點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)考試題目及答案

1、下為點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)考試的辨析題和證明題，解答是本人 自己寫的，可能有錯(cuò)誤或者不足，希望對(duì)大家的考試 有幫助。二、辨析題（每題 5 分，共 25 分，正確的說(shuō)明理由， 錯(cuò)誤的給出反例）1、拓?fù)淇臻g中有限集沒(méi)有聚點(diǎn)。 答：這個(gè)說(shuō)法是錯(cuò)誤的。反例： X a,b,c ，規(guī)定拓?fù)鋁 , , a ，則當(dāng)A a 時(shí)，b和c都是 A的聚點(diǎn)。因?yàn)?b和c的領(lǐng)域只有 X 一個(gè)，它包含 a，a不是 A的聚點(diǎn)，因?yàn)?A a 。2、歐式直線 E1 是緊致空間。 答：這個(gè)說(shuō)法是錯(cuò)誤的。反例：對(duì) E1而言，有開覆蓋 n,n | n Z ，而 對(duì)于該開覆蓋沒(méi)有有限子覆蓋。3、如果乘積空間 X Y道路連通，則 X 和Y都是道路 連

2、通空間。答：這個(gè)說(shuō)法是正確的。證明：對(duì)于投射有 P1 X Y X ，P2 X Y Y ，由 投射是連續(xù)的，又知 X Y 是道路連通，從而像也是道 路連通空間，所以 X 和Y 都是道路連通空間。4、單位閉區(qū)間 I 與 S1不同胚。 答：這個(gè)說(shuō)法是正確的。面用反證法證明，反設(shè) I 與 S1 同胚，則f |2 21 : 2 12 S1 f 12 也是同胚映射， I 12 不連通，則S1 12 不連通，故矛盾，所以單位閉區(qū)間 I 與 S1不同胚5、緊致性具有可遺傳性質(zhì)。 答：這個(gè)說(shuō)法是錯(cuò)誤的。反例 ： 0,1 緊致但 0,1 不緊致。 三、證明題（每題 10 分，共 50 分） 1、規(guī)定 f : E1

3、 0,1 E1為 f x xx,1 xx 01，證明 f 是連x 1 x 1續(xù)映射，但不是同胚映射。 證明：由于 f 限制在 ,0 與 1,理， f 連續(xù)。但 f 1不連續(xù)， 如但f,0,0上連續(xù)，由粘接引 ,0 是 E1 0,1 的閉集 ,0 不是 E1 的閉集，所以 f 不是同胚映射2、證明： Hausdorff 空間的子空間也是 Hausdorff 空間。 證明：設(shè) X 是 Hausdorff 空間， Y 是 X 的任一子空間， 需證Y 是Hausdorff 空間。 x,y Y，由 X 是Hausdorff 空 間，所以存在 x,y在 X 的開鄰域 U 、V 使得U V ， U Y 是

4、x在Y 中開鄰域， V Y 是 y在Y 中開鄰域， U Y V Y U V Y ，故 Y 是 Hausdorff 空3、證明：從緊致空間到 Hausdorff 空間的連續(xù)雙射是同 胚。證明：要證明 f 1 :Y X 連續(xù)，只需證 f 是閉映射， 設(shè) A 是 X 的閉子集緊致，所以 A 是緊致的。又因?yàn)榫o 致空間在連續(xù)映射下的像也緊致，所以 f A 是Y 的緊 致子集，又由于 Hausdorff 空間的緊致子集是閉集，所 以 f A 是 Y 的閉集。4、設(shè) X0是 X 的既開又閉的子集， A 是 X 的連通子集， 則或者 A X0 或者 A X0 。證明： A X0是 A的既開又閉的子集，由于 A 連通， 則或者 A X0 或者 A X0 A即 A X0 。5、證明：道路連通性具有可乘性質(zhì)。證明：設(shè) x0, y0 是 x1, y1 是 X Y 中兩點(diǎn)， X 和Y 都是道 路連通，則有 X 中道路 a ，以 x0,x1為起始點(diǎn)，又有 Y 中 道路 b ，以 y0, y1為起始點(diǎn)，作 X