主成分分析計算方法和步驟

1、主成分分析計算方法和步驟:在對某一事物或現(xiàn)象進行實證研究時，為了充分反映被研究對象個體之間的差異，研究者往往要考慮增加測量指標，這樣就會增加研究問題的負載程度。但由于各指標都是對同一問題的反映,會造成信息的重疊，引起變量之間的共線性，因此，在多指標的數(shù)據(jù)分析中，如何壓縮指標個數(shù)、壓縮后的指標能否充分反映個體之間的差異，成為研究者關心的問題。而主成分分析法可以很好地解決這一問題。主成分分析的應用目的可以簡單地歸結為：數(shù)據(jù)的壓縮、數(shù)據(jù)的解釋。它常被用來尋找和判斷某種事物或現(xiàn)象的綜合指標，并且對綜合指標所包含的信息給予適當?shù)慕忉?，從而更加深刻地揭示事物的?nèi)在規(guī)律。主成分分析的基本步驟分為：對原始指標

2、進行標準化，以消除變量在數(shù)量極或量綱上的影響；根據(jù)標準化后的數(shù)據(jù)矩陣求出相關系數(shù)矩陣R;求出R矩陣的特征根和特征向量；確定主成分，結合專業(yè)知識對各主成分所蘊含的信息給予適當?shù)慕忉?合成主成分，得到綜合評價值。結合數(shù)據(jù)進行分析本題分析的是全國各個省市高校績效評價，利用全國2014年的相關統(tǒng)計數(shù)據(jù)（見附錄），從相關的指標數(shù)據(jù)我們無法直接評價我國各省市的高等教育績效，而通過表5-6的相關系數(shù)矩陣，可以看到許多的變量之間的相關性很高。如：招生人數(shù)與教職工人數(shù)之間具有較強的相關性，教育投入經(jīng)費和招生人數(shù)也具有較強的相關性，教工人數(shù)與本科院校數(shù)之間的相關系數(shù)最高，到達了0.963,而各組成成分之間的相關性

3、都很高，這也充分說明了主成分分析的必要性。表5-6相關系數(shù)矩陣本科院校數(shù)招生人數(shù)教育經(jīng)費投入相關性師生比0.2790.3290.252重點高校數(shù)0.3450.2040.310教工人數(shù)0.9630.9540.896本科院校數(shù)1.0000.9380.881招生人數(shù)0.9381.0000.893教育經(jīng)費投入0.8810.8931.000師生比重點高校數(shù)教工人數(shù)相關性師生比1.000-0.2180.208重點高校數(shù)-0.2181.0000.433教工人數(shù)0.2080.4331.000本科院校數(shù)0.2790.3450.963招生人數(shù)0.3290.2040.954教育經(jīng)費投入（元）0.2520.3100.

4、896表5-7給出的是各主成分的方差貢獻率和累計貢獻率，我們選取主成分的標準有兩個：第一，特征根大于1,因為，如果特征根小于1,說明該主成分的解釋力度太弱，還比不上直接引入一個原始變量的平均解釋力度大；第二，方差貢獻率大于85%如果這兩個標準不能同時符合要求，則往往是因為選擇的指標不合理或者樣本容量太小，應繼續(xù)調(diào)整。表5-7還顯示，只有前2個特征根大于1,因此SPSSR提取了前兩個主成分，而這兩個主成分的方差貢獻率達到了87.081%,因此選取前兩個主成分已經(jīng)能夠很好地描述我國高等教育地區(qū)現(xiàn)狀。表5-7方差貢獻率以及累計貢獻率元件起始特征值提取平方和載入合計方差的貢獻率%累加貝獻率合計方差的貢

5、獻率累加貢獻率13.98366.39066.3903.98366.39066.390121.24120.69187.0811.24120.69187.081130.5719.50896.589.5719.50896.589140.1402.33598.925.1402.33598.925150.0520.86999.794.0520.86999.794160.0120.206100.000.0120.206100.000表5-8為輸出的主成分系數(shù)矩陣，可以說明各主成分在各變量上的載荷。由表5-8可以看出，標準化后的第一主成分（簡稱Fi）對所有變量都有載荷，且載荷絕對值幾乎都在0.7以上，因此可

6、以說第一主成分是對人口結構的度量，代表了一個地區(qū)人口結構狀況，可以稱之為“綜合因子”。在綜合因子中，平均每戶人口，農(nóng)業(yè)與非農(nóng)業(yè)人口比例，人口的自然增長率比重即人口自然增長各指標具有較強的作用，人與經(jīng)濟等其他指標所起的作用次之，男女比例也起一定作用。第二主成分（簡稱F2）對重點高校數(shù)和教工人數(shù)具有負載荷，其他變量具有正載荷,并且除師生比和重點高校數(shù)載荷絕對值均小于0.2，有的甚至接近于0.1。因此，第二個主成分只是匯集了第一主成分遺漏的部分信息，我們稱之為“輔助因子”。表5-8主成分矩陣成分師生比r0.3170.799重點高校數(shù)0.396-0.759教工人數(shù)0.984-0.095本科院校數(shù)0.9

7、730.005招生人數(shù)0.9640.131教育經(jīng)費投入0.9390.011表5-9主成分評分系數(shù)矩陣成分師生比.079.643重點高校數(shù).099-.612教工人數(shù).247-.077本科院校數(shù).244.004招生人數(shù).242.106教育經(jīng)費投入.236.009根據(jù)表5-9可以得到各主成分的表達式把變量分別代入以上表達式，可以得出弓和F2兩個主成分得分，但單獨一個主成分不能很好地評價十個地區(qū)人口結構的情況，因此需要按照各主成分對應的方差貢獻率為權數(shù)計算綜合統(tǒng)計F（F0.6639F1+0.20691F2）0.87081主成分分析法的優(yōu)點：1、可消除評價指標之間的相關影響因為主成分分析在對原指標變量進

8、行變換后形成了彼此相互獨立的主成分，而且實踐證明指標之間相關程度越高，主成分分析效果越好。2、可減少指標選擇的工作量對于其它評價方法，由于難以消除評價指標間的相關影響，所以選擇指標時要花費不少精力，而主成分分析由于可以消除這種相關影響，所以在指標選擇上相對容易些。3、當評級指標較多時還可以在保留絕大部分信息的情況下用少數(shù)幾個綜合指標代替原指標進行分析主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列順序的，在分析問題時，可以舍棄一部分主成分，只取前后方差較大的幾個主成分來代表原變量，從而減少了計算工作量。4、在綜合評價函數(shù)中，各主成分的權數(shù)為其貢獻率，它反映了該主成分包含原始數(shù)據(jù)的信息量占全部信息量的比重，這樣確定權數(shù)是客觀的、合理的，它克服了某些評價方法中認為確定權數(shù)的缺陷。5、這種方法的計算比較規(guī)范，便于在計算機上實現(xiàn)，還可以利用專門的軟件主成分分析法的缺點：1、在主成分分析中，我們首先應保證所提取的前幾個主成分的累計貢獻率達到一個較高的水平（即變量降維后的信息量須保持在一個較高水平上），其次對這些被提取的主成分必須都能夠給出符合實際背景和意義的解釋（否則主成分將空