5.1 線性微分方程組解的存在唯一性定理ppt課件

1、 5.1 5.1 線性微分方程組解的線性微分方程組解的 存在唯一性定理存在唯一性定理Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs 1.2 掌握高階線性微分方程與線性微分方程組的關(guān)系。掌握高階線性微分方程與線性微分方程組的關(guān)系。 理解線性微分方程組解的存在唯一性定理。理解線性微分方程組解的存在唯一性定理。 熟練掌握解的逐次逼近序列的構(gòu)造方法。熟練掌握解的逐次逼近序列的構(gòu)造方法。本節(jié)要求本節(jié)要求/Requirements/35.1.1 5.1.1 記號與定義記號與定義/Symbol and Definition/Symbol and Defi

2、nition/ ),(),(),(2121222111nnnnnxxxtfxxxxtfxxxxtfx一階微分方程組一階微分方程組初值條件初值條件nntxtxtx )( , ,)( ,)(0202101 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 4 )()()()()()()()()()()()(22112222221212112121111tfxtaxtaxtaxtfxtaxtaxtaxtfxtaxtaxtaxnnnnnnnnnn一階線性微分方程組一階線性微分方程組(5.1)上連續(xù)在，,)(),(banjit

3、ftaiij 21 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 5)()()()()()()()()()(212222111211tatatatatatatatatatnnnnnnA.(5.2)()()()(21tftftftnfnxxx21x(5.3)nxxxdtd21xx)()(ttdtdfxAxx.(5.4) 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 6 bta)()()()()()()()()()(2122221112

4、11tbtbtbtbtbtbtbtbtbtnnnnnnB)()()()(21tutututnu可定義矩陣與向量函數(shù)可定義矩陣與向量函數(shù)nnijtbt)()(BTntututut)(,),(),()(21u在區(qū)間在區(qū)間連續(xù)連續(xù):)(tbij)(tuibta連續(xù)。連續(xù)。在區(qū)間在區(qū)間可微可微:)(tbij)(tuibta可微?？晌ⅰＴ趨^(qū)間在區(qū)間nnijtbt)()(BTntututut)(,),(),()(21u可積可積:)(tbij)(tuibta可積?？煞e。在區(qū)間在區(qū)間 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs

5、 7nnijdttbdtt)()(BTndttudttudttudtt)(,)(,)()(21u)()() )()( ) 1ttttBABA)()() )()(ttttvuvu)()()()() )()( )2ttttttBABABA)()()()() )()( ) 3ttttttuAuAuA 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 8上的連續(xù)上的連續(xù) 維向量，方程組維向量，方程組btann),( bat t上連續(xù)且滿足上連續(xù)且滿足)()()()(ttttfuAu定義定義1 1設(shè)設(shè))(tA是區(qū)間是區(qū)間上的連

6、續(xù)上的連續(xù)矩陣，矩陣，)(tfbtan是區(qū)間是區(qū)間)()(ttdtdfxAxx.(5.4)在某區(qū)間在某區(qū)間的解就是向量的解就是向量)(tu在區(qū)間在區(qū)間 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 9定義定義2初值問題初值問題(Cauchy Problem)xfxAxx)()()(0tttdtd.(5.5)的解就是方程組的解就是方程組(5.4)在包含在包含tt 的區(qū)間0使得使得u)(0t),(tu上的解 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Lin

7、ear ODEs 10例例1 1 驗證向量驗證向量tteet)(u是初值問題是初值問題 1100110)(xxx在區(qū)間在區(qū)間t上的解。上的解。解解 ,)(tteetutttteeee0110 00)0(eeu11因此因此 是給定初值問題的解。是給定初值問題的解。)(tu 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 115.1.2 n 階線性微分方程與一階線性微分方程組等價階線性微分方程與一階線性微分方程組等價例例1)()()(tfxtqxtpx 21xxx xx2令令 ,1xx ,2xx)()()(21221t

8、fxtpxtqxxx)()()(tfxtqxtp 010)()()(tftptqxx解解 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 12)()()(tfxtqxtpx 010)()()(tftptqxx)(tx )()(ttx滿足滿足解解構(gòu)造向構(gòu)造向量量)()()()()()(tfttqttpt )()(tt)()()()()()(tfttqttpt 010)()()()()(tftttptq202101)(,)(txtx2010)(,)(txtx 5.1 E 5.1 Existence & Uniq

9、ueness Theorems of of Linear ODEs 13)()()(tfxtqxtpx 010)()()(tftptqxx 21)()(ttx)()()()()()(tfttqttpt 111 21)()(tt)()()()()()(tfttpttqt212 01021)()()()()(tftttptq解解滿足滿足202101)(,)(txtx2010)(,)(txtx)(tx1 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 14)()()()()()(tfxtaxtaxtaxnnnn 111令

10、令)1(321 , , , , nnxxxxxxxx21xxx32xxx nnnxxx )1(1)()()()(1211)(tfxtaxtaxtaxxnnnnn 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 15 000100001000010121)()()()()(tftatatatannxx 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 16 nnnnnntxtxtxtfxtaxtaxtax)(,)(,)()()()()()(

11、)()(012010111(5.6)xxxnnnttftatatata210121 000100001000010)()()()()()(等價等價(5.7)(t)()()()(tttn 1 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 17例例2txtx txsin 25321xxx xx2令令 ,1xx ,2xxttxxtxxxsin21222135 035102tttsinxx10 00)()(xx將初值問題將初值問題化為與之等價的一階方程組的初值問題。化為與之等價的一階方程組的初值問題。解解txtx tsi

12、n253001)(x102)(x 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 18例例3212xxx 22xx21221xxxxx 1110 xx將下列方程組化為高階方程將下列方程組化為高階方程解解0222 xxx2211xxxx注意：不是所有方程組都可化為高階方程注意：不是所有方程組都可化為高階方程 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 195.1.3 存在唯一性定理存在唯一性定理初值問題初值問題(Cauchy Prob

13、lem)xfxAxx)()()(0tttdtd.(5.5) 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 20定理定理1 1nnt是)(Af (t)是是 n 維列向量，維列向量，bta上連續(xù)，則對于區(qū)間上連續(xù)，則對于區(qū)間bta上的任何數(shù)上的任何數(shù)0t及任一常數(shù)向量及任一常數(shù)向量方程組方程組(5.5)存在唯一解存在唯一解xnt210)(定義于整個區(qū)間定義于整個區(qū)間bta上，且滿足初始條件上，且滿足初始條件x)(0t)(t 如果如果矩陣，矩陣，它們都在區(qū)間它們都在區(qū)間 5.1 E 5.1 Existence &

14、; Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 21現(xiàn)取現(xiàn)取 )(t0，構(gòu)造皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列：，構(gòu)造皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列： 010,)()()()()(ttkkdssssttfA 向量函數(shù)向量函數(shù))(tk 稱為稱為(5.4)(5.4)的第的第 k k 次近似解。次近似解。, 21 kbta 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 22例例4求方程組的初值問題求方程組的初值問題000 101101)(xxxxdtd的二次近似解。的二次近似解。000)(t dttt0

15、11000110100)( dtt010t0解解令令 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 23dtttt02100110100)( dttt010tt2210 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 245.1.4 簡單方程組的消元法簡單方程組的消元法例例5 求解方程組212211223xxxxxx 1223xx解解關(guān)鍵關(guān)鍵：保留一個未知函數(shù)，消掉另一個未知函數(shù))(22121xxx)(22121xxx 2222222

16、321xxxxx )()(02222 xxx 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 2502222 xxxtetcctx)()(212)(22121xxx)()()(ttetccetccctx21221121tetccctx)()(22112221方程組的解為tetccctx)()(22112221tetcctx)()(212 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 26例例6 求解方程組xydtdyydtdx2解解：

17、保留一個未知函數(shù) x，消掉另一個未知函數(shù) ydtdydtxd222221)(dtdxxdtxdpdtdx21pxdtdp21pxdtdxdxdp012pxdxdpp 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 27012pxdxdpp01 0pxdxdpp,0 xdxpdpxcp1xcdtdx1tcecx12xydtdyydtdx2tceccy121另外，由0pcx 0y方程組的解為tcecx12tceccy121 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 28練習(xí)：練習(xí)：2 求方程組的初值問題求方程組的初值問題 010 101201)(x