第十一章多體理論

1、第 11 章多體理論§11.1 多體理論概述§11.1.1 少體問題與多體問題 眾所周知，宏觀世界是由許多微觀客體構(gòu)成的，量子理論是處理 微觀客體的有效工具。在一定的層次之下，按著微觀粒子數(shù)目的多少 可以把體系分為少體體系和多體體系。一般情況下，界定兩種體系的 粒子數(shù)并無十分明確的規(guī)定，通常把粒子數(shù)少于 5 個的體系稱為為 少 體體系，否則為多體體系 或者多粒子體系 。對少體問題的研究可以提 供粒子之間相互作用的信息，它是研究多體問題的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。在前面幾章中，所處理的基本上屬于 單體問題 ，即使原本是二體 問題的氫原子也被化成了單體問題來處理，它們都屬于少體問題的范 疇

2、。真實(shí)的物理世界是由許多相互作用著的微觀粒子構(gòu)成的， 多體理 論就是研究如何處理這種多個相互作用著的粒子體系的理論。多體理論在原子、分子、等離子體及原子核物理學(xué)中都得到了廣泛的應(yīng)用按看所研究對象的屬性及能量大小分類:非全同粒子【玻色子卩目對論全同粒子非相對論費(fèi)米子!相對論、I非相對論正如前面提到的，本書只涉及非相對論的內(nèi)容§11.1.2多體理論的基本問題1、多體體系的哈密頓算符設(shè)體系由N個粒子組成，若只顧及 二體相互作用，則體系的哈密頓算符為NN(11.1.1)V 八 t?i ' v?i, ji =1i j =1其中，t?i）是第i個粒子的動能算符，創(chuàng),j）是第i個粒子與第j

3、個粒子的 相互作用能。第i個粒子的動能算符可以具體寫出為t?i 二-2V2mi(11.1.2)513514二體相互作用也可以寫成N' v?i, j 二i j =11 -v>i, j2 i-打 w(11.1.3)#二體相互作用應(yīng)該滿足如下條件：粒子無自身相互作用，即不存在 v?i,i的項(xiàng)；當(dāng)?shù)趇個粒子與第j個粒子的相互作用被計(jì)入后，不再顧 及第j個粒子與第i個粒子的相互作用。N個粒子體系的雙粒子相互1作用有-N N - 1項(xiàng)。2、多體薛定諤方程設(shè)體系的狀態(tài)用波函數(shù)來描述，即八工民,2,勺乙,N,SNz；t它滿足薛定諤方程其定態(tài)薛定諤方程為(11.1.4)(11.1.5)(11.1.

4、6)處理單體問題的基本原則可以推廣到多體問題中，其正確性已被實(shí)踐所證實(shí)。這是單體問題與多體問題的共性，而多體問題與單體問 題的差異不僅表現(xiàn)在多體問題的復(fù)雜性上，而且，下面將會看到，全 同粒子體系還要遵循全同性原理。具體地說，要求描述費(fèi)米子體系的 波函數(shù)應(yīng)該是反對稱的，描述玻色子體系的波函數(shù)應(yīng)該是對稱的。§11.2 全同性原理§1121全同粒子體系在多粒子體系中，把質(zhì)量、電荷及自旋等一切固有性質(zhì)都相同的 粒子稱為全同粒子。例如，所有的電子是全同粒子，所有的中子也是 全同粒子等等。在相同的條件之下，全同粒子的行為是完全相同的。 由多個全同粒子構(gòu)成的體系稱為全同粒子體系。全同粒子

5、具有不可區(qū)分的性質(zhì)，表現(xiàn)為其哈密頓算符的對稱性， 交換第i個與第j個粒子的坐標(biāo)對哈密頓算符無影響，即H?（q,q2,，q,，q,，4 匚乞弘玨,，q,，q,，）（ 11.2.1）引入交換算符?，對任意波函數(shù)q, q,滿足?jl ,q，q,n，q* ,q)(1122)517#由于對兩個任意的狀態(tài)jc,q, ,qj,C2,q, ,qj,(1123)G,qj, ,q, q q, ,q,=C|?j，q, ,qj,q?j,q, q,所以，交換算符是線性算符。若q,'是一個任意的波函數(shù)，則利用哈密頓算符的交 換對稱性可知(11.2.4)(11.2.5)?jH? ,q, ,q丹（,q,，q；）= ,

6、q,，q,M（ ,q,，q,匸 弘,q, ,q,）聲（，qq,） 所以，交換算符與哈密頓算符是可交換（對易）的，即?ij H?二陥§11.2.2全同性原理交換粒子的坐標(biāo)，會對全同粒子體系的波函數(shù)產(chǎn)生什么樣的影響 呢？定理1在給定的物理?xiàng)l件之下，若波函數(shù)'廠，qj廠 是描 述全同粒子體系的一個可能的狀態(tài)，那么，交換其坐標(biāo)之后，將得到 一個新的狀態(tài)g, q,=,qj, ,q,（ 11.2.6）它也是該體系的一個可能的狀態(tài)。證明：設(shè)' ,q,' q,滿足薛定諤方程i計(jì)m",q,qj）（ 11.2.7）用？j作用上式兩端，有:冉 - Cliff亠- O I

7、?_!/ A 亠 |盲？j（ ,q, ,qj, ）= ?jl?（ ,qi, ,qj, ）（ 11.2.8）利用交換算符與哈密頓算符可交換的性質(zhì)，得到di 逬？j, qi , , qj ,H?ij, qi , , qj ,（ 11.2.9）上式表明，？廠q廠，qj廠 也滿足薛定諤方程，也是體系一個可能 的狀態(tài)。因?yàn)槿Ｗ邮遣豢蓞^(qū)分的，任何兩個粒子坐標(biāo)的交換不能引起體系狀態(tài)的改變，此即全同性原理，它是量子力學(xué)的 第五個基本原理 它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(11210)?/ （，q,q,）=汕,q,q,）實(shí)際上，上式就是交換算符所滿足的本征方程。最后，考慮到全同性原理，全同粒子體系狀態(tài)應(yīng)滿足的方程為(112

8、11)§11.2.3對稱波函數(shù)與反對稱波函數(shù)略去波函數(shù)中的坐標(biāo)變量，交換算符滿足的本征方程為再用交換算符？j作用上式兩端，得到?22上式左端經(jīng)過兩次交換后又變回，故有二 1此即交換算符的本征值。!宀二(11212)(11213)(11.2.14)(11215)ij s s(11216)其中，s/ a分別稱為對稱波函數(shù)和反對稱波函數(shù)。前面的討論是針對交換第i個與第j個粒子進(jìn)行的，實(shí)際上，只 要交換兩對粒子是反對稱的，那么，交換第三對粒子也一定是反對稱 的。定理2若對給定的i，j滿足?（11.2.17）則對任意的k,l亦有?ki =（ 11.2.18）證明：將N個全同粒子體系的波函數(shù)簡記

9、為,i, , J, ,k,嚴(yán) ijk）（ 11.2.19）其中，i,J,k為體系中任意三個粒子的坐標(biāo)。為了說話方便，規(guī)定狄拉 克符號中三個粒子所處的位置依次為1、2、3。假設(shè)交換位于1和2位置的粒子是對稱的，交換位于 2和3位置的粒子也是對稱的，而交 換位于1和3位置的粒子是反對稱的，則有i J）k - kJr - k - i kj=-i j）k（ 11.2.20）于是，i jk 0（ 11.2.21）同理可知，假設(shè)交換1和2位置與交換1和3位置是對稱的，而交換 2和3位置是反對稱的，或者交換1和3位置與和交換2和3位置是 對稱的，而交換1和2位置是反對稱的，都會使波函數(shù)為零。所以， 只要交換

10、兩對粒子是對稱的，那么，交換第三對粒子也一定是對稱的。 使用類似的方法還可以證明，只要交換兩對粒子是反對稱的，那么， 交換第三對粒子也一定是反對稱的?？偠灾Ｗ芋w系的波函 數(shù)只能是對稱的或者反對稱的，不可能關(guān)于一部分粒子是對稱的，而 關(guān)于另一部分粒子是反對稱的情況。§11.2.4 費(fèi)米子與玻色子如前所述，全同粒子體系的波函數(shù)只能是對稱的或者反對稱的， 對于一個確定的全同粒子體系而言，到底是取對稱的波函數(shù)還是取反 對稱的波函數(shù)，這是由所研究的全同粒子的屬性所決定的。1 3 5凡是自旋量子數(shù)廠等半奇數(shù)的粒子稱為 費(fèi)米子。例如, 電子、正電子、質(zhì)子、中子等都是費(fèi)米子。實(shí)驗(yàn)表明，全同

11、費(fèi)米子體 系的狀態(tài)應(yīng)該用反對稱波函數(shù)來描述。凡是自旋量子數(shù)s= 0,1,2,3廠 等整數(shù)的粒子稱為 玻色子。例如，光子、：介子、k介子及某些復(fù)合粒子等。實(shí)驗(yàn)表明，全同玻色子體 系的狀態(tài)必須用對稱波函數(shù)來描述。§11.3 泡利不相容原理§11.3.1費(fèi)米子體系波函數(shù)的反對稱化 為了簡單起見，考慮無相互作用的兩個費(fèi)米子的體系， 算符為#©,42)= ?q3+ ?q2它滿足的本征方程和波函數(shù)反對稱化條件為H? qq2 二 E' qq2?12 qi,q2 二qi,q2 由于無相互作用存在，故可分離變量求解，令q,Q 八 q q2IIIE =；亠： 則有hq w a

12、)= J® (q1)h?q2 q廠 ” q2 由于h的形式是相同的，故可將上面兩式統(tǒng)一寫成h?(q 片(q )=八(q)III不考慮本征值,的簡并情況時，體系的能量本征值E =；亠二m n對應(yīng)的本征函數(shù)有兩個'1 qq = mq1 n q2其哈密頓（11.3.1）（11.3.2）（11.3.3）（11.3.4）（11.3.5）（11.3.6）（11.3.7）（11.3.8）（11.3.9）（11.3.10）（11.3.11）2 亦2 二 n 5 m 42這時，能量本征值是二度簡并的。正象其它的簡并是由哈密頓算符的 對稱性所引起的一樣，這種簡并是由哈密頓算符的交換對稱性引起 的

13、，稱之為交換簡并。如果兩個粒子之間存在相互作用，這種交換簡 并仍然存在。若丫 qi,q2是滿足定態(tài)薛定諤方程的一個解，則由Pi2? <qi,q ?l2E<q1,qP（ 11.3.12）可知% qq = E?12 qq（ 11.3.13）說明PT q1,q2也是該方程的一個解。由于兩個費(fèi)米子是全同的，它們構(gòu)成的體系的波函數(shù)應(yīng)該滿足反 對稱化的要求，即1%業(yè)=?12 2%業(yè)（11.3.14）' 1 q1,q2和"2 q1,q2雖然是定態(tài)薛定諤方程方程的解，但是，它們都 不滿足反對稱化的要求，所以，都不是體系的解。為了得到滿足反對 稱化要求的解，可以將它們重新線性組合&

14、#39;a qq = C 1 q,q2 Q 2 q,q2（ 11.3.15）用012作用上式兩端，得到P12 a q1,q2 = G 2 q1,q2c/ 1 qq =a q,q21 亦2 - c/ 2 q1,q2（11.3.16）比較系數(shù)可知g q（ 11.3.17）將上式代入（11315）,得到(11318)a qi,q2 二 J i qq -2亦2 丄c；, m qin' n qm q2 1其中，常數(shù)c可由歸一化條件定出為177(11319)529#歸一化的反對稱波函數(shù)可以用行列式表示a q1,q2 二m q2n q2(11320)#通常把由'12求出反對稱化波函數(shù)的過程稱

15、為反對稱化，并把上述 行列式稱為斯萊特（Slert）行列式。上面的結(jié)果可以推廣到N個全同費(fèi)米子體系，其反對稱化波函數(shù) 為“ aGq,，q(q )jq)° m(qN)G）%乩）G）JnSnn2NVN!(11321)機(jī)加1川訃N個全同費(fèi)米子體系的斯萊特行列式也可以寫成為如下形式(11322)nN#式中，P表示對方括號內(nèi)的波函數(shù)的任意一個 置換，Sp表示置換的#次數(shù)斯萊特行列式有如下兩條性質(zhì)：若交換任意兩列，則行列式改變 一個負(fù)號；若任意兩行相等，則行列式為零。前者正是反對稱化所要 求的，而后者意味著不能有兩個粒子處于同一個狀態(tài)。由此得出泡利不相容原理：對于全同費(fèi)米子體系來說，在同一個單粒

16、子狀態(tài)上只能 存在一個粒子。§11.3.2 玻色子體系波函數(shù)的對稱化對于全同玻色子體系而言，要求其波函數(shù)是對稱的，用類似費(fèi)米子體系波函數(shù)的反對稱化的方法，可以得到N = 2個玻色子體系的對稱化波函數(shù)! ： m qin q n X m'(11.3.23)530#對于N個全同玻色子體系，對稱波函數(shù)為(11.3.24)=1、pa N! p例如，當(dāng)N = 3時，有1 1s qqq J q 2 q? 3 q? ； r q? J q 3 q?、3!. 3!1i q3 2 q? 3 qi1 q 2 q? 3 q?歸(11.3.25)11 q22 q3 U1 q32342.3!§1

17、1.4 原子中電子的殼層結(jié)構(gòu)§11.4.1原子中的電子的殼層結(jié)構(gòu)1869年，門捷列夫(Mendeleev)根據(jù)化學(xué)元素的性質(zhì)所呈現(xiàn)出的周期性變化，給出了元素周期表，它的出現(xiàn)對化學(xué)及原子物理領(lǐng)域 的實(shí)驗(yàn)工作起到了指導(dǎo)的作用，同時，也激發(fā)了物理學(xué)家從理論上解 釋這種周期性質(zhì)的興趣。具有z個電子的原子的哈密頓算符為zH?八i A-22mii .-j N r ij(1141)531#2e為第i個電rj2ze式中，T為第i個電子在原子核庫侖場中的勢能;ri子與第j個電子的庫侖相互作用能。由于，原子核的質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子 的質(zhì)量，作為初級近似，忽略了原子核的運(yùn)動。同時，也沒有顧及磁532j r(11

18、.4.6)相互作用。若假設(shè)原子中的每個電子都處于原子核與其它電子所產(chǎn)生的一個平均場ui中，則體系的哈密頓算符可以近似寫為Z _ 舟21 Z軌汀亦宀以叫弋h(11.11.5)#j r(11.4.6)式中的u ri可視為第i個電子在被其余的 Z-1個電子屏蔽了的原子 核庫侖場中的勢能，它是一個中心場，并且，其形式對每個電子都是 相同的。稱這種近似為 中心場近似體系滿足的定態(tài)薛定諤方程為(1143)其中，h是處于中心場中的第i個電子的哈密頓算符，它的本征解為(1144)其中，量子數(shù)的取值范圍是二 1,2,3,I廠 0,12,n-1(11.4.5)mii = Ti ,Ti 1,丄 - 1,li1msi

19、若zj為具有能量；nj,lj的電子的個數(shù)，則E=ZH *密(11.4.7)上式表明，體系的能量取決于每個單電子能級上的電子的個數(shù)，通常把這種電子按單電子能級的分布稱為 原子的組態(tài)。下面來討論電子的 殼層結(jié)構(gòu)是如何形成的。原子中的電子是全同費(fèi)米子體系，它應(yīng)該服從泡利不相容原理，即 一個單電子狀態(tài)只能被一個電子占據(jù)。具有相同n,l,mi,ms量子數(shù)的電子最多只能有一個；具有相同 n,l,ml量子數(shù)的電子最多只能有兩個；具有相同n,l量子數(shù)的電子最多只能有2l l 1個。把具有相同l量子數(shù)的單電子態(tài)稱為一個 支殼層。 當(dāng)I =0,1,2,345廠時，分別稱其為s,p,d,f,g,h廠支殼層，每個支殼

20、層 最多能容納的電子個數(shù)分別為2,6,10,14,18,22廠。具有相同n量子數(shù) 的電子最多只能有2n2個。把具有相同n量子數(shù)的單電子態(tài)稱為一個(主)殼層。當(dāng)n= 1,2,3,4,5， 時，分別稱其為 K,L,M,N,0，(主)殼層，每個殼層最多能容納的電子個數(shù)分別為2,8,18,32,50,。每個主殼層n中含有n個支殼層，例如534(1148)K : 1sL :2s,2 pM : 3s,3p,3dN : 4s,4 p,4d ,4 f原子的基態(tài)是其能量最低的狀態(tài)。處于基態(tài)的原子，在服從泡利 不相容原理的前提下，電子應(yīng)該盡量占據(jù)能量低的狀態(tài)。而單電子能 級；nl的大小只要由量子數(shù)n來決定，n越大

21、時；nl越大，對于同樣 的n，量子數(shù)I越大時、越大。一般情況下，基態(tài)原子中的電子應(yīng)該 按（11.4.8）式的順序逐個殼層填充，即1s;2s,2 p;3s,3p,3d;4s,4 p,4d,4f;當(dāng)電子的個數(shù)較多時，也可能出現(xiàn)，3d,4s,的情況，而不是 ，4s,3d廠的順序。§11.11.5元素周期表當(dāng)原子處于基態(tài)時，周期表中各原子的電子的填充情況如下：第一周期，K殼層，n = 1,1 = 01H1s12 He1s2第二周期，L殼層，n = 23Li1s 2 2s14Be1s 2 2s25B1s2 2s2 2p15366C“2J2j21s 2s 2p7n1s22s22p38O1s22s

22、22p4乍2251s 2s 2p510 Ne1s2 2s2 2p 6第三周期，M殼層，n二311 Na2 “ 2 6 11s 2s 2p 3s12 Mg1s2 2s2 2p63s213Al1s2 2s2 2p6 3s2 3P114Si1s22s22p63s23p215 p1s22s22p63s23p31 S1s22s22p63s23p417 Cl1s22s22p63s23p518Ar1s2 2s2 2p 6 3s2 3p 6關(guān)于第四、五周期的填充情況比較復(fù)雜，需要滿足一些特殊的條件， 就不在這里詳細(xì)討論了。剛好填滿一個主殼層時，原子是最穩(wěn)定的，例如，He,Ne,Ar,等 原子，而一個滿主殼層之

23、外有一個電子的原子是相對最不穩(wěn)定的，例 如，Li, Na, K,等原子，并且，這些原子表現(xiàn)出相似的物理和化學(xué)性質(zhì)。以次類推，一個滿主殼層之外有同樣個數(shù)電子的原子，將具有 類似的性質(zhì)，它們在周期表中處于同一列的位置上。§11.5 二次量子化在量子力學(xué)中，體系的狀態(tài)是用波函數(shù)來描述的。通常情況下， 波函數(shù)是在坐標(biāo)表象或者坐標(biāo)與自旋的聯(lián)合表象中寫出的。對于多體 問題來說，在上述表象中求解本征方程實(shí)在是太困難了，僅把多體波 函數(shù)在組態(tài)空間中寫出來就是一件十分繁雜的事情。量子化概念的產(chǎn)生源于力學(xué)量用算符表示，而該算符的本征值可 能是取斷續(xù)值的，此即所謂力學(xué)量取值的 量子化。借助量子場論中引 入

24、的粒子產(chǎn)生與消滅算符的概念，不僅可以方便地表示物理上感興趣 的力學(xué)量算符，而且，也可以簡潔地把滿足全同性原理的多體波函數(shù) 表示出來。把這種產(chǎn)生與消滅算符在坐標(biāo)空間中的表示稱為場算符。用場算符來表示力學(xué)量算符和波函數(shù)，稱之為二次量子化。§11.5.1多體波函數(shù)的二次量子化表示對于N個全同粒子的體系而言，N個粒子構(gòu)成的N體態(tài)可以用如 下三種不同的方式來表示：壯際,口/為,/,，冷)=卜2,(11.5.1)其中，xi表示第i個粒子的全部坐標(biāo)和自旋變量，'j表示粒子的第j個 單粒子狀態(tài)相應(yīng)的全部量子數(shù)，nk表示第k個單粒子態(tài)上的 粒子數(shù)。1、組態(tài)空間中的多體波函數(shù):yN Xi,X2廠

25、，Xn表示坐標(biāo)表象中N體波函數(shù)，它是由N個單 粒子態(tài)構(gòu)成的，對費(fèi)米子而言它是反對稱的波函數(shù)（11.3.22）式，對 玻色子來說它是對稱波函數(shù)（11324）式。2、?？丝臻g中的多體波函數(shù)。1宀,嚴(yán)n）表示N個粒子占據(jù)了用量子數(shù) 。1宀2，G n標(biāo)志的N 個單粒子態(tài)，它并不考慮哪一個單粒子態(tài)被哪一個粒子占據(jù)，顯然， 這與全同粒子的不可區(qū)分性是一致的，稱|。1宀2，巴Q是下面將詳細(xì) 介紹的?？耍‵ock）空間中的一個態(tài)矢。對費(fèi)米子體系而言，泡利不 相容原理要求所有的單粒子態(tài)均不相同，而對玻色子體系來說，單粒 子態(tài)可以有兩個甚至多個是相同的。3、粒子數(shù)表象中的多體波函數(shù)厲小2,，nJ也可以表示N個粒子

26、占據(jù)了 N個單粒子態(tài)，具體地說，就是在第k（k = 1,2,3,）個單粒子態(tài)上有nk個粒子，稱其為粒子 數(shù)表象中的態(tài)矢。對N個粒子的體系而言，物理上要求' nk = N（11.5.2）k =1對于費(fèi)米子體系，由泡利不相容原理可知，m二0,1，對玻色子體系，nk可以取零和任意整數(shù)顯然，對描述多體體系的狀態(tài)來說，上述三種表示方法是等價的§11.5.2產(chǎn)生算符與消滅算符1、福克空間描述全同粒子狀態(tài)的波函數(shù)必須正確反映全同粒子的屬性。在坐 標(biāo)表象中，為反映費(fèi)米子體系的屬性引入了斯萊特行列式，它既滿足 泡利不相容原理又滿足多體波函數(shù)反對稱化的要求，但是，當(dāng)體系的 粒子數(shù)較多時，使用起來

27、十分不便。福克空間中的態(tài)矢與粒子數(shù)表象中的態(tài)矢同樣也可以表示全同粒子的狀態(tài)。下面將引入福克空間的概念假設(shè)I 0表示沒有粒子的狀態(tài)，也稱之為真空態(tài)，卜1）表示一個粒子處于j的狀態(tài)，A 1/2表示兩個粒子分別處于處于a 1 , a 2的狀態(tài);3 1巴2巴3表示三個粒子分別處于處于 a 1，” 2，“ 3的狀態(tài)，a a1 , 2,表示N個粒子分別處于處于：N的狀態(tài)。把由541#零和上述態(tài)矢張成的空間稱為 福克空間:J 對費(fèi)米子對玻色子應(yīng)該指出的是：為了正確反映費(fèi)米子和玻色子對波函數(shù)對稱性的 要求，?？丝臻g的態(tài)矢必須滿足a a a a ） = （_彳）Sj15 N 5 p N /1CL "

28、Ct1j Ja a a a )=1ijN /其中，Sj為交換i與j時所移動的次數(shù)2、產(chǎn)生算符與消滅算符在?？丝臻g中，上述態(tài)矢所對應(yīng)的粒子數(shù)是不同的，如何將不同 粒子數(shù)的狀態(tài)聯(lián)系起來呢？下面引入的產(chǎn)生與消滅算符能起到一個 橋梁的作用。產(chǎn)生算符:的作用是在，單粒子態(tài)上產(chǎn)生一個粒子，或者說， 它使真空態(tài)變成卜）單粒子態(tài)呻 0> =卜）（11.5.3）對費(fèi)米子體系而言，泡利原理要求十）=0（11.5.4）消滅算符.:的作用是消滅'單粒子態(tài)上的一個粒子，或者說,它使卜態(tài)變成真空態(tài)0=0由定義可知對費(fèi)米子體系來說，產(chǎn)生育消滅算符的更一般的定義為 更）時，a a1, 2,a a P1, 2,a

29、1, 2,a(11.5.5)(11.5.6)(11.5.7)(11.5.8)(11.5.9)(11.5.10)式中，si為前面單粒子態(tài)的個數(shù)。之所以出現(xiàn) - 1 '的因子，是因?yàn)橘M(fèi)米子體系的波函數(shù)應(yīng)該為反對稱的，即/ i ，一 j ，/ N(11.5.11)其中，Sij表示i < j之間單粒子態(tài)的個數(shù)加1，而，表示量子數(shù)總之，一個產(chǎn)生算符的作用是將 N體態(tài)變成N 1體的狀態(tài)或者 福克空間的零矢量，一個消滅算符的作用是將 N體態(tài)變成N - 1體的 狀態(tài)或者零矢量。推而廣之，n個產(chǎn)生算符之積的作用是將N體態(tài)變 成N n體的狀態(tài)或者?？丝臻g的零矢量，n個消滅算符之積的作用是 將N體態(tài)變

30、成N - n體的狀態(tài)或者零矢量。概括起來說，產(chǎn)生和消滅 算符可以把福克空間中不同粒子數(shù)的狀態(tài)聯(lián)系起來。3、產(chǎn)生算符與消滅算符的對易關(guān)系產(chǎn)生算符的對易關(guān)系為工+#+=卜+蘆+ _盧十產(chǎn)+ +r+_c，0(11.5.12)證明：對?？丝臻g中任意一個態(tài)矢H 1嚴(yán)2廠，° N，計(jì)算任+巴+° aa 61，2，N)(11.5.13)545當(dāng)中有任何一個屬于集合，則根據(jù)產(chǎn)生算符的定義可知(11.5.14)546#由于卜1嚴(yán)2嚴(yán)N是任意的，故(11.5.12)式成立。當(dāng)廠中皆不屬于集合：時，若二，則根據(jù)泡利不相容原理可知，(11.5.12)式成立。若，則有a a1 2,ot a1 2,.

31、12,Y d a a1 j 2j同樣證得(11.5.12)式成立。a ct1 2,a =N.-同理可證，消滅算符之間的對易關(guān)系為三6而產(chǎn)生算符與消滅算符之間的對易關(guān)系為嘔+惆 - +n 屈+蘆.+高石 jJ亠 ” Jj Jjj J flF面給出的幾個算符的關(guān)系式是經(jīng)常會用到的:EE =+ = 0a aa a 。2(E 壯)=0( aa a(11.5.15)(11.5.16)(11.5.17)(11.5.18)(11.5.19)(11.5.20)#在粒子數(shù)表象中，全同粒子體系的波函數(shù)為#m,n2,，怎卜嚅鬥o)(11.5.21)對玻色子體系而言，nk可以取任意整數(shù)，而對費(fèi)米子體系來說，nk只 能

32、取0或者1。4、粒子數(shù)算符引入產(chǎn)生與消滅算符后，可以把不同粒子數(shù)的狀態(tài)利用產(chǎn)生與消 滅算符聯(lián)系起來。在遇到的許多實(shí)際問題中，體系的粒子數(shù)并不改變， 即所謂粒子數(shù)是守恒的，非相對論的量子理論就是如此。換句話說， 在非相對論量子力學(xué)中關(guān)心的是 N體態(tài)之間是通過什么樣的算符來 聯(lián)系的。(1) 粒子數(shù)守恒算符算符作用到?？丝臻g中任意一個態(tài)矢 卜仆,，aj上，只有 當(dāng)三且r慮i時，很/宀,，aJ=(T 叩,/ TF +1,“，7(11.5.22)否則，皆變成福克空間的零矢量。說明算符 .的作用是將一個N體 態(tài)變成了另一個N體態(tài)或者零矢量。具體地說，當(dāng); 且：時， 是使原來處于；單粒子態(tài)的粒子躍遷到單粒子

33、態(tài)，而總粒子數(shù)并無改變。由于，算符一；的作用并不改變體系的粒子數(shù)，故稱其為 粒 子數(shù)守恒算符。推而廣之，由相等數(shù)目的產(chǎn)生算符和消滅算符之積構(gòu)成的算符皆可稱為粒子數(shù)守恒算符。例如，(11.5.23)都是粒子數(shù)守恒算符。下面將會看到，在非相對論理論框架之下，用 到的力學(xué)量算符都是粒子數(shù)守恒算符。(2) 單粒子態(tài)粒子數(shù)算符有一類特殊的粒子數(shù)守恒算符，即： ：(11.5.24)稱之為'單粒子態(tài)的粒子數(shù)算符。在粒子數(shù)表象中，設(shè)有一個單粒子 態(tài)葉0，當(dāng)八丫時，?n)二 n)=nn), n = 1(11.5.25)當(dāng)=時，?|nY卜 0= nn，n = 0(11.5.26)將上面兩式綜合寫為?|nY

34、卜 njn，九=右曲(11.5.27)算符?的本征值為0和1,這正是費(fèi)米子體系單粒子態(tài)上可能的粒子 數(shù)，故稱其為單粒子態(tài)上的粒子數(shù)算符。由(11.5.21)式可知(11.5.28)'? , ?丄 0上式說明，任意兩個單粒子態(tài)的粒子數(shù)算符相互對易，因此，它們有 共同完備本征函數(shù)系|m,n2,，血卩，且滿足?|ni,n 2,，nJ = mln 1, n?,，nJ?2n 1, n2,，nj= n2ni,n 2,，nJ?|n 1,n2,，nj= nni,n2，nj(11.上式表明任意的N體態(tài)都是?i的本征態(tài)，對應(yīng)當(dāng)本征值皆為ni，或者 說，?的作用不改變原來的狀態(tài)。(3) 總粒子數(shù)算符再定義一

35、個算符0"八 F(11.5.30)設(shè)rm,，宙)為任意一個N體態(tài)，則有O0N? m,n2,，nJ =無? n 1,n?,，nJ =:-=1魚 K1(11.5.31)乞 n。,£,，n=N n1,n2,，nJ:-=1顯然，任意一個N體態(tài)都是算符N?的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為N，而N恰恰是所有單粒子態(tài)上粒子數(shù)之和，因此，將N稱之為總粒子數(shù)算 符。利用產(chǎn)生與消滅算符的對易關(guān)系，容易導(dǎo)出如下幾個常用的對易550關(guān)系:(11.5.32)(11.5.33)(11.5.34)(11.5.35)上面最后一式表明，粒子數(shù)守恒算符與總粒子數(shù)算符是對易的5、粒子算符與洞眼算符如前所述，多體態(tài)在二次

36、量子化中的表示比起在組態(tài)空間中的表 示要簡單多了，但是，對于粒子數(shù)很多的體系來說，仍然是很繁瑣的, 因此，需要尋求更簡潔的表述方式。例如，16O原子核由8個中子和8個質(zhì)子構(gòu)成，它是一個雙滿殼層核。 在核物理中，通常把質(zhì)子與中子通稱為 核子，用不同的類似 于自旋的同位旋來區(qū)別它們。16個核子中有4個核子添在0s丄殼層,28個核子添在0p3殼層，另外4個核子添在°P殼層，或者說，在2次量子化表示中， = + 0/0p116 0的基態(tài)波函數(shù)的零級近似為叮I0¥+k +t t1 1 0p11 10s11J2 2 22 2 22216 15(11.5.36)在核物理中，雙滿殼層核的結(jié)

37、構(gòu)相對穩(wěn)定,把它們的基態(tài)用0來表示，稱之為物理真空態(tài)。通常將物理真空態(tài)稱之為 費(fèi)米海，而把費(fèi) 米海中最高的單粒子能量稱為 費(fèi)米能量;f。實(shí)際上，物理真空態(tài)是費(fèi) 米能量;f以下添滿粒子，而；f以上無粒子添充的狀態(tài)。前面定義的產(chǎn)生與消滅算符統(tǒng)稱為粒子算符，因?yàn)樗鼈儾僮鞯膶?象是粒子。顧名思義，洞眼算符的操作對象是洞眼，它是根據(jù)'與；f 的關(guān)系由粒子算符定義的當(dāng):f時，仍然保留I與I的意義。當(dāng);:-;f 時，：=:;:=:"；|o) = Ej|o；0)=叮|0 = 0(11.5.37)由上式可知，的作用相當(dāng)于在填滿粒子的費(fèi)米海中產(chǎn)生一個：態(tài)的 洞眼，故稱之為洞眼產(chǎn)生算符，同樣可知，

38、為洞眼消滅算符，將兩 者統(tǒng)稱為洞眼算符。容易證明洞眼算符滿足的對易關(guān)系與粒子算符是 相同的。§11.5.3力學(xué)量算符的二次量子化表示前面已經(jīng)給出了多體態(tài)的二次量子化表示，而薛定諤方程是由力 學(xué)量算符與態(tài)矢量構(gòu)成的，因此，必須將力學(xué)量算符以二次量子化的 形式寫出來，這樣才能使得量子力學(xué)的公式是協(xié)調(diào)的。在多體問題中，經(jīng)常遇到的主要是多體單粒子算符和多體雙粒子552算符，下面將分別導(dǎo)出它們在二次量子化中的具體表達(dá)式1、多體單粒子算符在組態(tài)空間中，動量、動能和哈密頓算符分別為N INT?_ ?2 i 八？ ii =1 2 mi =1NH?。八?ii =1(11.5.38)(11.5.39)(

39、11.5.40)其中，多體算符F?、T?與H?o的形式是相同的，都是對某一個單體算 符的求和，只不過求和號中的單體函數(shù)不同而已，通常將？、T與H?o稱之為多體單粒子算符。在坐標(biāo)空間中，一般的多體單粒子算符可以表示為N(?捲公2, ,Xn 2 瓦?Xi)i=1(11.5.41)定理1 設(shè)宀:或J:為任一組正交歸一完備單粒子基底，若多體單粒子算符滿足（11541）式，則其二次量子化表示為I 4W(11.5.42)證明：設(shè)I ?）為N個全同費(fèi)米子體系的任意一個 N體態(tài)，在組態(tài)空間中，它可以用斯萊特行列式表示為5545551”常 I)SPP%x1)>Fx2 獷(Xn 卩(11.5.43)其中，J

40、i（Xi»為第i個粒子的第S個單粒子態(tài)，P是對Y 1,丫2,?N的Q(Xi,X2，Xn 悴)N（-1產(chǎn)卩瓦叫（X2i T帀P(11.5.44)于是有(?Xi |%(Xi »二瓦卜詁Xi)»(Xi 1?Xi W/x »otot(11.5.45)q屮丄瓦（-bp；送送何?幼卜你札（訃代如T%（xVN! pN二丄、一 1和' N pL -t日N匹何？學(xué)訕"2十兒）oPiW(11.5.46)任意一個置換算符，Sp為置換的次數(shù)。用算符（Q作用在上，有因?yàn)?)也可以在?？丝臻g中表示，所以，上面最后一步成立。習(xí)題 選講中將證明556#'-ii

41、 =1Y Y c(1 2(11.5.47)于是，得到多體單粒子算符的二次量子化表示為(?=送W忡呻/ p(11.5.48)2、多體雙粒子算符在組態(tài)空間中，若第i個粒子與第j個粒子的相互作用用GxiXj 來表示，則N個全同費(fèi)米子體系的雙粒子算符為N音，X2； ,Xn)=遲 V?X；,Xj)i<jT(11.5.49)類似于多體單粒子算符，在坐標(biāo)空間中，多體雙粒子算符的一般形式N1 N? v?XjXj= ' gXjXjij12i,j=1(11.5.50)'為任一組正交歸一完備單粒子基底，若多體雙定理2 設(shè)粒子算符滿足(11550)式，則其二次量子化表示為(?= ：4?4診(11

42、.5.51)557證明：用算符G作用在；上，有G(X1,X2，,Xn 胃)=乞?X ,Xj匕=送1 ：2、N! F1xN! pNP' 'i:j T :1瓦儼£ 5舌詁2 : 一：、.ij i:（-1沖嘰（創(chuàng)怙2牧2卜|%（冷卩N(- 1 )s P & ,Xj 陽訓(xùn)(X2 ” 卜Yn(Xn 卜gYj）卜少版（X2卜I忖X）T忖 j忖n（Xn卩可以證明所以，得到(11.5.52)(11.5.53)(11.5.54)其中，記號3 P歹1冠）表示二體波函數(shù)未反對稱化時的算符c?的矩陣元，由于全同費(fèi)米子體系的波函數(shù)應(yīng)該是反對稱的，故應(yīng)使用反對稱化的二體波函數(shù)(11.5.

43、55)反對稱化的二體相互作用矩陣元為5591(aP 舟® =I SB 念丫)- (Pa )+ (Pa 孕丫 卩 5 56)利用改變求和指標(biāo)的辦法，可以將矩陣元換成反對稱化的形式，即1<? y r:1=-E如P加卜feP|g>|5Y代卞扎J4：(11.5.57)1曠-：齊- :>:g 1 一8 :將(11.5.57)式代入(11.5.57)式可知，多體雙粒子算符的二次量子化表示(11.5.58)綜上所述，多體哈密頓算符在二次量子化表示中可以寫為1(11.5.59)(11.5.60)二K Va P札5-曠蘇Y4 :由于哈密頓算符是粒子數(shù)守恒算符，故滿足H?, N?丄 0

44、§11.5.4產(chǎn)生與消滅算符的狄拉克圖象表示1、定義在狄拉克圖象中，類似于力學(xué)量算符的定義F? t 二 e x(11.5.61)可知產(chǎn)生與消滅算符為:exp 丄 Hot:t =exHot ： ex p 丄;t = e xH?ot(11.5.62)當(dāng)t = 0時，有(11.5.63)2、運(yùn)動方程用類似類似于力學(xué)量算符運(yùn)動方程的導(dǎo)出方法可以得到產(chǎn)生算符 于消滅算符滿足的運(yùn)動方程i1 ：t,i?o1(11.5.64)ti 二：tt,H。】；t3、在H?o表象下的形式由產(chǎn)生與消滅算符的運(yùn)動方程可知，-1-:. t 匚丄 exp丄 H?ot H?。，"exo(11.5.65)在二次量

45、子化表示中，0 八 h: :otP而#0在自身表象之下是對角的，即(11.5.66)(11.5.67)其中,是單粒子態(tài)能量，于是有化,(11.5.68)風(fēng)八；:563#將其代入(11.5.65)式，得至U#ii曠 H?°t： ： ex”H?°t(11.5.69)上式的解為ln t =丄：t c其中，c為積分常數(shù)，進(jìn)而得到:t = C e x p1 ： t(11.5.70)(11.5.71)利用初始時刻的條件(11.5.63)可以確定常數(shù)C=于是有exp" t(11.5.72)同理可知，消滅算符為(11.5.73)564此即產(chǎn)生算符與消火算符在H?o表象下的表達(dá)式對

46、洞眼算符亦有類似的結(jié)果:#:t ex-th a j(11.5.74)(11.5.75)#§11.6 哈特利-?？藛瘟Ｎ?#167;11.6.1單粒子位設(shè)N個粒子體系的哈密頓算符為Nn(1161)H?八？i ' V?i, ji =1i =j =1其中，?i為第i個粒子的動能算符，v>i, j為第i個粒子與第j個粒 子的相互作用能。一般情況下，相互作用能并不能視為微擾。通常情況下，相互作用能不能視為微擾，為了便于使用微擾論，引入一個單粒子位0，從而可以將哈密頓算符改寫成NNNH?八 ?i u?' v?i,j -x u?i - H?0 W?iWiN其中,N凡=二？門（

47、11.6.3）h?P= t?i）十 CRi）（ 1164）NNW?=£VRi,j）-FCRi）（ 1165）i =ji =1''稱h i為第i個粒子的哈密頓算符，而H?o為n個單粒子哈密頓算符 之和。原則上，單粒子位U? i是可以任意選取的，只要由它構(gòu)成的單粒子哈密頓算符容易求解就行，當(dāng)然，若所選定的單粒子位能使得W?可視為微擾就更好了。更進(jìn)一步，若所選的單粒子位使得W?為零，則問 題就解決了。因?yàn)槲_項(xiàng)雖然是兩項(xiàng)之差，但由于這兩項(xiàng)分別為二體 相互作用和單粒子位，實(shí)際上，最后這種情況是不可能出現(xiàn)的。盡管 如此，還是希望能找到一個使W?盡可能小的單粒子位。這樣一來，只

48、要計(jì)算較低級的微擾就可以得到比較精確的近似結(jié)果。總之，多體微擾論的計(jì)算結(jié)果明顯的依賴于單粒子基底的選擇。§1162紹勒斯波函數(shù)在二次量子化表示中，N個粒子體系的基態(tài)波函數(shù) 可以寫為 0卜 吒 o）（ 11.6.6）其中，丨0是真空態(tài)如果約定用i,j,k,l表示多體基態(tài)2。中已被占據(jù)的單粒子狀 態(tài)，用m,n, p, q表示未被占據(jù)單粒子的狀態(tài)，用: ,表示任意的單粒子態(tài)，則多體體系的激發(fā)態(tài)有許多種，例如：粒子-洞眼（ph）態(tài)（mi卜養(yǎng)0雙粒子-雙洞眼（2p2h ）態(tài)（mi,nj等等，它們都是N體體系的激發(fā)態(tài)。上述激發(fā)態(tài)的線性組合 ph）=瓦 Cmi| （mi）mi 2p2h）Y 送 C

49、mij （mi,nj»mi nj(1167)(1168)(1169)也都是該體系的激發(fā)態(tài)。任意的N體態(tài)應(yīng)該由其基態(tài)與激發(fā)態(tài)的線性組合構(gòu)成，即'°o N、 N exp為 Cmdi >2 0（ 11.6.10）L m=N 州 i W.稱之為紹勒斯（ShoulesS波函數(shù)。將其按算符的冪次展開，并注意到大于N次冪的項(xiàng)為零，紹勒斯波函數(shù)可以具體寫成56920；-由于，所以,但是，。）+ZZCmmm=N41i丄 + 1每NZ C；mF+匕mi 1N! lm=N書 i 丄丿00(-1旳 Nico NX送C上牝丨211 m| m 12! .m=N 1 idmi m i(11

50、611)(11612)(11613)(11614)§11.6.3 哈特利-福克單粒子位既然多體微擾論的計(jì)算結(jié)果強(qiáng)烈地依賴于單粒子位勢的選擇，那 么，如何才能得到一個理想的單粒子位勢呢？哈特利（ Hatree）-福 克（Fock）利用變分原理給出了一個適用的單粒子位勢。1、變分方程變分原理要求(11615)而對紹勒斯波函數(shù)的變分為5701-1卜J旳 N送瓦Smi總m=N 1 i 日1 ： N；Cmim i2 -m=N+1 iT(11616)若忽略Si的二次及其更高的項(xiàng)，則旳 NZ 瓦6 c上+匕 Jmi m im=N 1 i T(11617)將上式對應(yīng)的左矢代入變分公式，得到旳 Nz 送 § c* J弋 H? 0) = o im i m0m =N 1 i =1(11618)由于Cm是相互獨(dú)立的，所以要求上述方程中的系數(shù)皆為零，即譏即o) = O(11619)稱之為變分方程。2、哈特利-?？藛瘟Ｗ游辉诙瘟孔踊?/p>