11與圓的有關(guān)計算與證明

1、（分類）滾動小專題（十一）與圓有關(guān)的計算與證明類型1 與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計算與證明（2019·安徽）20.如圖,O為銳角ABC的外接圓,半徑為5.（1）用尺規(guī)作圖作出BAC的平分線，并標(biāo)出它與劣弧BC的交點E(保留作圖痕跡,不寫作法)；（2）若（1）中的點E到弦BC的距離為3,求弦CE的長.解：（1）畫圖略（2） AE平分BAC弧BE=弧EC，連接OE則OEBC于點F，EF=3連接OC、EC在RtOFC中，由勾股定理可得FC=在RtEFC中，由勾股定理可得CE=（2019湖州）21（8分）（2019湖州）如圖，已知AB是O的直徑，C，D是O上的點，OCBD，交AD于點E，連結(jié)BC（

2、1）求證：AE=ED；（2）若AB=10，CBD=36°，求的長（2019無錫）24、（本題滿分8分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓心O，AB=17，CD=10，A=90°，cos B=，求AD的長。【解答】DAABDAB=90°在圓O中DCB=90°延長AD、BC交于點E，易證B=EDC在EAB中，EA=DA=EA-ED=625（10分）如圖，AB是以O(shè)為圓心的半圓的直徑，半徑COAO，點M是上的動點，且不與點A、C、B重合，直線AM交直線OC于點D，連結(jié)OM與CM（1）若半圓的半徑為10當(dāng)AOM=60°時，求DM的長；當(dāng)AM=12時，求DM的

3、長（2）探究：在點M運動的過程中，DMC的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由【解答】解：（1）當(dāng)AOM=60°時，OM=OA，AMO是等邊三角形，A=MOA=60°，MOD=30°，D=30°，DM=OM=10過點M作MFOA于點F，設(shè)AF=x，OF=10x，AM=12，OA=OM=10，由勾股定理可知：122x2=102（10x）2x=，AF=，MFOD，AMFADO，AD=MD=ADAM=（2）當(dāng)點M位于之間時，連接BC，C是的重點，B=45°，四邊形AMCB是圓內(nèi)接四邊形，此時CMD=B=45°，當(dāng)點M位于之間

4、時，連接BC，由圓周角定理可知：CMD=B=45°綜上所述，CMD=45°（2019溫州）22.（本題10分）如圖，D是ABC的BC邊上一點，連接AD，作ABD的外接圓，將ADC沿直線AD折疊，點C的對應(yīng)點E落在上.（1）求證：AE=AB.（2）若CAB=90°，cosADB=，BE=2，求BC的長.（2019臺州）24.如圖，是的內(nèi)接三角形，點在上，點在弦上（不與重合），且四邊形為菱形.（1）求證：；（2）求證：；（3）已知的半徑為3.若，求的長；當(dāng)為何值時，的值最大？（2019南通）28.如圖，的直徑，是上（不與點重合）的任一點，點為上的兩點.若，則稱為直徑的

5、“回旋角”.（1）若，則是直徑的 “回旋角”嗎？并說明理由；求弧長，圓周角定理、垂徑定理、勾股定理（2）若的長為，求“回旋角”的度數(shù)；（3）若直徑的“回旋角”為，且的周長為，直接寫出的長.解：28（1）是； （2）45°； （3）3或23（2019湘潭）（2019南京）26.如圖，在正方形中，是上一點，連接.過點作，垂足為.經(jīng)過點、，與相交于點.（1）求證；（2）若正方形的邊長為，求的半徑（2019黃岡）18. 如圖，是的直徑，為的弦，與的延長線交于點，過點的切線交于點.（1）求證：.（2）若，求線段的長.（2019宜昌）21. 如圖，在中，. 以為直徑的半圓交于點，交于點.延長至點

6、，使,連接.(1)求證:四邊形是菱形；(2) 若，求半圓和菱形的面積.21.(1)證明：為半圓的直徑，又,四邊形是平行四邊形.又,（或，）平行四邊形是菱形.(2)解：,設(shè)，則，解法一：連接，（如圖）圖1為半圓的直徑，或（舍去）解法二：連接.（如圖）圖2四邊形是圓內(nèi)接四邊形或（舍去）解法三：如圖1，連接，為半徑的直徑，可證或（舍去）（2019福建）（2019張家界）20、（本小題滿分6分）如圖，點是的直徑延長線上一點,且=4,點為上一個動點(不與重合),射線與交于點(不與重合)(1) 當(dāng)在什么位置時,的面積最大,并求岀這個最大值；(2)求證:.20.解：（1）當(dāng)點M在 AB弧的中點處時， 最大

7、1分 （其它表述合理均給分） 因為此時： 2分 3分 （2） 4分 5分 6分（2019貴陽）23.（本題滿分 10 分）如圖，AB 為 O 的直徑，,，且 ， AB = 4 ，點 C 在半圓上，OC AB ， 垂足為點 O ， P 為半圓上任意一點，過 P 點作 PE OC 于點 E，設(shè) DOPE 的內(nèi)心為 M ,連接 OM、PM .（1）求 ÐOMP 的度數(shù)；（2）當(dāng)點 P 在半圓上從點 B 運動到點 A 時，求內(nèi)心 M 所經(jīng)過的路徑長.【解】（1） PE OC ÐPEO = 90° ÐEPO + ÐEOP = 90° M 是 D

8、OPE 的內(nèi)心 ÐEOM = ÐPOM，ÐEPM = ÐOPM ÐPOM + ÐOPM = 1 (ÐEPO + ÐEOP) = 45°2在 DPOM 中， ÐOMP = 180° - (ÐPOM + ÐOPM ) = 180° - 45° = 135°（2）連接 CM ，作過 O、M、C 三點的外接圓，即 N ，連接 NC、NO ，在 N的優(yōu)弧上任取一點 H ，連接 HC、HO .如圖所示：由題意知： OP = OC，ÐPOM

9、 = ÐCOM，OM = OM DPOM DCOM ÐOMP = ÐOMC = 135°在 N 的內(nèi)接四邊形 CMOH 中， ÐH = 180° - ÐOMC = 180° - 135° = 45° ÐN = 2 ´ 45° = 90°由題意知： OC = 1 AB = 1 ´ 4 = 222在等腰直角三角形 CNO 中， NC = NO由勾股定理得： NC 2 + NO 2 = OC 2 即 2 NC 2 = 22 Þ NC = 2當(dāng)

10、點 P 在上運動時，點 M 在上運動90° ´p´的長為：180°與關(guān)于 OC 對稱2 = 2 p2當(dāng)點 P 在上運動時，點 M 所在弧上的運動路徑長與當(dāng)點 P 在上運動時，點 M 在上運動的路徑長相等當(dāng)點 P 在半圓上從點 B 運動到點 A 時，求內(nèi)心 M 所經(jīng)過的路徑長為：2 ´ 2 p = 2p2（2019遵義）25. (12 分)如圖，AB 是半圓 O 的直徑，C 是 AB 延長線上的點，AC 的垂直平分線交半圓于點D，交 AC 于點 E，連接 DA，DC.已知半圓 0 的半徑為 3，BC=2.(1) 求 AD 的長.(2) 點 P 是

11、線段 AC 上一動點，連接 DP，作DPF=DAC，PF 交線段 CD 于點 F.當(dāng)DPF 為等腰三角形時，求 AP 的長.（2019哈爾濱）類型2 與切線有關(guān)的計算與證明（2019十堰）23.如圖，中，以為直徑的交于點，交于點，過點作于點，交的延長線于點.（1）求證：是的切線；（2）若，求的值.（2019·德州）22.如圖,是的直徑,直線與相切于點,且與的延長線交于點.點是的中點.(1)求證:(2)若.的半徑為3，一只螞蟻從點出發(fā)，沿著爬回至點,求螞蟻爬過的路程結(jié)果保留一位小數(shù).（2019·綿陽）如圖，AB是的直徑，點D在上（點D不與A，B重合），直線AD交過點B的切線于

12、點C，過點D作的切線DE交BC于點E。（1） 求證：BE=CE；（2） 若DE平行AB，求的值。（2019·濱州）22.如圖，為的直徑,點在上,于點,且平分.求證;(1)直線是的切線;(2).（2019內(nèi)江）26.如圖，以的直角邊為直徑作交斜邊于點，過圓心作，交于點，連接.（1）判斷與的位置關(guān)系并說明理由；（2）求證：；（3）若，求的長.（2019內(nèi)江）如圖，以RtABC的直角邊AB為直徑作O交斜邊AC于點D，過圓心O作OEAC，交BC于點E，連接DE（1）判斷DE與O的位置關(guān)系并說明理由；（2）求證：2DE2=CDOE；（3）若tanC=，DE=，求AD的長【解答】解：（1）DE是

13、O的切線，理由：如圖，連接OD，BD，AB是O的直徑，ADB=BDC=90°，OEAC，OA=OB，BE=CE，DE=BE=CE，DBE=BDE，OB=OD，OBD=ODB，ODE=OBE=90°，點D在O上，DE是O的切線；（2）BCD=ABC=90°，C=C，BCDACB，BC2=CDAC，由（1）知DE=BE=CE=BC，4DE2=CDAC，由（1）知，OE是ABC是中位線，AC=2OE，4DE2=CD2OE，2DE2=CDOE；（3）DE=，BC=5，在RtBCD中，tanC=，設(shè)CD=3x，BD=4x，根據(jù)勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，x=1

14、（舍）或x=1，BD=4，CD=3，由（2）知，BC2=CDAC，AC=，AD=ACCD=3=（2019·甘肅）（2019·南充）22.如圖，是上一點，點在直徑的延長線上，的半徑為3，.（1）求證：是的切線.（2）求的值.22.解：（1）證明：連接.的半徑為3，.又，.在中，為直角三角形，.，故為的切線.（2）過作于點，.又，在中，.（2019·金華/麗水）如圖，在RtABC中，點O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC,AB相交于點D,E，連結(jié)AD.已知CAD=B.（1）求證：AD是O的切線.（2）若BC=8，tanB=,求O的半徑.（2019寧波

15、）（2019衢州）如圖，已知AB為O直徑，AC是O的切線，連接BC交O于點F，取弧BF的中點D，連接AD交BC于點E，過點E作EFAB于H。（1）求證：HBEABC；（2）若CF4，BF5，求AC和EH的長。（2019·棗莊）23如圖，在中，以為直徑作交于點.（1）求線段的長度；（2）點是線段上的一點，試問：當(dāng)點在什么位置時，直線與相切？請說明理由.解：（1）在RtACB中，AC=3cm，BC=4cm，ACB=90°，AB=5cm；連接CD，BC為直徑，ADC=BDC=90°；A=A，ADC=ACB，RtADCRtACB；（2）當(dāng)點E是AC的中點時，ED與O相切；

16、證明：連接OD，DE是RtADC的中線；ED=EC，EDC=ECD；OC=OD，ODC=OCD；EDO=EDC+ODC=ECD+OCD=ACB=90°；EDOD，ED與O相切（2019成都）20.如圖，在中，平分交于點，為上一點，經(jīng)過點，的分別交，于點，連接交于點.（1）求證：是的切線；（2）設(shè)，試用含的代數(shù)式表示線段的長；（3）若，求的長.23（10分）（2019自貢）如圖，在ABC中，ACB=90°（1）作出經(jīng)過點B，圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點E的O（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）設(shè)（1）中所作的O與邊AB交于異于點B的另外一點D，若O

17、的直徑為5，BC=4；求DE的長（如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形，可畫出草圖完成（2）問）解：（1）O如圖所示；（2）作OHBC于HAC是O的切線，OEAC，C=CEO=OHC=90°，四邊形ECHO是矩形，OE=CH=，BH=BCCH=，在RtOBH中，OH=2，EC=OH=2，BE=2，EBC=EBD，BED=C=90°，BCEBED，DE=（2019瀘州）24.如圖10，已知AB，CD是O的直徑，過點C作O的切線交AB的延長線于點P，O的弦DE交AB于點F，且DF=EF.（1）求證：；（2）連接EB交CD于點G，過點G作GHAB于點H，若PC=，PB=4，求GH的長. 【解

18、答】（1）證明：PC是O的切線，OCPC，PCO=90°，AB是直徑，EF=FD，ABED，OFD=OCP=90°，F(xiàn)OD=COP，OFDOCP，=，OD=OC，OC2=OFOP（2）解：如圖作CMOP于M，連接EC、EO設(shè)OC=OB=r在RtPOC中，PC2+OC2=PO2，（4）2+r2=（r+4）2，r=2，CM=，DC是直徑，CEF=EFM=CMF=90°，四邊形EFMC是矩形，EF=CM=，在RtOEF中，OF=，EC=2OF=，ECOB，GHCM，GH=（2019宜賓）23（10分）（2019宜賓）如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點，D為BC延長線

19、一點，且BC=CD，CEAD于點E（1）求證：直線EC為圓O的切線；（2）設(shè)BE與圓O交于點F，AF的延長線與CE交于點P，已知PCF=CBF，PC=5，PF=4，求sinPEF的值【解答】解：（1）證明：CEAD于點EDEC=90°，BC=CD，C是BD的中點，又O是AB的中點，OC是BDA的中位線，OCADOCE=CED=90°OCCE，又點C在圓上，CE是圓O的切線（2）連接ACAB是直徑，點F在圓上AFB=PFE=90°=CEAEPF=EPAPEFPEAPE2=PF×PAFBC=PCF=CAF又CPF=CPAPCFPACPC2=PF×P

20、APE=PC在直角PEF中，sinPEF=（2019衡陽）23.如圖，是的外接圓，為直徑，的平分線交于點，過點作分別交、的延長線于點、.（1）求證：是的切線；（2）若，求的長度.（結(jié)果保留）解：（1）如圖，連接OD，OA=OD，OAD=ODA，AD平分EAF，DAE=DAO，DAE=ADO，ODAE，AEEF，ODEF，EF是O的切線；（2）如圖，作OGAE于點G，連接BD，則AG=CG=AC=2，OGE=E=ODE=90°，四邊形ODEG是矩形，OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，DOG=90°，DAE=BAD，AED=ADB=90°，ADEABD，=，即

21、=，AD2=48，在RtABD中，BD=4，在RtABD中，AB=2BD，BAD=30°，BOD=60°，則的長度為=（2019聊城）24.如圖，在中，平分交于點，作交于點，是的外接圓.（1）求證：是的切線；（2）已知的半徑為2.5，求，的長.（2019泰州）22.如圖，為的直徑，為上一點，的平分線交于點，于點.(1)試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由.(2)過點作于點，若，求圖中陰影部分的面積.解：（1）DE與O相切，理由：連接DO，DO=BO，ODB=OBD，ABC的平分線交O于點D，EBD=DBO，EBD=BDO，DOBE，DEBC，DEB=EDO=90°，DE

22、與O相切；（2）ABC的平分線交O于點D，DEBE，DFAB，DE=DF=3，BE=3，BD=6，sinDBF=，DBA=30°，DOF=60°，sin60°=，DO=2，則FO=，故圖中陰影部分的面積為：××3=2（2019白銀、武威、張掖）20.如圖，在中，.（1）作的平分線交邊于點，再以點為圓心，的長為半徑作；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）（2）判斷（1）中與的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)果.20.解：（1）如圖,作出角平分線CO; 作出O.（2）AC與O相切 （2019白銀、武威、張掖）27.如圖，點是的邊上一點，與邊相切于點，與邊，分別相交

23、于點，且.（1）求證：；（2）當(dāng)，時，求的長.27（1）證明：連接OE,BE DE=EF， =, OBE=DBE. OE=OB,OEB=OBE,OEB =DBE,OEBC.O與邊AC相切于點E， OEAC BCAC,C=90°. （2）解：在ABC中，C=90°，BC=3，AB=5設(shè)O的半徑為r，則AO=5-r，在Rt AOE中，, （2019常德）24.如圖12，已知是等邊三角形的外接圓，點在圓上，在的延長線上有一點,使,交于.（1）求證：是的切線；（2）求證：.【解答】證明：（1）連接OD，O是等邊三角形ABC的外接圓，OAC=30°，BCA=60°

24、，AEBC，EAC=BCA=60°，OAE=OAC+EAC=30°+60°=90°，AE是O的切線；（2）ABC是等邊三角形，AB=AC，BAC=ABC=60°，A、B、C、D四點共圓，ADF=ABC=60°，AD=DF，ADF是等邊三角形，AD=AF，DAF=60°，BAC+CAD=DAF+CAD，即BAF=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF，BD=CF（2019婁底）25.如圖， 是以為直徑的上的點， ，弦交于點.(1)當(dāng)是的切線時，求證: ；(2)求證: ；(3)已知，是半徑的中點，求線段的長.解：（1）AB是O

25、的直徑，ADB=90°，即BAD+ABD=90°，PB是O的切線，ABP=90°，即PBD+ABD=90°，BAD=PBD；（2）A=C、AED=CEB，ADECBE，=，即DECE=AEBE，如圖，連接OC，設(shè)圓的半徑為r，則OA=OB=OC=r，則DECE=AEBE=（OAOE）（OB+OE）=r2OE2，AOC=BOC=90°，CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，則BC2CE2=2r2（OE2+r2）=r2OE2，BC2CE2=DECE；（3）OA=4，OB=OC=OA=4，BC=4，又E是半徑OA的中點

26、，AE=OE=2，則CE=2，BC2CE2=DECE，（4）2（2）2=DE2，解得：DE=（2019永州）24.如圖，線段為的直徑，點、在上，垂足為點，連接，弦與線段相交于點.（1）求證：；（2）若，在的延長線上取一點，使，的半徑為，求證：直線是的切線.25、(本題滿分10分)如圖，已知AB為O的直徑，AB=8，點C和點D是O上關(guān)于直線AB對稱的兩個點，連接OC、AC，且BOC90°，直線BC和直線AD相交于點E，過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點F，與直線AD相交于點G，且GAFGCE（1）求證：直線CG為O的切線；（2）若點H為線段OB上一點，連接CH，滿足CBCH，C

27、BHOBC；求OHHC的最大值.（1） 證明：C、D關(guān)于AB對稱 GAF=CAFGAF=GCE,GCE=CAFOA=OC,CAF=ACO,GCE=ACOAB為直徑ACO+OCB=90°GCE+OCB=90°即OCG=90°，CG為圓O的切線.（2） OC=OB,CH=BCOCB=OBC,CHB=CBHCBH=OBC=OCB=CHBCBHOBC設(shè)BC=x，則CH=x，BH=當(dāng)x=2時，最大值為5.（2019宿遷）26. （本題滿分10分）如圖，AB、AC分別是 O的直徑和弦，ODAC于點D，過點A作 O的切線與OD的延長線交于點P，PC、AB的延長線交于點F. 求證

28、：PC是 O的切線； 若ABC=600,AB=10,求線段CF的長，（2019鹽城）25.如圖，在以線段為直徑的上取一點，連接、.將沿翻折后得到.（1）試說明點在上；（2）在線段的延長線上取一點，使.求證：為的切線；（3）在（2）的條件下，分別延長線段、相交于點，若，求線段的長.（2019揚州）25.如圖，在中，于點，于點，以點為圓心，為半徑作半圓，交于點.（1）求證：是的切線；（2）若點是的中點，求圖中陰影部分的面積；（3）在（2）的條件下，點是邊上的動點，當(dāng)取最小值時，直接寫出的長.（1）證明：作OHAC于H，如圖，AB=AC，AOBC于點O，AO平分BAC，OEAB，OHAC，OH=OE

29、，AC是O的切線；（2）解：點F是AO的中點，AO=2OF=3，而OE=3，OAE=30°，AOE=60°，AE=OE=3，圖中陰影部分的面積=SAOES扇形EOF=×3×3=；（3）解：作F點關(guān)于BC的對稱點F，連接EF交BC于P，如圖，PF=PF，PE+PF=PE+PF=EF，此時EP+FP最小，OF=OF=OE，F(xiàn)=OEF，而AOE=F+OEF=60°，F(xiàn)=30°，F(xiàn)=EAF，EF=EA=3，即PE+PF最小值為3，在RtOPF中，OP=OF=，在RtABO中，OB=OA=×6=2，BP=2=，即當(dāng)PE+PF取最小值時

30、，BP的長為（2019江西省卷）20.如圖，在中，為上一點，以點為圓心，為半徑作圓，與相切于點，過點作交的延長線于點，且.（1）求證：為的切線；（2）若，求的長.（2019呼和浩特）（2019臨沂）（2019臨沂）如圖，ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與O相切于點D，OB與O相交于點E（1）求證：AC是O的切線；（2）若BD=，BE=1求陰影部分的面積【解答】（1）證明：連接OD，作OFAC于F，如圖，ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，AOBC，AO平分BAC，AB與O相切于點D，ODAB，而OFAC，OF=OD，AC是O的切線；（2）解：在RtBOD中，設(shè)O的半徑為r，則

31、OD=OE=r，r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，OD=1，OB=2，B=30°，BOD=60°，AOD=30°，在RtAOD中，AD=OD=，陰影部分的面積=2SAODS扇形DOF=2××1×（2019濰坊）22如圖,為外接圓的直徑,且(1)求證:與相切于點；(2)若, ,求的長（2019天津）21. 已知是的直徑，弦與相交，.（）如圖，若為的中點，求和的大??；（）如圖，過點作的切線，與的延長線交于點，若，求的大小.（2019武漢）21（本題8分）如圖，PA是O的切線，A是切點，AC是直徑，AB是弦，連接PB、PC，PC交AB

32、于點E，且PAPB(1) 求證：PB是O的切線(2) 若APC3BPC，求的值（2019邵陽）21如圖（十二）所示，AB是O的直徑，點C為O上一點，過點B作BDCD，垂足為點D，連結(jié)BCBC平分ABD求證：CD為O的切線21（8分）證明：BC平分ABD，OBCDBC2分OBOC，OBCOCB4分DBCOCBOCBD6分BDCD，OCCD又點C為O上一點，CD為O的切線8分（2019·淄博）22. （本小題滿分8分）如圖，以為直徑的外接于，過點的切線與的延長線交于點，的平分線分別交于點，其中的長是一元二次方程的兩個實數(shù)根（1）求證：；（2）在線段上是否存在一點，使得四邊形是菱形？若存在

33、，請給予證明，并求其面積；若不存在，說明理由.解：（1）DP平分APB，APE=BPD，AP與O相切，BAP=BAC+EAP=90°，AB是O的直徑，ACB=BAC+B=90°，EAP=B，PAEPBD，PABD=PBAE；（2）過點D作DFPB于點F，作DGAC于點G，DP平分APB，ADAP，DFPB，AD=DF，EAP=B，APC=BAC，易證：DFAC，BDF=BAC，由于AE，BD（AEBD）的長是x25x+6=0，解得：AE=2，BD=3，由（1）可知：，cosAPC=，cosBDF=cosAPC=，DF=2，DF=AE，四邊形ADFE是平行四邊形，AD=AE，

34、四邊形ADFE是菱形，此時點F即為M點，cosBAC=cosAPC=，sinBAC=，DG=，在線段BC上是否存在一點M，使得四邊形ADME是菱形其面積為：DGAE=2×=（2019德陽）（2019廣東省卷）24.如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的O經(jīng)過點C，連接AC、OD交于點E.（1）證明：OD/BC；（2）若tanABC=2，證明：DA與O相切；（3）在（2），連接BD交O于點F，連接EF，若BC=1，求EF的長.（2019菏澤）22.如圖，內(nèi)接于，過點作，與的平分線交于點，與交于點，與交于點.（1）求的度數(shù)；（2）求證：；（3）求證：是的切線.（2019

35、隨州）（2019咸寧）（2019孝感）23.如圖，中，以為直徑的交于點，交于點，過點作于點，交的延長線于點.（1）求證：是的切線；（2）已知，求和的長.（2019巴中）26. 已知如圖9所示，中，是的角平分線，以為圓心，為半徑畫圓，交所在直線于、兩點，連接、.（1）求證：直線是的切線.（2）若，求的長（2019郴州）23.已知是的直徑，點是延長線上一點，是的弦，.（1）求證：直線是的切線；（2）若，垂足為，的半徑為，求的長.（2019深圳）22如圖9，是的外接圓，,， 。點為上的動點，連接并延長，交的延長線于點。（1）試求的長；（2）試判斷的值是否為定值？若為定值，請求出這個定值，若不為定值，

36、請說明理由。（3）如圖10，連接，過點作于點，連接，求證：。圖10圖922.解：(1)作，在中，(2)連接四邊形內(nèi)接于圓，公共（3）在上取一點，使得在和中（2019黔東南、黔西南、黔南）22.如圖，是的直徑，切于點，連接，作交于點，的延長線與的延長線交于點. （1）求證：是的切線；（2）若的半徑為，求的長.（2019恩施）23.如圖，為直徑，點為半徑上異于點和點的一個點，過點作與直徑垂直的弦，連接，作，交于點，連接、交于點.（1）求證：為切線；（2）若的半徑為，求；（3）請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.23（10分）（2019恩施州）如圖，AB為O直徑，P點為半徑OA上異于O點和A點的一個點，

37、過P點作與直徑AB垂直的弦CD，連接AD，作BEAB，OEAD交BE于E點，連接AE、DE、AE交CD于F點（1）求證：DE為O切線；（2）若O的半徑為3，sinADP=，求AD；（3）請猜想PF與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【解答】證明：（1）如圖1，連接OD、BD，BD交OE于M，AB是O的直徑，ADB=90°，ADBD，OEAD，OEBD，BM=DM，OB=OD，BOM=DOM，OE=OE，BOEDOE（SAS），ODE=OBE=90°，DE為O切線；（2）設(shè)AP=a，sinADP=，AD=3a，PD=2a，OP=3a，OD2=OP2+PD2，32=（3a）2+（2a）

38、2，9=96a+a2+8a2，a1=，a2=0（舍），當(dāng)a=時，AD=3a=2，AD=2；（3）PF=FD，理由是：APD=ABE=90°，PAD=BAE，APFABE，PF=，OEAD，BOE=PAD，OBE=APD=90°，ADPOEB，PD=，AB=2OB，PD=2PF，PF=FD（2019黃石）21、（本小題8分）如圖，已知A、B、C、D、E是O上五點，O的直徑,BCD=120°，A為的中點，延長BA到點P，使BA=AP，連接PE（1）求線段BD的長（2）求證：直線PE是O的切線.（2019荊門）23.如圖，為的直徑，為上一點，經(jīng)過點的切線交的延長線于點，

39、交的延長線于點，交于，于，分別交、于、，連接，.（1）求證：平方；（2）若，求的半徑；求的長.23.（1）證明：連接，直線與相切于點，又，.平方.（2）解：，又，設(shè)的半徑為，則，解得連接，為的直徑，在中，為的直徑，（2019淮安）24（本題滿分10分）如圖，AB是O的直徑，AC是O的切線，切點為A，BC交O于點D，點E是AC的中點（1）試判斷直線DE與O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若O的半徑為2，B50°，AC4.8，求圖中陰影部分的面積（1）先根據(jù)“SSS”證明AEODEO，從而得到ODEOAE90°，即可判斷出直線DE與O相切； （2）陰影部分面積為：22（12分）（

40、2019建設(shè)兵團）如圖，PA與O相切于點A，過點A作ABOP，垂足為C，交O于點B連接PB，AO，并延長AO交O于點D，與PB的延長線交于點E（1）求證：PB是O的切線；（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值（2019河北）25. 如圖15，點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為26，以原點為圓心，為半徑作優(yōu)弧，使點在右下方，且.在優(yōu)弧上任取一點，且能過作直線交數(shù)軸于點，設(shè)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，連接.（1）若優(yōu)弧上一段的長為，求的度數(shù)及的值；（2）求的最小值，并指出此時直線與所在圓的位置關(guān)系；（3）若線段的長為，直接寫出這時的值.（2019北京）22. 如圖，AB是O的直徑，過O外一點P作O的兩條切線PC，P

41、D，切點分別為C，D，連接OP，CD.(1)求證:OPCD;(2)連接AD，BC，若DAB=50°，CBA = 70°，OA=2，求OP的長.（2019安順）25.如圖，在中，為的中點，與半圓相切于點.（1）求證：是半圓所在圓的切線；（2）若，求半圓所在圓的半徑.（2019遂寧）如圖，過O外一點P作O的切線PA切O于點A，連接PO并延長，與O交于C、D兩點，M是半圓CD的中點，連接AM交CD于點N，連接AC、CM。（1）求證：CM2=MNMA（2）若P=300，PC=2，求CM的長（2019仙桃）22（滿分8分）如圖，在O中，AB為直徑，AC為弦過BC延長線上一點G，作GD

42、AO于點D，交AC于點E，交O于點F，M是GE的中點，連接CF，CM （1）判斷CM與O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若ECF2A，CM6，CF4，求MF的長（第22題圖）·ABCDEFMGO（2019玉林）（2019河南）19.（9分）如圖，AB是圓0的直徑，DO垂直于點O，連接DA交圓O于點C，過點C作圓O的切線交DO于點E，連接BC交DO于點F。（1）求證：CE=EF；（2）連接AF并延長，交圓O于點G，填空：當(dāng)D的度數(shù)為_時，四邊形ECFG為菱形；當(dāng)D的度數(shù)為_時，四邊形ECOG為正方形。（2019廣西北部灣經(jīng)濟區(qū)）（2019蘭州）（2019齊齊哈爾）（2019大慶）（2019懷化）（2019陜西）23（本題滿分8分）如圖，在RtABC中，ACB90°