二次根式的運(yùn)算及因式分解

1、宇光教育個(gè)性化輔導(dǎo)教案提綱ggggggggggggangganggang綱老師：耿宏雷學(xué)生：_ 科目： 數(shù)學(xué) 時(shí)間:2011年_月_日 第_次 第一講二次根式運(yùn)算中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求二次根式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算理解二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則會(huì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，會(huì)進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算（不要求分母有理化）知識(shí)點(diǎn)睛一、二次根式概念及化簡(jiǎn)二次根式的概念：形如（）的式子叫做二次根式二次根式的基本性質(zhì)：（）雙重非負(fù)性；（）；二、分母有理化分母有理化：把分母中的根號(hào)化去叫做分母有理化互為有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式與互為

2、有理化因式；分式有理化時(shí)，一定要保證有理化因式不為0重、難點(diǎn)1、從二次根式的定義看出，二次根式的被開方數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)式子，且被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)2、二次根式的性質(zhì)具有雙重非負(fù)性，即二次根式中被開方數(shù)非負(fù),算術(shù)平方根非負(fù).3、利用得到成立，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或式寫成一個(gè)數(shù)或式的平方的形式如例題精講一、二次根式的概念及性質(zhì)【例1】 當(dāng) 時(shí)，有意義【鞏固】當(dāng)取何值時(shí)，式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義【鞏固】 求代數(shù)式的最小值.【例2】 若，求的值.【鞏固】(人大附中初一第2學(xué)期期末考試)已知：，求的平方根. 【鞏固】 在實(shí)數(shù)范圍成立，那么的值是多少？【例3】 (2007年成都)已知，那么的值為

3、 .【鞏固】已知實(shí)數(shù)與非零實(shí)數(shù)滿足等式：.求.二、二次根式估算【例4】 (2007年旅順口區(qū)中考題)如右圖，在數(shù)軸上，兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)有個(gè).(2007年鹽城市)估計(jì)的值（）. 在3到4之間. 在4到5之間. 在5到6之間. 在6到7之間(2007年安徽)的整數(shù)部分是_.【鞏固】 （2008浙江溫州）估算的值（ ）A在和之間B在和之間C在和之間D在和之間 【鞏固】 若整數(shù)滿足，試確定的值.三、二次根式比較大小【例5】 把根號(hào)外的因式適當(dāng)變形后移入根號(hào)內(nèi)：；【鞏固】 把根號(hào)外的因式適當(dāng)變形后移入根號(hào)內(nèi)：【例6】 比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小與 與【例7】 (鹽城中考)比較大小：，則【鞏固】 已知

4、，則與的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 【鞏固】 比較大?。号c【例8】 已知，比較，的大小.已知，那么，的大小關(guān)系是.A.B. C. D.【鞏固】 設(shè)，比較大?。篲【鞏固】 設(shè)，則下列各式一定成立的是_ABCD【例9】 比較大?。?與【鞏固】 比較大?。号c【鞏固】 比較與大小.【例10】 設(shè)，則的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 【例11】 比較下列二次根式的大?。号c【鞏固】 比較下列二次根式的大?。号c【例12】 已知，則的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 【補(bǔ)充】正實(shí)數(shù)，滿足，設(shè)則（）A. B. C. D.與的大小關(guān)系不確定四、二次根式中的配方思想【例13】 已知實(shí)數(shù)，滿

5、足，求的值.【鞏固】 已知實(shí)數(shù)，滿足，求【例14】 已知正數(shù)和，有下列命題：若，則；若，則；若，則.根據(jù)以上三個(gè)命題所提供的規(guī)律，猜想若，則 .，則 ，并式證明上式成立.【鞏固】 已知非零實(shí)數(shù)、滿足等式，求的值.【例15】 若正數(shù)，滿足，求【補(bǔ)充】已知正數(shù)，且滿足，求證：【例16】 已知，求、的值【鞏固】 設(shè)，求代數(shù)式的值【鞏固】 如果實(shí)數(shù)滿足，且，求的值.【鞏固】 設(shè)是實(shí)數(shù)，若，則=_.五、雙（多）重二次根式雙重二次根式：形如，二次根式的被開方數(shù)（式）中含有二次根式的式子叫雙重二次根式多重二次根式：二次根式的被開方數(shù)（式）中含有多于一個(gè)二次根式的式子叫多重二次根式雙（多）重二次根式的解法：平

6、方法、配方法、構(gòu)造法、待定系數(shù)法【例17】 化簡(jiǎn)：【例18】 計(jì)算的值.【鞏固】 化簡(jiǎn)：【鞏固】 若表示實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，則等于（ ）A. B. C. D.【例19】 計(jì)算【例20】 若正整數(shù)、滿足，則、的值依次是_【鞏固】 設(shè)均為正整數(shù)，且，則的值是 .六、無(wú)理方程【例21】 解方程：【鞏固】 解方程：【例22】 解方程【鞏固】 無(wú)理方程的解是_家庭作業(yè)1 若，求的值.2 如果那么的值是（）A. B. C. D.3 代數(shù)式=_.4 已知?jiǎng)t的值為（）5 (2007年江西省)在數(shù)軸上與表示的點(diǎn)的距離最近的整數(shù)點(diǎn)所表示的數(shù)是 (2007年河南省)已知為整數(shù)，且滿足，則 (2007淄博市)估計(jì)的大小應(yīng)

7、( )A.在9.19.2之間 B.在9.29.3之間 C.在9.39.4之間 D.在9.49.5之間6 比較與的大小.7 比較大?。号c8 試比較與的大小的值是（ ）已知，則= 若,則的個(gè)位數(shù)字是( )當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為( )已知是方程的根，則的值等于_。，那么的整數(shù)部分是_。計(jì)算的值是() . = .x設(shè)r4，a，b，c，則下列各式一定成立的是。A、abc B、bcaC、cabD、cba解方程組 （）20052（）20042（）2003+2005=_.【例23】 (年寧波市中考題)已知，求代數(shù)式的值當(dāng)，求代數(shù)式的值.【備選1】 已知：，求的值.【鞏固】 當(dāng)時(shí)，求的值【鞏固】 先化簡(jiǎn)，再求值.，

8、其中.化簡(jiǎn)二次根式已知，求的值.【例24】 已知：，且，求的值.【鞏固】 已知，求下列各式的值.； .板塊二 有理數(shù)無(wú)理數(shù)【例25】 已知、均為有理數(shù)，并滿足等式，求、的值.【鞏固】 已知、是有理數(shù)，且，求、的值板塊三 估算整數(shù)部分、小數(shù)部分【例26】 已知，為有理數(shù)，分別表示的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且滿足，求的值.【鞏固】 已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，求的值.【例27】 如果分別表示的整數(shù)和小數(shù)部分，求.【例28】 設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，試求的值= .【鞏固】 是的小數(shù)部分，求的值.板塊四 提取公因式【例29】 【鞏固】 滿足等式的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是A.1 B.2 C.3 D.4【例30

9、】 化簡(jiǎn)：=_【鞏固】 化簡(jiǎn)_【例31】 化簡(jiǎn)并求值：，其中，【鞏固】 化簡(jiǎn)：【鞏固】 化簡(jiǎn)=_.【鞏固】 ，求的值.【例32】 計(jì)算：.【鞏固】 化簡(jiǎn)：板塊五 裂項(xiàng)【例33】 化簡(jiǎn)：【鞏固】 （2006年湖北）計(jì)算：【例34】 計(jì)算：【鞏固】 計(jì)算：【補(bǔ)充】已知對(duì)于正整數(shù)，若某個(gè)正整數(shù)滿足，則=_【補(bǔ)充】定義，求的值.【補(bǔ)充】計(jì)算:板塊六 互為倒數(shù)、化簡(jiǎn)求值【例35】 已知：，求的值.【鞏固】 已知：，求的值.【鞏固】 已知：，求的值.【例36】 設(shè)，為自然數(shù)，如果成立，求值.板塊七 換元【例37】 計(jì)算：+=_.【例38】 計(jì)算：=_【鞏固】 _板塊八 【例39】 若，則的值為 .【鞏固】

10、 已知，求的值?！纠?0】 若，則的值是 .【鞏固】 當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為（ ）A B C D.【鞏固】 如果，那么 .【例41】 已知是有理數(shù)，滿足，則是一個(gè)（ ）A B C D.3【例42】 若，則分式 .【鞏固】 已知，試求的值。課后練習(xí)練習(xí) 1 （2008烏魯木齊，15，6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中練習(xí) 2 (2006年南通中考題)先化簡(jiǎn)，再求值.，其中，練習(xí) 3 化簡(jiǎn)求值：，其中，練習(xí) 4 已知，求代數(shù)式的值.練習(xí) 5 設(shè)是一個(gè)無(wú)理數(shù)，且，滿足，求練習(xí) 6 與的小數(shù)部分分別是和，求的值.練習(xí) 7 已知是的整數(shù)部分，是的小數(shù)部分，求的值.練習(xí) 8 _練習(xí) 9 觀察下面的式子，根據(jù)你得到的

11、規(guī)律回答： =_；=_；=_； ，求的值（要有過程）.練習(xí) 10 化簡(jiǎn)：練習(xí) 11 已知：，求的值.練習(xí) 12 代數(shù)式=_.練習(xí) 13 計(jì)算： .練習(xí) 14 已知，求的值。板塊一：換元【例 1】 分解因式：【例 2】 (“希望杯”培訓(xùn)試題)分解因式：【鞏固】 分解因式：【鞏固】 分解因式：【鞏固】 分解因式：【例 3】 證明：四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1是整數(shù)的平方【鞏固】 若，是整數(shù)，求證：是一個(gè)完全平方數(shù).【例 4】 (湖北黃岡數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)分解因式【鞏固】 分解因式【例 5】 分解因式：【鞏固】 分解因式：【鞏固】 分解因式：【例 6】 (重慶市競(jìng)賽題)分解因式：【鞏固】 分解因式：板塊二：因式

12、定理因式定理：如果時(shí)，多項(xiàng)式的值為，那么是該多項(xiàng)式的一個(gè)因式.有理根：有理根的分子是常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)，分母是首項(xiàng)系數(shù)的因數(shù).【例 7】 分解因式：【鞏固】 分解因式：【鞏固】 分解因式：【鞏固】 分解因式：【例 8】 分解因式：【鞏固】 分解因式：板塊三：待定系數(shù)法如果兩個(gè)多項(xiàng)式恒等，則左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等.即，如果 那么，.【例 9】 用待定系數(shù)法分解因式：【鞏固】 是否能分解成兩個(gè)整系數(shù)的二次因式的乘積?【鞏固】 能否分解為兩個(gè)整系數(shù)的三次因式的積?【例 10】 分解因式：板塊四：輪換式與對(duì)稱式對(duì)稱式：的多項(xiàng)式， 在字母與互換時(shí)，保持不變這樣的多項(xiàng)式稱為的對(duì)稱式類似地，關(guān)于的多項(xiàng)式，在字母中任意兩字互換時(shí)，保持不變這樣的多項(xiàng)式稱為的對(duì)稱式輪換式：關(guān)于的多項(xiàng)式，在將字母輪換(即將換成，換成，換成)時(shí)，保持不變這樣的多項(xiàng)式稱為的輪換式顯然，關(guān)于的對(duì)稱式一定是的輪換式但是，關(guān)于，的輪換式不一定是對(duì)稱式例如，就不是對(duì)稱