2017全國卷1理科數(shù)學(xué)試題詳細(xì)

1、2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國I卷）理科數(shù)學(xué)解析人 李躍華注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、 選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1. 已知集合，則（）ABCD【答案】 A【解析】 ，選A2. 如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分位于正方

2、形的中心成中心對(duì)稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）ABCD【答案】 B【解析】 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則圓半徑為則正方形的面積為，圓的面積為，圖中黑色部分的概率為則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為 故選B3. 設(shè)有下面四個(gè)命題（）：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)，則ABCD【答案】 B【解析】 設(shè)，則，得到，所以.故正確；若，滿足，而，不滿足，故不正確；若，則，滿足，而它們實(shí)部不相等，不是共軛復(fù)數(shù)，故不正確；實(shí)數(shù)沒有虛部，所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故正確；4. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的公差為（）A1B2C4D8【答案】 C【解析】 聯(lián)立求

3、得得選C5. 函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)若，則滿足的的取值范圍是（）ABCD【答案】 D【解析】 因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，于是等價(jià)于|又在單調(diào)遞減 故選D6. 展開式中的系數(shù)為ABCD【答案】 C.【解析】 對(duì)的項(xiàng)系數(shù)為對(duì)的項(xiàng)系數(shù)為，的系數(shù)為故選C7. 某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為，俯視圖為等腰直角三角形、該多面體的各個(gè)面中有若干是梯形，這些梯形的面積之和為ABCD【答案】 B【解析】 由三視圖可畫出立體圖該立體圖平面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形的面故選B8. 右面程序框圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入A和B和C和

4、D和【答案】 D【答案】 因?yàn)橐蟠笥?000時(shí)輸出，且框圖中在“否”時(shí)輸出“”中不能輸入排除A、B又要求為偶數(shù)，且初始值為0，“”中依次加2可保證其為偶故選D9. 已知曲線，則下面結(jié)論正確的是（）A把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線B把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線D把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線【答案】 D【解析】 ，首先曲線、統(tǒng)一為一三角函數(shù)

5、名，可將用誘導(dǎo)公式處理橫坐標(biāo)變換需將變成，即注意的系數(shù)，在右平移需將提到括號(hào)外面，這時(shí)平移至，根據(jù)“左加右減”原則，“”到“”需加上，即再向左平移10. 已知為拋物線：的交點(diǎn)，過作兩條互相垂直，直線與交于、兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，的最小值為（）ABCD【答案】 A【解析】 設(shè)傾斜角為作垂直準(zhǔn)線，垂直軸易知同理，又與垂直，即的傾斜角為而，即，當(dāng)取等號(hào)即最小值為，故選A11. 設(shè)，為正數(shù)，且，則（）ABCD【答案】 D【答案】 取對(duì)數(shù)：.則，故選D12. 幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)，這款軟件的激活碼為下面數(shù)

6、學(xué)問題的答案：已知數(shù)列，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，在接下來的三項(xiàng)式，依次類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)：且該數(shù)列的前項(xiàng)和為的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是（）ABCD【答案】 A【解析】 設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來兩項(xiàng)為第2組，再接下來三項(xiàng)為第3組，以此類推設(shè)第組的項(xiàng)數(shù)為，則組的項(xiàng)數(shù)和為由題，令且，即出現(xiàn)在第13組之后第組的和為組總共的和為若要使前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則項(xiàng)的和應(yīng)與互為相反數(shù)即則故選A二、 填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. 已知向量，的夾角為，則_【答案】【解析】 14. 設(shè)，滿足約束條件，則的最小值為_【答案】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示由得，求的最小值，即求直

7、線的縱截距的最大值當(dāng)直線過圖中點(diǎn)時(shí)，縱截距最大由解得點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí) 15. 已知雙曲線，（，）的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為_【答案】【解析】 如圖， 又，解得 16. 如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為，、為元上的點(diǎn)，分別是一，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，為折痕折起，使得，重合，得到三棱錐當(dāng)?shù)倪呴L(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：）的最大值為_【答案】【解析】 由題，連接，交與點(diǎn)，由題，即的長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度或成正比設(shè)，則，三棱錐的高則令，令，即，則則體積最大值為三、 解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證

8、明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17. 的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知的面積為（1）求；（2）若，求的周長(zhǎng)【解析】 本題主要考查三角函數(shù)及其變換，正弦定理，余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用.（1）面積.且由正弦定理得，由得.（2）由（1）得，又， 由余弦定理得 由正弦定理得， 由得，即周長(zhǎng)為18. （12分）如圖，在四棱錐中，中，且（1）證明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值【解析】 （1）證明：，又，又，、平面平面，又平面平面平面（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形由（1）知，平面平面，又

9、、平面，又，、兩兩垂直以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，、，、設(shè)為平面的法向量由，得令，則，可得平面的一個(gè)法向量，又知平面，平面，又平面即是平面的一個(gè)法向量，由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為19. （12分）為了抽檢某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，實(shí)驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：）根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，

10、需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查（I）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性：（II）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 經(jīng)計(jì)算得，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到）附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則，【解析】 （1）由題可知尺寸落在之內(nèi)的概率為，落在之外的概率為由題可知（2）（i）尺寸落在之外的概率為，由正態(tài)分布知尺寸落在之外為小概率事件，因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理（ii），需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程檢查因此剔除剔除數(shù)據(jù)之后：20. （12分）已知橢圓：，四點(diǎn)，中恰

11、有三點(diǎn)在橢圓上（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于、兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn)【解析】 （1）根據(jù)橢圓對(duì)稱性，必過、又橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過，所以過三點(diǎn)將代入橢圓方程得，解得，橢圓的方程為：（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)得，此時(shí)過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)聯(lián)立，整理得，則又，此時(shí)，存在使得成立直線的方程為當(dāng)時(shí)，所以過定點(diǎn)21. （12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【解析】 （1）由于故當(dāng)時(shí)，從而恒成立在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，令，從而，得單調(diào)減極小值單調(diào)增 綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2

12、）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減，故在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件當(dāng)時(shí)，令令，則從而在上單調(diào)增，而故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)若，則，故恒成立，從而無零點(diǎn)，不滿足條件若，則，故僅有一個(gè)實(shí)根，不滿足條件若，則，注意到故在上有一個(gè)實(shí)根，而又且故在上有一個(gè)實(shí)根又在上單調(diào)減，在單調(diào)增，故在上至多兩個(gè)實(shí)根又在及上均至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故在上恰有兩個(gè)實(shí)根綜上，（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參考方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（1）若，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若上的點(diǎn)到距離的最大值為，求【解析】 （1）時(shí)，直線的方程為曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，聯(lián)立方程，解得：或，則與交點(diǎn)坐標(biāo)是