材料力學(xué)第10章

1、 材料力學(xué) 出版社 科技分社 1 1 材料力學(xué) 出版社 科技分社 2一、組合變形一、組合變形 ：在荷載作用下，構(gòu)件往往產(chǎn)生兩種或兩種以上的基本變形，當(dāng)幾種變形所對應(yīng)的應(yīng)力屬同一數(shù)量級時，則構(gòu)件的變形稱為組合變形。概述概述 材料力學(xué) 出版社 科技分社 3 齒輪傳動軸（圖c）發(fā)生彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形（兩個相互垂直平面內(nèi)的彎曲加扭轉(zhuǎn)）。 吊車立柱（圖a）受偏心壓縮，發(fā)生彎壓組合變形。 工字鋼梁 （圖b）兩個相互垂直平面內(nèi)的彎曲變形的組合 材料力學(xué) 出版社 科技分社 4二、組合變形的研究方法二、組合變形的研究方法 疊加原理疊加原理 對于組合變形下的構(gòu)件，在線性彈性范圍內(nèi)且小變形的條件下，可應(yīng)用疊加原理將

2、各基本形式變形下的內(nèi)力、應(yīng)力或位移進行疊加。、外力分析外力分析：外力向形心(后彎心)簡化并沿主慣性軸分解，力的平移定理；、內(nèi)力分析內(nèi)力分析：求每個外力分量對應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險面；畫危險面應(yīng)力分布圖，疊加，建立危險點的強度條件。 材料力學(xué) 出版社 科技分社 5一、定義：一、定義：雙對稱截面梁在水平和垂直兩縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)同時承受橫向外力時，桿件產(chǎn)生彎曲變形，但彎曲后，撓曲線與合成彎矩不共面。這種彎曲稱為斜彎曲。二、斜彎曲的研究方法二、斜彎曲的研究方法 ：1、分解：將外載沿橫截面的兩個形心主軸分解，于是得到兩個正交的平面彎曲。2、疊加：對兩個平面彎曲進行研究；然后將計算結(jié)果疊加。斜彎曲斜

3、彎曲 材料力學(xué) 出版社 科技分社 6 現(xiàn)以矩形截面懸臂梁為例來說明斜彎曲問題中應(yīng)力和變形的計算。選取梁軸線為x軸，兩個對稱軸分別為y軸和z軸。 將F沿y軸和z軸分解得： cosFFysinFFz 材料力學(xué) 出版社 科技分社 71、任意截面mm處的彎矩Fy將使梁在鉛垂平面xOy內(nèi)發(fā)生平面彎曲；而Fz 將使梁在水平平面xOz內(nèi)發(fā)生平面彎曲。 coscosMxlFxlFMyzsinsinMxlFxlFMzyxlFMMMzy22力F在m-m截面上產(chǎn)生的總彎矩 材料力學(xué) 出版社 科技分社 8在Fy和Fz共同作用下，總應(yīng)力：2、 截面上C 點處的正應(yīng)力為：設(shè)橫截面m-m上K點處在xOy和xOz平面內(nèi)發(fā)生平

4、面彎曲時的正應(yīng)力分別為、 yIMIyMzzzcoszIMIzMyyysin zIyIMyzsincosM和y、z可均取絕對值，應(yīng)力的正負號根據(jù)梁的變形來直接判斷。 材料力學(xué) 出版社 科技分社 9 為確定截面上最大正應(yīng)力點的位置，先確定中性軸的方程：設(shè)x0、y0為中性軸上任一點的坐標，由中性軸各點處的正應(yīng)力均為零，得中性軸方程為：tantan00zyzyyzIIIIMMyz中性軸與y軸的夾角：3、 中性軸方程 其中角為合成彎矩 與y的夾角。22zyMMM0sincos00zIyIyz 材料力學(xué) 出版社 科技分社 104、最大正應(yīng)力 在中性軸兩側(cè)，距中性軸最遠的點為拉壓最大正應(yīng)力點。按下述方法確定

5、： 作平行于中性軸的兩直線，分別與橫截面的周邊相切，這兩個切點（圖9.3中的點D1，D2）就是該截面上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力為最大的點。從而可分別計算水平和豎直平面內(nèi)彎曲時這兩點的應(yīng)力，然后疊加。 一般，IyIz，中性軸與外力作用平面并不垂直，這是斜彎曲的特點。當(dāng)Iy=Iz，如圓形、正方形以及一般正多邊形截面梁，中性軸與外力作用平面垂直。只要外力通過截面形心，只產(chǎn)生平面彎曲，而不會發(fā)生斜彎曲。 材料力學(xué) 出版社 科技分社 111maxDt2maxDc 對于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其橫截面都有兩個相互垂直的對稱軸，且截面的周邊具有棱角，故橫截面上的最大正應(yīng)力必發(fā)生在截面的棱角處。于是，可以根據(jù)

6、梁的變形情況，直接確定截面上最大拉應(yīng)力、壓應(yīng)力的位置，而無需定出中性軸。若材料的許用拉應(yīng)力與許用壓應(yīng)力相等，其強度條件可寫成： yyzzWMWMmaxmaxmax 材料力學(xué) 出版社 科技分社 12例題例題10-1 材料力學(xué) 出版社 科技分社 13 拉伸（壓縮）與彎曲拉伸（壓縮）與彎曲橫向力與軸向力共同作用圖9.7所示的梁為一矩形截面梁，承受橫向力q和軸向拉力F的作用。產(chǎn)生拉伸和彎曲的組合變形。 在軸向力F作用下 AFAFNN 材料力學(xué) 出版社 科技分社 14 在橫向力q作用下，梁發(fā)生平面彎曲，最大彎矩發(fā)生在跨中截面 ，即為組合變形時的危險截面彎矩作用下的正應(yīng)力沿高度按直線規(guī)律分布（圖d），其值

7、為 yIMzM在軸向拉力和橫向力共同作用下，危險截面上任一點處的正應(yīng)力，可按下式計算： yIMAFzNMN 材料力學(xué) 出版社 科技分社 15危險截面上最大正應(yīng)力發(fā)生在截面下邊緣處 zNWMAFmaxmax由于危險點為單向應(yīng)力狀態(tài)，則正應(yīng)力強度條件為 zNWMAFmaxmax拉伸（壓縮）與彎曲組合變形時，中性軸不經(jīng)過截面的形心。當(dāng)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時，桿內(nèi)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力必須分別滿足桿件的拉、壓強度條件。 材料力學(xué) 出版社 科技分社 16 偏心拉伸（壓縮）偏心拉伸（壓縮） 當(dāng)桿件所受的外力，其作用線與桿件的軸線平行而不重合時，引起的變形稱為偏心拉伸（壓縮）偏心拉伸（壓縮）

8、。這種外力稱為偏心力。 圖9.7示矩形截面直桿，拉力F作用在A點，作用點A到z軸、 y軸的距離分別為zF和yF 。 材料力學(xué) 出版社 科技分社 17 材料力學(xué) 出版社 科技分社 18 將偏心拉力F向其作用截面的形心O1簡化為軸向拉力F和力偶矩Fe，再將該力偶矩分解為對形心主慣性軸y和z的分量My和Mz(圖b)：用截面法可求得橫截面ABCD上的內(nèi)力為： FFNFyzFMFzyFM它們將分別使桿件發(fā)生軸向拉伸和在兩縱向?qū)ΨQ平面（即形心主慣性平面）內(nèi)的純彎曲?？梢?，偏心拉伸為軸向拉伸與彎曲的組合。 在橫截面ABCD上任一點E (y,z)處由軸向拉力FN、彎矩 My、 Mz引起應(yīng)力分別為 材料力學(xué) 出

9、版社 科技分社 19 AFNyFyyIzFzIzM 由軸力FN引起的正應(yīng)力為：由彎矩My引起的正應(yīng)力為由彎矩Mz引起的正應(yīng)力為zFzzIyFyIyM 按疊加原理，E (y,z)點處的正應(yīng)力即為上述三組應(yīng)力的代數(shù)和 zzyyIyMIzMAFNzFyFIyFyIzFzAF 材料力學(xué) 出版社 科技分社 20 上兩式中，F(xiàn)為拉力時，取正值，壓力時取負值。力偶矩My、Mz的正負號可以這樣規(guī)定：使截面上位于第一象限的各點產(chǎn)生拉應(yīng)力時取正值，產(chǎn)生壓應(yīng)力時取負值。還可以根據(jù)桿件的變形情況來確定。例如圖9.7b中確定G點的應(yīng)力時，在My作用下G處于受壓區(qū)，則式中第二項取負值，在Mz作用下G處于受拉區(qū)，則式中第三

10、項取正值。 在F、My、Mz各自單獨作用下，橫截面上應(yīng)力的分布情況如圖9.10a、b、c所示。圖9.10d為三者共同作用下橫截面上的應(yīng)力分布情況。 材料力學(xué) 出版社 科技分社 21 材料力學(xué) 出版社 科技分社 22將式（9.10）改寫為 yIAyzIAzAFzFyF1引入慣性半徑 yizi2yyAiI 2zzAiI 則： )1 (22zFyFiyyizzAF此為平面方程，這表明總應(yīng)力在橫截面上按平面分布。此應(yīng)力平面與橫截面相交的直線上的正應(yīng)力為零，該直線即為中性軸。令y0、z0為中性軸上任一點的坐標，將它們代入式（b），則可得中性軸的方程為： 材料力學(xué) 出版社 科技分社 23012020zFy

11、Fiyyizz由式（c）可知，中性軸是一條不通過橫截面形心（坐標原點）的直線。設(shè)它在兩坐標軸上的截距為ay、az。上式中令z0=0和y0=0，則可求得截距為： Fzyyia2Fyzzia2上式表明ay、az分別與yF、zF成反比，且符號相反，所以中性軸與外力作用點分別處于截面形心的兩側(cè)。 材料力學(xué) 出版社 科技分社 24中性軸把截面分為拉應(yīng)力和壓應(yīng)力兩個區(qū)域，中性軸的位置確定后，就很容易確定危險點的位置。很顯然，離中性軸最遠的點D1和D2（圖9.9）就是危險點。這兩點處的正應(yīng)力分別是橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。把D1、D2兩點的坐標分別代入式（a），就可求得這兩點處的正應(yīng)力值，若材料的許

12、用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力相等，則可選取其中絕對值最大的應(yīng)力作為強度計算的依據(jù)，即強度條件為： zzyyIyMIzMAFmaxmaxmax 材料力學(xué) 出版社 科技分社 25若材料的許用拉應(yīng)力t和許用壓應(yīng)力c不相等時，則須分別對最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力做強度計算。 tzzyytIyMIzMAFmaxmaxmaxczzyycIyMIzMAFmaxmaxmax 材料力學(xué) 出版社 科技分社 26例題例題9.39.3 如圖所示一廠房的牛腿柱。設(shè)由屋架傳來的壓力F1=100kN，由吊車梁傳來的壓力F2=30kN。 F2與柱子的軸線有一偏心e=0.2m 。如果柱橫截面寬度b=180mm，試求當(dāng)h為多少時，截面才不會

13、出現(xiàn)拉應(yīng)力，并求柱此時的最大壓應(yīng)力。 解：將力F2簡化到截面形心，得到軸向壓力F2和力偶矩M= F2e。 用截面法可求得立柱橫截面上的內(nèi)力為 kN13021FFFNmkN6 MMz 材料力學(xué) 出版社 科技分社 27欲使橫截面不出現(xiàn)拉應(yīng)力，應(yīng)使FN和MZ共同作用下橫截面左邊緣處的正應(yīng)力為零。 06m18. 0mN106m18. 0N10130233maxhhWMAFzzNt解得 m28. 0h此時柱的最大壓應(yīng)力發(fā)生在截面的右邊緣上各點處，其值為： MPa13. 56m28. 018. 0mN106m28. 018. 0N1013032323maxzzNcWMAF 材料力學(xué) 出版社 科技分社 28

14、 一般的傳動軸通常發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形。由于傳動軸大都是圓截面的，所以本節(jié)以圓截面為例，討論桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲組合變形時的強度計算。 設(shè)一直徑為d的等直圓桿AB，A端固定，B端具有與AB成直角的剛臂，并承受鉛垂力F作用，如圖所示。將F向B截面的形心簡化，如圖（b)所示。9. .4彎曲與扭轉(zhuǎn) 材料力學(xué) 出版社 科技分社 29 AB桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形。作桿的彎矩圖與扭矩圖。桿的危險截面為固定端截面，其內(nèi)力分量分別為：FaTFlM, 由應(yīng)力的變化規(guī)律可知，危險截面上的最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在鉛垂直徑的上、下兩端點C1和C2處。 材料力學(xué) 出版社 科技分社 30 危險截面上彎曲正應(yīng)力在與中性軸

15、C3C4垂直方向的變化如圖e，扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力沿直徑C3C4和C1C2的變化如圖f。 其中正應(yīng)力和切應(yīng)力值為32/3dFlWM16/23pdFaWTWT 材料力學(xué) 出版社 科技分社 31 對于許用拉、壓應(yīng)力相等的塑性材料制成的桿，這兩點的危險程度是相同的。為此，取其中的點C1來研究。C點的應(yīng)力狀態(tài)如圖（g)所示?？梢奀點處于平面應(yīng)力狀態(tài)，其三個主應(yīng)力為0,421222231 對于用塑性材料制成的桿件，按第三強度理論或第四強度理論建立強度條件。按第三強度理論作強度計算，相當(dāng)應(yīng)力為22313r4（9. .14） 材料力學(xué) 出版社 科技分社 32 按第四強度理論作強度計算，相當(dāng)應(yīng)力為 求得相當(dāng)應(yīng)力后，即可

16、根據(jù)材料的許用應(yīng)力來建立強度條件，并對桿進行強度計算。將彎曲正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式代入上兩式，則相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達式可改寫為：WTMWTWM222p23r4和WTMWTWMp22224r75. 02322313r3（9. .15） （9. .16） （9. .17） 材料力學(xué) 出版社 科技分社 33例題9.4 一曲拐受力如圖所示，已知：=80MPa，F(xiàn)=4kN，試按第三強度理論選擇圓桿AB的直徑。 解：解：危險截面A處的彎矩值M和扭矩值T為： mkN4 . 01 . 00 . 4MmkN6 . 015. 00 . 4T則按第三強度理論，由式（9.16）： zWTM223r可得： 22TMWz 材料力學(xué) 出版社 科技分社 34323dWz 22332TMd m045. 0Pa1080mN1072. 014. 33232363322TMd即圓桿AB的直徑可取為45mm。 材料力學(xué) 出版社 科技分社 35根據(jù)MB和TB按第四強度理論建立的強度條件為 75. 0224rWTM即 Pa10100)mN1000(75. 0)mN1064(622W于是得： mm9 .51m0519. 0)Pa10100(mN13723236d 材料力學(xué) 出版社 科技分社 36本章小結(jié)本章小結(jié) 1