復(fù)習(xí)三重積分了解二重的幾何意義會(huì)交換二次積分的次序例1

1、復(fù)習(xí)二重積分1. 了解二重的幾何意義.會(huì)交換二次積分的次序，例 1 .設(shè) D 為閉圓域 x2 y2_R2 .那么,R2 - x2 - y2 d 二=D解：此積分表示以半徑為R的半球體的體積.即1 3- R3二? R3 .2331x2例2 .改變二次積分0dx 0 f(x,y)dy的積分次序得()，x2111(A) 0 dyj0f(x,y)dx ； (B)加才対 f (x,y)dx ； (C) fdyf f(x, y)dx ； (D)佃匸 f (x,y)dx .解：積分區(qū)域?yàn)镈=(x.y)|0Ex蘭1 .0蘭yx2.積分區(qū)域又可表示為D二(x,y)|0細(xì)辺,y沁邛所以1 x2110dx 0 f(

2、x, y)dy 二 °dy y f(x,y)dx .2. 會(huì)利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)計(jì)算二重積分.會(huì)利用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和 球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分，2例1 .計(jì)算！伙電弓d二.其中D由x=0 y=1 y=x圍成D解：因?yàn)?X fj DD二(x y)|O_x釘x今釘.所以2 1 1 2ey dx2dx e-y dy .計(jì)算無(wú)法進(jìn)行因?yàn)?D=(x.y)|O今M . 0<x<y.所以212y Cd 1i ix2e 今 d 二D1L0'x1 2 y1212=£e dy £ x2dx =1 0y3e dyy2y dy2=i 0慫宀詩(shī)y20 i Oe"

3、;dy2=£討令伙迸) 例2.計(jì)算k iisinydxdy .其中D由曲線(xiàn)y = -、x、直線(xiàn)y=x圍成d y2解：積分區(qū)域可表示為D=(x y)|0y乞1 .y乞x乞y.于是sin y1y sin y1Idxdy dy 2 dx (1 y)sinydy=1sin1.d y0 y y01Jx丈例3.將0dx 0f(x, y)dy化成極坐標(biāo)形式的二次積分 解：積分區(qū)域?yàn)镈 =(x, y)|0 乞xid,0乞y _ _x_x2在極坐標(biāo)下DN(rj)|0 v yO豈“cos,.所以c o書(shū)f (x,y)dy = £2d8 £f (r c otS,rs i 0)r d r

4、1x-x2少J。-y dxdy其中D為x2 y2=1所圍成的閉區(qū)域-y22兀1212dxdy= 0rd r =2兀rdrydr2=右|0=江_三e例5 .計(jì)算二重積分-(1 x y z)3 其中“為平面 X。y°x y 1所圍成的四面體. 解：積分區(qū)域可表示為d(x.y .z)| 0 殳蘭 1x-y. 0今蘭1x. 0仝蘭1.于是dxdydz1 _x1 乂 y-(1 x y z)310dx0 dy。3dz(1 x y z)311a12(1 x y)21-評(píng)y1 1。2(1 x)18xdx 十心)例6計(jì)算三重積分(x2 y2)dv其中為x2 y2z及z=2所圍成的閉區(qū)域Q解：在柱面坐標(biāo)

5、下積分區(qū)域可表示為O： 0蘭日W2兀.0蘭圧2.丄r2蘭z蘭2.22 江222于是川(x2 + y2)dv=dT0drRr2r2 rdz =2叫 r3(2 -*r2)dr =竽Q2r23例7.計(jì)算三重積分HJ (x2 + y2 +z2)dv .其中。是由球面x2"2+z2=1所圍Q成的閉區(qū)域解：在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為0蘭日蘭2兀.0蘭®蘭兀.0蘭r1 .于是 |, (x2 y2 z2)dv 二r4 si n d r dd=2 si n1 r4dr =-：.00o53會(huì)計(jì)算立體的體積.會(huì)計(jì)算曲面的面積.會(huì)計(jì)算質(zhì)心或形心.例1.求由拋物柱面z=2-x2及橢圓拋物面 zX

6、2所圍成的立體的體積 解：V =fl(2x2)(22r2)rdr =2 兀r2丄/10=兀,D2例2.求錐面z.x2 y2被柱面z2=2x所割下的局部的曲面面積 解：曲面zx2 y2與z2=2x的交線(xiàn)在xOy面上的投影為+y2=2xz =(所求曲面在xOy在上的投影區(qū)域?yàn)镈二(x .y)|x2 y2_2x.A =、1 z? z：dxdy =、2 11 dxdy =2 二.D "D例3.求由曲線(xiàn)ay=x2 xy=2a(a)所圍成閉區(qū)域的形心.解：閉區(qū)域可表示為DX/yH-Zaxalxyia-M .a因?yàn)?a -xa1 227 3xdxdy 二 gdx 1x2 d ax(2x2)da .

7、Daa12一 i 1 a12x4)d36a3.a59a2a .2a 2a r1 a ?2ydxdy=嘗丄x2 Vd- a(4a -4ax x2 Da2a1(2a-xx2)dxVa.dxdy 二範(fàn) 1x2 dy 二Da所以1 ix d x d y27 a3 xla.dxdy 9 a22d2.ydxdy36a31 idxdya2練習(xí)三1 ,設(shè)區(qū)域 D 為 xy2<a2 .且仃 Ja2-x2-y2dxdy=jr .a=D2 .設(shè) D 由 y2=x 及 y=x-2 所圍成.那么 I 二 xyd -().D4 y22y42(A) I = £ dx Jyjydy ； (B) I=xydx

8、；1 Jx4 x2y 電(C) I = J0dx Lxxydy + . dx (/ydy ； (D) I= Jdx xydy ,3. 交換以下二次積分的順序.并畫(huà)出積分區(qū)域草圖aJa2_x2e ln x22-x(1) 0dxa。 f (x,y)dy - (2) 1 dx 0 f(x,y)dy - (3)丿乂蘭/化丫川丫.44 .設(shè) D : xi蘭仁 0今蘭1 貝打J(x3 + y)ydb =,D5.曲面x2 y2 z2=R2(z>0)和z=|所圍成的立體的體積可表為二重積分1 x 42<2 x2 I7 .利用極坐標(biāo)計(jì)算積分 I = 0dx 0 , x2 - y2dy dx 0 x2

9、 y2dy .8 .計(jì)算二重積分 I i(x - y)dxdy .其中 D x2 y2<2x .D9 .計(jì)算二重積分.cos(x y)亦.D是以點(diǎn)(0.0),(0.二).(二,二)為頂點(diǎn)的三D角形區(qū)域10，計(jì)算二重積分xy 2dxdy .其中D為直線(xiàn)y=x和拋物線(xiàn)y=x2所圍成的 D平面區(qū)域.11 計(jì)算二重積分.X2y2d二.其中D是圓環(huán)形閉區(qū)域(x. y)|Da2 f y2 遼 b2.12 .計(jì)算二重積分.f (x2 y2)dxdy .其中D為圓域x2 yR2 .D213，求I ="【(x2+y2+z)dv 其中0是由曲線(xiàn)"=；2z繞z軸旋轉(zhuǎn)一周的曲面Q0與平面z=4所圍立體1