專題 二次函數(shù)

1、二次函數(shù)一、 選擇題1（2016·山東省濱州市·3分）拋物線y=2x22x+1與坐標軸的交點個數(shù)是（）A0B1C2D32（2016·山東省濱州市·3分）在平面直角坐標系中，把一條拋物線先向上平移3個單位長度，然后繞原點選擇180°得到拋物線y=x2+5x+6，則原拋物線的解析式是（）Ay=（x）2By=（x+）2Cy=（x）2Dy=（x+）2+3（2016廣西南寧3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）和正比例函數(shù)y=x的圖象如圖所示，則方程ax2+（b）x+c=0（a0）的兩根之和（）A大于0 B等于0 C小于0 D不能確定4（2016貴州

2、畢節(jié)3分）一次函數(shù)y=ax+b（a0）與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A B C D5.（2016·福建龍巖·4分）已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則|ab+c|+|2a+b|=（）Aa+b Ba2b Cab D3a6.（2016·廣西桂林·3分）已知直線y=x+3與坐標軸分別交于點A，B，點P在拋物線y= （x ）2+4上，能使ABP為等腰三角形的點P的個數(shù)有（）A3個 B4個 C5個 D6個7（2016廣西南寧3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）和正比例函數(shù)y=x的圖象如圖所示，則方程a

3、x2+（b）x+c=0（a0）的兩根之和（）A大于0 B等于0 C小于0 D不能確定8（2016貴州畢節(jié)3分）一次函數(shù)y=ax+b（a0）與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A B C D9（2016廣西南寧3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）和正比例函數(shù)y=x的圖象如圖所示，則方程ax2+（b）x+c=0（a0）的兩根之和（）A大于0 B等于0 C小于0 D不能確定10（2016貴州畢節(jié)3分）一次函數(shù)y=ax+b（a0）與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A B C D11. （2016·浙江省紹

4、興市·4分）拋物線y=x2+bx+c（其中b，c是常數(shù)）過點A（2，6），且拋物線的對稱軸與線段y=0（1x3）有交點，則c的值不可能是（）A4 B6 C8 D1012. （2016·湖北隨州·3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（1，0），對稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：（1）4a+b=0；（2）9a+c3b；（3）8a+7b+2c0；（4）若點A（3，y1）、點B（，y2）、點C（，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1y3y2；（5）若方程a（x+1）（x5）=3的兩根為x1和x2，且x1x2，則x115x2其中正確的結(jié)論有（）A2個

5、B3個 C4個 D5個13.（2016·四川南充）拋物線y=x2+2x+3的對稱軸是（）A直線x=1B直線x=1C直線x=2D直線x=214（2016·四川瀘州）已知二次函數(shù)y=ax2bx2（a0）的圖象的頂點在第四象限，且過點（1，0），當ab為整數(shù)時，ab的值為（）A或1 B或1 C或 D或15（2016·四川攀枝花）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為1和3，則下列結(jié)論正確的是（）A2ab=0 Ba+b+c0C3ac=0 D當a=時，ABD是等腰直角三角形16.（2016·黑龍江齊齊哈爾&

6、#183;3分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標為（1，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：4acb2； 方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=1，x2=3；3a+c0 當y0時，x的取值范圍是1x3當x0時，y隨x增大而增大 其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A4個 B3個 C2個 D1個17（2016·湖北黃石·3分）以x為自變量的二次函數(shù)y=x22（b2）x+b21的圖象不經(jīng)過第三象限，則實數(shù)b的取值范圍是（）Ab Bb1或b1 Cb2 D1b218（2016·湖北荊門·3分）若二次函數(shù)y=x2+mx的對稱

7、軸是x=3，則關(guān)于x的方程x2+mx=7的解為（）Ax1=0，x2=6 Bx1=1，x2=7 Cx1=1，x2=7 Dx1=1，x2=719.（2016·青海西寧·3分）如圖，在ABC中，B=90°，tanC=，AB=6cm動點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動若P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，在運動過程中，PBQ的最大面積是（）A18cm2B12cm2C9cm2D3cm220. （2016·陜西·3分）已知拋物線y=x22x+3與x軸交于A、B兩點，將這條拋物線的頂點記為

8、C，連接AC、BC，則tanCAB的值為（）A B C D221. （2016·四川眉山·3分）若拋物線y=x22x+3不動，將平面直角坐標系xOy先沿水平方向向右平移一個單位，再沿鉛直方向向上平移三個單位，則原拋物線圖象的解析式應(yīng)變?yōu)椋ǎ〢y=（x2）2+3 By=（x2）2+5 Cy=x21 Dy=x2+4二、 填空題1（2016·山東省菏澤市·3分）如圖，一段拋物線：y=x（x2）（0x2）記為C1，它與x軸交于兩點O，A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3；如此進行

9、下去，直至得到C6，若點P（11，m）在第6段拋物線C6上，則m= 2.（2016·黑龍江哈爾濱·3分）二次函數(shù)y=2（x3）24的最小值為 3（2016河南）已知A（0，3），B（2，3）是拋物線y=x2+bx+c上兩點，該拋物線的頂點坐標是 4（2016·四川南充）已知拋物線y=ax2+bx+c開口向上且經(jīng)過點（1，1），雙曲線y=經(jīng)過點（a，bc），給出下列結(jié)論：bc0；b+c0；b，c是關(guān)于x的一元二次方程x2+（a1）x+=0的兩個實數(shù)根；abc3其中正確結(jié)論是（填寫序號）5（2016·四川瀘州）若二次函數(shù)y=2x24x1的圖象與x軸交于A（x

10、1，0）、B（x2，0）兩點，則+的值為7.（2016·湖北荊州·3分）若函數(shù)y=（a1）x24x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點，則a的值為三、 解答題1. （2016·湖北隨州·9分）九年級（3）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x天（1x90，且x為整數(shù)）的售價與銷售量的相關(guān)信息如下已知商品的進價為30元/件，設(shè)該商品的售價為y（單位：元/件），每天的銷售量為p（單位：件），每天的銷售利潤為w（單位：元）時間x（天）1306090每天銷售量p（件）1981408020（1）求出w與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利

11、潤最大？并求出最大利潤；（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？請直接寫出結(jié)果2. （2016·湖北隨州·12分）已知拋物線y=a（x+3）（x1）（a0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經(jīng)過點A的直線y=x+b與拋物線的另一個交點為D（1）若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與ABC相似，求點P的坐標；（3）在（1）的條件下，設(shè)點E是線段AD上的一點（不含端點），連接BE一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每

12、秒個單位的速度運動到點D后停止，問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？3. （2016·湖北武漢·10分）某公司計劃從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售，每年產(chǎn)銷x件已知產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的有關(guān)信息如下表：產(chǎn)品每件售價（萬元）每件成本（萬元）每年其他費用（萬元）每年最大產(chǎn)銷量（件）甲6a20200乙2010400.05x280其中a為常數(shù)，且3a5（1） 若產(chǎn)銷甲、 乙兩種產(chǎn)品的年利潤分別為y1萬元、y2萬元，直接寫出y1、y2與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別求出產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的最大年利潤；（3）為獲得最大年利潤，該公司應(yīng)該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品？請說明理由4. （201

13、6·湖北武漢·12分）拋物線yax2c與x軸交于A、B兩點，頂點為C，點P為拋物線上，且位于x軸下方（1）如圖1，若P(1，3)、B(4，0)， 求該拋物線的解析式； 若D是拋物線上一點，滿足DPOPOB，求點D的坐標；（2） 如圖2，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點當點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由5. （2016·吉林·10分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AC=8cm，ADBC于點D，點P從點A出發(fā)，沿AC方向以cm/s的速度運動到點C停止，在運動過程中，過點P作PQAB交BC于點

14、Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且PQM=90°（點M，C位于PQ異側(cè)）設(shè)點P的運動時間為x（s），PQM與ADC重疊部分的面積為y（cm2）（1）當點M落在AB上時，x=4；（2）當點M落在AD上時，x=；（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍6. （2016·吉林·10分）如圖1，在平面直角坐標系中，點B在x軸正半軸上，OB的長度為2m，以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB，拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過點O，A，B三點（1）當m=2時，a=，當m=3時，a=；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，猜想a與m的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖2，

15、在圖1的基礎(chǔ)上，作x軸的平行線交拋物線l于P、Q兩點，PQ的長度為2n，當APQ為等腰直角三角形時，a和n的關(guān)系式為 a=；（4）利用（2）（3）中的結(jié)論，求AOB與APQ的面積比7. （2016·江西·12分）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2，過點B1（1，0）作x軸的垂線，交拋物線于點A1（1，2）；過點B2（，0）作x軸的垂線，交拋物線于點A2；過點Bn（）n1，0）（n為正整數(shù)）作x軸的垂線，交拋物線于點An，連接AnBn+1，得RtAnBnBn+1（1）求a的值；（2）直接寫出線段AnBn，BnBn+1的長（用含n的式子表示）；（3）在系列RtAnBnBn+1中，探究

16、下列問題：當n為何值時，RtAnBnBn+1是等腰直角三角形？設(shè)1kmn（k，m均為正整數(shù)），問：是否存在RtAkBkBk+1與RtAmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，說明理由 8. （2016·遼寧丹東·10分）某片果園有果樹80棵，現(xiàn)準備多種一些果樹提高果園產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每棵樹所受光照就會減少，單棵樹的產(chǎn)量隨之降低若該果園每棵果樹產(chǎn)果y（千克），增種果樹x（棵），它們之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在投入成本最低的情況下，增種果樹多少棵時，果園可以收獲果實6750千克？（3）當增種果樹多少棵時，果園

17、的總產(chǎn)量w（千克）最大？最大產(chǎn)量是多少？【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）函數(shù)的表達式為y=kx+b，把點（12，74），（28，66）代入解方程組即可（2）列出方程解方程組，再根據(jù)實際意義確定x的值（3）構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題【解答】解：（1）設(shè)函數(shù)的表達式為y=kx+b，該一次函數(shù)過點（12，74），（28，66），得，解得，該函數(shù)的表達式為y=0.5x+80，（2）根據(jù)題意，得，（0.5x+80）（80+x）=6750，解得，x1=10，x2=70投入成本最低x2=70不滿足題意，舍去增種果樹10棵時，果園可以收獲果實6750千克（3）根據(jù)題意，得w=（0.5x+80）

18、（80+x） =0.5 x2+40 x+6400=0.5（x40）2+7200a=0.50，則拋物線開口向下，函數(shù)有最大值當x=40時，w最大值為7200千克當增種果樹40棵時果園的最大產(chǎn)量是7200千克9. （2016·遼寧丹東·12分）如圖，拋物線y=ax2+bx過A（4，0），B（1，3）兩點，點C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BHx軸，交x軸于點H（1）求拋物線的表達式；（2）直接寫出點C的坐標，并求出ABC的面積；（3）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當ABP的面積為6時，求出點P的坐標；（4）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當以點C、M

19、、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時CMN的面積【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸x=2寫出點C的坐標為（3，3），根據(jù)面積公式求ABC的面積；（3）因為點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，設(shè)出點P的坐標（m，m2+4m），利用差表示ABP的面積，列式計算求出m的值，寫出點P的坐標；（4）分別以點C、M、N為直角頂點分三類進行討論，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的長，利用面積公式進行計算【解答】解：（1）把點A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，得 解得：，拋物線表達式為：y=x2+4x；（

20、2）點C的坐標為（3，3），又點B的坐標為（1，3），BC=2，SABC=×2×3=3； （3）過P點作PDBH交BH于點D，設(shè)點P（m，m2+4m），根據(jù)題意，得：BH=AH=3，HD=m24m，PD=m1，SABP=SABH+S四邊形HAPDSBPD，6=×3×3+（3+m1）（m24m）（m1）（3+m24m），3m215m=0，m1=0（舍去），m2=5，點P坐標為（5，5） （4）以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，分三類情況討論：以點M為直角頂點且M在x軸上方時，如圖2，CM=MN，CMN=90°，則CBMMHN，BC=

21、MH=2，BM=HN=32=1，M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC=，SCMN=××=；以點M為直角頂點且M在x軸下方時，如圖3，作輔助線，構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形：RtNEM和RtMDC，得RtNEMRtMDC，EM=CD=5，MD=ME=2，由勾股定理得：CM=，SCMN=××=；以點N為直角頂點且N在y軸左側(cè)時，如圖4，CN=MN，MNC=90°，作輔助線，同理得：CN=，SCMN=××=17；以點N為直角頂點且N在y軸右側(cè)時，作輔助線，如圖5，同理得：CN=，SCMN=××=5；以C

22、為直角頂點時，不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形；綜上所述：CMN的面積為：或或17或510. （2016·四川瀘州）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線l與拋物線y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）兩點（1）求出拋物線的解析式；（2）在坐標軸上是否存在點D，使得ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；（3）點P是線段AB上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作PMOA，交第一象限內(nèi)的拋物線于點M，過點M作MCx軸于點C，交AB于點N，若BCN、PMN的面積SBCN、SPMN滿足SBCN=2SPMN，求出的值，并求出此

23、時點M的坐標【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）由A、B兩點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）分D在x軸上和y軸上，當D在x軸上時，過A作ADx軸，垂足D即為所求；當D點在y軸上時，設(shè)出D點坐標為（0，d），可分別表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到關(guān)于d的方程，可求得d的值，從而可求得滿足條件的D點坐標；（3）過P作PFCM于點F，利用RtADORtMFP以及三角函數(shù)，可用PF分別表示出MF和NF，從而可表示出MN，設(shè)BC=a，則可用a表示出CN，再利用SBCN=2SPMN，可用PF表示出a的值，從而可用PF表示出CN，可求得的值；借助a可表示出M點的坐標，代入拋物線解析式可

24、求得a的值，從而可求出M點的坐標【解答】解：（1）A（1，3），B（4，0）在拋物線y=mx2+nx的圖象上，解得，拋物線解析式為y=x2+4x；（2）存在三個點滿足題意，理由如下：當點D在x軸上時，如圖1，過點A作ADx軸于點D，A（1，3），D坐標為（1，0）；當點D在y軸上時，設(shè)D（0，d），則AD2=1+（3d）2，BD2=42+d2，且AB2=（41）2+（3）2=36，ABD是以AB為斜邊的直角三角形，AD2+BD2=AB2，即1+（3d）2+42+d2=36，解得d=，D點坐標為（0，）或（0，）；綜上可知存在滿足條件的D點，其坐標為（1，0）或（0，）或（0，）；（3）如圖2，

25、過P作PFCM于點F，PMOA，RtADORtMFP，=3，MF=3PF，在RtABD中，BD=3，AD=3，tanABD=，ABD=60°，設(shè)BC=a，則CN=a，在RtPFN中，PNF=BNC=30°，tanPNF=，F(xiàn)N=PF，MN=MF+FN=4PF，SBCN=2SPMN，a2=2××4PF2，a=2PF，NC=a=2PF，=，MN=NC=×a=a，MC=MN+NC=（+）a，M點坐標為（4a，（ +）a），又M點在拋物線上，代入可得（4a）2+4（4a）=（+）a，解得a=3或a=0（舍去），OC=4a=+1，MC=2+，點M的坐標為

26、（+1，2+）11（2016·四川內(nèi)江）(12分)如圖15，已知拋物線C：yx23xm，直線l：ykx(k0)，當k1時，拋物線C與直線l只有一個公共點(1)求m的值；(2)若直線l與拋物線C交于不同的兩點A，B，直線l與直線l1：y3xb交于點P，且，求b的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)直線l1與y軸交于點Q，問：是否存在實數(shù)k使SAPQSBPQ，若存在，求k的值；若不存在，說明理由xyOl1QPBAl圖15xyOl1QPBAl答案圖CED考點二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，三角形的相似，推理論證的能力。解：(1)當k1時，拋物線C與直線l只有一個公共點，方程組有且只有一組解2分消去

27、y，得x24xm0，所以此一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根0，即(4)24m0m44分(2)如圖，分別過點A，P，B作y軸的垂線，垂足依次為C，D，E，則OACOPD，同理，22，即5分解方程組得x，即PD6分由方程組消去y，得x2(k3)x40AC，BE是以上一元二次方程的兩根，ACBEk3，AC·BE47分解得b88分(3)不存在理由如下：9分假設(shè)存在，則當SAPQSBPQ時有APPB，于是PDACPEPD，即ACBE2PD由(2)可知ACBEk3，PD，k32×，即(k3)216解得k1(舍去k7)11分當k1時，A，B兩點重合，QAB不存在不存在實數(shù)k使SAPQSBP

28、Q12分12（2016·四川內(nèi)江）(12分)某中學(xué)課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊周長為30米的籬笆圍成已知墻長為18米(如圖14所示)，設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米(1)若苗圃園的面積為72平方米，求x；(2)若平行于墻的一邊長不小于8米，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有，求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由；(3)當這個苗圃園的面積不小于100平方米時，直接寫出x的取值范圍18m苗圃園圖14考點應(yīng)用題，一元二次方程，二次函數(shù)。解：(1)苗圃園與墻平行的一邊長為(302x)米依題意可列方程x(302x)72，即x215x3602分解

29、得x13，x2124分(2)依題意，得8302x18解得6x11面積Sx(302x)2(x)2(6x11)當x時，S有最大值，S最大；6分當x11時，S有最小值，S最小11×(3022)888分(3)令x(302x)100，得x215x500解得x15，x21010分x的取值范圍是5x1012分13（2016·四川南充）如圖，拋物線與x軸交于點A（5，0）和點B（3，0）與y軸交于點C（0，5）有一寬度為1，長度足夠的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和Q，交直線AC于點M和N交x軸于點E和F（1）求拋物線的解析式；（2）當點M和N都在線段A

30、C上時，連接MF，如果sinAMF=，求點Q的坐標；（3）在矩形的平移過程中，當以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標【分析】（1）設(shè)拋物線為y=a（x+5）（x3），把點（0，5）代入即可解決問題（2）作FGAC于G，設(shè)點F坐標（m，0），根據(jù)sinAMF=，列出方程即可解決問題（3）當MN是對角線時，設(shè)點F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解決問題當MN為邊時，MN=PQ=，設(shè)點Q（m， m2m+5）則點P（m+1， m2m+6），代入拋物線解析式，解方程即可【解答】解：（1）拋物線與x軸交于點A（5，0），B（3，0），可以假設(shè)拋物線為y=a（x+5）（x3），

31、把點（0，5）代入得到a=，拋物線的解析式為y=x2x+5（2）作FGAC于G，設(shè)點F坐標（m，0），則AF=m+5，AE=EM=m+6，F(xiàn)G=（m+5），F(xiàn)M=，sinAMF=，=，=，整理得到2m2+19m+44=0，（m+4）（2m+11）=0，m=4或5.5（舍棄），點Q坐標（4，）（3）當MN是對角線時，設(shè)點F（m，0）直線AC解析式為y=x+5，點N（m，m+5），點M（m+1，m+6），QN=PM，m2m+5m5=m+6（m+1）2（m+1）+5，解得m=3±，點M坐標（2+，3+）或（2，3）當MN為邊時，MN=PQ=，設(shè)點Q（m， m2m+5）則點P（m+1， m2

32、m+6），m2m+6=（m+1）2（m+1）+5，解得m=3點M坐標（2，3），綜上所述以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，點M的坐標為（2，3）或（2+，3+）或（2，3）【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會分類討論，用方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題14（2016·四川攀枝花）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，B點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線位于第四象限的部分上運動，當四邊形ABPC的面積最大時，求點P的坐標和四邊形ABPC的

33、最大面積（3）直線l經(jīng)過A、C兩點，點Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運動，直線m經(jīng)過點B和點Q，是否存在直線m，使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式，若不存在，請說明理由【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）由B、C兩點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；（2）連接BC，則ABC的面積是不變的，過P作PMy軸，交BC于點M，設(shè)出P點坐標，可表示出PM的長，可知當PM取最大值時PBC的面積最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得P點的坐標及四邊形ABPC的最大面積；（3）設(shè)直線m與y軸交于點N，交直線l于點G，由于AGP=GNC+GCN，所以

34、當AGB和NGC相似時，必有AGB=CGB=90°，則可證得AOCNOB，可求得ON的長，可求出N點坐標，利用B、N兩的點坐標可求得直線m的解析式【解答】解：（1）把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得，解得，拋物線解析式為y=x22x3；（2）如圖1，連接BC，過Py軸的平行線，交BC于點M，交x軸于點H，在y=x22x3中，令y=0可得0=x22x3，解得x=1或x=3，A點坐標為（1，0），AB=3（1）=4，且OC=3，SABC=ABOC=×4×3=6，B（3，0），C（0，3），直線BC解析式為y=x3，設(shè)P點坐標為（x，x22x3），則M點坐標為（x，x

35、3），P點在第四限，PM=x3（x22x3）=x2+3x，SPBC=PMOH+PMHB=PM（OH+HB）=PMOB=PM，當PM有最大值時，PBC的面積最大，則四邊形ABPC的面積最大，PM=x2+3x=（x）2+，當x=時，PMmax=，則SPBC=×=，此時P點坐標為（，），S四邊形ABPC=SABC+SPBC=6+=，即當P點坐標為（，）時，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為；（3）如圖2，設(shè)直線m交y軸于點N，交直線l于點G，則AGP=GNC+GCN，當AGB和NGC相似時，必有AGB=CGB，又AGB+CGB=180°，AGB=CGB=90°，ACO

36、=OBN，在RtAON和RtNOB中RtAONRtNOB（ASA），ON=OA=1，N點坐標為（0，1），設(shè)直線m解析式為y=kx+d，把B、N兩點坐標代入可得，解得，直線m解析式為y=x1，即存在滿足條件的直線m，其解析式為y=x1【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等在（2）中確定出PM的值最時四邊形ABPC的面積最大是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出滿足條件的直線m的位置是解題的關(guān)鍵本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是第（2）問和第（3）問難度較大15（2016·四川宜賓）如圖，已知二次函數(shù)y1=ax2

37、+bx過（2，4），（4，4）兩點（1）求二次函數(shù)y1的解析式；（2）將y1沿x軸翻折，再向右平移2個單位，得到拋物線y2，直線y=m（m0）交y2于M、N兩點，求線段MN的長度（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，y1、y2交于A、B兩點，如果直線y=m與y1、y2的圖象形成的封閉曲線交于C、D兩點（C在左側(cè)），直線y=m與y1、y2的圖象形成的封閉曲線交于E、F兩點（E在左側(cè)），求證：四邊形CEFD是平行四邊形【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問題（2）先求出拋物線y2的頂點坐標，再求出其解析式，利用方程組以及根與系數(shù)關(guān)系即可求出MN（3）用類似（2）的方

38、法，分別求出CD、EF即可解決問題【解答】解：（1）二次函數(shù)y1=ax2+bx過（2，4），（4，4）兩點，解得，二次函數(shù)y1的解析式y(tǒng)1=x23x（2）y1=（x+3）2+，頂點坐標（3，），將y1沿x軸翻折，再向右平移2個單位，得到拋物線y2，拋物線y2的頂點坐標（1，），拋物線y2為y=（x+1）2，由消去y整理得到x2+2x82m=0，設(shè)x1，x2是它的兩個根，則MN=|x1x2|=，（3）由消去y整理得到x2+6x+2m=0，設(shè)兩個根為x1，x2，則CD=|x1x2|=，由消去y得到x2+2x8+2m=0，設(shè)兩個根為x1，x2，則EF=|x1x2|=，EF=CD，EFCD，四邊形CE

39、FD是平行四邊形16.（2016·黑龍江龍東·6分）如圖，二次函數(shù)y=（x+2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B在拋物線上，且與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點A（1，0）及點B（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出滿足（x+2）2+mkx+b的x的取值范圍【考點】二次函數(shù)與不等式（組）；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】（1）先利用待定系數(shù)法先求出m，再求出點B坐標，利用方程組求出太陽還是解析式（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象上面即可寫出自變量x的取值范圍【解答】解：（

40、1）拋物線y=（x+2）2+m經(jīng)過點A（1，0），0=1+m，m=1，拋物線解析式為y=（x+2）21=x2+4x+3，點C坐標（0，3），對稱軸x=2，B、C關(guān)于對稱軸對稱，點B坐標（4，3），y=kx+b經(jīng)過點A、B，解得，一次函數(shù)解析式為y=x1，（2）由圖象可知，寫出滿足（x+2）2+mkx+b的x的取值范圍為x4或x117（2016·黑龍江齊齊哈爾·8分）如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且點A的坐標為（1，0）（1）求拋物線的解析式；（2）直接寫出B、C兩點的坐標；（3）求過O，B，C三點的圓的面積（結(jié)果用含

41、的代數(shù)式表示）注：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的頂點坐標為（，）【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）利用對稱軸方程可求得b，把點A的坐標代入可求得c，可求得拋物線的解析式；（2）根據(jù)A、B關(guān)于對稱軸對稱可求得點B的坐標，利用拋物線的解析式可求得B點坐標；（3）根據(jù)B、C坐標可求得BC長度，由條件可知BC為過O、B、C三點的圓的直徑，可求得圓的面積【解答】解：（1）由A（1，0），對稱軸為x=2，可得，解得，拋物線解析式為y=x24x5；（2）由A點坐標為（1，0），且對稱軸方程為x=2，可知AB=6，OB=5，B點坐標為（5，0），y=x24x5，C點坐標為（0，5）；（3）如圖，連接

42、BC，則OBC是直角三角形，過O、B、C三點的圓的直徑是線段BC的長度，在RtOBC中，OB=OC=5，BC=5，圓的半徑為，圓的面積為（）2=18（2016·湖北黃石·8分）科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園如圖所示，圖中點的橫坐標x表示科技館從8：30開門后經(jīng)過的時間（分鐘），縱坐標y表示到達科技館的總?cè)藬?shù)圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=，10：00之后來的游客較少可忽略不計（1）請寫出圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）為保證科技館內(nèi)游客的游玩質(zhì)量，館內(nèi)人數(shù)不超過684人，后來的人在館外休息區(qū)等待從10：30開始到12：00館內(nèi)陸續(xù)有人離館，平均每分鐘離館4人，直到館內(nèi)人數(shù)減

43、少到624人時，館外等待的游客可全部進入請問館外游客最多等待多少分鐘？【分析】（1）構(gòu)建待定系數(shù)法即可解決問題（2）先求出館內(nèi)人數(shù)等于684人時的時間，再求出直到館內(nèi)人數(shù)減少到624人時的時間，即可解決問題【解答】解（1）由圖象可知，300=a×302，解得a=，n=700，b×（3090）2+700=300，解得b=，y=，（2）由題意（x90）2+700=684，解得x=78，=15，15+30+（9078）=57分鐘所以，館外游客最多等待57分鐘【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}

44、型19（2016·湖北荊門·14分）如圖，直線y=x+2與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發(fā)向點O運動（運動到點O停止），運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度/秒，設(shè)運動時間為t秒，以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E，過點E作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G，與AB相交于點F（1）求點A，點B的坐標；（2）用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長；（3）當四邊形ADEF為菱形時，試判斷AFG與AGB是否相似，并說明理由（4）是否存在t的值，使AGF為直角三角形？若存在，求出這時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由【考點】二次函數(shù)綜合題【分

45、析】（1）在直線y=x+2中，分別令y=0和x=0，容易求得A、B兩點坐標；（2）由OA、OB的長可求得ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的長，由勾股定理可求得AB的長，從而可用t表示出AF的長；（3）利用菱形的性質(zhì)可求得t的值，則可求得AF=AG的長，可得到=，可判定AFG與AGB相似；（4）若AGF為直角三角形時，由條件可知只能是FAG=90°，又AFG=OAF=60°，由（2）可知AF=42t，EF=t，又由二次函數(shù)的對稱性可得到EG=2OA=4，從而可求出FG，在RtAGF中，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，進一步可求得E點坐標，利用待定系數(shù)

46、法可求得拋物線的解析式【解答】解：（1）在直線y=x+2中，令y=0可得0=x+2，解得x=2，令x=0可得y=2，A為（2，0），B為（0，2）；（2）由（1）可知OA=2，OB=2，tanABO=，ABO=30°，運動時間為t秒，BE=t，EFx軸，在RtBEF中，EF=BEtanABO=BE=t，BF=2EF=2t，在RtABO中，OA=2，OB=2，AB=4，AF=42t；（3）相似理由如下：當四邊形ADEF為菱形時，則有EF=AF，即t=42t，解得t=，AF=42t=4=，OE=OBBE=2×=，如圖，過G作GHx軸，交x軸于點H，則四邊形OEGH為矩形，GH=

47、OE=，又EGx軸，拋物線的頂點為A，OA=AH=2，在RtAGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22=，又AFAB=×4=，AFAB=AG2，即=，且FAG=GAB，AFGAGB；（4）存在，EGx軸，GFA=BAO=60°，又G點不能在拋物線的對稱軸上，F(xiàn)GA90°，當AGF為直角三角形時，則有FAG=90°，又FGA=30°，F(xiàn)G=2AF，EF=t，EG=4，F(xiàn)G=4t，且AF=42t，4t=2（42t），解得t=，即當t的值為秒時，AGF為直角三角形，此時OE=OBBE=2t=2×=，E點坐標為（0，），拋物

48、線的頂點為A，可設(shè)拋物線解析式為y=a（x2）2，把E點坐標代入可得=4a，解得a=，拋物線解析式為y=（x2）2，即y=x2x+20（2016·湖北荊州·14分）閱讀：我們約定，在平面直角坐標系中，經(jīng)過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過B、C兩點，頂點D在正方形內(nèi)部（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線；（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；

49、（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將OAP沿著OP折疊，點A落在點A的位置，當點A在平行于坐標軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？【分析】（1）根據(jù)特征線直接求出點D的特征線；（2）由點D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點D的坐標，從而求出拋物線解析式；（2）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質(zhì)計算即可【解答】解：（1）點D（m，n），點D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+nm，y=x+m+n；（2）點D有一條特征線是y=x+1，nm=1，n=m+1拋物線解析式為，y=（xm）2+m+1，四邊形OABC是正方形，且D點為

50、正方形的對稱軸，D（m，n），B（2m，2m），（2mm）2+n=2m，將n=m+1帶入得到m=2，n=3；D（2，3），拋物線解析式為y=（x2）2+3（3）如圖，當點A在平行于y軸的D點的特征線時，根據(jù)題意可得，D（2，3），OA=OA=4，OM=2，AOM=60°，AOP=AOP=30°，MN=，拋物線需要向下平移的距離=3=乳頭，當點A在平行于x軸的D點的特征線時，頂點落在OP上，A與D重合，A（2，3），設(shè)P（4，c）（c0），由折疊有，PD=PA，=c，c=，P（4，）直線OP解析式為y=，N（2，），拋物線需要向下平移的距離=3=，即：拋物線向下平移或距離，其

51、頂點落在OP上【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，特征線的理解，解本題的關(guān)鍵是用正方形的性質(zhì)求出點D的坐標21.（2016·內(nèi)蒙古包頭）一幅長20cm、寬12cm的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2設(shè)豎彩條的寬度為xcm，圖案中三條彩條所占面積為ycm2（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的，求橫、豎彩條的寬度【考點】一元二次方程的應(yīng)用；根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式【分析】（1）由橫、豎彩條的寬度比為3：2知橫彩條的寬度為xcm，根據(jù)：三條彩條面積=橫彩條面積+2條豎彩條面積橫豎彩條重疊矩形的

52、面積，可列函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)：三條彩條所占面積是圖案面積的，可列出關(guān)于x的一元二次方程，整理后求解可得【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，橫彩條的寬度為xcm，y=20×x+2×12x2×xx=3x2+54x，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=3x2+54x；（2）根據(jù)題意，得：3x2+54x=×20×12，整理，得：x218x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍），x=3，答：橫彩條的寬度為3cm，豎彩條的寬度為2cm22. （2016·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx2（a0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為點D，點E的坐標為（0，1），該拋物線與BE交于另一點F，連接BC（1）求該拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為y=a（xh）2+k的形式；（2）若點H（1，y）在BC上，連接FH，求FHB的面積；（3）一動點M從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，連接OM，BM，設(shè)運動時間為t秒（t0），在點M的運動