第三章分離變量法(2)

1、習(xí)題3.21 求解具有放射性衰變的熱傳導(dǎo)議程。ur 三 j> Ae '* w( 0* r) = u(Ar) = 0城 % (常數(shù))0</J > 0解：由于對(duì)應(yīng)的齊次方程具有第一類邊界條件，故令：w(xj)= JL i(Osiri-A /k"二工 (ZJsin A 心/，小TrU(1 - - I)At故得原定解問題的解為: “壯| %- “I廣八一 *ik土ig寧、-血罟( 12長(zhǎng)為I的均勻弦，弦上每一點(diǎn)受外力作用，其力密度為bxt，若弦的兩端是自由的，而初始位移為零，初始速度為(I x)，試求弦的橫振動(dòng)。解：該問題的數(shù)學(xué)模式為：代入方程和初始條件得：其中JI

2、7H -舞山r'十 <(0rtf nju i 帀町(T -+ )其中込卜旳嚴(yán) Ar口h =呂'口卵 * /M7<> < A < /t / > 0匚- Dv( x.O) = o tJf( ,o)= f- xbxt = £0-0解：由于該問題所對(duì)應(yīng)的邊界條件是第二類邊界條件，故可令u( % 0 = Z代入方程和初始條件有:jnjr、兀 I "CU8 Tcdr- r thus i +ttJ9T, (Olcns Jt整理得:芝 OFms 4 = a尊*其中ilffM r JTf aCa erasf * 打申 sin 將 代入上式得

3、吒二卜1門將代入上式有2f 12W4 1 - (-1)"rj = 十顯莎"於G"JT4u( £ ” =乞 7(/) COS£fe-0DJf i?in3 求解下列定解問題+ 沖* t) < a < A f > 0m( xT0) Ot u/jc.0) = 0d(0,/) = 0. ut L t) = 0Ax =區(qū) /<Osin a其中顯 a “Artf cnsa(» 2 j處一 | Ax sn jc I人f(i)解：該方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程是第一基邊齊條件，于是可設(shè)t/(-=工 (l)sinfl-1(-1/代入方程和

4、初始條件有:I 二.jw"flijr* . nn'. Jt<r iritift * _ 理 I I w J Hl JF* y (-1)91 fITIi SI i£ rty T (l?)in r - O.T r OBin r ： U(7*J 71/整理得： mrtajtj 2 Ai (- l)*T耳=C.cos -r+r + r-r 廠將' ' 代入上式得2Af (-1)"4' 2Af (- IfL = _-_=- T -J?將代入得 'JJTtf= 7CMV 2A11 (-1)"JVf' 2 At&#

5、39;(-1>*itKant遲 】i j TJ-*L PF廠 5 Tr* T *i a t ntB m jn/L1uT - if' .(/= 4sin tai0 < jv < A f > 0m(0,O- ,(AD - 0u( xO) = 0解：該問題對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征函數(shù)為1/J 4 2"72,1 口十,n 42_.7 jta 4sin w/ = V f (r)sin幷工 ij 丿17匸Xt xl = CK sin L 尸9ftw( x, /)=工 Tn( l) sin故令-代入方程和初始條件有:£1.3 is(卄)JT Q”+ 匚“2 W

6、2 J . n+7/j Z) - j /kin mf sii】 j -乩wh其中(3)則有:口0)八代入上式得u,;, *= A0< a< < y< t> Qjw(Osy)=譏磯腳=0E 二心 h)二 0ii sin tifi co cus to r1；- + w4- w解：令(x,y)- Y Xsiny b川二工A siniv«till ITy! A 廣一 nn J sin ydv b J(l b r '則代入方程和邊齊條件，并比較系數(shù)有:其中fn' X(.x) - Am ®is)心(m(2jn+ 1)zjt 2對(duì)應(yīng)的齊次方程

7、的通解為4衛(wèi)(2m+ J)；t不：（須的特解為則的通解為將二山-；心7代入a得九（1列）廠厲（】）<-j - - *S _ 廠一2# 飛葉32 /I- sAp?2-iftpA-z) - shftafj_ sh/tj原方程的解為u_ - au + At? cos a2/5科0) = 0,= 0u,(o,n = 0,/,0= o(4) I解：該方程所對(duì)應(yīng)的齊次問題的特征函數(shù)為:0J,2于是原方程的解可以設(shè)為n +：4<J) 工 f (f)COS L JTAI'( 1)I.卄（2）并且Ae a>s a = V f (0«xis2 nx”Jl"rt-01將

8、（2）變形為一T亠畀二(2円+1)開Ae co& j= V I (t)msjt空厶"類比知(0 -屜 F打 M 0-/7 = l,2r.-將（1）代入原方程和初始條件有:川4 .fl 4-片專一V 7" jx = V II K xmcos(f|4帶事4鼻-I=£匚財(cái)一"rf-0InJ7*人 斗 2Tnt)= fn(t)7；(0)-0.7；(0= 0整理即為 將（1）代入齊次初始條件有 當(dāng)n = 0時(shí)有幾(Q +(0=加 2 i7；(0) = <ls(0)= 0（3）的通解為:q Kin 2 /代入上式得代入上式得+Til) = C. cos

9、 jrt + D” <iin將(6)代入上式有 i ?,/ ； - -t0fr 卜一V 7；(f)ms 7, (Hcos 仁】*2/其中 -t時(shí)刻的疊_ cos ctj/ sin pjjsf cos 何左?4:試用沖量原理推理有界弦純強(qiáng)迫振動(dòng)解，即用沖量原理證明下列方程1 % M且'戦，* /'( A, f)J)史用戈人、0u(認(rèn) 0 = w( A f) 0ij( xSl) = i;/ v,0) = 0的解為、A T J tr j. _ .、丄"I ffr<J( X. 0 - V I /n (r I sin (/ - r </r -sin. jt幺心

10、彌山/ i2 JJjJTf(0 = f /(«u)sin其中證明：(1) 引進(jìn)瞬時(shí)力的概念外力f ( X，t )是持續(xù)作用的，應(yīng)對(duì)弦上各點(diǎn)的位移均產(chǎn)生影響。因此 的位移u(x，t)，應(yīng)是外力從t=0持續(xù)到時(shí)刻t的結(jié)果。現(xiàn)將持續(xù)力f (X，t )看成一系列前后相繼的瞬時(shí)力f (X，)加。/(>, f) = rt r )<J (r - r dr由 函數(shù)的定義，瞬時(shí)力作用從：開始，到一結(jié)束，根據(jù)疊加原理，定 解問題的解，應(yīng)是所有瞬時(shí)力引起的位移'的疊加。即（2） 求一的定解問題由于弦兩端固定的情況沒有變，交且-時(shí)刻的瞬時(shí)x不可能引起，時(shí)刻的初始位移和初速度，因此，應(yīng)滿足

11、如下位移。*Mr> = 00, vf（ vXH= 0（3）利用沖量定理將非齊次方程齊次化。由于瞬時(shí)力':的作用僅發(fā)生在.：時(shí)段內(nèi)，若將初始時(shí)刻設(shè)為-，貝的定解問題中，方程就變成齊次了。此時(shí)由于瞬時(shí)力作用僅為一瞬間，來不及使弦產(chǎn)生位移，故有= °但是可以產(chǎn)生在時(shí)刻：的初速度，此初速度可由沖量定理求出。對(duì)（2）中的方程從至?xí)绶e分。即 叫D = g）由于瞬時(shí)x在時(shí)刻 尚未起作用，所以故可得:綜上，若以：簡(jiǎn)記為作為初始時(shí)刻，則的定解問題就化為I k； - a" i/R = 0,( < a < A / > f ) | HO 汀)二 M h fl = 0

12、H x,r) = 0.(x,r) = f( v.r I則上面的方程變?yōu)?) - l(/. 71 - 0M仁二也廠I v.0) = / (氐t)亠2 J宀* 一 打jt亠心0 I H皿=A(t )%= a'f -. -J1JTH x. r) = >rr/(r)sin. sin -X/JTJTHx;tr) = y,f (r)sinj r - r )sin.V/于是原方程的解為丿丿,二上if*irtH xk# IF IfB<r Jwn - (J- rjrflr i nil* X /5均勻?qū)Ь€，每單位長(zhǎng)度的電阻為，恒定的電流I，導(dǎo)線表面跟周圍溫度為零的介質(zhì)進(jìn)行熱交換，試求導(dǎo)線上溫度

13、的變化。設(shè)初始溫度和兩端溫度都為零，h是交換系數(shù)。解：設(shè)導(dǎo)線的熱傳導(dǎo)系數(shù)、熱交交換系數(shù)，比熱密度分別為k，h，c，p,則由熱量導(dǎo)性定律可得方程為：Cp utdr - Ku l/t = - hudr K! ' di其中，表示溫度，故其定解問題為：f62沖 廠拭礙-巻吐4 機(jī)二J f) - (HA/J = 0»( - 0sin由于對(duì)應(yīng)的齊次問題的特征函數(shù)為，故令H(叢0 =工耳,(0如“ Jf葉1/=> A sn 干勺 fi-d-ri1 Jj- R , ifff J 2 P R A = |Mil xax :1加3/血0=2wj4fR(2m +1)jt5n - 2 i IH

14、riffsina代入方程和初始條件中，比較前的系數(shù)有:<7>( 2 m I)7F求得其中<?.F ' “”十l)fAPj丁 G/cp4/'rt+ 1)jt將初始條件代入處為=£（】-嚴(yán)）所以匕LI un 于是導(dǎo)線上溫度的變化規(guī)律為C jlO -和1*40 4 |> J - * 1. ff習(xí)題 3.3（ P195）1 長(zhǎng)為I而固定于 一端的均勻細(xì)桿，處于靜止?fàn)顟B(tài)，在時(shí)，一個(gè)三臺(tái)桿 長(zhǎng)方向的力 Q （每單位面積上）加在桿的另一端上，求在，時(shí)，桿上各點(diǎn)的位 移。解：該問題的泛定方程為Ua = J 2 D< X < A f > 0-w

15、（ E f） = 6 H （H）ESMl。）二口比（仏=D其中E, S分別為細(xì)桿的楊氏模量及橫截面積，由于是非齊次邊界問題，必須齊次 化，為此令 駅hD-Fm譏*昇）其中競(jìng)m滿足、Q舊（耳F） = A可取''滿足下面的方程務(wù)=護(hù)K < I- t > 0、v(C, t) = 0 v Jit) = 0v(x,0) = - x v (i.O) - 0 ES在上面關(guān)于的方程中，齊次方程所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為n +X (a J= sin .ta,p * JT于是可令u( X, 0 = 2人如dI代入方程有E £HsiD<r整理即為:求解得1 n +2f UJ =

16、C cos 亠 + Dn in其中，*/ v| X-0)又5ES?IE (0) sin /r.id_u*Q A EST (0)= - t - Jtsin J h ESfl42 Ji .xdx/)+!FS又,代入關(guān)于一的通解有：'11門4，T*(fi)wn _nfT；(0>= 0切2小)心刀4-坤 t-ir1 n+ Z, u'-£5廠2處】)/rn +v(jt. 0 =(O-sii» 對(duì)*It-U#i v(x.t) 4 期K/t)7-JTJT2卄竺F E": S產(chǎn)ES ESx 1 土("+ ifaA f2:有一長(zhǎng)為I，側(cè)面絕熱，而初始

17、溫度為0的均勻細(xì)桿，它的一端；-處溫度永遠(yuǎn)保持0°C,而另一端處的溫度隨時(shí)間直線上升，即 二&：； (C為常數(shù))，求t>0時(shí)，桿的溫度分布。解：該定解問題的泛定方程為：氣 M f Ug () < X t 1 L > 0« t = cr, u(L t) = 0u ¥,0) = 0這是一個(gè)非齊次邊界問題，必須進(jìn)行齊次化處理，為此，令 u( v, 0 -珂血“ 4呎耳/)其中 | 滿足 '-1'- 宀 上“：0 - a, f 1 jv.三燈十丼- cf1于是可取，即這樣原方程可以變?yōu)镠 at0) = 0上面關(guān)于的方程所對(duì)應(yīng)的齊次

18、方程齊次邊齊的特征函數(shù)為花二£,腫A于是可以令：H X, n = r, (i)sin代入非齊次方程有：+ E AJOsin 其中f (1 - Ucos; ” h I f整理關(guān)于一的微分方程有并比較n/rsina/ 前面的系數(shù)有、 a幾壬7；血竺2厲得口0"0 v T.O) = 0 匕/?代入.的通解表達(dá)式有/LTnirii 丿2cL I 啟龍 nH4./> - y t- -iirj刖“卜爭(zhēng)崙r，nTJ3設(shè)彈簧一端固定，另一端在外力作用下作周期振動(dòng)，此時(shí)定解問題為* ( -= 0u(0. 0 = 0. lALf = 4sin atttrf試求解，其中不為正整數(shù)，*

19、9;均為常數(shù)。解：這是一個(gè)非齊邊界問題，必須進(jìn)行齊次化處理，為此令X,卄-恆兒 “ +0其中 I 滿足 I /Isin tnt為此應(yīng)取于是關(guān)于'的方程就應(yīng)變?yōu)殛P(guān)于'的方程，如下:rd win* MM2 0/,/J = 0貞工*0) = 0. vt x,0) = -上面的方程是非齊次方程，齊次邊界，非齊次初始條件，利用疊加原理，該方 程的解可分解為下面兩個(gè)方程解的疊加。&卜代.樸=鞏/門=0w Jt.Oj = 0, K；(A,0=-A sin art(2)i 0,0= HAf) 0譏 Mtl = 0, i J ) = 0容易求得(I)的解為呂(和尺)_Ji -1(U)的解

20、為:/LTi?其中:-Ax .jisin ci/ +- i (.x. f) + ir(A, f)即二 If .1a a/r I nr an / wv-mu $TI' "=ti理-耳HP- _ 其中4.求下面的定解問題：%=/V)*(;(Oh y)=揮(yhM舐 _0 = iny2fJ v,o)二創(chuàng)u】呵二祕(mì)d (S)解：這是一個(gè)非齊次邊齊問題，必須進(jìn)行齊次化處理，為此令以盡F)= H爲(wèi)刃*頂兒y)W)其中 附兒刃滿足 榔e =毋(口，旳(x.b) = (x) 這樣可?。杭?"訃一射(走)J屮二兀H =y* +卩(射FZb則定解問(1) ( 3)化為：憐 * % 二

21、f(x,y)MO)-Cr(yk M縱刃三 if(y v ( r.O) = U, y ( x. h) = D其中：(7)f x 刖 n .t X) 2fr+fr(0)r0. bI 6_rt 咸處* -*(o工b(9)利用常數(shù)變量法(6) ( 8)的解可以令為仆2工兀,Em竺y(10)“b則(6) ( 7)兩式變?yōu)?/祁需）3 1七1辦盡（“二v<0故由付理葉余弦展開的系數(shù)公式有: 11)(121(B)其中(14)心)-¥,b-x您卜®山小FrM(16)(17»當(dāng) i時(shí)尸T(t) = | (.v.g)cus : <ia * 5 : 2 '其中 而

22、F （x， 由于方程汕b2 嚴(yán). njrtJ , Ha I eontftb，G（y）和 H（y）由（9）y）（11）有特解F" （fcc式給出，對(duì)于定解問題（18）（13），Ji而對(duì)立的齊次方程口小o有通解'':1故方程（11）有通解為(19)(21)(22)于是（15） （ 17）式的通解為兀（jr）Y*G +禮吒血將（19）式代入邊界條件（12）、（ 13）有：0+ C = C?o C,J+ C. = Hls于是 ，故（11） （ 13）式的通解為H G川 Y+ 伉十 M Fa （a 伽訪打（20）其中由（14）式給出對(duì)于定解問題（15） （ 17），由于方程（1

23、5）所對(duì)立的齊次方程兀兀（巧"有通解為C Cha + MxJI '*JT|flljt?b由常數(shù)變易法知，(15)式的特解可令為:Ab其中 '由方程組Cn (x)CJi x <in ¥= I)bfr£ r jJ C0« 平"£ w 年"鋒 S) Lbb求出。而將（21）代入邊齊條件（16）和（17），得（23）其中. 由（18）式給出，而由（22）式給出習(xí)題 3.5（ P207）1 求解圓的狄氏問題A . Jf = 0 沖-j4c«s p解：圓為圓形區(qū)域上的狄氏解為其中；待求A c( »

24、;s <jAcm ®： R n cos nip 4 /J, sin 叭比較系數(shù)知：-"f J,二；-, Jj . f P 1pA:.丄 一 a, cus 爭(zhēng) _ cos 尹I/? <2 求解扇形區(qū)域中狄氏問題的解。(p < a,a < tp < flO.w1 . =0衛(wèi)）解：利用極坐標(biāo)，方程（1）化為I丄也“J d du-p（i）令 i ? ；'- F、'H;（血"S） *利】®）鼻（i則（1）變?yōu)?'1將（4）式代入邊齊條件（2）得血（口 ） = 0.<1>（0） = 0（ii ）求解特

25、征值問題（5）和（7）為計(jì)算方便，令.： 則（5）,（0 丫站* o OEM®*”, h - o得（'（5）,（ 7）的特征值為:* w 1(11)(4)(7)變?yōu)?尚(74特征函數(shù)為卩其中n=1, 2,（iii ）將求得的特征值代入6式并求解得而由自然邊齊條件心現(xiàn)“有限，有°八°所以'SE 二川“卩“ "sili “ w -«) 而(iv )疊加T ffjpw(PtF)" £ 州*其中待求耐Y 凡占 “ “ sin !>-«)=)代入(3)式得'5(9)OJT(10)人=| *卩）藥

26、in（tfl - a 'dtp從而 Pa由此可見，求解問題（13）的解由（8）式給出，其中系數(shù)由（ 3求解泊松方程的狄氏問題卜尹=-4,（/? < a）u = 0I y解：由觀察法可得原方程的一個(gè)特解為<4 a;y）= 一（+ y3） = - r設(shè) 11'引入極坐標(biāo)系得略4丄眄“FT定解問題（I）是圓內(nèi)狄氏問題；其解為H I /,0> t；h 4 /J, In r 4- I（ ,r * ）1 d, fi.訕 M i(11)11)式給出并且-代入得':-原問題的解為+ y) =* f?14設(shè)有一個(gè)半徑為的“元限長(zhǎng)”圓柱形接地導(dǎo)體，設(shè)置要均勻外電場(chǎng)中，圓柱

27、的軸線與'方向垂直，求電勢(shì)分布。5:求圓環(huán)域的狄氏問題A tr = Ojr, < v < r )ufii，= sin &= 0解：在極坐標(biāo)系下該問題化為駅旺*田,知n #12)u(r：49>- 0(7)(7)(i)分離變量：令'''1 '則(1)式變?yōu)?4)(5)(6)彷心”丸山®卜a I廠尺 + rR(I,并且 皿="-皿；(ii)求(4)和(6)的特征值ri)* += 0*即冊(cè)個(gè)+ 2才| =(口(用)得特征值為，特征函數(shù)為=0,1,2,(iii )求解方程5得1 G + 磯 In r.n - DR. (

28、r) = -于是得：vi f用 I g. + D. In H珂 *" K l 叫 口1* 瓠"* R. 5 *i* m Cr ' * 化"i.T-l口 * >n r * E【W(wǎng)”f * J,/n, * ( j,/"i>. r )n ii.*(7)其中:：丄人 |廚3.卩|&I ut、*芒仙訂 W（I：丄人 |廚3.卩|&I ut、*芒仙訂 W（Iq =匚戌.叭h耳比“” =GA 孔=d”人孔- Q”耳（iv ）將邊界條件（2）和（3）代入上式（7）有:i'# * ti, Ir r. < 工 |i4'

29、;,r' * tfj. iimm 曲 * |a.z. ' * 札r： ika jjjc) (i 由此公式可得：60.$ 4" 0J2込0,札m仇打f .J|/3 f - 0：丄人 |廚3.卩|&I ut、*芒仙訂 W（I：丄人 |廚3.卩|&I ut、*芒仙訂 W（I町=2' » A T求解得：Jr r" - A .h（ r二sin &故原方程的解為：6: 無限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱殼，半徑為，把它充電到電勢(shì)為'日.O疋9瓷斥U = *M, T <.3 < 2Jr求圓殼內(nèi)的電勢(shì)分布。解：該定解問題的泛定方程為

30、疔=0* I U. t0 << JTMi, P）叫（T < P c 2jtLk >w）二工 p | 州 cos n（p + sin 刀少 |(3)（1）的解為：m（期沖）二 工 可"4* eqs 陀 + Bri bin ntp 在（3）中令 則有：-丸“（耳爐I =*=+ 二 | 打 丸 cvs ntp + u 艮 sin 網(wǎng)：丄人 |廚3.卩|&I ut、*芒仙訂 W（I=j* U.dipj 莎 dtp=比 4 | -,a J aMAL*霹”站 - I 町CM廉朋爭(zhēng)亦 “ J 虬ClM 1MV如|I sin ntp t sin 打爐 i/r m二【曲

31、“化 III匸匸丄I-巴(-】)“- I t n丄(1-1-】門 nIIlil,-血宀" .it = 2m + I, m = OJ, (2/jj+ I)2【比-t_)_j"(2m+- 1)乙4 工(二2jjrIm + Iul ¥ cra 2(Uj - u;) J_ # »in( 2m+ I伊= +- 、 £ =2 Jfl-b 12JF2. Ji7:求解下面的定解問題< 1)I L ?,r r r l¥i九L解：令小.U-： I 結(jié)合 -'-心沖有限得該方程的解為:IIw(r)亠 <?,)+?V -cos + Bfl

32、 sin n毎fl-二 K i At cos fjtfl + sin na' 三 y _ 眾”1所以: = 77D3 對(duì)I 卻 一 jt 】sdn A© dtp 0II并)cos itfpdtp = ( - )mh 呻 -j 璃n 療卩*加=0A «< rT ft) = t + V rJ cos 丹護(hù)+ J sin nt?)I("«n = J W 其中:JF J "I/LT-)* - sin nc*| , 1 = - 11" = (-1 J"'1 譏 rw) = c + y rn (- l)DH sil

33、l Utp = G + ynip旅丨廂棺rt-l "護(hù)其中為任意常數(shù)&在球形區(qū)域中求解泊松方程的邊值問題12（-p < b（1）2解：采用特解方法求解該問題。因?yàn)锳? = 12aa（-7J）= -12y32)(3)貝y I ：八 -:令討=；十 代入（1）和（2）兩式有：W -MMcm *IT)其通解為：|心F C "工 fii.Crti 岬陽+ 札 mil n” M s * if mJ* '.t fL W汕 fW k*、 f _ Lin n?粗 i < I ufl 換t Ijl(8)由邊界條件（6）,（ 7）進(jìn)而可設(shè)何小轉(zhuǎn)）嚴(yán) Cn + （茁

34、+-） cos 2tp將(6)，( 7)代入(9)式有：Ct +? )cos 2tp 7、cos Itp(2C.b- 2 F：b 1= -4/>J2爐故有：(9)+ b+ &d擴(kuò) i #*h*W - 2h、 _t =P +i一-j戶2護(hù)于是.亂心 1-=In7b*9:半徑為的半圓形平板，其表面絕熱，在板的周圍邊界上保持溫度為 持常溫，求此半圓形平板要恒溫狀態(tài)下的溫度分布。解：該定解問題的泛定方程為：%7腫=0用十b <0，而在直徑上保在極坐標(biāo)系下上面的方程變?yōu)樵摲匠痰倪吔缡欠驱R次，因此必須進(jìn)行齊次化處理，為此令:于是原方程為：1V * VWFP1 + V - (12 w />(1)ij = o+ d=0(2)r- “ip =wV=-ul(31設(shè)二恥兩（必代入（1）有血飛申、+久他（訓(xùn)）二0（4）（5）由（2）有:即（0）二 m（兀）_ 0（6）解（4）、（ 6）知:（）當(dāng) 時(shí)，-由6知，此時(shí)"-卩，故：應(yīng)排除掉。何勺=。時(shí)4G0 -廠詡7由（6）知u Q此時(shí)。三。故& = o也應(yīng)排除掉。-當(dāng) 乂 ：；、I：時(shí)-.:. 由（6）知': _ " 1'人G戶山即麗曲胃=。得特征值為心-”特征函數(shù)為 "三亠汀飛：y八將的值代入（5）有：般解為心#) £ 4,血 n Cn