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1、高層建筑結(jié)構(gòu)與抗震輔導(dǎo)材料二荷載與作用(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握多自由度彈性體系地震反應(yīng)分析方法;2. 掌握多自由度彈性體系的振型分解反應(yīng)譜法;3. 掌握多質(zhì)點(diǎn)地震作用近似計(jì)算法-底部剪力法;4. 了解豎向地震作用,自振周期實(shí)用方法。學(xué)習(xí)重點(diǎn)1. 多自由度彈性體系地震反應(yīng)分析;2. 多自由度彈性體系的振型分解反應(yīng)譜法;3. 底部剪力法;4. 自振周期實(shí)用計(jì)算方法。五、 多質(zhì)點(diǎn)彈性體系的地震反應(yīng)圖2-4 (a) 多層房屋;(b) 多質(zhì)點(diǎn)彈性體系對(duì)于圖2-4a所示的多層框架結(jié)構(gòu),應(yīng)按集中質(zhì)量法將和之間的結(jié)構(gòu)重力荷載、樓面和屋面可變荷載集中于樓面和屋面標(biāo)高處。設(shè)它們的質(zhì)量為(=1,2,3,),并假設(shè)這
2、些質(zhì)點(diǎn)由無重量的彈性直桿支承于地面上(圖2-4b)。這樣,就可以將多層框架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成多質(zhì)點(diǎn)彈性體系,一般來說,對(duì)于具有層的框架,可簡(jiǎn)化成個(gè)多質(zhì)點(diǎn)彈性體系。1多質(zhì)點(diǎn)彈性體系的自由振動(dòng)為了掌握多質(zhì)點(diǎn)彈性體系地震作用的計(jì)算,需要熟悉多質(zhì)點(diǎn)彈性體系自由振動(dòng)的一些基本內(nèi)容。為了敘述方便起見,我們首先討論兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)彈性體系的自由振動(dòng),然后再推廣到個(gè)質(zhì)點(diǎn)的情形。(1) 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系的位移方程及其解答圖2-5表示兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系作自由振動(dòng),、分別為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的集中質(zhì)量。設(shè)在振動(dòng)過程中某瞬時(shí)的位移分別為和,則作用在和上的慣性力分別為和。設(shè)不考慮阻尼的影響,根據(jù)疊加原理,可寫出質(zhì)點(diǎn)和的位移表達(dá)式: (2-29)圖2-5
3、式中表示在點(diǎn)作用一個(gè)單位力而在點(diǎn)所引起的位移,它的大小反映結(jié)構(gòu)的柔軟程度,故稱它為柔度系數(shù)。現(xiàn)將式(2-29)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式: (2-30)這就表示兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系運(yùn)動(dòng)的微分方程組。它的每一項(xiàng)均表示位移,所以稱它為自由振動(dòng)位移方程。現(xiàn)求方程(2-30)的解。由于和是質(zhì)點(diǎn)位置和時(shí)間t的函數(shù),故可將它們表示為: (2-31)式中 、 -分別為與質(zhì)點(diǎn)1和2位置有關(guān)的函數(shù), -時(shí)間t的函數(shù)。對(duì)式(2-31)對(duì)時(shí)間求兩次導(dǎo),代人式(2-30)進(jìn)一步進(jìn)行化簡(jiǎn)可得: (2-32)這是關(guān)于兩個(gè)未知數(shù)和的齊次代數(shù)方程組。顯然,=0是一組解答,這一組零解表示體系處于靜止?fàn)顟B(tài),而不發(fā)生振動(dòng),這不是我們需要的解?,F(xiàn)在要求的
4、應(yīng)該是和不同時(shí)為零時(shí)方程(2-32)的可用解,也就是說,要使方程(232)成立其系數(shù)行列式應(yīng)為零。將行列式展開,得: (2-33)在式(2-33)中,質(zhì)量、和柔度系數(shù)、和均為常數(shù),只有是未知數(shù),故上式是一個(gè)關(guān)于的二次代數(shù)方程,它的解為: (2-34)由單質(zhì)點(diǎn)無阻尼自由振動(dòng)可知,方程的解分別為: (2-35a)和 (2-35b)將式(2-35a)代入式(2-31),可得質(zhì)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)于的振動(dòng)方程的特解: (2-36)將式(2-35b)代入式(2-31),可得質(zhì)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)于的振動(dòng)方程的特解: (2-37)由式(2-36)和(2-37)可知,質(zhì)點(diǎn)和均作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),而為其振動(dòng)頻率。由上可知,兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系,共
5、有兩個(gè)頻率,其中較小者稱為第一頻率或基本頻率,較大者稱為第二頻率?,F(xiàn)分別討論當(dāng)固有頻率和時(shí),對(duì)應(yīng)的特解的一些性質(zhì),最后引入主振型的概念。如前所述,對(duì)應(yīng)于的特解為: (2-38)將代入式(2-32),得: (2-39)當(dāng)體系振動(dòng)時(shí),上式的系數(shù)行列式應(yīng)等于零。根據(jù)齊次線性方程組性質(zhì)可知,齊次方程組(2-39)中的兩個(gè)方程并不是彼此獨(dú)立的,其中一個(gè)方程可以從另一個(gè)方程用線性組合的方法得到。所以,兩個(gè)方程實(shí)際上只起到一個(gè)方程的作用。即未知數(shù)的數(shù)目比方程的數(shù)目多一個(gè)。這時(shí)方程式只能有不定解,即只能假定其中的一個(gè)未知數(shù)等于某一定值時(shí),才能從方程(2-39)中任一個(gè)方程求出另一個(gè)未知數(shù)。也就是說,只能從方程
6、(2-39)中求出和的比值來: (2-40)顯然,這一比值與時(shí)間t無關(guān)。于是,由式(2-38)可見,體系在振動(dòng)過程中的任何時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移的比值始終保持不變,且等于/。同樣可以得到體系按振動(dòng)過程中,任何瞬時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的位移比值也始終保持不變,且等于/。圖2-6 綜上所述,對(duì)應(yīng)于頻率和,微分方程組(2-37)的特解乃是對(duì)應(yīng)于這樣兩種振動(dòng):前者各質(zhì)點(diǎn)按/的比值作簡(jiǎn)諧振動(dòng),而后者各質(zhì)點(diǎn)按/的比值作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。因此,它們?cè)谡駝?dòng)過程中,各自振動(dòng)形式保持不變,而只改變其大小。我們將相應(yīng)于的振動(dòng)形式叫做第一主振型(簡(jiǎn)稱第一振型或基本振型),將相應(yīng)于的振動(dòng)形式叫做第二主振型(簡(jiǎn)稱第二振型)。在實(shí)際計(jì)算中,繪振型曲線
7、時(shí),常令某一質(zhì)點(diǎn)的位移等于1,另一質(zhì)點(diǎn)的位移可根據(jù)相應(yīng)的比值確定。圖2-6(a)和圖2-6(b)分別為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系的第一振型和第二振型的示意圖。對(duì)于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)體系而言,一般可求出兩個(gè)互相獨(dú)立的特解,故對(duì)應(yīng)地就有兩個(gè)主振型,它們也是體系所固有的一種特性。就每一個(gè)振型而言,只有在特定的初始條件下,振動(dòng)才會(huì)呈現(xiàn)這種形式。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的初始位移或初始速度的比值與某一主振型的值相同時(shí),體系才會(huì)按該主振型振動(dòng)。在一般初始條件下,體系的振動(dòng)曲線,將包含全部振型。由微分方程理論知道,通解等于各特解的線性組合,即: (2-41)由上式可見,在一般初始條件下,任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是由各主振型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加而成的復(fù)合振動(dòng)
8、。顯然,如果初始條件接近某一振型時(shí),則這個(gè)振型在組合中所占的分量就大。當(dāng)初始條件完全符合某一振型時(shí),則其他振型分量就不會(huì)產(chǎn)生。但是這是很難實(shí)現(xiàn)的。(2) 多質(zhì)點(diǎn)彈性體系自由振動(dòng)的位移方程及其解答與兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系的情形類似,對(duì)于個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系,線性微分方程組的通解可寫成: (j=1,2,n) (2-42)由式(2-42)可見,在一般初始條件下,任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是由各主振型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加而成的復(fù)合振動(dòng)。需要指出的是,試驗(yàn)結(jié)果表明,振型愈高,阻尼作用所造成的衰減愈快,所以通常高振型只在振動(dòng)初始才比較明顯,以后逐漸衰減。因此,在建筑抗震設(shè)計(jì)中,僅考慮較低的幾個(gè)振型的影響。(3) 主振型的正交性對(duì)于多質(zhì)點(diǎn)彈
9、性體系,它的不同的兩個(gè)主振型之間存在著一個(gè)重要特性,即主振型的正交性。在體系振動(dòng)計(jì)算中經(jīng)常要利用這個(gè)特性。為了便于證明主振型的正交性,而又不失一般性,仍采用兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系來分析。由式(2-40)可得: (2-43a)類似地,可得: (2-43b)分別以和乘以式(2-43a)的第一和第二式,然后再相加;再分別以和乘以式(2-43b)的第一和第二式,然后再相加。顯然,這樣所得到的兩個(gè)等式的右邊完全相等。所以,等式左邊也相等,即: (2-44) 因,故 (2-45)上式就是兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系主振型的正交性,對(duì)于個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系,主振型正交條件可寫成: (kj) (2-46)式中 -質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量;、 -分別為第k振
10、型和第j振型i質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移(圖圖2-7 振型的正交性(a) 多質(zhì)點(diǎn)體系;(b) 第k振型;(c) 第j振型圖2-8 2-7b、c)。由式(2-46)可見,所謂主振型的正交性,是指這樣一種性質(zhì):即兩個(gè)不同的主振型的對(duì)應(yīng)位置上的質(zhì)點(diǎn)位移相乘,再乘以該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量,然后將各質(zhì)點(diǎn)所求出的上述乘積做代數(shù)和,其值等于零。2多質(zhì)點(diǎn)彈性體系地震反應(yīng)(1) 振動(dòng)微分方程的建立由動(dòng)力學(xué)原理,可以給出多質(zhì)點(diǎn)彈性體系(圖2-8)在地震作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程組 (2-47)(2) 運(yùn)動(dòng)微分方程組的解為了便于解運(yùn)動(dòng)微分方程組,假定阻尼系數(shù)與質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量和剛度系數(shù),有下列關(guān)系 (2-48)其中、為兩個(gè)比例常數(shù),其值可由試驗(yàn)確定。
11、這時(shí),作用在體系上的阻尼力可寫成 (2-49)因而,運(yùn)動(dòng)微分方程組(2-47)變成 (2-50)將體系任一質(zhì)點(diǎn)的位移按主振型展開 (2-51)其中稱為廣義坐標(biāo),它是時(shí)間t的函數(shù);為第振型質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移。經(jīng)整理得微分方程組: (2-52)或 (2-53)將上式等號(hào)兩邊各乘以第振型的位移,并對(duì)求和: (2-54)將上式和互換位置,并注意到振型的正交性,則有 (2-55)其中 (2-56)令 (2-57)將上式代入(2-55),得: (2-58)這樣,經(jīng)過變換,便將原來的運(yùn)動(dòng)微分方程組(2-47)分解成個(gè)以廣義坐標(biāo)為變量的獨(dú)立微分方程了。它與單質(zhì)點(diǎn)體系在地震作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程(2-7)基本相同,所
12、不同的只是方程(2-7)中的變成;變成;同時(shí)等號(hào)右邊多了一個(gè)系數(shù)。所以,式(2-58)的解可按照式(2-7)積分求得: (2-59)或 (2-60)其中 (2-61)比較(2-61)和式(2-16)可見,相當(dāng)于阻尼比、自振頻率的單質(zhì)點(diǎn)體系在地震作用下的位移(圖2-9)。這個(gè)單質(zhì)點(diǎn)體系成為與振型相應(yīng)的振子。求得各振型的廣義坐標(biāo)后,就可按式(2-51)求出原體系的位移反應(yīng):圖2-9 (2-62) 上式表明,多質(zhì)點(diǎn)彈性體系質(zhì)點(diǎn)的地震反應(yīng)等于各振型參與系數(shù)與該振型相應(yīng)振子的地震位移反應(yīng)的乘積,再乘以質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移,然后再把它總和起來。這種振型分解法不僅對(duì)計(jì)算多質(zhì)點(diǎn)彈性體系的地震位移反應(yīng)十分簡(jiǎn)便,而且也
13、為反應(yīng)譜理論計(jì)算多質(zhì)點(diǎn)體系的地震作用提供了方便的條件。六、 多質(zhì)點(diǎn)體系的水平地震作用多自由度彈性體系的水平地震作用及其地震內(nèi)力可采用振型分解反應(yīng)譜法求得,當(dāng)結(jié)構(gòu)高度不超過40m,以剪切變形為主且質(zhì)量和剛度沿高度分布比較均勻的結(jié)構(gòu)以及近似于單質(zhì)點(diǎn)體系的結(jié)構(gòu),亦可采用比較簡(jiǎn)單的底部剪力法。現(xiàn)僅講述將振型分解反應(yīng)譜法。1振型分解反應(yīng)譜法多質(zhì)點(diǎn)彈性體系在地震作用下質(zhì)點(diǎn)上的慣性力就是地震作用。故質(zhì)點(diǎn)上的地震作用為 (2-63)由振型正交性可得:,所以可以寫成 (2-64)又由式(2-62)得 (2-65)將式(2-64)及式(2-65)代入式(2-63),得: (2-66)式中 為第振型相應(yīng)“振子”(它
14、的自振頻率為,阻尼比為)的絕對(duì)加速度。由式(2-72)可以看出,作用在第振型第質(zhì)點(diǎn)上的地震作用最大絕對(duì)值為 (2-67)令 (2-68) (2-69)式(2-68)是第振型對(duì)應(yīng)振子的最大絕對(duì)加速度與重力加速度之比,所以它是相應(yīng)于第振型的地震影響系數(shù),這時(shí),自振周期為與第振型對(duì)應(yīng)振子的周期,即為振型的自振周期。這樣,多質(zhì)點(diǎn)彈性體系第振型第質(zhì)點(diǎn)的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值,可寫成 (2-70)式中 -第振型第質(zhì)點(diǎn)的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值; -相應(yīng)于第振型自振周期的地震影響系數(shù); -第振型參與系數(shù),按式(2-56)計(jì)算; -第振型第質(zhì)點(diǎn)的水平相對(duì)位移; -集中于質(zhì)點(diǎn)的重力載荷代表值,應(yīng)取結(jié)構(gòu)和構(gòu)配件自重標(biāo)準(zhǔn)值和
15、各可變載荷組合值之和。求出第振型第質(zhì)點(diǎn)的水平地震作用后,就可按一般力學(xué)方法計(jì)算結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)(彎矩、剪力、軸向力和變形)。我們知道,根據(jù)振型分解反應(yīng)譜法確定的相應(yīng)于各振型的地震作用均為最大值。所以,按所求得的地震作用效應(yīng)也是最大值。但是,相應(yīng)于各振型的最大地震效應(yīng)不會(huì)同時(shí)發(fā)生,這樣就出現(xiàn)了如何將進(jìn)行組合,以確定合理的地震作用效應(yīng)問題??拐鹨?guī)范根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論分析的結(jié)果,得出了結(jié)構(gòu)地震作用效應(yīng)“平方和開平方”的近似計(jì)算公式: (2-71)式中 -水平地震效應(yīng); -第振型水平地震作用產(chǎn)生的作用效應(yīng)(包括內(nèi)力及變形)。一般各個(gè)振型在地震總反應(yīng)中的貢獻(xiàn)隨著頻率的增加而迅速減少,故頻率最低的幾個(gè)振型
16、往往控制著最大反應(yīng)。在實(shí)際計(jì)算中一般采用23個(gè)振型即可??紤]到周期較長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)及其各個(gè)自振頻率較接近,故抗震規(guī)范建議當(dāng)基本周期大于1.5秒或房屋高寬比大于5時(shí),可適當(dāng)增加參與組合的振型數(shù)目。2底部剪力法底部剪力法是先計(jì)算出作用于結(jié)構(gòu)的總水平地震作用,也就是作用于結(jié)構(gòu)底部的剪力,然后將總水平地震作用按一定的規(guī)律分配給各質(zhì)點(diǎn)。多質(zhì)點(diǎn)體系第振型各質(zhì)點(diǎn)水平地震作用的總和,即底部剪力由式(2-70)為 (2-72)根據(jù)平方和開平方的近似計(jì)算公式(271),結(jié)構(gòu)總的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值或底部總水平剪力應(yīng)為: (2-73)式中 -相應(yīng)于結(jié)構(gòu)基本周期的水平地震影響系數(shù)值; -計(jì)算地震作用的恒載標(biāo)準(zhǔn)值和其他重力荷載
17、的組合值,。式(2-73)中稱為等效質(zhì)量系數(shù)。它對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)的基本周期,所以實(shí)際上反映了高振型對(duì)結(jié)構(gòu)總水平地震作用的影響,根據(jù)對(duì)大量算例的統(tǒng)計(jì),當(dāng)結(jié)構(gòu)自振周期小于0.75s時(shí)此系數(shù)可近似取為0.85,對(duì)單質(zhì)點(diǎn)體系此值等于1。因?yàn)檫m用于底部剪力法計(jì)算地震作用的結(jié)構(gòu)周期一般都小于0.75s,所以規(guī)范即取等效質(zhì)量系數(shù)為定值0.85。等效質(zhì)量系數(shù)與的乘積稱為結(jié)構(gòu)的等效總重力荷載,即 (2-74)故式(2-73)可寫為 (2-75)在求得結(jié)構(gòu)的總水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值后,須將此作用在各質(zhì)點(diǎn)上進(jìn)行分配以求得各質(zhì)點(diǎn)上的地震作用。理論分析表明,質(zhì)量和剛度沿高度分布比較均勻,高度不大并以剪切變形為主的建筑物,其地震反
18、應(yīng)將以基本振型為主而其振型接近于倒三角形。在滿足上述條件下,在計(jì)算各質(zhì)點(diǎn)上的地震作用時(shí),可僅考慮基本振型,而忽略高振型影響。這樣,基本振型質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)水平位移將與質(zhì)點(diǎn)的計(jì)算高度成正比,即,其中為比例常數(shù)(圖-10b),于是,作用在第質(zhì)點(diǎn)上的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值可寫成 (2-76)則結(jié)構(gòu)總水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值,即結(jié)構(gòu)底部剪力,可寫成 (2-77)圖2-10 底部剪力法示意圖由此可得: (2-78)將上式代入式(2-76)并以表示,就得到作用在第質(zhì)點(diǎn)的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值(圖2-10c)計(jì)算公式: (2-79)式中 -結(jié)構(gòu)總水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值,按式(2-75)計(jì)算; -集中于質(zhì)點(diǎn)的重力荷載代表值; -為質(zhì)點(diǎn)的計(jì)算高度。對(duì)于自振周期比較長(zhǎng)的多層鋼筋混凝土房屋、多層內(nèi)框架磚房,經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn),在房屋頂部的地震剪力按底部剪力法計(jì)算結(jié)果較精確法偏小,為了減小這一誤差,抗震規(guī)范采取調(diào)整地震作用的辦法,使頂層地震剪力有所增加。對(duì)于上述建筑,抗震規(guī)范規(guī)定,按下式計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值: (2-80) (2-81)式中 -頂部附加地震作用系數(shù),其值可按抗震規(guī)范采用; -頂部附加水平地震作用(圖2-11); -結(jié)構(gòu)總水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值,按式 (2-75)計(jì)算。其余符號(hào)同前。震害表明,突出屋面的屋頂間(電梯機(jī)房、水箱房)、女兒墻、煙囪等,它們的震害比下面主體結(jié)構(gòu)嚴(yán)重。這是由
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