純策略納什均衡

1、純策略納什均衡純策略納什均衡(Pure Strategy Nash Equilibrium )列編輯什么是純策略納什均衡純策略納什均衡是指在一個(gè)純策略組合中，如果 給定其他的策略不變，該節(jié)點(diǎn)不會(huì)單方面改變自己的 策略，否則不會(huì)使節(jié)點(diǎn)訪問(wèn)代價(jià)變小。編輯存在純策略納什均衡的有限次重復(fù)博弈1如果重復(fù)博弈中有惟一純策略納什均衡，那么我 們?cè)趺凑页鏊募儾呗约{什均衡呢？首先看下面囚徒 的困境的博弈的例子：-S-5囚徒I iSCl不坦仔囚甚2坦白 不坦白園E囚徒的困境的博弈我們現(xiàn)在考慮該博弈重復(fù)兩次的重復(fù)博弈，這可 以理解成給囚徒兩次坦白機(jī)會(huì)，最后的得益是兩個(gè)階 段博弈中各自得益之和在兩次博弈過(guò)程中，雙方

2、知 道第一次博弈的結(jié)果再進(jìn)行二次博弈用逆推歸納法 來(lái)分析，先分析第二階段，也就是第二次重復(fù)時(shí)兩博 弈方的選擇很明顯，這個(gè)第二階段仍然是兩囚徒之 間的一個(gè)囚徒的困境博弈，此時(shí)前一階段的結(jié)果已成 為既成事實(shí)，此后又不再有任何的后續(xù)階段，因此實(shí) 現(xiàn)自身當(dāng)前的最大利益是兩博弈方在該階段決策中的 惟一原則因此我們不難得出結(jié)論，不管前一次的博弈得到 的結(jié)果如何，第二階段的惟一結(jié)果就是原博弈惟一的 納什均衡（坦白，坦白 ） ，雙方得益 （-5 ，-5） 現(xiàn)在再回到第一階段，即第一次博弈理性的博 弈方在第一階段就對(duì)后一階段的結(jié)局非常清楚，知道 第二階段的結(jié)果必然是 （坦白，坦白 ） ，因此不管第一 階段的博弈

3、結(jié)果是什么，雙方在整個(gè)重復(fù)博弈中的最 終得益，都將是第一階段的基礎(chǔ)上各加 -5 因此從第 一階段的選擇來(lái)看，這個(gè)重復(fù)博弈與圖 l 中得益矩陣 表示的一次性博弈實(shí)際上是完全等價(jià)的-10,-10鼻嚴(yán)】3-13-5閃鏈 1不坦Cl閃徒2坦a 不姐口圖2惟-ftses均衡的有限次于是我們可以得出惟一純策略均衡的有限次重復(fù) 博弈的結(jié)果就是重復(fù)原博弈惟一的純策略納什均衡， 這就是這種重復(fù)博弈惟一的子博弈完美納什均衡路 徑.如果重復(fù)博弈中有多個(gè)純策略納什均衡，設(shè)某一 市場(chǎng)有兩個(gè)生產(chǎn)同樣質(zhì)量產(chǎn)品的廠商，他們對(duì)產(chǎn)品的 定價(jià)同有高(H)、中(M)、低(L)三種可能設(shè)高價(jià)時(shí)市 場(chǎng)總利潤(rùn)為10個(gè)單位，中價(jià)時(shí)市場(chǎng)總利潤(rùn)

4、為6個(gè)單 位，低價(jià)時(shí)市場(chǎng)總利潤(rùn)為2個(gè)單位再假設(shè)兩廠商同 時(shí)決定價(jià)格，價(jià)格不等時(shí)低價(jià)格者獨(dú)享利潤(rùn)，價(jià)格相 等時(shí)雙方平分利潤(rùn)這時(shí)候兩廠商對(duì)價(jià)格的選擇就構(gòu) 成了一個(gè)靜態(tài)博弈問(wèn)題.我們看一個(gè)三價(jià)博弈的重復(fù) 博弈的例子：Hr命M2L廠裔1 H0t60,2 1M 30*2缶02弋h 1S3三價(jià)博弈的置*傅彝顯然，這個(gè)得益矩陣有兩個(gè)純策略納什均衡 (M， M)和(L, L)，我們也可以看出實(shí)際上兩博弈方最大的 得益是策略組合(H, H),但是它并不是納什均衡.現(xiàn) 在考慮重復(fù)兩次該博弈，我們采用一種觸發(fā)策略 (Trigger Strategy) ：博弈雙方首先試圖合作，一旦 發(fā)覺(jué)對(duì)方不合作也用不合作相報(bào)復(fù)的策

5、略.使得在第 一階段采用(H, H)成為子博弈完美納什均衡，其雙方 的策略是這樣的：博弈方1:第一次選H如果第一次結(jié)果為(H, H), 則第二次選M,如果第一次結(jié)果為任何其他策略組 合，則第二次選擇 L.博弈方 2:同博弈方 1.在上述雙方策略組合下， 兩次重復(fù)博弈的路徑一定為第一階段(H, H),第二階 段(M, M),這是一個(gè)子博弈完美納什均衡路徑因?yàn)?第二階段是一個(gè)原博弈的納什均衡，因此不可能有哪 一方愿意單獨(dú)偏離；其次，第一階段的(H, H)雖然不 是原來(lái)的博弈納什均衡，但是如果一方單獨(dú)偏離，采 用M能增加1單位得益，這樣的后果卻是第二階段至 少要損失 2 單位的得益，因?yàn)殡p方采用的是

6、觸發(fā)策 略，即有報(bào)復(fù)機(jī)制的策略，因此合理的選擇是堅(jiān)持 H.這就說(shuō)明了上述策略組合是這個(gè)兩次重復(fù)博弈的子博 弈完美納什均衡.從上述的例子我們可以看出，有多個(gè)純策略納什 均衡的博弈重復(fù)兩次的子博弈完美納什均衡路徑是， 第一階段采用（H, H），第二階段采用原博弈的納什均 衡（M, M）.如果這個(gè)重復(fù)博弈重復(fù)三次，或者更多次，結(jié)論 也是相似的，仍然用觸發(fā)策略，它的子博弈完美納什 均衡路徑為除了最后一次以外，每次都采用（H，H）， 最后一次采用原博弈的納什均衡（M, M）.編輯存在純策略納什均衡的無(wú)限次重復(fù)博弈1與有限次重復(fù)博弈一樣，無(wú)限次重復(fù)博弈也是基 本博弈的簡(jiǎn)單重復(fù)，但是無(wú)限次重復(fù)博弈沒(méi)有最后一

7、 次重復(fù)，因此無(wú)限次重復(fù)博弈與有限次有一些不同.任何博弈中博弈方策略選擇的依據(jù)都是得益的大 小，這在重復(fù)博弈中仍然是成立的.但是重復(fù)博弈又 與一次性博弈有所不同，因?yàn)樵谥貜?fù)博弈中，每一階 段都是一個(gè)博弈，并且各博弈方都有得益，因此對(duì)于重復(fù)博弈，我們要計(jì)算的就是博弈結(jié)束時(shí)的一個(gè)總的 得益由于前一次博弈和后一次博弈之間會(huì)有損失， 因此我們采用一種方法，就是將后一階段的得益折算 成當(dāng)前階段得益的（現(xiàn)在值）的貼現(xiàn)系數(shù)a有了貼現(xiàn) 系數(shù)a那么在無(wú)限次重復(fù)博弈中，某博弈方各階段 得益為n, n,.,則該博弈方總得益的現(xiàn)在值為：7T = TTj + $72 + 摩碼 + =£護(hù)一1對(duì)于存在惟一純策略

8、納什均衡博弈的無(wú)限次重復(fù) 博弈，我們從下面的例子來(lái)看：博密方2博彈方1 H4,40.5L5t 0h 1存在惟一塊策時(shí)納什均衡博弈的無(wú)限次復(fù)博奔其中博弈方1和博弈方2分別表示兩個(gè)廠商，H 和L分別表示高價(jià)和低價(jià)顯然，該博弈的一次性博 弈有惟一的純策略納什均衡（L，L），但是這個(gè)納什均 衡并不是最佳策略組合，因?yàn)椴呗越M合（H，H）的得益 （4，4）比（1，1）要高的多但是由于（H，H）不是該博 弈的納什均衡，所以在一次性博弈中不會(huì)被采用根 據(jù)上面的分析，此博弈在有限次重復(fù)博弈并不能實(shí)現(xiàn)潛在的合作利益，兩博弈方在每次重復(fù)中都不會(huì)采用 效率較高的（H, H）.為了實(shí)現(xiàn)效率較高的合作利益（H, H）,假

9、設(shè)兩博弈方都采用觸發(fā)策略，也即報(bào)復(fù)性策略： 第一階段采用H,在第t階段，如果前t-l階段的結(jié) 果都是（H, H）,則繼續(xù)采用L假設(shè)博弈方1已經(jīng)采 用了這種策略，現(xiàn)在我們來(lái)確定博弈方 2在第一階段 的最優(yōu)選擇.如果博弈方2采用L,那么在第一階段 能得到5,但這樣會(huì)引起博弈方1 一直采用L的報(bào)復(fù)， 自己也只能一直米用L,得益將永遠(yuǎn)為1,總得益的現(xiàn) 在值為7T=5+lxtf+lxi +“.=5| 10如果博弈方2采用H則在第一階段他將得4,下 一階段又面臨同樣的選擇若記 V為博弈方2在該重 復(fù)博弈中每階段都采用最佳選擇的總得益現(xiàn)在值，那 么從第二階段開始的無(wú)限次重復(fù)博弈因?yàn)榕c從第一階 段開始的只差一階段，因而在無(wú)限次重復(fù)時(shí)可看作相 同的，其總得益的現(xiàn)在值折算成第一階段的得益為 dW,因此當(dāng)?shù)谝浑A段的最佳選擇是 H時(shí)，整個(gè)無(wú)限 次重復(fù)博弈總得益的現(xiàn)在值為V -歹一貝十?dāng)?卞了或者4 c ,§£ 1因此，當(dāng)7解得'【時(shí)，博弈方2會(huì)采用H策略，否則會(huì)采用L策略也就是說(shuō)當(dāng)1 -4>