2C.y = -(x-1) +2D.y=-(x+1)+46 .已知二次函數(shù)y =ax2 +bx +c的圖像如圖，其對(duì)稱軸x = 1 ,給出下列結(jié)果.2b >4acabc >02a+b =0a+b+c a 0a b+c < 0 ,則正確的結(jié)論是（）7 .拋物線y =ax2+bx + c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo) x,縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:x-21012y04664從上表可知，下列說(shuō)法中正確的是 .（填寫序號(hào)）拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）；函數(shù)y = ax2 + bx + c的最大值為6；1 拋物線的對(duì)稱軸是 x=；在對(duì)稱軸左側(cè)， y隨x增大而增大.2 y8 .如圖，在平面直角坐標(biāo)

9、系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A的坐標(biāo)是（一2, 4）,過(guò)點(diǎn)A作AHy軸，垂足為B,連結(jié)OA（1）求AOAB勺面積；（2）若拋物線y =x2 2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.求c的值；將拋物線向下平移 m個(gè)單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在OAB勺內(nèi)部（不包括 O用的邊界），求m的取值范圍（直接寫出答案即可）.9 .已知二次函數(shù)y=4 x 2+ 3 x的圖像如圖.(1)求它的對(duì)稱軸與 x軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)將該拋物線沿它的對(duì)稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A R C三點(diǎn)，若/ ACR90。，求此時(shí)拋物線的解析式；(3)設(shè)(2)中平移后的拋物線的頂點(diǎn)為 M以AB為直徑，D為圓心作。D,試判斷

10、直 線CM與O D的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.精彩文檔10 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，AB在x軸上，AB= 10,以AB為直徑的。O'與y軸1正半軸交于點(diǎn) C,連接BC ACCDO O的切線，ADL CDT點(diǎn)D, tan / CAD=，拋物線2y=ax +bx + c過(guò) A, B, C三點(diǎn).(1)求證：/ CAD= / CAB(2)求拋物線的解析式；判定拋物線的頂點(diǎn) E是否在直線CD上，并說(shuō)明理由；(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn) P,使四邊形PBC屈直角梯形.若存在，直接寫出點(diǎn) P的 坐標(biāo)(不寫求解過(guò)程)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.11.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABC四直角

11、才!形，BC/ AD / BAB 90° , BC與y軸相交于點(diǎn) M且M是BC的中點(diǎn)，A B D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A (-1 , 0), B( -1 , 2), D( 3 , 0),連接DM并把線段 DMgDAT向平移到 ON若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)D M N.(1)求拋物線的解析式(2)拋物線上是否存在點(diǎn)P.使得PA= PC若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由。(3)設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 E.點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) Q 在什么位置時(shí)有 QE -QC最大？并求出最大值。12 .如圖，拋物線y= 1 x2+bx 2與x軸交于A B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A( 1, 0)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；判斷 ABC勺形狀，證明你的結(jié)論；點(diǎn)Mm 0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) cmdm勺值最小時(shí)，求 m勺值.13 .在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1,將n個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形并排組成矩形 OABC相鄰兩邊2O府口 OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設(shè)拋物線 y=ax+bx+c(