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文檔簡介

1、微積分基本定理編稿:趙雷審稿:李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解微積分基本定理的含義。2能夠利用微積分基本定理求解定積分相關(guān)問題?!疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、微積分基本定理的引入我們已學(xué)過過用定積分定義計(jì)算定積分 ,但其計(jì)算過程比較復(fù)雜,所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計(jì)算定積分的新方法,也是比較一般的方法。(1)導(dǎo)數(shù)和定積分的直觀關(guān)系:如下圖:一個(gè)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是 s=s( t),由導(dǎo)數(shù)的概念可知,它在任意時(shí)刻 t 的速度 v( t ) =s( t)。設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段 a,b 內(nèi)的位移為 s,你能分別用s(t )、v( t )表示 s 嗎?一方面,這段路程可以通過位置函數(shù)S( t)在

2、a, b上的增量s( b) s( a)來表達(dá),即 s=s( b) s( a)。b另一方面,這段路程還可以通過速度函數(shù)v( t)表示為v(t )d t ,ab即 s =v(t)dt 。ab所以有:av(t )dts( b) s( a)( 2)導(dǎo)數(shù)和定積分的直觀關(guān)系的推證:上述結(jié)論可以利用定積分的方法來推證,過程如下:如右圖:用分點(diǎn)a=t0 t1 t i1 ti tn =b,將區(qū)間 a, b等分成 n 個(gè)小區(qū)間:t 0, t1 ,t 1, t2 , t i 1, t i, t n 1, tn ,每個(gè)小區(qū)間的長度均為ttiti 1ba 。n當(dāng)t 很小時(shí),在 t i 1i上, v( t )的變化很小,

3、可以認(rèn)為物體近似地以速度v( ti 1, t )做勻速運(yùn)動(dòng),物體所做的位移shv(ti 1)ts'(ti 1) tb a s'(ti 1) 。 iin從幾何意義上看,設(shè)曲線 s=s( t )上與 ti 1 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 P,PD 是 P 點(diǎn)處的切線,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,切線 PD 的斜率等于 s( ti 1),于是sihitan DPCt s '(ti1 )t 。結(jié)合圖,可得物體總位移nnnnssihiv(ti 1 )ts '(ti 1 ) t 。i 1i 1i 1i1nn顯然, n 越大,即t 越小,區(qū)間 a, b的分劃就越細(xì),v(ti 1) ts '(

4、ti 1 ) t 與 si 1i1的近似程度就越好。由定積分的定義有na v(ti 1 )nbv(t)dtbslimblimba s '(ti 1 )s'(t)dt 。ni1nni1naa結(jié)合有sbbs '(t)dts(b)s(a) 。v(t)dtaa上式表明,如果做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(t ),那么 v(t )=s( t)在區(qū)間 a, b上的定積分就是物體的位移s(b ) s( a)。一 般 地 , 如 果 f ( x) 是 區(qū) 間 a , b 上 的 連 續(xù) 函 數(shù) , 并 且 F '(x)f (x) , 那 么bf (x)dxF (b)F(

5、 a) 。a這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理。要點(diǎn)二、微積分基本定理的概念微積分基本定理:一般地,如果 F '( x)bf (x) ,且 f ( x) 在a, b上可積,則f ( x)dx F (b) F (a) 。a這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理,又叫做牛頓-萊布尼茲公式。其中, F ( x) 叫做 f ( x) 的一個(gè)原函數(shù)。為了方便,我們常把F (b) F ( a) 記作 F ( x) b,abbF (b) F (a) 。即f (x)dx F ( x)aa要點(diǎn)詮釋: ( 1)根據(jù)定積分定義求定積分,往往比較困難,而利用上述定理求定積分比較方便。( 2)設(shè) f (x) 是定義在區(qū)間 I 上的

6、一個(gè)函數(shù),如果存在函數(shù)F (x) ,在區(qū)間 I 上的任何一點(diǎn) x 處都有 F '(x)f (x) ,那么 F ( x) 叫做函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I上的一個(gè)原函數(shù)。根據(jù)定義,求函數(shù)f ( x) 的原函數(shù),就是要求一個(gè)函數(shù)F ( x) ,使它的導(dǎo)數(shù)F '( x) 等于 f ( x) 。由于 F (x) c'F '( x)f ( x) ,所以 F (x) c 也是 f (x) 的原函數(shù),其中c 為常數(shù)。bf ( x)dx 的關(guān)鍵是找出使F '( x) f ( x) 的函數(shù)( 3)利用微積分基本定理求定積分aF (x) 。通常,我們可以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求

7、導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向求出 F( x) 。要點(diǎn)三、定積分的計(jì)算1. 求定積分的一般步驟是:( 1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差;( 2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分;( 3)分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù);( 4)利用牛頓萊布尼茲公式求出各個(gè)定積分的值;( 5)計(jì)算原始定積分的值。2. 定積分的運(yùn)算性質(zhì)。有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和(或差)的定積分等于各個(gè)函數(shù)定積分的代數(shù)和(或差),即bbbb f1 (x) f2 (x) L fn (x)dxf1( x)d xf2 (x)dx Lafn (x)dx 。aaabkf ( x)

8、dxkb常數(shù)因子可提到積分符號(hào)前面,即af (x)dx 。abaf (x)dx 。當(dāng)積分上限與下限交換時(shí),積分值一定要反號(hào),即f ( x)dxba定積分的可加性,對(duì)任意的c,有b( )dc( )db()d。af x xfx xf xxac3. 定積分的計(jì)算技巧:( 1)對(duì)被積函數(shù),要先化簡,再求積分。( 2)求被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分,依據(jù)定積分“對(duì)區(qū)間的可加性”,分段積分再求和。( 3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù),要去掉絕對(duì)值符號(hào)才能積分。要點(diǎn)詮釋: 求定積分主要是要找到被積函數(shù)的原函數(shù),也就是說,要找到一個(gè)函數(shù),它的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù). 因此,求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算. 把積分

9、上、下限代入原函數(shù)求差時(shí),要按步驟進(jìn)行,以免發(fā)生符號(hào)錯(cuò)誤。 由于F ( x)c 'f ( x), F ( x)c 也是 f ( x) 的原函數(shù),其中c 為常數(shù) .【典型例題】類型一:利用微積分基本定理求定積分【高清課堂: 微積分基本定理385549典型例題1】例 1. 計(jì)算下列定積分2 13( 2)2 xdx( 1)dx1x1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)求導(dǎo)函數(shù)與求原函數(shù)互為逆運(yùn)算,找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),利用微積分基本定理求解 .【解析】( 1)因?yàn)?(ln x)'12 1dx2ln 2ln1ln 2 。,所以1 xln x |1x3x2 |13( 2)12xdx817【總結(jié)升華】 為

10、使解題步驟清晰, 通常都是把求原函數(shù)和計(jì)算原函數(shù)值的差用一串等式表示出來。解題格式如下:有b()d()b( )( )af x x F x aF b F a舉一反三:【變式】計(jì)算下列定積分1( 2)1xdx( 1)1dx001( 4)1x3 dx( 3)x3 dx1011【答案】( 1)01dxx 0101( 2)1xdx1x2 1121021020212214 11113414( 3)x dxx1000444434 1111414( 4)x dxx1( 1)011444【高清課堂: 微積分基本定理385549典型例題2】例 2求下列定積分:2x1)dx ;( 2)(sin xcos x)d x

11、 ;( 1)( x2012x21)dx ;( 4)0ex)d x 。( 3)( x(cos x1x22x321 x2229【解析】( 1)(x2x1)dxx2dxxdx1dxx 1。22211113 1216(2)(sin x cos x)dx0sin xdx0cos xdx( cos x)0sin x02 。021)dx2221 dxx2 2x3 2237ln 2 ln 2 5 。(3) (x x2xdxx2dxln x11x111 x2 13 1236(4)0000ex01 。(cos x ex )dxcos xdxexdx sin x1e【總結(jié)升華】(1)求函數(shù) f (x) 在某個(gè)區(qū)間上

12、的定積分,關(guān)鍵是求出函數(shù)f ( x) 的一個(gè)原函數(shù),要正確運(yùn)用求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算的關(guān)系。( 2) 求復(fù)雜函數(shù)定積分要依據(jù)定積分的性質(zhì)。舉一反三:【變式1】計(jì)算下列定積分的值:2x1)dx ,1sin x) dx ,(1)(3x2( 2)( 2015 春銀川校級(jí)期中)(x2(3)011x8 )dx(8 x0【答案】2(3 x2x 1)dx (x3x2x) 02( 1)802( 2)1( x2sin x)dx( 1 x3cos x) |1(113cos1) 1(1)3cos(1)113331cos1123cos13311(8xx8 )dx (xx971( 3)08)ln8903ln

13、2 9【高清課堂: 微積分基本定理385549 典型例題2】1x【變式2】計(jì)算(1)2dxx201( 2)1e2 xdx11x13【答案】( 1)2dx1x22101x2021(2)e 2 xdx1 e21 e 21 e 2 x112122【變式3】計(jì)算下列定積分21)dx ;2(e2x1 )dxsin 2 xdx(1)x( x(2)(3)01x0【答案】( 1) Q x( x1)x2x 且 (1x3 )x2 ,(1x2 )x ,322222x2 dx21 x3 |021 x2 |02x( x1)dx(xx) dx00xdx0032(1 230) (1 220)14 .323(2) (ln x

14、)1,又 (e2 x )e2 x(2 x)2e2x ,得 e2x(1e2 x )x222 x12 2 x2 11e2x 22所以(e)dxedxdx|1ln x |11x11x21e41e2ln 2ln11e41e2ln 2.2222( 1 sin2x)(3)由 (sin2x)cos2x(2 x)2cos 2x ,得 cos2 x( 11 cos2x)dx1 dx12所以sin2xdxcos2xdx002202201 x |01 (1 sin 2x) |0(0)1 ( 1 sin 2x1 sin 0).22222222類型二:幾類特殊被積函數(shù)求定積分問題例 3求下列定積分。(1)( 2015f

15、 (x)x2 ,( x0)2梧州三模)已知函數(shù)x2 ,,求f (x)dx2( x0)1( 2)21sin 2xdx 。0【答案】(1)121)(2) 2(23【思路點(diǎn)撥】對(duì)于圖形由兩部分組成的函數(shù)在求積分時(shí),應(yīng)注意用性質(zhì)b( )f x dxacbf ( x)dx 進(jìn)行化簡 .f (x)dx ca【解析】( 1)函數(shù) f ( x)x2 ,( x0),2x2 ,( x0)2f (x)dx22 x2 dx010x2 dx ,122x2 dx 表示以原點(diǎn)為圓心,以2 為半徑的圓的面積的四分之一,022x2 dx12,042f (x)dxx2 dx1 x3 |011222 x2 dx01012323(

16、2) 2 1 sin2xdx2 (sin x cos x) 2 dx002 |sin x-cos x|dx04 |sin xcosx | dx2 |sin xcosx | dx044 (cos x sin x)dx2 (sin x cosx)dx04(sin x cosx) 4(cos x sin x) 22( 2 1)。04【總結(jié)升華】( 1)對(duì)于分段函數(shù)的定積分,通常是依據(jù)定積分“對(duì)區(qū)間的可加性” ,先分段積分再求和,要注意各段定積分的上、下限。b( ) | df (x)( 2)計(jì)算|時(shí),需要去掉絕對(duì)值符號(hào),這時(shí)要討論的正負(fù),轉(zhuǎn)化為afxx分段函數(shù)求定積分問題。舉一反三:【高清課堂:微積分

17、基本定理385549 典型例題3】【變式 1】求定積分:( 1)2f ( x)dx , 其中 f ( x)2x,0x 15,1x20( 2)3x1dx ;021212【答案】( 1)0f ( x)dx02 xdx15dxx2 05x 163x1dx 13x 1dx( 2)0x1dx 011(1x)dx 31)dx0( x1 (x1 x2 ) |10 ( 1 x2x) |13 12522;22【變式 2】計(jì)算下列定積分22| x21 | dx(1)| sin x | dx ;( 2)00【答案】(1) Q ( cosx)2sinx,0cos x |0cos x |2(2) 0x2,于是| x22

18、21 | dx1 | x(100|sinx |dx|sinx| dx2sinxdx2| sinx | dxsinxdx00(coscos0)(cos2cos)4.1 |x21(1x2)1x2 (0x1)x2)dx2(x21) dxx1x311x3x213031111232112333類型三:函數(shù)性質(zhì)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用例 4. 求定積分:1(x cosx3 x2 )dx ;1【思路點(diǎn)撥】考慮利用被積式函數(shù)的奇偶性求積分?!窘馕觥?yxcos x 是奇函數(shù),1x cosxdx0 ,12 y3 x2是偶函數(shù),1 3x2 dx21 x 3dx10( xcos x3x2 )dx0222516x 3dx3 x31110505【總結(jié)升華】 函數(shù)的奇偶性又是解決定積分有關(guān)問題的重要工具,利用這兩點(diǎn)能簡捷地解決定積分的有關(guān)問題,結(jié)論如下:(1)若 f ( x) 是偶函數(shù),則af (x)dx2aaf (x)dx;0(2)若 f ( x) 是奇函數(shù)

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