平面幾何與立體幾何中的相似比

1、平面幾何與立體幾何中的相似比高二何潔小組組長：何潔 組員：沈劍、金玉香、徐蔚藍(lán)指導(dǎo)老師：楊岳明1、課題的決定當(dāng)我們步入幾何學(xué)的殿堂，相似比一直是一種重要的解題方略，在高中階段，我們又學(xué)習(xí)了立體幾何。在學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)相似比的應(yīng)用在平面幾合和立體幾何中有一定的關(guān)系。于是，我們對此進(jìn)行了探討。2、小組的計劃由小組組成立以來，我們組的學(xué)員都非常的認(rèn)真，細(xì)致。決心創(chuàng)造一篇成功的研究論文。以下是我們的分工：1）何潔擔(dān)任打字工作2）沈劍擔(dān)任課題的編排工作3）金玉香擔(dān)任課題的尋找4）徐蔚藍(lán)擔(dān)任課題的解釋，提要。第一周：完成選擇課題。第二周：初步確定課題。第五周：編排。第七周：出稿。研究內(nèi)容：CBEDA例1、

2、如圖，已知：DE/BC, AD=15,AB=40,AC=28 求：AE分析：看到這一個題目,我們就想到了三角形中平行線成比例的問題. 此外我們還可以引申到相似三角形的相似比。解： DE/BC DB=AB AD,AB=40,AD=15，DB=25；又 CE=AC一AE，AC=28CE=28一CE，； AE=10.5。解題要點(diǎn)：解決這一類題目的要領(lǐng),最主要的還是掌握被平行線攔斷的關(guān)系,不要把不同的線段混雜。例2、如圖，已知DE/BC,AF是BC邊上的高,求證：SADE：SABC=AE2：AC2分析：解決這一類問題,我們首先會想到S=ah這個公式,運(yùn)用上題中的平行線關(guān)系,掌握線段的比例。FBCEHD

3、A證明：DE/BC AF是BC邊上的高,DE/BC，AH是DE邊上高 ADEABC 又=解題要點(diǎn)：證明三角形面積比等于邊長比的平方把握 ,再代入公式便易得結(jié)果。初識幾何學(xué)我們就學(xué)了平面幾何中的相似比如例1中的“線段成比例”和例2中的“面積成比例”等應(yīng)用，到了高中我們從平面跳到了空間，雖然變了很多，但萬變不離其中。例3、已知直線l/平面，點(diǎn)B, C, DÎl, 且 AÏ, 直線AB, AC, AD, 分別交平面于點(diǎn)E,F,G。若BD=a, AC=b, CF=c, 求：EG長分析：隨著我們對接受信息能力的不斷加強(qiáng),為此,我們已不再僅限于平面,在空間上解決問題也是一門技術(shù).。解：

4、直線l/平面，點(diǎn)B, C, DÎl, AÏlÌ平面ABCD。平面ABCD直線=直線EFG直線BCD/直線EFG, AEGABD() 當(dāng)平面在點(diǎn)A和直線l之間（如圖所示） B C D l即AC>CF時 E F G BD=a, AC=b, AF=b一c EG= AFGEACDB() 當(dāng)直線l在點(diǎn)A和平面之間（如圖）即AC<AF時EG= B C D lGEFA() 當(dāng)點(diǎn)A在直線l和平面之間（如圖）即CF>AF時=EG=解題要點(diǎn)：例3的解法運(yùn)用了分類討論,把圖形位置的不確定的問題化歸為確定的問題,粗看,似乎無法著手解答,為此,分成”a在點(diǎn)A和L之間”L在

5、點(diǎn)A和a之間”點(diǎn)A在L和a之間”三類,再逐類求解.并運(yùn)用上相似比的性質(zhì).問題既迎刃而解。例4、已知：棱錐P一ABCDE中，平面/平面AC, 且截得多邊形A1B1C1D1E1，PH平面AC，PH平面AC=H，PH平面a=H1，（如圖所示）求證： =分析：隨著我們對接受信息能力的不斷加強(qiáng),為此,我們已不再僅限于平面,在空間上解決問題也是一門技術(shù)證明：截面a/平面AC A1B1/AB， B1C1/BC， E1A1/EA A1B1C1=ABC，B1C1D1=BCD， E1A1B1=EABP1A1B1PAB P=E1C= AB=C截面A1B1C1D1E1F1底面ABCDEF BED=解題要點(diǎn)：相似比不僅

6、在平面幾何中能運(yùn)用自如,在空間上也能隨機(jī)應(yīng)變,那么在立體幾何分析中是否也能適用呢?那就讓我們來探討一下。例5、斜平行六面體ABCD一A1B1C1D1中E、F、G分別為相鄰三棱B1A1、B1B、B1C1、中點(diǎn)，求三棱錐B1一EFG和斜平行六面體的體積比。分析：本題要求三棱錐與六面體的體積比,而求體積比一般就運(yùn)用高的比,此題中高之比很容易求.再運(yùn)用體積公式,此題便迎刃而解。解：設(shè)F到上底面距離為h1，B到上底面距離為h2 A1 D1AFCDBABCD一A1B1C1D1是平行六面體，F(xiàn)是BB1中點(diǎn) E B1 G C1=VB1一EFG =SEGB1×h1VABCD一A1B1C1D1=SA1B

7、1C1D1×h2。解題要點(diǎn)：本題主要在于體積比與線段比。例6、如圖，在三棱臺ABC一A1B1C1中，A1A底面ABC，A1A=A1B=B1C1=a，B1BBC，且B1B與底面ABC成45°角，求此棱臺的體積。分析：提起體積比很容易會想到棱錐和棱臺,其中暗含著無窮奧秘.特別是棱臺中的內(nèi)容,特容易混濁。解：將三棱臺還原成三棱錐P一ABC過B1作B1DAB交AB于D，則B1D/A1ABD1平面ABC PB1BD = 45°是B1B與底面所成的角 C1PBA = 45° B1 A1PB1A1 = 45° C PA1 = A1B1 = B1C1=a又PB

8、1C1 = B1BC = 90° B D AA1B1B1C1VP一A1B1C1 =PA1 SA1B1C1=a××a×a=a3 VP一ABC = 8 ×VP一A1B1C1 = 8×a3 = a3V臺 = VP一ABC一VP一A1B1C1 = a3一a3 =a3解題要點(diǎn)：從例6中可以看出,棱臺中的定理與棱錐相仿,要學(xué)會棱臺必得從棱錐學(xué)起。從以上的例題中，我們不難發(fā)現(xiàn)“線段成比例”在立體幾何中，我們也能運(yùn)用自如。例4中所求的面積比是利用“面積比等于相似比的平方”把比較難解決的問題簡化了。在例5例6中，求體積、相似比無疑也是一個得力助手。參考

9、資料：高中數(shù)學(xué)能力訓(xùn)練與提高 上海教育出版社數(shù)學(xué)高中二年級第一學(xué)期 華東師大出版社中學(xué)數(shù)理化公式定理大全 廣西師范大學(xué)出版社 研究體會：經(jīng)歷了一個學(xué)期的討論，研究。我們的研究性課程已經(jīng)初步的完成。當(dāng)我們的研究成果已經(jīng)要完成的時，我們決定對于我們的研究成果進(jìn)行進(jìn)一步的小結(jié)。我們所選擇的是題目的是在平面幾何與立體幾何中的相似比的關(guān)系，在進(jìn)行研究論文的過程中，我們小組的同學(xué)都發(fā)揚(yáng)了不屈不撓的精神，尤其當(dāng)我們遇到問題時，更是體現(xiàn)了我們小組的同學(xué)團(tuán)結(jié)的精神。 何潔在分配任務(wù)的時候，同學(xué)們都表現(xiàn)出非常積極的樣子。所以，總體來說，我們小組的配合是非常成功的，各位同學(xué)都表現(xiàn)得非常良好。在數(shù)學(xué)解題方面中，運(yùn)用相

10、似比是非常重要得。不管在立體幾何或平面幾何中，相似比總是解題基礎(chǔ)。此外，作為數(shù)學(xué)的解題方法還有許多種，比如說建立數(shù)學(xué)模型運(yùn)用參量等，都是我們的解題重要思路。 沈劍經(jīng)過一學(xué)期的學(xué)習(xí)和研究，我們得到了很多，我們提起相似比很容易想起體積比，那么立體幾何中的棱錐和棱柱都可以用相似比解決?？偠灾@次數(shù)學(xué)研究型課程讓我收益非淺，它使我認(rèn)識數(shù)學(xué)也是一門高深的藝術(shù)，通過這次活動，使我們掌握了一些新的解題思路。 金玉香在這次研究探討中，我們不僅學(xué)到了更多的知識，而且也拓寬了我們的思路，首先，我們現(xiàn)分配了一下工作，我們先從最簡單開始，從初中的平面幾何拓展到了高中的立體幾何。對它的定義進(jìn)行了分析。在這次活動中，我們發(fā)揚(yáng)了不怕苦不怕累的精神，剛開始我們都不太擅長于這種類型的探討