【課件】人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第二冊(cè)6.4.3 余弦定理1—課件(共24張PPT)

1、 6.4.3 6.4.3 余弦定理余弦定理一個(gè)三角形含有各種各樣的幾何量，例如三邊邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積等，它們之間存在著確定的關(guān)系，例如，在初中，我們得到過(guò)勾股定理、銳角三角函數(shù)，這是直角三角形中的邊、角定量關(guān)系.對(duì)于一般三角形，我們已經(jīng)定性地研究過(guò)三角形的邊、角關(guān)系，得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法，這些判定方法表明，給定三角形的三個(gè)角、三條邊這六個(gè)元素中的某些元素，這個(gè)三角形就是唯一確定的。那么三角形的其他元素與給定的某些元素有怎樣的數(shù)量關(guān)系？新課引入新課引入若已知三角形的兩邊及其夾角，如何求其他的邊若已知三角形的兩邊及其夾角，如何求其他的邊角呢？下面我們來(lái)

2、研究一下這個(gè)問(wèn)題。角呢？下面我們來(lái)研究一下這個(gè)問(wèn)題。C CA AB Ba ab bC CA AB Ba ab bc c新課引入新課引入我們知道，兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.這說(shuō)明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.也就是說(shuō)，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來(lái)表示.新課引入新課引入在在ABCABC中，若已知邊中，若已知邊a a，b b和它們的夾角和它們的夾角C C，求第三條邊求第三條邊c.c.C CA AB Bab bc學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知余弦定理：余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和，減去這兩邊與其夾角的余邊的平方和，減

3、去這兩邊與其夾角的余弦的積的兩倍弦的積的兩倍. . 學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知余弦定理的推論：余弦定理的推論：學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知余弦定理的主要作用：余弦定理的主要作用：（1）已知兩邊一角求邊；）已知兩邊一角求邊；(SAS)（2）已知三邊求角）已知三邊求角.(SSS)學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知 例例1. 1. 在在ABCABC中，已知中，已知a= cm= cm，c= cmc= cm，B=45B=45，解三角形，解三角形. .步驟：步驟：1.求第三邊；（余弦定理）求第三邊；（余弦定理） 2.求已知邊中較小邊所對(duì)求已知邊中較小邊所對(duì)的角；的角； 3.求第三角（內(nèi)角和為求第三角（內(nèi)角和為）已知兩邊及夾角求邊；已知兩邊及夾角

4、求邊；(SAS)典型例題典型例題 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 例例2. 2. 在在ABCABC中，已知中，已知 ， ，求最大角，求最大角. .已知三邊求角已知三邊求角.(SSS)典型例題典型例題 已知三角形三邊求角，可先用余弦定理求兩個(gè)角，已知三角形三邊求角，可先用余弦定理求兩個(gè)角，進(jìn)而求出第三個(gè)角進(jìn)而求出第三個(gè)角【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】在三角形中，大邊對(duì)大角，所以在三角形中，大邊對(duì)大角，所以a邊所對(duì)角最大，然后根據(jù)已知三邊可用余弦定理邊所對(duì)角最大，然后根據(jù)已知三邊可用余弦定理求三角求三角在在ABC中，已知中，已知a7,b3,c5，求最大角求最大角鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 例例3 3 在在AB

5、CABC中，角中，角A A、B B、C C的對(duì)邊分的對(duì)邊分別為別為a a 、b b 、c c，若，若ABABAC=BAAC=BABC=1BC=1.(1)(1)求證：求證：A=B;A=B;(2)(2)求邊長(zhǎng)求邊長(zhǎng)c的值的值.(3)(3)若若|AB+AC|=|AB+AC|= ,求求ABCABC的面積的面積. .典型例題典型例題 訓(xùn)練訓(xùn)練1在ABC中：(1)已知b8,c3,A60,求a；(2)已知a20,b29,c21,求B；(3)已知a3 ,c2,B150,求b；(4)已知a2，b 求A鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 典型例題典型例題 典型例題典型例題 在在ABC中，中，acos Abcos Bccos C，試

6、判斷三角形的形狀，試判斷三角形的形狀【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】利用余弦定理把邊與角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊與利用余弦定理把邊與角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊與邊的關(guān)系邊的關(guān)系通分整理得：通分整理得：a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0.展開(kāi)整理得展開(kāi)整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即，即a2b2c2或或b2a2c2.根據(jù)勾股定理，知根據(jù)勾股定理，知ABC是直角三角形是直角三角形方法總結(jié)方法總結(jié) 判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可用余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為進(jìn)行思考，可用余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，

7、通過(guò)因式分解、配方等方式得出邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，也邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，也可利用余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之可利用余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過(guò)三角變換，得出三角形各內(nèi)間的關(guān)系，通過(guò)三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形形狀角之間的關(guān)系，從而判斷三角形形狀鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 在在ABC中，中， bcos Aacos B ，試判斷三角形的形狀試判斷三角形的形狀鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 1.1.余弦定理的主要作用是已知兩邊余弦定理的主要作用是已知兩邊一角求邊，或已知三邊求角，所得一角求邊，

8、或已知三邊求角，所得結(jié)論是唯一的結(jié)論是唯一的. .同時(shí)，利用余弦定理同時(shí)，利用余弦定理也可以實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化也可以實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化. .2.2.余弦定理及其推論共有六個(gè)基本余弦定理及其推論共有六個(gè)基本公式，應(yīng)用時(shí)要注意適當(dāng)選取，有公式，應(yīng)用時(shí)要注意適當(dāng)選取，有時(shí)可結(jié)合正弦定理求解時(shí)可結(jié)合正弦定理求解. .課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，每一個(gè)等式中都包含四個(gè)不同個(gè)角之間的關(guān)系，每一個(gè)等式中都包含四個(gè)不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個(gè)角，知道的量，它們分別是三角形的三邊和一個(gè)角，知道其中的三個(gè)量，就可以求得第四個(gè)量：其中

9、的三個(gè)量，就可以求得第四個(gè)量：(1)已知兩邊與它們的夾角，可以求得第三邊；已知兩邊與它們的夾角，可以求得第三邊；(2)已知兩邊與其中一邊的對(duì)角，可以代入余弦定已知兩邊與其中一邊的對(duì)角，可以代入余弦定理，看成關(guān)于另一邊的二次方程，從而解得另一理，看成關(guān)于另一邊的二次方程，從而解得另一邊；邊；(3)已知三角形的三邊可以求得三角形的三個(gè)已知三角形的三邊可以求得三角形的三個(gè)角從這里可以看出，利用余弦定理解三角形時(shí)，角從這里可以看出，利用余弦定理解三角形時(shí)，條件中必須至少知道兩邊條件中必須至少知道兩邊課堂小結(jié)課堂小結(jié) 2余弦定理與勾股定理余弦定理與勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例可以看作是余弦定理的特例(1)如果一個(gè)三角形兩邊的平方和大于第三邊的平如果一個(gè)三角形兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角(2)