任意角的三角函數(shù)

1、三維目標(biāo)三維目標(biāo)1.知識與技能：知識與技能：理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；在在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用定義解決與之有關(guān)的問題。此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用定義解決與之有關(guān)的問題。明確三角明確三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值）的一種基本初函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值）的一種基本初等函數(shù)。等函數(shù)。 經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過渡到任意角三經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程，體驗(yàn)三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展角函數(shù)定義的推廣過程，體驗(yàn)三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程。向過程。向?qū)W生滲透學(xué)生滲透特殊與一般，特殊與一般，類比與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，類比與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)

2、思想，領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系的工具功能，豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)。領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系的工具功能，豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)。3.情感與價值觀：情感與價值觀：使學(xué)生明白數(shù)學(xué)源于生活，生活中處處使學(xué)生明白數(shù)學(xué)源于生活，生活中處處需要數(shù)學(xué)；也需要數(shù)學(xué)；也通過定義的探索發(fā)現(xiàn)過程，學(xué)生親歷結(jié)論的通過定義的探索發(fā)現(xiàn)過程，學(xué)生親歷結(jié)論的“再創(chuàng)造再創(chuàng)造”過程，體驗(yàn)成功與快樂，感悟數(shù)學(xué)美。過程，體驗(yàn)成功與快樂，感悟數(shù)學(xué)美。 在數(shù)學(xué)的天地里，重要在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么們怎么知道什么畢達(dá)哥拉畢達(dá)哥拉斯斯東升西落照蒼穹東升西落照蒼穹影短影長角不同影短影長角不同晝夜循環(huán)潮起伏晝夜循

3、環(huán)潮起伏冬春更替草枯榮冬春更替草枯榮思考：用怎樣的數(shù)學(xué)模思考：用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫周期現(xiàn)象呢？型來刻畫周期現(xiàn)象呢？創(chuàng)設(shè)情境引出新課創(chuàng)設(shè)情境引出新課創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課生活中的數(shù)學(xué)問題生活中的數(shù)學(xué)問題生活中的數(shù)學(xué)問題：生活中的數(shù)學(xué)問題：如圖，摩天輪的半徑為如圖，摩天輪的半徑為10m10m，中心，中心o o離地面為離地面為20m20m，現(xiàn)在小明坐上了摩天輪，現(xiàn)在小明坐上了摩天輪，并從點(diǎn)并從點(diǎn)P P開始以每秒開始以每秒1 1度度的速度逆時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)?shù)乃俣饶鏁r針轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動3030秒后小明離地面秒后小明離地面的高度是多少？的高度是多少？120120秒，秒，240240秒，秒，3003

4、00秒后呢？秒后呢？PO. .10m20m30300 0創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？sincostancacbba OabMPc 復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)舊知OabMP yx在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？二、新知探究二、新知探究22:barOPbMPaOM其中 yx在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Mo如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個比值會如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這

5、三個比值會改變嗎？改變嗎？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPMMOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，則若1 rOPbaab銳角三角函數(shù)（在單位圓中）銳角三角函數(shù)（在單位圓中）以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為圓心，以單位為圓心，以單位長度為半徑的圓，稱為單位圓長度為半徑的圓，稱為單位圓. yoP),(bax1M推廣到其它象限，觀察下圖：推廣到其它象限，觀察下圖：第一象限第一象限第二象限第二象限第四象限第四象限第三象限第三象限正弦：正弦： 余弦：余弦： 正切：正切：rya sinrxa cosxya tan設(shè)設(shè) 是一個任意角，在是一個任意角，

6、在 終邊上除原點(diǎn)外任意取終邊上除原點(diǎn)外任意取一點(diǎn)一點(diǎn) ，點(diǎn)，點(diǎn) 與原點(diǎn)與原點(diǎn) 之間的距離記作之間的距離記作（ ），那么角的正弦、余弦和正切），那么角的正弦、余弦和正切分別定義為：分別定義為： p),(yxp022yxrO如何確定任如何確定任意角三角函意角三角函數(shù)的定義域數(shù)的定義域思考思考siny P(x,y)cosx tanyx 單位圓單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示來表示在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為為圓心圓心,以單位長度為半徑的圓叫以單位長度為半徑的圓叫單單位圓位圓。推廣推廣: :我們也可以利用單位圓定義任我們也可以利用單位圓定義任意角三角函數(shù)意角三角函數(shù)( (正弦正弦

7、, ,余弦余弦, ,正切正切) )。siny cosx tanyx xyO( , )P x y設(shè)設(shè)是一個任意角是一個任意角,它的終它的終邊與單位圓交于點(diǎn)邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)則則:y 叫叫的正弦的正弦x叫叫的余弦的余弦叫叫的正切的正切xy任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義:對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系 ， ， 都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，分別稱為的比值為函數(shù)值的函數(shù)，分別稱為正弦函數(shù)、余弦正弦函數(shù)、余弦函數(shù)函數(shù)和和正切函數(shù)正切函數(shù)，并統(tǒng)稱為，并統(tǒng)稱為三角函數(shù)三角函數(shù)，在弧度制中，在弧度制中，這三個三角函數(shù)的定義域

8、分別是什么？這三個三角函數(shù)的定義域分別是什么？sinycosx正、余弦函數(shù)的定義域?yàn)檎?、余弦函?shù)的定義域?yàn)镽，正切函數(shù)的定義域是正切函數(shù)的定義域是tan(0)yxx思考：思考：定義域定義域求求三角函數(shù)值，即可求三角函數(shù)值，即可求或坐標(biāo)的比或坐標(biāo)的比值值如何求如何求三角函數(shù)值三角函數(shù)值?2335sin yyxO53 53 1123213,22P 1,2x 3,2y 1r 2135cos x335tanxy例例1：求：求 的正弦的正弦,余弦余弦,正切的值正切的值.根據(jù)上述方法否能求得特殊角三角函數(shù)值根據(jù)上述方法否能求得特殊角三角函數(shù)值?角角 （角度角度） 0 0909018018027027036

9、0360角角 （弧度）（弧度） 0 0 /2/2 3 3 /2/22 2 sinsin 0 01 10 0-1-10 0coscos 1 10 0-1-10 01 1tantan 0 0不存在不存在0 0不存在不存在0 0生活中的數(shù)學(xué)問題：生活中的數(shù)學(xué)問題：如圖，摩天輪的半徑為如圖，摩天輪的半徑為10m10m，中心，中心o o離地面為離地面為20m20m，現(xiàn)在小明坐上了摩天輪，現(xiàn)在小明坐上了摩天輪，并從點(diǎn)并從點(diǎn)P P開始以每秒開始以每秒1 1度度的速度逆時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)?shù)乃俣饶鏁r針轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動3030秒后小明離地面秒后小明離地面的高度是多少？的高度是多少？120120秒，秒，240240秒，秒

10、，300300秒后呢？秒后呢？PO. .10m20m30300 0創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課例例2：已知：已知的終邊經(jīng)過點(diǎn)的終邊經(jīng)過點(diǎn)P0 （4，3），求），求角的正弦角的正弦,余弦余弦,正切的值。正切的值。00- MPMPy3sina = y = -= -rOPOP500- OMOM4cos = -= -rOPOP5xxysin3tan =cos4x例例3 3：如圖所示，已知角終邊上一點(diǎn)：如圖所示，已知角終邊上一點(diǎn)P P的坐的坐標(biāo)為（標(biāo)為（4 4，3 3），求角的三角函數(shù)值。），求角的三角函數(shù)值。解解：4 4，3 322224( 3)rxy=+=+ -5 533sin55yar-= -

11、4cos5xar=33tan44yax-= -0yxP(4,-3)的終邊的終邊22()rxycosxr sinyr tanyx oyxP(，) 的終邊的終邊 r 事實(shí)上事實(shí)上: : 三角函數(shù)也可三角函數(shù)也可定義為定義為設(shè)設(shè)是一個任意角是一個任意角,它的終邊經(jīng)過點(diǎn)它的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x,y),則則根據(jù)三角函數(shù)的定義能否確根據(jù)三角函數(shù)的定義能否確定正弦定正弦,余弦余弦,正切的值在四個象限正切的值在四個象限內(nèi)的符號內(nèi)的符號?探究探究sinyr1、正弦函數(shù)值y,0,ryr0第一象限：故為正值；0,0,第二象限：故為正值；yryroxy0,0,第三象限：故為負(fù)值；yryr0,0,第四象限：故為負(fù)值.yry

12、rcosxr2、余弦函數(shù)值, 00,xrxr 第一象限：故為正值；, 00,xrxr 第二象限：故為負(fù)值；oxy, 00,xrxr 第三象限：故為負(fù)值；0,0,xrrx第四象限：故為正值.tanyx3、正切函數(shù)值00,yxyx第一象限：故為正值；00,yxyx第二象限：故為負(fù)值；oxy00,yxyx第三象限：故為正值；0, 0,xyyx第四象限：故為負(fù)值.oxyoxyoxysincostan規(guī)律：規(guī)律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”. 1 cos2602 sin;6153 tan7024 tan.4例例4：確定下列三角函數(shù)值的符號。：確定下列三角

13、函數(shù)值的符號。6解：解： 260 70215分別位于第三象限、第四象限、第一分別位于第三象限、第四象限、第一象限、第四象限。象限、第四象限。(1)負(fù)負(fù) (2)負(fù)負(fù) (3)正正 (4)負(fù)負(fù)( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )（ ）+- - -+- - -+- - -sincostan例例5 5：求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組下列不等式組成立求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組下列不等式組成立時，角時，角為第三象限角。為第三象限角。 sin 0因?yàn)橐驗(yàn)閟in0，所以，所以在第三象限或第四象在第三象限或第四象限，或限，或的終邊落在的終邊落在y軸的負(fù)半軸上。軸的負(fù)半軸上。因?yàn)橐驗(yàn)閠an0所以所

14、以在第一象限或第三象在第一象限或第三象限。限。由于由于sin0與與tan0同時成立，所以同時成立，所以在在第三象限。第三象限。解：解： 直角三角中的銳角三角函數(shù)直角三角中的銳角三角函數(shù) 象限角中的銳角三角函數(shù)象限角中的銳角三角函數(shù) 單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù) 單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的任意角三角函數(shù)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的任意角三角函數(shù) 任意角終邊上任一點(diǎn)坐標(biāo)定義三角函數(shù)任意角終邊上任一點(diǎn)坐標(biāo)定義三角函數(shù) 根據(jù)三角函數(shù)的定義根據(jù)三角函數(shù)的定義: : 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是否相等？是否相等？探究探究終邊相同終邊相同2 ,kk

15、Z 終邊相同的角的集合為：終邊相同的角的集合為：點(diǎn)的坐標(biāo)相同點(diǎn)的坐標(biāo)相同同一三角函數(shù)值同一三角函數(shù)值;sin( + k2) = sincos( + k2) = costan( + k2) = tan(kz)。終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，由此得到一組公式（公式一）：等，由此得到一組公式（公式一）：利用公式一，作用在于可將求任意角的利用公式一，作用在于可將求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0 （或（或0360)范圍內(nèi)的三角函數(shù)值。范圍內(nèi)的三角函數(shù)值。;17(1)cos497(2)sintan43。例例6：求下列三角函數(shù)的值。：求下列三角函數(shù)的值。

16、171(1)cos= cos=44297(2)singtan=sin gtan434313=g 3 =22v嘗試小結(jié)學(xué)生小結(jié)：學(xué)生小結(jié)：請回顧一下本節(jié)課你學(xué)到了什么？請回顧一下本節(jié)課你學(xué)到了什么？本節(jié)課你最大的收獲是什么？本節(jié)課你最大的收獲是什么？ 在數(shù)學(xué)的天地里，重要的在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么知道什么畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯用什么用什么怎么用怎么用是什么是什么為什么為什么學(xué)學(xué)事事理理用用知事明理知事明理 學(xué)以致用學(xué)以致用思考思考1：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角為第一象限角，其終邊與為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為單位圓的交點(diǎn)為P（x，

17、y），則），則 ，都是正數(shù)，你能分別用一條線段表都是正數(shù)，你能分別用一條線段表示角示角的正弦值和余弦值嗎？的正弦值和余弦值嗎？sinycos = xP P（x x，y y）O Ox xy yM M|MP|= y = sin|OM|= cosx思考思考2：若角若角為第三象限角，其終邊與單位圓為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為P（x，y），則），則 ， 都是負(fù)數(shù)，此時角都是負(fù)數(shù)，此時角的正弦值和余弦的正弦值和余弦值分別用哪條線段表示？值分別用哪條線段表示？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM M|sinMPy|cosOMx思考思考3 3：為了簡化上述表示，我們設(shè)想

18、將線為了簡化上述表示，我們設(shè)想將線段的兩個端點(diǎn)規(guī)定一個為始點(diǎn)，另一個為終段的兩個端點(diǎn)規(guī)定一個為始點(diǎn)，另一個為終點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶有正負(fù)值符號。點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶有正負(fù)值符號。根據(jù)實(shí)際需要，應(yīng)如何規(guī)定線段的正方向和根據(jù)實(shí)際需要，應(yīng)如何規(guī)定線段的正方向和負(fù)方向？負(fù)方向？規(guī)定：線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同規(guī)定：線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同向時為正方向，反向時為負(fù)方向。向時為正方向，反向時為負(fù)方向。 終邊終邊 xyop(x , y)xyop(x , y)終邊終邊 MM象象OMOM、MPMP這種被看這種被看作帶有方向的線段，作帶有方向的線段，叫做有向線段。叫做有向線段。一、有向線段一、有向線

19、段 我們規(guī)定我們規(guī)定OM與與x軸同向時，軸同向時，OM的方向的方向是正向，是正向，x為正值；為正值；OM與與x軸反向時，軸反向時， OM的方向是負(fù)向，的方向是負(fù)向，x為負(fù)值；無論是那種情況為負(fù)值；無論是那種情況都有都有:OM=x=cos 。 我們規(guī)定我們規(guī)定MP與與y軸同向時，軸同向時，MP的方向的方向是正向，是正向，y為正值；為正值；MP與與y軸反向時，軸反向時，MP的的方向是負(fù)向，方向是負(fù)向，y為負(fù)值；無論是那種情況都為負(fù)值；無論是那種情況都有有:MP =y=sin。 二、正弦線、余弦線二、正弦線、余弦線設(shè)任意角設(shè)任意角與單位圓交于點(diǎn)與單位圓交于點(diǎn)p(x , y)，則，則r = |op|

20、= 1.sin=y因此，因此，p(x , y)坐標(biāo)也表示為坐標(biāo)也表示為p(cos , sin).cos= xxyop(x , y)三、正切線三、正切線xyop終邊終邊 AT稱稱AT為角為角的正切線的正切線.過過A(1,0)作圓的切線，作圓的切線，例例7 7：不查表，比較大小。：不查表，比較大小。解：解：xyo11由圖形得到由圖形得到2sin34sin524sin sin35解：解： 由圖形得到由圖形得到xyo112cos34cos524cos cos35解：解：由圖形得到由圖形得到xyo12tan34tan524tan tan351 1、正弦線、正弦線2 2、余弦線、余弦線3 3、正切線、正切

21、線注意：正弦線、余弦線、正切注意：正弦線、余弦線、正切線都是有向線段，有正負(fù)之分線都是有向線段，有正負(fù)之分.三角函數(shù)線是三角函三角函數(shù)線是三角函數(shù)的數(shù)的幾何表示幾何表示，它可，它可以直觀刻畫三角函數(shù)以直觀刻畫三角函數(shù)的概念與三角函數(shù)的的概念與三角函數(shù)的定義結(jié)合起來，可以定義結(jié)合起來，可以從從數(shù)數(shù)與與形形兩方面認(rèn)識兩方面認(rèn)識三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義. .xysinxycosxytan定義域?yàn)槎x域?yàn)镽定義域?yàn)槎x域?yàn)镽；定義域?yàn)槎x域?yàn)閤 | xk +,kZ2 三角函數(shù)三角函數(shù)(正弦正弦,余弦余弦,正切正切)都是以角為自變量都是以角為自變量,以單以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)位

22、圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù). (由于角的集合與實(shí)數(shù)集合之間可以建立一一對應(yīng)由于角的集合與實(shí)數(shù)集合之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系關(guān)系,三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).)所以三角函數(shù)可以記為所以三角函數(shù)可以記為:1、任意角的三角函數(shù)定義、任意角的三角函數(shù)定義課堂小結(jié)課堂小結(jié)sincostan( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )（ ）+- - -+- - -+- - -2、三角函數(shù)在象限內(nèi)的符號、三角函數(shù)在象限內(nèi)的符號sin(2 )sin ;cos(2 )cos ;tan(2 )tan().kkkkz應(yīng)用應(yīng)用（1）判斷符號

23、）判斷符號（2）求值）求值 000 360把把角角 化化到到、公式一、公式一(誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式)高考鏈接高考鏈接1.（2009全國）全國） 的值為的值為( )sin58522223232解析：解析：本題主要考察誘導(dǎo)公式本題主要考察誘導(dǎo)公式：2sin585sin(360225 )sin(18045 )sin452 54342.（2009陜西）陜西） 則則 的值為（的值為（ ）2sincossin2costan2 B解析：解析：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和運(yùn)本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和運(yùn)算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想。因算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想。因 故選故選B。2sincossin2

24、cos 2tan12 21tan22+2 tan2 3. (2007江西江西)若若 ， 則則 等于（等于（ ） tan3 4tan3 tan()1313解析：解析：43tantan13tan()41tantan3133 | =k+,k| =k+,k66。1. 以下四個命題中，正確的是以下四個命題中，正確的是()D第四象限的角可表示為第四象限的角可表示為:A在定義域內(nèi)，只有終邊相同的角的三在定義域內(nèi)，只有終邊相同的角的三 角函數(shù)值才相等。角函數(shù)值才相等。BC若若a是第二象限的角，則是第二象限的角，則3|2k+ 0 0, ,則則 的的終終邊邊在在( ( ) )A A. .第第一一象象限限 B B. . 第第四四象象限限C C. .第第二二或或第第三三象象限限