導(dǎo)數(shù)的幾何意義上課

1、 回顧回顧平均變化率平均變化率fx121)()f xxx2f(x函數(shù)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈,x1.x2D,f(x)從從x1到到x2平平均變化率為均變化率為:割線的斜率割線的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx121)()f xxx2f(x回顧回顧以平均速度代替瞬時速度，然后通過以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。我們把物體在某一時刻的速度稱為我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度瞬時速度.從函數(shù)從函數(shù)y=f(x)在在x=

2、x0處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是:0000()(),limlimxxfxffxxxx我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù)y=f(xy=f(x) )在在x=xx=x0 0處的導(dǎo)數(shù)，記作處的導(dǎo)數(shù)，記作f f (x(x0 0) )或或y y|xx|xx0 0即即00000()()(),limlimxxfxfffxxxxx 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是導(dǎo)數(shù)的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.xyfxx 取極限，得導(dǎo)數(shù)注意注意:這里的增量不是

3、一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù)它可正也可負(fù). 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對應(yīng)的形式也必須選擇與之相對應(yīng)的形式.回回顧顧P1P2P3P4PTTTTPP( )yf x=( )y=f x( )y=f x( )y=f xOyxOyxOyxOyx211 .圖圖()1( )2( )3( )4再觀察再觀察-直線和直線和P附近的曲線的貼近程度！附近的曲線的貼近程度！在點(diǎn)在點(diǎn)P附近，曲線附近，曲線f (x)可以用在點(diǎn)可以用在點(diǎn)P處的切線處的切線PT近近似代替似代替 。PQoxyy=f(x)割

4、割線線切線切線T請看當(dāng)點(diǎn)請看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時接近時,割線割線PQ繞著繞著點(diǎn)點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動的情況逐漸轉(zhuǎn)動的情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P即即x0時時,割線割線PQ有一個確定位置有一個確定位置PT.則我們把直線則我們把直線PT稱為曲稱為曲線在點(diǎn)線在點(diǎn)P處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)那么當(dāng)x0時時,割線割線PQ的斜的斜率率,稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)P處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線 這個概念這個概念:提供了求曲線上某點(diǎn)切

5、線的斜率的一提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法種方法;切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線線 y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0)處的切線的斜率處的切線的斜率. 即即:0( )kf x切線 故曲線故曲線y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0)處的切線方程是處的切線方程是:)()(000 xxxfxfy 例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(

6、2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.（1）求出函數(shù)在點(diǎn)）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線在點(diǎn)得到曲線在點(diǎn)(x0,f(x0)的的。)(0 xf （2）根據(jù)直線方程的）根據(jù)直線方程的，即即).)()(000 xxxfxfy 求切線方程的步驟：求切線方程的步驟：例例:高臺跳水運(yùn)動中，高臺跳水運(yùn)動中， 秒秒 時運(yùn)動員相時運(yùn)動員相對于水面的高度是對于水面的高度是 （單位：（單位： ），求運(yùn)動員在），求運(yùn)動員在 時的瞬時時的瞬時速度，并解釋此時的運(yùn)動狀態(tài)速度，

7、并解釋此時的運(yùn)動狀態(tài);在在 呢呢? t)(s105 . 69 . 4)(2ttthst1mst5 . 06 . 1) 5 . 0(/hst1ththth) 1 ()1 (ttt1015 . 619 . 410) 1(5 . 6) 1(9 . 4223 . 39 . 4t3 . 3同理，同理， thh1/運(yùn)動員在時的瞬時速度為運(yùn)動員在時的瞬時速度為 ，3 . 3) 1 (/hst1sm/3 . 3st5 . 0smh/6 . 1)5 . 0(/sm/6 . 1上升上升下落下落這說明運(yùn)動員在附近，正以大約這說明運(yùn)動員在附近，正以大約 的速率的速率 。3 . 39 . 4t0limt)(lim0t

8、3 . 31/hst5 . 0sm/ .,.,.附近的變化情況附近的變化情況在在述、比較曲線述、比較曲線請描請描據(jù)圖象據(jù)圖象根根圖象圖象的的數(shù)數(shù)時間變化的函時間變化的函示跳水運(yùn)動中高度隨示跳水運(yùn)動中高度隨它表它表如圖如圖例例21021056943112tttthttth 0l1l2lthO0t1t2t311 .圖圖.,的的變變化化情情況況刻刻畫畫曲曲線線在在動動點(diǎn)點(diǎn)附附近近利利用用曲曲線線在在動動點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線 .,變化情況在上述三個時刻附近的線刻畫曲處的切線在我們用曲線解thtttxh210 1.在函數(shù)在函數(shù) 的的圖像上，圖像上，(1)用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù) ， 的幾何意義的幾何

9、意義. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0Ot (2)請描述，比較曲線分別在請描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4thtO3t4t0t1t2t (2)請描述，比較曲線分別在請描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4t增（減增（減):增（減）增（減）快慢：快慢：=切線的斜率切線的斜率附近：附近：瞬時瞬時變化率變化率

10、（正或負(fù)）（正或負(fù)）即：瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)）即：瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)）（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）畫切線畫切線即：導(dǎo)數(shù)即：導(dǎo)數(shù) 的絕對值的大小的絕對值的大小=切線斜率的絕對值的切線斜率的絕對值的 大小大小切線的傾斜程度切線的傾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）以簡單對象刻畫復(fù)雜的對象以簡單對象刻畫復(fù)雜的對象(2) 曲線在曲線在 時，切線平行于時，切線平行于x軸，曲線在軸，曲線在 附近比較平坦，幾乎沒有升降附近比較平坦，幾乎沒有升降 0t曲線在曲線在 處切線處切線 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲線附近，曲線 ，函數(shù)在，函數(shù)在 附近單調(diào)附近單調(diào)0t,1t,1t2t如圖，切線如圖，切線 的傾

11、斜程度大于切線的的傾斜程度大于切線的傾斜程度，傾斜程度， 2t1t,3t4t大于大于上升上升遞增遞增2l1l3l4l3t4t上升上升這說明曲線在這說明曲線在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t遞減遞減下降下降小于小于下降下降,3t4t .,.,幾乎沒有升降較平坦附近曲線比在所以軸平行于處的切線在曲線時當(dāng)00001ttxltthtt .,.,附近單調(diào)遞減在即函數(shù)降附近曲線下在所以的斜率處的切線在曲線時當(dāng)11111102ttthttthltthtt .,.,單調(diào)遞減附近也在即函數(shù)附近曲線下降在所

12、以的斜率處的切線在曲線時當(dāng)12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得緩慢附近比在在這說明曲線程度的傾斜的傾斜程度小于直線直線可見從圖2121311ttthll 0l1l2lthO0t1t2t311 .圖圖80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11. mlmgc/ mint411 .圖圖 .,min.,.,.,.min:)/:(,.10806040204113精確到精確到率率物濃度的瞬時變化物濃度的瞬時變化血管中藥血管中藥時時估計(jì)估計(jì)根據(jù)圖象根據(jù)圖象函數(shù)圖象函數(shù)圖象變化的變化的單位單位

13、隨時間隨時間位位單單物濃度物濃度表示人體血管中藥表示人體血管中藥它它如圖如圖例例 ttmlmgtfc(),.,f t解血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率 就是藥物濃度在此時刻的導(dǎo)數(shù)從圖象上看 它表示().f t曲線在此點(diǎn)處的切線的斜率.,.時變化率的近似值瞬可以得到此刻藥物濃度估計(jì)這條切線的斜率利用網(wǎng)格線畫出曲線上某點(diǎn)處的切如圖411 0.80.7 0.911.0 0.481.4,(0.8)1.4.t 作處的切線，并在切線上取兩點(diǎn)，如（，），（，），則該切線的斜率約為0.48-0.91k=1.0-0.7所以f00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時，在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)也簡稱也簡稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的導(dǎo) 函 數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)當(dāng)時時,f(x0) 是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù).那么那么,當(dāng)當(dāng)x變化時變化時,便是便是x的一個函數(shù)的一個函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).即即:小結(jié)：小結(jié)：.函數(shù)函數(shù) 在在 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 的的幾何意義，幾何意義，就是函數(shù)就是函數(shù) 的圖像在點(diǎn)的圖像在點(diǎn) 處的切線處的切線AD的斜率的斜率