特殊的一元二次方程的解法—知識講解

1、一元二次方程及其解法（一）特殊的一元二次方程的解法知識講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會把一元二次方程化為一般形式；2掌握直接開平方法和因式分解法解方程，會應(yīng)用此判定方法解決有關(guān)問題；3理解解法中的降次思想，直接開平方法和因式分解法中的分類討論與換元思想.【要點梳理】要點一、一元二次方程的有關(guān)概念1一元二次方程的概念：通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程要點詮釋：識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不

2、是一元二次方程，缺一不可.2一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次項，是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項要點詮釋：(1)只有當(dāng)時，方程才是一元二次方程；(2)在求各項系數(shù)時，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項系數(shù)時注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要結(jié)論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一個根，則a+

3、b+c=0.（2）若a-b+c=0,則一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一個根，則a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一個根x=0，則c=0；反之也成立，若c=0，則一元二次方程必有一根為0.要點二、特殊的一元二次方程的解法1直接開方法解一元二次方程：(1)直接開方法解一元二次方程： 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.(2)直接開平方法的理論依據(jù)： 平方根的定義.(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類： 形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解. 若，則；表示為，有兩個不等實數(shù)根； 若，則x=O；表示為，有兩個

4、相等的實數(shù)根； 若，則方程無實數(shù)根 形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是 .要點詮釋：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟將方程右邊化為0； 將方程左邊分解為兩個一次式的積； 令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程； 解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點詮釋： （1）能用分解因式法來解一元二次方程

5、的結(jié)構(gòu)特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：必須將方程的右邊化為0；方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【典型例題】類型一、關(guān)于一元二次方程的判定1判定下列方程是否關(guān)于x的一元二次方程： (1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； (2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1【答案與解析】(1)經(jīng)整理，得它的一般形式 (a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0， 其中，由于對任何實數(shù)a都有a20，于是都有a2+20，由

6、此可知a2+20，所以可以判定： 對任何實數(shù)a，它都是一個一元二次方程(2)經(jīng)整理，得它的一般形式 (m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0， 其中，當(dāng)m1且m-1時，有m2-10，它是一個一元二次方程；當(dāng)m=1時方程不存在， 當(dāng)m=-1時，方程化為4x=0，它們都不是一元二次方程【總結(jié)升華】對于含有參數(shù)的一元二次方程，要十分注意二次項系數(shù)的取值范圍，在作為一元二次方程進行 研究討論時，必須確定對參數(shù)的限制條件如在第(2)題，對參數(shù)的限定條件是m±1例如，一個關(guān)于x的方程，若整理為(m-4)x2+mx-3=0的形式，僅當(dāng)m-40，即m4時，才是一元二次方程(顯然，當(dāng)m=4時

7、，它只是一個一元一次方程4x-3=0)又如，當(dāng)我們說：“關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0”時，實際上就給出了條件“a-10”，也就是存在一個條件“a1”由于這個條件沒有直接注明，而是隱含在其他的條件之中，所以稱它為“隱含條件”類型二、一元二次方程的一般形式、各項系數(shù)的確定2. 已知關(guān)于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各項的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍【答案與解析】將原方程整理為一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知條件已指出它是一個一元二次方程，所以存在一個隱含條件m2-80，即 m±可

8、知它的各項系數(shù)分別是a=m2-8(m±)，b=-(3m-1)，c=m3-1參數(shù)m的取值范圍是不等于±的一切實數(shù)【總結(jié)升華】在含參數(shù)的方程中，要認定哪個字母表示未知數(shù)，哪個字母是參數(shù)，才能正確處理有關(guān)的問題舉一反三：【變式】關(guān)于x的方程的一次項系數(shù)是-1，則a .【答案】原方程化簡為x2-ax+1=0,則-a=-1,a=1.類型三、一元二次方程的解（根）3.已知m，n是方程的兩根，且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)8，則a的值等于 ( ) A-5 B5 C-9 D9【答案】C；【解析】根據(jù)方程根的定義，m，n是方程x2-2x-10的兩根， m2-2m-10，n2-2

9、n-10變形可得：7m2-14m7，3n2-6n3將變形后的式子代入已知等式中可得：(7+a)(3-7)8，解得a-9【總結(jié)升華】當(dāng)看到式子很復(fù)雜，別著急，注意與已知條件聯(lián)系，運用根的定義，注意觀察已知等式的特點，將7m2-14m與3n2-6n看作整體，運用整體代入法求解舉一反三：【變式】（1）x=1是的根，則a= .（2）已知關(guān)于x的一元二次方程 有一個根是0，求m的值.【答案】（1）當(dāng)x=1時，1-a+7=0,解得a=8. （2）由題意得類型四、用直接開平方法解一元二次方程 4.解方程(x-3)2=49【答案與解析】把x-3看作一個整體，直接開平方，得 x-3=7或x-3=-7 由x-3=

10、7，得 x=10 由x-3=-7，得 x=-4 所以原方程的根為x=10或x=-4【總結(jié)升華】應(yīng)當(dāng)注意，如果把x+m看作一個整體，那么形如(x+m)2=n(n0)的方程就可看作形如x2=k的方 程，也就是可用直接開平方法求解的方程；這就是說，一個方程如果可以變形為這個形式，就可用直接開平方法求出這個方程的根所以，(x+m)2=n可成為任何一元二次方程變形的目標(biāo)舉一反三：【變式】解方程： (1)(3x+1)2=7； (2) 9x2-24x+16=11.【答案】(1)解：(3x+1)2=7× (3x+1)2=5 3x+1=± (注意不要丟解) x= 原方程的解為x1=， x2=

11、. (2)解：9x2-24x+16=11 (3x-4)2=11 3x-4=± x= 原方程的解為x1=， x2=.類型五、因式分解法解一元二次方程5解方程：(x+1)2-2(x+1)(2-x)+(2-x)20【答案與解析】設(shè)x+1m，2-xn，則原方程可變形為： (m-n)20， mn，即x+12-x 【總結(jié)升華】若把各項展開，整理為一元二次方程的一般形式，過程太煩瑣觀察題目結(jié)構(gòu)，可將x+1看作m，將(2-x)看作n，則原方程左端恰好為完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解舉一反三：【變式】方程(x-1)(x+2)2(x+2)的根是_【答案】 將(x+2)看作一個整體，右邊的2(x+2)移到方程的左邊也可用提取公因式法因式分解 即(x-1)(x+2)-2(x+2)0，(x+2)(x-1)-20 (x+2)(x-3)0， x+20或x-30 x1-2 x236如果，請你求出的值【答案與解析】設(shè)， z(z-2)3 整理得：，