“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2008年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案

1、中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”2008年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案題 號一二三總 分156101112 1314得 分評卷人復(fù)查人答題時(shí)注意：1用圓珠筆或鋼筆作答.2解答書寫時(shí)不要超過裝訂線.3草稿紙不上交.一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號里. 不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1已知實(shí)數(shù)滿足 ，則的值為（ ）（A）7 （B） （C） （D）5【答】（A）解：因?yàn)椋?，由已知條件得， ，所以 72把一枚六個(gè)面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的

2、正方體骰子先后投擲2次，若兩個(gè)正面朝上的編號分別為m，n，則二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）【答】（C）解：基本事件總數(shù)有6×636，即可以得到36個(gè)二次函數(shù). 由題意知0，即4.通過枚舉知，滿足條件的有17對. 故.3有兩個(gè)同心圓，大圓周上有4個(gè)不同的點(diǎn)，小圓周上有2個(gè)不同的點(diǎn)，則這6個(gè)點(diǎn)可以確定的不同直線最少有( ) （A）6條 （B） 8條 （C）10條 （D）12條（第3題）【答】（B）解：如圖，大圓周上有4個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D，兩兩連線可以確定6條不同的直線；小圓周上的兩個(gè)點(diǎn)E，F(xiàn)中，至少有一個(gè)不是四邊形ABCD的對角線A

3、C與BD的交點(diǎn)，則它與A，B，C，D的連線中，至少有兩條不同于A，B，C，D的兩兩連線從而這6個(gè)點(diǎn)可以確定的直線不少于8條當(dāng)這6個(gè)點(diǎn)如圖所示放置時(shí)，恰好可以確定8條直線所以，滿足條件的6個(gè)點(diǎn)可以確定的直線最少有8條4已知是半徑為1的圓的一條弦，且以為一邊在圓內(nèi)作正，點(diǎn)為圓上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且，的延長線交圓于點(diǎn)，則的長為（ ）（A） （B）1 （C） （D）a【答】（B）解：如圖，連接OE，OA，OB 設(shè)，則 又因?yàn)?，（?題）所以，于是5將1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字排成一排，最后一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個(gè)數(shù)之和都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，那么滿足要求的排法有（ ）（A）2種

4、（B）3種 （C）4種 （D）5種【答】（D）解：設(shè)是1，2，3，4，5的一個(gè)滿足要求的排列首先，對于，不能有連續(xù)的兩個(gè)都是偶數(shù)，否則，這兩個(gè)之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾又如果（1i3）是偶數(shù)，是奇數(shù)，則是奇數(shù)，這說明一個(gè)偶數(shù)后面一定要接兩個(gè)或兩個(gè)以上的奇數(shù)，除非接的這個(gè)奇數(shù)是最后一個(gè)數(shù)所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5種情形滿足條件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6對于實(shí)數(shù)u，v，定義一種運(yùn)算“*”為：若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍

5、是 【答】，或解：由，得，依題意有 解得，或7小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時(shí)間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時(shí)間是 分鐘【答】4解：設(shè)18路公交車的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行駛的相鄰兩車的間距為米每隔6分鐘從背后開過一輛18路公交車，則 每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，則 由，可得 ，所以 即18路公交車總站發(fā)車間隔的時(shí)間是4分鐘（第8題5數(shù)，段成比例，所以）8如圖，在中，AB=7，AC=11，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)， AD是BAC 的平分線，MFAD，

6、則FC的長為 【答】9解：如圖，設(shè)點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接MN，則MNAB又，所以 ，（第8題答案5數(shù)，段成比例，所以）所以 因此 99ABC中，AB7，BC8，CA9，過ABC的內(nèi)切圓圓心I作DEBC，分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，則DE的長為 【答】解：如圖，設(shè)ABC的三邊長為a，b，c，內(nèi)切圓I的半徑為r，BC邊上的高為，則，所以 （第8題答案圖5數(shù)，段成比例，所以）（第8題答案圖5數(shù)，段成比例，所以）因?yàn)锳DEABC，所以它們對應(yīng)線段成比例，因此（第9題答案5數(shù)，段成比例，所以），所以 ，故 10關(guān)于x，y的方程的所有正整數(shù)解為 【答】解：因?yàn)?08是4的倍數(shù)，偶數(shù)的平方數(shù)除以4所得的

7、余數(shù)為0，奇數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為1，所以x，y都是偶數(shù)設(shè)，則，同上可知，a，b都是偶數(shù)設(shè)，則，所以，c，d都是偶數(shù)設(shè)，則，于是 ，其中s，t都是偶數(shù)所以所以可能為1，3，5，7，9，進(jìn)而為337，329，313，289，257，故只能是289，從而7于是 因此 三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）11在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象與軸、軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得OAB的面積值等于（1） 用b表示k；（2） 求OAB面積的最小值 解：（1）令，得；令，得所以A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，于是，OAB的面積為由題意，有，解得 ， 5分（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)

8、，時(shí)，不等式中的等號成立 所以，OAB面積的最小值為 15分12是否存在質(zhì)數(shù)p，q，使得關(guān)于x的一元二次方程有有理數(shù)根？ 解：設(shè)方程有有理數(shù)根，則判別式為平方數(shù)令，其中n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)則 5分由于1q+n，且與同奇偶，故同為偶數(shù)因此，有如下幾種可能情形： 消去n，解得 10分對于第1，3種情形，從而q5；對于第2，5種情形，從而q4（不合題意，舍去）；對于第4種情形，q是合數(shù)（不合題意，舍去）又當(dāng)，q5時(shí)，方程為，它的根為，它們都是有理數(shù)綜上所述，存在滿足題設(shè)的質(zhì)數(shù) 15分（第13題）13如圖，的三邊長，都是整數(shù)，且的最大公約數(shù)為點(diǎn)和點(diǎn)分別為的重心和內(nèi)心，且求的周長（第13題答案5數(shù)，段成比例

9、，所以）解：如圖，延長，與邊分別交于點(diǎn)設(shè)重心在邊上的投影分別為，的內(nèi)切圓的半徑為，邊上的高的長分別為，易知CPCQ，由，可得 ，即 ，從而可得 10分因?yàn)榈闹匦腉和內(nèi)心不重合，所以，不是正三角形，且，否則，可得，矛盾不妨假設(shè)，由于，設(shè)，于是有為整數(shù)，所以有，即于是只有時(shí)，可得，滿足條件因此有所以，的周長為35 15分14從1，2，9中任取n個(gè)數(shù)，其中一定可以找到若干個(gè)數(shù)（至少一個(gè)，也可以是全部），它們的和能被10整除，求n的最小值解：當(dāng)n4時(shí)，數(shù)1，3，5，8中沒有若干個(gè)數(shù)的和能被10整除 5分當(dāng)n5時(shí)，設(shè)是1，2，9中的5個(gè)不同的數(shù)若其中任意若干個(gè)數(shù)，它們的和都不能被10整除，則中不可能同時(shí)出現(xiàn)1和9；2和8；3和7；4和6于是中必定有一個(gè)數(shù)是5若中含1，則不含9于是不含4（41510），故