函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)

1、分段函數(shù)的極限和連續(xù)性例 設(shè)（1）求在點處的左、右極限，函數(shù)在點處是否有極限？（2）函數(shù)在點處是否連續(xù)？ （3）確定函數(shù)的連續(xù)區(qū)間分析：對于函數(shù)在給定點處的連續(xù)性，關(guān)鍵是判斷函數(shù)當時的極限是否等于；函數(shù)在某一區(qū)間上任一點處都連續(xù)，則在該區(qū)間上連續(xù)解：（1）函數(shù)在點處有極限（2）函數(shù)在點處不連續(xù)（3）函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是（0，1），（1，2）說明：不能錯誤地認為存在，則在處就連續(xù)求分段函數(shù)在分界點的左右極限，一定要注意在分界點左、右的解析式的不同只有才存在函數(shù)的圖象及連續(xù)性例 已知函數(shù)，（1）求的定義域，并作出函數(shù)的圖象；（2）求的不連續(xù)點；（3）對補充定義，使其是R上的連續(xù)函數(shù)分析：函數(shù)是一個分式

2、函數(shù)，它的定義域是使分母不為零的自變量x的取值范圍，給函數(shù)補充定義，使其在R上是連續(xù)函數(shù)，一般是先求，再讓即可解：（1）當時，有因此，函數(shù)的定義域是當時，其圖象如下圖（2）由定義域知，函數(shù)的不連續(xù)點是（3）因為當時，所以因此，將的表達式改寫為則函數(shù)在R上是連續(xù)函數(shù)說明：要作分式函數(shù)的圖象，首先應(yīng)對函數(shù)式進行化簡，再作函數(shù)的圖象，特別要注意化簡后的函數(shù)與原來的函數(shù)定義域是否一致利用函數(shù)圖象判定方程是否存在實數(shù)根例 利用連續(xù)函數(shù)的圖象特征，判定方程是否存在實數(shù)根分析：要判定方程是否有實根，即判定對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)的圖象是否與x軸有交點，因此只要找到圖象上的兩點，滿足一點在x軸上方，另一點在x軸下方即可

3、解：設(shè)，則是R上的連續(xù)函數(shù) 又，因此在內(nèi)必存在一點，使，所以是方程的一個實根所以方程有實數(shù)根 說明：作出函數(shù)的圖象，看圖象是否與x軸有交點是判別方程是否有實數(shù)根的常用方法，由于函數(shù)是三次函數(shù)，圖象較難作出，因此這種方法對本題不太適用函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性例 函數(shù)在區(qū)間（0，2）內(nèi)是否連續(xù)，在區(qū)間上呢？分析：開區(qū)間內(nèi)連續(xù)是指內(nèi)部每一點處均連續(xù)，閉區(qū)間上連續(xù)指的是內(nèi)部點連續(xù)，左點處右連續(xù)，右端點處左連續(xù)解：（且）任取，則 在（0，2）內(nèi)連續(xù)但在處無定義， 在處不連續(xù)從而在上不連線 說明：區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其圖象是連續(xù)而不出現(xiàn)間斷曲線函數(shù)在某一點處的連續(xù)性例 討論函數(shù)在與點處的連續(xù)性分析：分類討論不僅是解決問題的一種邏輯方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想明確討論對象，確立分類標準，正確進行分類，以獲得階段性的結(jié)論，最后歸納綜合得出結(jié)果，是分類討論的實施方法本題極限式中，若不能對x以1為標準，分三種情況分別討論，則無法獲得的表達式，使解答擱淺討論在與點處的連續(xù)性，若作出的圖像，則可由圖像的直觀信息中得出結(jié)論，再據(jù)定義進行解析論證由于的表達式并非顯式，所以須先求出的解析式，再討論其連續(xù)性，其中極限式中含，故須分類討論解：（1）求的表達式：當時， 當時， 當時，（2）討論在點處的連續(xù)性：不存在，在點處不連續(xù)（3）討論在點處的連續(xù)性：，在點處連續(xù)根據(jù)函數(shù)的連續(xù)